Harmonizando ondas, termodinâmica e tubos ressonantes com uma proposta experimental para o ensino de Física

Waves, thermodynamics, and resonant tubes in harmony: an Experimental proposal for physics education

Resumo

A acústica constitui um campo bastante fértil para o ensino de Física, ao articular conceitos como ondas, interferência e termodinâmica. Neste trabalho, exploramos uma montagem experimental que emprega um alto-falante e um microfone para induzir e detectar ressonâncias em um tubo, com análise espectral realizada por um programa computacional elaborado para este fim, o DFTubo. Além de permitir medições precisas sem a necessidade de equipamentos sofisticados, o experimento pode ser aplicado no ensino básico e no ensino superior, tanto em aulas teóricas quanto experimentais. Discutimos como utilizá-lo para estabelecer uma conexão da Física ondulatória com a música e com as propriedades de instrumentos musicais, o que fornece uma excelente alternativa para aproximar áreas distintas do conhecimento, estimulando o processo de aprendizagem. Em seguida, propomos um experimento em que as ressonâncias do tubo são exploradas para realizar a medida indireta da velocidade de propagação do som variando a temperatura. Uma análise detalhada deste experimento provê uma ferramenta didática versátil para o ensino de ondas e termodinâmica de forma integrada.

Palavras-chave:
Acústica; espectro sonoro; velocidade do som

Abstract

Acoustics is a highly fruitful field for physics education, as it brings together concepts such as waves, interference, and thermodynamics. In this work, we explore an experimental setup that uses a loudspeaker and a microphone to excite and detect resonances in a tube, with spectral analysis performed by a computer program developed for this purpose, DFTubo. Besides allowing accurate measurements without the need for sophisticated equipment, the experiment can be implemented in both secondary and higher education, in theoretical as well as laboratory classes. We discuss how it can be used to connect wave physics with music and with the properties of musical instruments, providing an excellent alternative for bringing together different areas of knowledge and stimulating the learning process. We then propose an experiment in which tube resonances are used to perform an indirect measurement of the speed of sound as a function of temperature. A detailed analysis of this experiment provides a versatile teaching tool for integrating the teaching of waves and thermodynamics.

Keywords:
Acoustics; sound spectrum; speed of sound

1. Introdução

O som é um fenômeno de grande familiaridade cotidiana, de modo que sua exploração no ensino de Física pode ser muito bem-sucedida. É possível utilizá-lo em discussões sob aspectos bastante diversos, como o estudo de ondas e interferência, séries de Fourier e termodinâmica. Ademais, quando associado a montagens experimentais, tem-se uma excelente ferramenta para a investigação de conceitos de Física experimental, tais como os fatores que podem influenciar uma medida, as ideias de medidas diretas e indiretas, as incertezas e a técnica de regressão linear, conforme discutiremos adiante. Como consequência dessa versatilidade associada à familiaridade dos fenômenos, há uma ampla literatura sobre aplicações de experimentos de acústica em sala de aula [¹, ², ³, ⁴, ⁵, ⁶, ⁷, ⁸, ⁹, ¹⁰, ¹¹, ¹²] com variados graus de sofisticação e acessibilidade.

O intuito deste artigo é apresentar uma proposta de experimento com tubo ressonante de fácil aplicação e portátil. São empregados apenas materiais do cotidiano e um computador, visando tanto a utilização em demonstrações de aulas teóricas (seja no ensino básico ou em cursos universitários, e nas modalidades presencial ou à distância) quanto em cursos de Física experimental. O experimento emprega a análise de frequências em um tubo ressonante via a decomposição espectral do som, realizada com um programa computacional de uso intuitivo e elaborado especificamente para o experimento.

Investigaremos algumas possibilidades de uso em sala aproximando a discussão de ondas sonoras da música e das propriedades de instrumentos musicais, temas que despertam o interesse de um grande número de estudantes. Nesse sentido, vamos nos basear na aplicação realizada em um curso de Física básica na Universidade Federal Fluminense (UFF). Ressaltamos, contudo, que o objetivo deste trabalho não é apresentar uma avaliação empírica sistemática de aprendizagem, baseada, por exemplo, em instrumentos quantitativos de avaliação educacional. O foco está na descrição de uma proposta experimental acessível e na discussão de possibilidades didáticas de sua utilização em sala de aula. Em seguida, ilustraremos como a montagem experimental pode ser adaptada para a medição da velocidade de propagação do som como função da temperatura, em linha com a Ref. [³]. Mostraremos como o experimento pode fornecer resultados surpreendentemente precisos e como pode ser utilizado para a medição da razão entre a constante adiabática $\gamma$ e a massa molar $M$ do ar. Trata-se assim de uma proposta bastante oportuna para um curso de Física Experimental, uma vez que combina dois tópicos comumente discutidos de forma dissociada–ondas e termodinâmica–sem a necessidade de aquisição de equipamentos custosos.

