Algumas observações sobre o círculo de Apolônio e o seu emprego no método das imagensResumo
Na geometria plana, o círculo é definido como o conjunto de todos os pontos do plano equidistantes de um ponto arbitrário também pertencente ao plano. Apolônio de Perga (c. 262 a.C - 190 a.C.), o grande geômetra como era conhecido por seus contemporâneos, descobriu um modo alternativo de definir o círculo. O círculo de Apolônio pode ser empregado na solução do problema eletrostático envolvendo uma esfera condutora e uma carga puntiforme.
eletrostática; método das imagens
Abstract
In plane geometry, the circle is defined as the set of all points at the same distance from an arbitrary point , also belonging to the plane. The great Greek mathematician Apollonius of Perga (c. 262 B.C - 190 B.C.) discovered an alternative way of defining the circle. The circle of Apolonius can be used in the solution of the problem concerning the electrostatic interaction between a conducting sphere and a point charge.
electrostatics; method of images
NOTAS E DISCUSSÕES
Algumas observações sobre o círculo de Apolônio e o seu emprego no método das imagens
Some remarks on the circle of Apollonius and its use in the method of images
A.C. Tort1
Instituto de Física, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, Brasil
RESUMO
Na geometria plana, o círculo é definido como o conjunto de todos os pontos do plano equidistantes de um ponto arbitrário também pertencente ao plano. Apolônio de Perga (c. 262 a.C - 190 a.C.), o grande geômetra como era conhecido por seus contemporâneos, descobriu um modo alternativo de definir o círculo. O círculo de Apolônio pode ser empregado na solução do problema eletrostático envolvendo uma esfera condutora e uma carga puntiforme.
Palavras-chave: eletrostática, método das imagens.
ABSTRACT
In plane geometry, the circle is defined as the set of all points at the same distance from an arbitrary point , also belonging to the plane. The great Greek mathematician Apollonius of Perga (c. 262 B.C - 190 B.C.) discovered an alternative way of defining the circle. The circle of Apolonius can be used in the solution of the problem concerning the electrostatic interaction between a conducting sphere and a point charge.
Keywords: electrostatics, method of images.
Na geometria plana, o círculo é definido como o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto arbitrário também pertencente ao plano. Apolônio de Perga2 (c. 262 a.C - 212 a.C.) descobriu outro modo de definir o círculo. Eis sua definição: sejam dois pontos fixos P1 e P2 e um ponto arbitrário Q do plano. Seja 
o segmento de reta que une P1a Q, e 
o segmento de reta que une Q a P2. Se
onde k é uma constante, então o conjunto dos pontos que satisfazem está relação é o círculo. A definição de Apolônio apresenta a importante propriedade
A distância
é o raio do círculo de Apolônio e o ponto P1 é o ponto de inversão na esfera. A definição de Apolônio pode ser generalizada para dimensões superiores, por exemplo, para o espaço tridimensional euclidiano. Neste caso, o círculo será substituído pela superfície da esfera.
O círculo de Apolônio (e sua generalização tridimensional) pode ser aplicado a vários problemas físicos. Entre esses problemas encontramos o seguinte problema de eletrostática: considere uma casca esférica condutora aterrada (V=0 , na superfície da casca) de raio R. Seja P1 um ponto no interior da casca sito a uma distância D do seu centro geométrico, e P2 um ponto no exterior da mesma. Suponha que em P1 coloquemos uma carga puntiforme de valor q e perguntemo-nos: qual a magnitude da força entre a carga puntiforme e a casca condutora? Esta força é atrativa ou repulsiva? A casca esférica condutora, em razão da indução eletrostática, sofre um rearranjo na distribuição de suas cargas. Embora saibamos onde se encontra a carga puntiforme, a nova distribuição de cargas da casca esférica nos é desconhecida. É isto que torna o problema difícil de ser resolvido. Felizmente, há métodos para resolver este tipo de problema. Um desses métodos é conhecido como o método das imagens e, essencialmente, consiste em substituir a casca esférica condutora e sua distribuição complexa por uma carga fictícia, a carga-imagem q', cuja localização, magnitude e sinal algébrico devemos determinar. A carga-imagem deve localizar-se fora da região de interesse, que no caso é o interior da casca, pois a carga total nessa região não pode ser modificada, caso contrário estaríamos lidando com outro problema. Também não podemos modificar as condições específicas do problema, por exemplo, o valor do potencial sobre superfície do condutor. Coloquemos então a carga-imagem em P2 e escrevamos q'=kq, onde k é uma constante real a ser determinada. Agora, com a geometria do círculo de Apolônio em mente, acompanhemos os passos que vem a seguir.