2. O Experimento

O princípio básico do experimento segue a ideia tradicional de um tubo ressonante em cujo interior se estabelece uma onda estacionária. Para tanto, é preciso produzir uma onda sonora nas proximidades do tubo com algum dispositivo alto-falante, para então captar o som emitido com um microfone. O objetivo é tratar o sinal captado e obter as frequências que compõem o som por meio da transformada de Fourier discreta [¹³], realizada numericamente com um algoritmo de transformada de Fourier rápida [¹⁴]. Todo o tratamento será realizado com um programa de computador criado especialmente para o experimento (e descrito a seguir), ainda que as possibilidades de uso sejam bem mais amplas que as discutidas aqui. Para a montagem experimental, serão necessários apenas o tubo, um alto-falante, um microfone e um computador. O alto-falante é colocado próximo a uma das extremidades do tubo e um microfone próximo à outra. Dessa forma, as ondas sonoras emitidas pelo alto-falante para o interior do tubo serão captadas pelo microfone, ambos conectados ao computador, como ilustra a Fig. 1.

Figura 1
Disposição dos equipamentos no experimento.

Com a finalidade de atingir a maior acessibilidade possível, foram realizados testes para verificar que tipo de equipamento seria capaz de fornecer bons resultados. Surpreendentemente, o experimento é muito bem-sucedido mesmo em configurações extremamente simples. Por exemplo, ótimos resultados são obtidos utilizando-se um fone de ouvido comum tanto na função de alto-falante como na de microfone. Se o tamanho do fio permitir, até mesmo um fone que contenha microfone (como os utilizados em telefones portáteis) pode ser utilizado simultaneamente como emissor e detector de som. Alternativamente, alto-falantes embutidos de computadores portáteis também fornecem resultados satisfatórios. No que tange ao tubo, é possível obter excelentes resultados com tubos de PVC ou de papelão (como os do interior de rolos de papel alumínio), porém, notavelmente, é possível utilizar tubos feitos simplesmente de folhas de papel sulfite enrolado. Além da enorme facilidade, essa opção traz uma vantagem interessante: é muito simples alterar parâmetros tais como o comprimento (por exemplo, deslizando-se duas folhas enroladas com diâmetros próximos uma por dentro da outra) ou o diâmetro do tubo (enrolando-se o mesmo papel com diâmetros diferentes).

O programa DFTubo (acrônimo para Decomposição de Frequências em um Tubo) foi desenvolvido especificamente para o experimento e está disponível para download[¹⁵], tanto no formato de código aberto em Python quanto em um arquivo executável pronto para ser rodado em ambiente Windows. Seu uso requer um computador com entrada e saída de áudio reconhecidas pelo sistema operacional, além de um microfone e um alto-falante, que podem ser dispositivos simples, conforme discutido acima. Para recorrer ao código-fonte, são necessários Python 3.8 ou superior, os pacotes numpy, scipy, matplotlib, PyQt5 e sounddevice. Em sistemas Unix, o pacote sounddevice depende da biblioteca PortAudio, que deve estar instalada no sistema. É importante ainda observar uma limitação prática: a resposta em frequência de microfones e alto-falantes comuns não é plana, de modo que as intensidades relativas dos picos não devem ser interpretadas quantitativamente sem calibração.

O DFTubo possui um duplo objetivo: emitir um som específico, com algumas propriedades controladas, e tratar o sinal detectado pelo microfone, gerando os resultados a serem analisados. Ao executar o programa DFTubo.exe, uma janela se abrirá com um espaço para o gráfico de intensidade da onda sonora detectada como função da frequência ($I\times \nu$) no lado esquerdo e uma série de configurações no lado direito, conforme mostrado na Fig. 2.

Figura 2
Janela do programa DFTubo.

No quadro ‘Faixa de frequência’, pode-se determinar a faixa de frequências com a qual o programa trabalhará, tanto na emissão quanto na detecção de sinais sonoros. O gráfico de intensidade também será limitado a essa faixa.

Para a emissão de sinal sonoro, são oferecidas três opções. Na opção ‘Ruído branco’, conforme o nome indica, o sinal produzido pelo alto-falante contém uma superposição aleatória de frequências dentro de uma faixa padrão de funcionamento. Essa é uma opção interessante para demonstrações, uma vez que, embora um número enorme de frequências esteja presente no sinal, apenas as ressonantes serão amplificadas no interior do tubo e portanto exibirão picos no gráfico de intensidade. No quadro ‘Varredura’, em lugar de uma superposição, é possível emitir sons que varrem a faixa de frequência selecionada com diferentes frequências encadeadas umas após as outras. Essa opção tem um viés mais didático, uma vez que os estudantes conseguem escutar com clareza a existência de várias frequências no sinal. Isso pode ser feito de forma aproximadamente contínua (opção ‘Continuamente’) ou discreta (opção ‘Passo a passo’), sendo possível determinar o incremento de frequência em Hertz bem como a duração de cada tom emitido. Finalmente, o recurso ‘Gravar’ oferece a terceira opção, em que o microfone captará o áudio ambiente pelo tempo escolhido na caixa ‘Duração’. Trata-se da opção utilizada na análise de sons produzidos por instrumentos musicais ou outros sons externos.

Observamos que, caso o DFTubo não esteja disponível, a proposta pode ser adaptada com programas livres de análise de áudio, como por exemplo o Audacity e o Sonic Visualiser [¹⁶, ¹⁷], ou, para uma aplicação ainda mais flexível, com aplicativos de dispositivos móveis, como o phyphox [¹⁸]. Tais ferramentas permitem visualizar espectros e espectrogramas de sinais sonoros, embora não reproduzam necessariamente, em uma única interface, a integração entre emissão controlada, aquisição do som e marcação automática de picos implementada no DFTubo. Assim, sua utilização pode exigir uma etapa adicional, como a geração externa do sinal sonoro ou a identificação manual das frequências de ressonância.

Cobertas as funcionalidades básicas do programa, podemos discutir um pouco da Física envolvida e como explorá-la com a montagem. Conforme tipicamente discutido em cursos de Física básica [¹⁹, ²⁰], ondas sonoras emitidas para o interior do tubo sofrem reflexões nas bordas, o que acarreta em um fenômeno de interferência. Para certos comprimentos de onda, que dependem do tamanho do tubo utilizado, as ondas incidentes e refletidas interferem formando ondas estacionárias cujas amplitudes máximas correspondem à interferência construtiva de todas essas ondas, e por isso a intensidade resultante é amplificada e o fenômeno é entendido como uma ressonância sonora.

As frequências para as quais essa ressonância ocorre são denominadas de harmônicos do tubo. Na Fig. 3, ilustramos a chamada ‘onda de deslocamento’, em que a amplitude representa o deslocamento máximo das moléculas de ar em cada posição do tubo, para os três primeiros harmônicos de um tubo aberto nas duas extremidades. O $n$-ésimo harmônico de um tubo aberto possui frequência ${\nu }_n$ dada por

(1) $${\nu }_n=\frac{n{v}_{\text{som}}}{2\ell },$$

onde $\ell$ é o comprimento do tubo e $v_{\text{som}}$ é a velocidade do som no ar.

Figura 3
Exemplo de ondas ressonantes em um tubo aberto nas duas extremidades. A figura ilustra a chamada ‘onda de deslocamento’, para a qual existe um máximo de amplitude nas bordas.

Utilizando-se o DFTubo para emitir uma série de frequências dentro de uma faixa escolhida, eventualmente as frequências de alguns harmônicos do tubo utilizado serão atingidas. O gráfico de intensidade produzido exibirá portanto picos em determinadas frequências correspondendo aos harmônicos, como ilustrado na Fig. 4, que contém ainda marcações coloridas em forma de $\times$ sobre os picos de intensidade detectados automaticamente.

Figura 4
Exemplo de um gráfico gerado pelo DFTubo em experimento como o ilustrado na Fig. 1, com alguns picos localizados automaticamente marcados.

Ao passarmos o cursor do mouse sobre o gráfico, a janela do programa mostra os valores das coordenadas $x$ e $y$ correspondentes, de modo que é fácil obter a informação da frequência associada a cada pico. A partir dessas frequências, podemos utilizar o modelo de tubos abertos (1) para obter a velocidade do som ou, alternativamente, uma medida indireta do comprimento do tubo. Isso é feito de forma sistemática com um ajuste linear dos dados de frequência como função da ordem do harmônico. O ajuste pode ser realizado conforme predileção do usuário, contudo, para facilitar ao máximo a aplicação em sala de aula, um aplicativo simplificado foi desenvolvido na plataforma Geogebra online para uso com o experimento [²¹], ilustrado na Fig. 5.

Figura 5
Inserindo os dados das frequências na coluna B.

Os dados das frequências dos harmônicos são inseridos na coluna B indicada e automaticamente são exibidos um gráfico dos dados bem como a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos (obtida por regressão linear). É interessante observar que, embora o primeiro valor no eixo $x$ seja $n=1$, dependendo da faixa de frequências utilizada, o primeiro harmônico observado pode não corresponder ao primeiro harmônico do tubo. Isso no entanto não terá efeitos práticos, uma vez que estamos interessados no coeficiente angular da reta. Entrar ou não nessa discussão dependerá do nível do curso e pode ser interessante em cursos universitários.

Podemos então interpretar o termo $\frac{v}{2\ell }$ de (1) como o coeficiente angular da reta ${\nu }_n\times n$, igualando-o ao coeficiente angular $a$ obtido no ajuste. Desse modo, a velocidade de propagação do som é dada por

(2) $$v_{\text{som}}=2\ell a,$$

que associada a uma medida direta do comprimento do tubo $\ell$ conduz ao valor experimental para $v_{\text{som}}$.

Alternativamente, pode-se utilizar algum valor tabelado para a velocidade do som (e.g., $v_{\text{som}}=343$ m/s a uma temperatura de 20 ${}_{}{}^{\circ }\text{C}$[²⁰]) para obter uma medida indireta do comprimento do tubo. Cria-se assim uma oportunidade interessante para discutir as ideias de medidas diretas e indiretas e sugerir formas criativas de medição em situações em que uma medida direta pode ser impossibilitada (e.g., na medição da profundidade de buracos no solo). Ademais, essa forma de encarar o experimento pode ser explorada na riquíssima discussão acerca de efeitos de correção de borda no tamanho efetivo do tubo [²², ²³, ²⁴, ²⁵]. Em um tubo aberto, a extremidade da coluna de ar oscilante não coincide exatamente com o plano geométrico da borda, com parte do movimento do ar ocorrendo ligeiramente fora do tubo. Por isso, é usual introduzir um comprimento efetivo ${\ell }_{\text{ef}}=\ell +2\Delta \ell$, para um tubo aberto nas duas extremidades, com uma correção $\Delta \ell$ da ordem do raio do tubo, cujo valor preciso depende da geometria da extremidade e da vizinhança de obstáculos, microfone e alto-falante. Assim, ao utilizar o comprimento geométrico $\ell$ em lugar de ${\ell }_{\text{ef}}$ na condição de ressonância (1), introduz-se um pequeno desvio sistemático na velocidade estimada. Para tubos longos e estreitos, como os utilizados aqui, esse efeito tende a ser pequeno, mas pode ser comparável às incertezas de experimentos mais cuidadosos e constitui uma excelente extensão para investigações em cursos de graduação.