Como a casca esférica está aterrada,V = 0 na superfície (e na região interior da casca!), os pontos P1 e P2, onde estão localizadas as cargas q e q', respectivamente, e um ponto da superfície da esfera definem uma esfera de Apolônio, pois podemos escrever
onde Q é um ponto na superfície da casca condutora. Segue então que
Evidentemente k < 0, como veremos a seguir. A que distância encontra-se a carga q' do ponto da superfície da casca condutora que lhe é mais próximo? Da Fig. 2 vem que
onde x é a menor distância entre a superfície condutora e a carga-imagem. Da propriedade dada pela Eq. (2) segue que
Resolvendo para x
Por outro lado, como a casca condutora está aterrada, podemos também escrever
Substituindo a Eq. (7) nesta equação temos
Portanto, a carga-imagem em termos da carga q e da geometria do problema vale
A força entre a casca condutora e a carga puntiforme será dada pela lei de Coulomb
Substituindo os resultados para x e y calculados acima, obtemos
O sinal negativo indica que a força entre a carga puntiforme e a casca condutora é atrativa, e sua direção é determinada pelo segmento de reta que une as duas cargas.
O limite do espelho plano, isto é, a força eletrostática entre a carga puntiforme q e uma superfície condutora plana pode ser obtido da seguinte forma: suponha que a distância entre a carga puntiforme e a superfície condutora seja igual a e que o raio da esfera satisfaça à condição:R » d. Observe que a distância D da carga puntiforme ao centro da esfera deve satisfazer a uma condição similar,D » d . Neste caso, podemos impor a condição:R - D = d = constante. Agora escrevemos
Fazendo uso das aproximações
que são justificadas pelas considerações acima, e substituindo estes resultados na expressão para a força, Eq. (12), obtemos
que é o resultado esperado.
Suponha agora que a carga puntiforme q seja colocada no ponto P2, e carga-imagem no ponto P1. A situação física permite que continuemos a considerar a superfície da casca condutora como uma esfera de Apolônio. Portanto, escrevemos
Da propriedade fundamental dada pela Eq. (2 ) temos
Segue então que agora
A condição: , sobre a superfície da casca condutora, permite escrever
logo,
Segue que a força entre a carga puntiforme e a casca condutora continua atrativa e vale
como no caso inicial. O caso em que a esfera condutora não está aterrada, mas sim submetida a um potencial V não nulo também pode ser resolvido com o método das imagens. Considere primeiramente o caso em que a carga real está colocada no exterior da casca esférica condutora. Nesse caso podemos considerar uma segunda casca esférica de raio menor do que uniformente carregada, a casca imagem. Então, usando o princípio da superposição teremos a solução do problema. Se a carga real estiver no interior da casca condutora, a casca esférica imagem deve ter um raio maior do que R.
O método das imagens é discutido em muitos livros de eletromagnetismo de nível intermediário e avançado, em particular, o problema que abordamos é discutido em, por exemplo [1], [2], embora não com tantos detalhes como aqui. Entretanto, no desenvolvimento das soluções, tanto quanto este autor saiba, o círculo de Apolônio quase nunca é mencionado e empregado explicitamente. Uma exceção é a referência [3]. O uso explícito da geometria do círculo de Apolônio justifica a solução matemática do problema, resta, porém, a escolha física da distribuição da carga ou cargas imagem. Veja, por exemplo, o comentário ilustrativo a esse respeito no excelente texto de Griffths [1], que, em tradução do autor desta nota, se lê:
A solução recém apresentada é deliciosamente simples, mas também extraordinariamente afortunada. Há tanto de arte como de ciência no método das imagens, pois você [isto é, o estudante] deve conceber de alguma forma o "problema auxiliar correto". Dúvido que a primeira pessoa a resolver o problema da carga puntiforme e da esfera condutora soubesse de antemão que carga imagem usar e onde colocá-la. Presumivelmente, ele (ou ela?) começaram com uma carga arbitrária em um ponto arbitrário dentro da esfera, calcularam o potencial da esfera e depois descobriram que com e corretos... o potencial da esfera seria zero.
Um exemplo (mais complexo) que ilustra o espirito com que o comentário acima deve ser lido é dado em [4] onde a interação eletrostática entre uma esfera condutora e um dipolo elétrico é estudada. Nesse exemplo, a escolha de um dipolo imagem e uma carga imagem puntiforme são sugeridos pela física do problema.
Agradecimentos
O autor agradece ao referee pelos comentários e sugestões que ajudaram-no a melhorar esta nota.
Recebido em 23/4/2010; Aceito em 24/1/2011; Publicado em 28/3/2011
Referências bibliográficas
- [1] D.J. Griffths, Introduction to Electrodynamics (Prentice Hall, Upper Saddle River, 1989), 2nd ed.
- [2] P. Lorrain, D.R. Corson and F. Lorrain, Fundamentals of Electromagnetic Phenomena (Freeman, New York, 2000).
- [3] P. Gnädig, G. Honyek and K. Riley, 200 Puzzling Physics Problems (Cambridge University Press, Cambridge, 2001), Problema 92.
- [4] F.C. Santos e A.C. Tort, European Journal of Physics 25, 859 (2004).