3. Exploração em Curso de Física Básica

O uso de demonstrações experimentais em sala de aula pode ser uma ferramenta efetiva de aprendizagem [²⁶, ²⁷], sobretudo quando combinadas com estratégias ativas [²⁸, ²⁹, ³⁰]. Problemas econômicos e/ou estruturais podem, no entanto, dificultar a aplicação dessas técnicas, em particular em países em desenvolvimento. Ademais, desafios apresentados pela popularização da educação a distância e de ambientes virtuais de aprendizagem podem ser obstáculos mesmo em casos economicamente favoráveis [³¹, ³²]. Nesses cenários, a simplicidade do experimento com o tubo ressonante e a facilidade de uso do programa DFTubo proporcionam uma alternativa bastante acessível para enriquecer discussões de Física ondulatória, mantendo o interesse e o engajamento de estudantes.

E foi justamente no contexto de educação a distância, forçado pela pandemia de COVID-19, que tivemos a oportunidade de aproveitar o experimento em aula. A versatilidade da proposta permitiu o uso tanto no ensino médio, conforme relatado em [³⁴, ³³], quanto no ensino superior, em quatro turmas de Física básica (cuja ementa segue tipicamente o segundo volume de coleções consagradas, como [¹⁹, ²⁰]), no Instituto de Física da UFF ao longo do ano de 2021, experiência que discutimos a seguir. Concentramo-nos em aspectos mais qualitativos, mirando discussões em sala de aula, embora o experimento possa ser aproveitado em atividades quantitativas, conforme discutido na seção seguinte. É interessante observar que o material foi aproveitado tanto em vídeos gravados (disponibilizados a estudantes) como em encontros síncronos, uma vez que o DFTubo produz e exibe gráficos instantaneamente. Apresentamos nas próximas subseções algumas das ideias exploradas, com a intenção não apenas de sugerir o uso, mas também de inspirar professores a desenvolverem seus próprios materiais.

3.1. Observação da ressonância

A primeira atividade sugerida é bastante simples, mas ilustra de forma clara conceitos fundamentais de ondas estacionárias e tubos ressonantes. A proposta é realizar a montagem da Fig. 1 porém inicialmente sem o tubo, e realizar a emissão de um sinal de varredura contínua com o DFTubo. Em seguida, repete-se o procedimento agora com o tubo, sem mudar a posição dos outros componentes.

Se o alto-falante não for muito potente (em nossa montagem, um fone de ouvido foi utilizado), o primeiro gráfico captará basicamente o ruído de fundo local, como retratado na Fig. 6(a). A posterior introdução do tubo levará aos picos nas frequências de ressonância, de acordo com a Fig. 6(b).

Figura 6
Intensidade como função da frequência em experimentos simples com emissão de um sinal de varredura contínua em situações (a) sem um tubo entre o alto-falante e o microfone e (b) com um tubo de papel inserido entre eles, conforme esquematizado nas ilustrações. Além do surgimento dos picos de ressonância, a presença do tubo multiplica a escala de intensidade por um fator acima de 10.

Esse simples experimento já possibilita uma primeira discussão sobre como um som complexo é composto por várias frequências, bem como o que significa fazer sua decomposição espectral. Ademais, a presença dos picos na segunda figura naturalmente já permite a ilustração do fenômeno de ondas estacionárias. No entanto, é um outro aspecto do experimento que consideramos revelador aos estudantes.

Os gráficos mostram como a intensidade captada aumenta por uma ordem de grandeza após a colocação do tubo (a intensidade é exibida em unidades arbitrárias, dado que uma compreensão quantitativa mais precisa não é necessária). De fato, o microfone, que captava essencialmente ruído de fundo sem a presença do tubo, agora detecta o som emitido pelo alto-falante e os picos aparecem com clareza. Essa observação ilustra de forma categórica a natureza das ondas estacionárias como formadas pela interferência construtiva entre ondas refletidas nas bordas do tubo, cujas amplitudes somam-se umas às outras e levam a uma intensidade muito maior. Esse aspecto é por vezes negligenciado em discussões de ondas estacionárias, com estudantes frequentemente assimilando, conforme observado em nossa experiência docente, que ondas estacionárias existem no tubo simplesmente pois são aquelas que ‘cabem’ em seu interior, como se ondas com outras frequências não pudessem penetrar o tubo. É pertinente ressaltar ainda que esse fato explica o emprego da palavra ‘ressonância’ para caracterizar o fenômeno, uma observação interessante para estabelecer pontes, visto que neste momento da disciplina a maior parte dos estudantes já está familiarizada com o fenômeno da ressonância em osciladores forçados.

3.2. Demonstrações com um violão

O uso da música no ensino de Física é uma ferramenta muito produtiva, amplamente explorada na literatura [³⁵, ³⁶, ³⁷, ³⁸, ³⁹, ⁴⁰, ⁴¹, ⁴²]. Além de proporcionar uma aproximação do conteúdo a fenômenos cotidianos muito familiares a estudantes, durante a experiência na UFF aqui relatada pudemos ainda observar um efeito poderoso e não antecipado: estudantes que tocam instrumentos e/ou que gostam particularmente de música conectaram-se de forma surpreendente com a disciplina, algo observado nas quatro turmas. Os encontros síncronos, que ocorriam de forma remota em virtude da pandemia, contavam com baixíssima participação, com a quase totalidade de estudantes presentes mantendo-se em silêncio. O encontro em que o DFTubo foi utilizado para analisar os sons de um violão, contudo, revelou-se bastante diferente. Qualitativamente, uma participação mais ativa foi observada, com o surgimento de várias perguntas sobre os temas propostos bem como sobre curiosidades e tópicos mais avançados. As discussões estenderam-se para além do horário previsto, o que não havia ocorrido até então. Ademais, a conexão produzida gerou um efeito duradouro: o engajamento no restante do curso permaneceu em níveis superiores ao observados antes da aplicação, e ao final do curso o retorno recebido de estudantes foi extremamente positivo. Essas observações têm, naturalmente, caráter qualitativo e devem ser entendidas como um relato de experiência docente, não como uma medida sistemática de ganho de aprendizagem. Ainda assim, elas sugerem que a conexão entre acústica, música e análise espectral pode constituir uma estratégia promissora para favorecer o interesse e a participação dos estudantes. Em situações de aprendizagem à distância, a importância de encontros síncronos foi largamente relatada no pós-pandemia de COVID-19 [⁴³, ⁴⁴, ⁴⁵], e enriquecê-los dessa forma é, portanto, crucial.

Para um bom aproveitamento das atividades, é preciso iniciar com uma breve exposição sobre a correspondência entre notas musicais e frequências de vibração do ar, uma vez que há estudantes não familiarizados com essas ideias. A maioria por exemplo desconhecia que, ao dobrar-se a frequência, obtém-se a mesma nota uma oitava acima. Em seguida, a primeira demonstração explorada foi o uso da função ‘Gravar’ do DFTubo para a análise do som emitido por uma corda de violão. Ressaltamos que, em acordo com as observações de [²⁹, ³⁰], é importante sempre perguntar à turma sobre o que esperam ver antes de efetivamente realizar o experimento, bem como deixar que formulem possíveis explicações antes de elucidar os resultados observados.

A Fig. 7(a) mostra o resultado obtido com um violão quando a quinta corda, correspondendo à nota Lá de 110 Hz (ou A2 na chamada Notação Científica de Altura), é tocada.

Figura 7
Harmônicos observados no som de um violão. (a) Corda Lá de 110 Hz tocada normalmente. (b) Técnica de “harmônico natural” na 12${}^{\text{a}}$ casa da mesma corda, suprimindo o modo fundamental. (c) Mesma corda, agora pinçada em seu ponto médio, com consequente supressão dos modos pares.

Um pico pronunciado destaca-se em torno de 110 Hz, porém outros picos de intensidade decrescente são visíveis, o que já pode surpreender estudantes. É interessante chamar a atenção que os picos parecem surgir em frequências múltiplas de 110 Hz e deixar que a turma pense e elabore hipóteses sobre as razões para isso. Tendo previamente aprendido sobre modos de ondas estacionárias na corda, alguns estudantes poderão fazer uma associação com os modos de vibração, mas tipicamente não saberão explicar a razão da existência simultânea dos vários modos. Trata-se de uma excelente forma de introduzir a ideia de composição de frequências, mostrando que, como a corda não é inicialmente posta para vibrar no formato geométrico exato de vibração do primeiro modo, o resultado é a composição de vários modos. Essa composição leva, naturalmente, ao timbre do instrumento, e explica a diferença de som percebida entre instrumentos distintos que tocam a mesma nota fundamental. Uma observação intrigante, sobretudo para estudantes com interesse especial em música, é que enquanto o segundo modo (de frequência 220 Hz) também corresponde a um Lá (A3, uma oitava acima), o próximo modo, de 330 Hz, não corresponde à nota Lá, mas ao Mi (E3). O gráfico portanto mostra que, ao tocar um Lá no violão, ouve-se também um Mi bem como outras notas com intensidade menor (o quinto modo, de 550 Hz, por exemplo, está próximo do Dó sustenido C#5, e o sétimo, de 770 Hz, do Sol G5). Estudantes demonstraram espanto com essa descoberta, e vários mostraram-se admirados ao aprender que profissionais que afinam piano são capazes de distinguir esses harmônicos com o ouvido e utilizá-los no processo de afinação [⁴⁶].

O segundo teste sugerido é a análise do som produzido pela mesma corda quando tocada utilizando-se a técnica conhecida como harmônico natural, ou simplesmente harmônico no jargão musical. Nessa técnica, o dedo da mão que pressiona o braço do instrumento (a mão esquerda no caso de instrumentistas destros) é apenas apoiado levemente sobre a corda em uma dada posição, sem pressioná-la completamente até o braço. Com a outra mão, o instrumentista então toca a corda, produzindo o som. Após o toque, o dedo que repousava sobre a corda é retirado rapidamente, permitindo que o harmônico ressoe livremente. O efeito dessa técnica é que o dedo apoiado inibe oscilações no ponto em que está, forçando um nó ali. Em nosso teste, o harmônico foi produzido sobre a 12ª casa do braço, que corresponde ao ponto médio da corda. A consequência portanto é que o modo fundamental, bem como todos os modos que possuem um antinó no ponto médio – os modos ímpares – são suprimidos. O modo dominante passa a ser o segundo, o que é facilmente perceptível por quem escuta: o som equivale à mesma nota, uma oitava acima. O resultado mostrado na Fig. 7(b) corrobora essa discussão: o pico de todos os modos ímpares são severamente suprimidos. Nota-se ainda que, no teste mostrado, o sexto harmônico (de 660 Hz) também foi levemente suprimido, embora esteja presente (seria necessário um aumento na figura para vê-lo mais claramente). Entretanto, isso não é um efeito da técnica do harmônico: como discutido na próxima atividade, a intensidade dos picos depende também da forma e do local em que a corda é tocada, e portanto esse tipo de efeito pode eventualmente aparecer.

Finalmente, a Fig. 7(c) complementa a discussão mostrando o resultado obtido com a mesma corda A2 tocada livremente–sem influência da mão que segura o braço do instrumento–quando no entanto é pinçada na posição de seu ponto médio (no caso de um violonista destro, isso equivale a apenas tocar a corda com a mão direita, mas não na posição usual, e, sim, pelo meio da corda). Isso favorece a presença de um antinó no ponto médio, e portanto favorece os modos ímpares. De fato, utilizando-se uma representação em série de Fourier, não é difícil mostrar que, se o formato inicial da corda possui simetria em torno no ponto médio, então os modos pares são nulos [¹³], uma vez que apenas funções pares em relação ao ponto médio entram na série. Essa discussão, no entanto, não é necessária (e poderia, por exemplo, ser desenvolvida em cursos de métodos matemáticos, com ajuda do experimento), bastando em geral enfatizar que há o favorecimento de um antinó no meio da corda. Do ponto de vista prático, ao tocarmos a corda pelo ponto médio, a perturbação induzida deve, em ótima aproximação, possuir essa simetria. E efetivamente é o que ilustra a Fig. 7(c): os modos pares são fortemente suprimidos, enquanto os ímpares restam. Ademais, a diferença de timbre no som é claramente perceptível, com a nota soando menos rica. Desse modo, a atividade tem a capacidade de mostrar de forma sensorial os efeitos da diferença de timbre e da presença de harmônicos em um som. Além disso, o faz sem deixar de trazer à discussão aspectos técnicos sobre ondas estacionárias na corda, dado que uma boa compreensão da supressão dos harmônicos requer, por sua vez, a visualização das formas de onda de cada harmônico na corda.

4. Velocidade do Som × Temperatura

Além de discussões qualitativas, como as da seção anterior, o experimento pode ser utilizado em análises mais quantitativas, típicas de cursos de Física básica experimental. Uma delas é a verificação da dependência da velocidade de propagação do som com a temperatura do ar. Como veremos adiante, excelentes resultados podem ser alcançados mesmo utilizando-se apenas dispositivos de áudio cotidianos.

A propagação de uma onda sonora ocorre em virtude do aumento da densidade local, produzido pelo deslocamento de moléculas do meio perturbado, e ao consequente aumento de pressão que isso induz. A relação entre densidade e pressão em um fluido, por sua vez, é dada pela chamada equação de estado. No caso de gases ideais por exemplo, tem-se a célebre lei dos gases ideais $PV=nRT$, onde $P$ é a pressão, $V$ o volume, $n$ o número de mols, $R$ é a constante dos gases ideais e $T$ é a temperatura. Para um dado $n$ fixo, a quantidade $n/V$ codifica a densidade do gás, porém a relação entre variações de pressão e densidade deve ser considerada com cautela, uma vez que a temperatura não precisa manter-se constante durante os processos de compressão e expansão do gás. Para frequências audíveis, esses processos são, em excelente aproximação, adiabáticos [⁴⁷, ⁴⁸]. Conforme discutido por exemplo na Ref. [¹⁹], na aproximação adiabática a velocidade do som em um gás ideal é dada por

(3) $$v_{\text{som}}=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}},$$

onde $\gamma$ é a razão entre os calores específicos a pressão constante e a volume constante do gás (às vezes denominado coeficiente de expansão adiabática), e $M$ é a massa molar do gás. A (3) fornece assim a dependência de $v_{\text{som}}$ com a temperatura que pode ser testada, e de onde pode-se, por exemplo, obter um valor experimental para a razão $\frac{\gamma R}{M}$.

Para explorar a relação (3) com um experimento de tubo ressonante, semelhante ao descrito na Seç. 2, torna-se necessário, é claro, variar a temperatura de forma controlada. No experimento relatado na Ref. [¹⁰], isso é atingido por meio de uma mudança de ambiente, visto que o ambiente externo apresentava uma grande diferença de temperatura em relação ao interior da sala de aula. Os autores mostraram assim que é possível verificar uma mudança significativa na velocidade de propagação do som dentro e fora da sala. Quantitativamente, os valores experimentais encontrados revelaram também um bom acordo com previsões teóricas [⁴⁹]. Contudo, com esse procedimento não é possível explorar o comportamento de $v_{\text{som}}$ como função de $T$ (e portanto testar a hipótese de compressões adiabáticas em ondas sonoras) e nem obter valores experimentais para as constantes que aparecem em (3). Ademais, em muitas regiões não é possível atingir uma diferença de temperatura significativa entre os ambientes interno e externo à sala da aula.

Com isso em mente, para realizar o controle da temperatura em nosso experimento utilizamos uma montagem com dois tubos concêntricos: um interno, aberto em ambos os lados e em cujas aberturas são posicionados o microfone e o alto-falante, e um externo, que é fechado nas laterais (a menos de aberturas por onde o tubo interno se encaixa) e preenchido com água por uma abertura na parte superior, como ilustrado na Fig. 8.

Figura 8
Ilustração da montagem experimental com um tubo interno de cobre e um externo de PVC que serve como suporte. A homogeneização da temperatura da água na região entre os tubos é utilizada como forma de controlar a temperatura do ar no interior do tubo de cobre.

Em boa aproximação, podemos considerar que a temperatura do ar no tubo interno é a mesma que a da água que preenche o tubo externo.

Os tubos possuem o mesmo comprimento $\ell =\left(1,078\pm 0,001\right)$ m. O interno é feito de cobre, para facilitar a troca de calor entre o ar em seu interior e a água que o rodeia, ao passo que o externo é feito de plástico policloreto de vinila (PVC). Em nossa montagem, o diâmetro interno do tubo de cobre foi $d=\left(0,0135\pm 0,0001\right)$ m enquanto o diâmetro externo do tubo de PVC valia $D=\left(0,0400\pm 0,0001\right)$ m.

Na parte superior do tubo externo, por onde é inserida a água que preenche o espaço entre os tubos, inserimos também o sensor de temperatura a prova d’água DS18B20 controlado por Arduino, cujo código-fonte está disponibilizado em [⁵⁰]. Dessa forma, pudemos constantemente monitorar a temperatura. Ainda que a incerteza informada pelo fabricante do sensor seja de $0,5$ ${}_{}{}^{\circ }\text{C}$, algumas oscilações de leitura foram observadas durante a utilização, de modo que estimamos conservadoramente a incerteza em ${\sigma }_T=1$ ${}_{}{}^{\circ }\text{C}$.

Após o aparato ser preenchido com água gelada (em nosso caso, a uma temperatura de $7\pm 1{}_{}{}^{\circ }\text{C}$), o programa DFTubo é ajustado para emitir e medir frequências entre 1000 e 5200 Hz, o que fornece cerca de 25 picos de ressonância. Realizando-se o ajuste linear dos dados via a (equação 1), obtém-se da (equação 2) uma medida da velocidade de propagação do som para esta temperatura. Após cada medida realizada, a temperatura da água é então aumentada em cerca de $2{}_{}{}^{\circ }\text{C}$, acrescentando-se lentamente água morna e homogeneizando-se a mistura. O procedimento foi repetido até atingir uma temperatura máxima de aproximadamente $54{}_{}{}^{\circ }\text{C}$.

4.1. Resultados

Um exemplo contendo os picos de ressonância observados na medida a 24 ${}_{}{}^{\circ }\text{C}$ é mostrado na Fig. 9. O inset exibe ainda uma ampliação da região em torno de 4440 Hz, evidenciando uma incerteza de aproximadamente 10 Hz (0,2%) na posição do pico. Isso já sugere que o experimento pode atingir uma excelente precisão.

Figura 9
Picos de ressonância do tubo de cobre à temperatura de 24 ${}_{}{}^{\circ }\text{C}$. O inset mostra o zoom do pico em torno de 4440 Hz para evidenciar como foi obtida a precisão de $\pm$10 Hz da medida da frequência do pico.

Extraídas as frequências dos picos, construímos, para cada temperatura, um gráfico de frequência como função do número do harmônico. A Fig. 10 mostra o resultado combinado de apenas algumas das temperaturas medidas, para facilitar a visualização. Como adiantado, um ajuste linear de cada conjunto via a (equação 1) resulta na velocidade do som para cada temperatura. Notamos que, apesar de não ser necessário definir precisamente qual harmônico está associado ao primeiro pico observado (uma vez que estamos apenas interessados no coeficiente angular), um ajuste dos $n$ corretos foi realizado na Fig. 10 apenas para fins de comparação.

Figura 10
Ajuste linear da frequência do pico em função do n-ésimo harmônico. Apenas alguns valores de temperatura foram selecionados, para facilitar a visualização. Apesar de não ser necessário definir precisamente a ordem do primeiro harmônico medido (uma vez que apenas o coeficiente angular será utilizado), os valores de $n$ para cada frequência foram corretamente determinados aqui, para fins de comparação.

Os resultados de $v_{\text{som}}$ para cada $T$ estão agrupados, em escala logarítmica, na Fig. 11. Ela permite a verificação experimental da dependência funcional da velocidade do som com a temperatura, a ser comparada com a previsão (3). É interessante aqui comentar que o experimento não deve ser apresentado simplesmente como uma “confirmação da teoria”, uma prática pouco efetiva porém frequentemente vista em cursos experimentais de Física fundamental [⁵¹]. É importante chamar atenção ao fato de que (3) representa um modelo que incorpora uma série de hipóteses–o ar como um gás ideal, bem como o caráter adiabático das compressões em ondas sonoras–cuja validade está, justamente, sendo avaliada. Adotando-se assim esse modelo, a (3) prevê que $v_{\text{som}}$ cresce com $\sqrt{T}$, e portanto que um gráfico de $\ln v_{\text{som}}\times \ln T$ deve fornecer uma reta de coeficiente angular 0,5. O valor obtido com o ajuste linear da Fig. 11 foi de 0,504 $\pm$ 0,009, indicando que as hipóteses levantadas são, em excelente precisão, compatíveis com o experimento.

Figura 11
Gráfico logarítmico da velocidade do som (com valores em m/s) contra a temperatura (medida em K). A dependência linear evidencia o comportamento em lei de potência, e o coeficiente angular valida a (equação 3). O coeficiente linear leva a uma medida experimental da razão $\frac{\gamma R}{M}$ dentro do modelo de gás ideal.

Validado o modelo, um valor quantitativo para a combinação de constantes que aparece em (3) pode ser extraído do coeficiente linear do mesmo ajuste já feito na Fig. 11. De fato, vê-se de (3) que o coeficiente linear deve equivaler a $\frac{1}{\text{2}}\ln \left(\gamma R/M\right)$. Desprezando-se efeitos de umidade, o modelo de ar como um gás ideal diatômico fornece $\gamma =1,4$, enquanto a constante dos gases ideais vale $R=8,3145$ J/(K$\cdot$mol).

Utilizando-se ainda o valor da massa molar do ar seco, $M=28,95$g/mol [³], a estimativa teórica para o coeficiente linear é $\frac{1}{\text{2}}\ln \left(\gamma R/M\right)=2,998$. Um ajuste dos dados da Fig. 11 fornece o valor experimental $b=2,976\pm 0,053$, compatível, em excelente precisão, com o esperado do modelo de gás ideal. Alternativamente, o professor pode optar por adotar um valor conhecido de $M$ e interpretar o experimento como uma medida de $\gamma$, uma constante de importância fundamental na termodinâmica. O contrário, naturalmente, também vale: adotando-se um $\gamma$, tem-se uma medida da massa molar do ar.

Dessa abordagem, aliás, emergem questões mais profundas sobre a propagação do som no ar em situações realistas. Destacamos sobretudo o efeito da umidade do ar. No ar úmido a massa molar efetiva da mistura é menor que a do ar seco, logo a densidade tende a ser menor. Utilizando-se a equação dos gases ideais em (4.1), vemos que a velocidade do som é inversamente proporcional à raiz quadrada da densidade, de modo que tenderia a ser maior no ar úmido. Entretanto, a razão de calores específicos da mistura também difere do valor $\gamma =\mathrm{1,4}$ adotado para um gás diatômico ideal. A molécula de água é triatômica e não colinear, possuindo mais graus de liberdade que moléculas diatômicas. Isso acarreta um maior calor específico a volume constante $C_V$ e, por conseguinte, um $\gamma =1+R/C_V$ menor. Interessantemente, esse efeito tenderia então a diminuir a velocidade do som. A situação no entanto é mais complexa pois moléculas de água são fortemente interagentes, o que traz correções de gás real mais relevantes (as quais podem ainda depender da frequência). Experimentalmente verifica-se que a combinação desses efeitos produz um comportamento não-trivial, em que a velocidade do som pode inicialmente diminuir com o aumento da umidade, mas passar a aumentar a partir de certos valores [⁵²]. A literatura no tema é rica e atual, e sugerimos a referência [⁵³] para uma discussão acessível desses aspectos. No que tange aos objetivos didáticos aqui propostos, a aproximação de ar seco é suficiente para testar a dependência dominante $v_{\text{som}}\propto \sqrt{T}$. Contudo, as medidas quantitativas de velocidade do som devem ser entendidas como válidas para a situação do experimento, e a inclusão de um higrômetro e a comparação entre ar seco e úmido constituem uma possível extensão para atividades mais avançadas.

Um último ponto interessante a ser destacado é como esse experimento fornece uma bela oportunidade para o professor discutir o fato extraordinário de que é possível obter informação sobre quantidades microscópicas (como $\gamma$ e $M$) através de medidas macroscópicas. E, ademais, de que, mesmo com alto-falante, microfone e outros materiais bastante acessíveis, é possível obter resultados que exibem erros relativos menores que 2% e com uma acurácia surpreendente em relação a valores previstos por modelos termodinâmicos simplificados. Ainda de um ponto de vista pedagógico, a exploração da conexão entre termodinâmica e ondas traz uma excelente maneira de demonstrar aos estudantes como as diversas áreas da Física não devem ser vistas de forma dissociada, ao contrário do que a estruturação do ciclo básico em disciplinas separadas às vezes pode fazer parecer.

5. Considerações Finais

Apresentamos uma proposta experimental versátil e acessível para o estudo de ondas sonoras em tubos ressonantes, utilizando materiais de baixo custo e um programa computacional desenvolvido especificamente para essa finalidade, o DFTubo. A capacidade de explorar conceitos físicos fundamentais, desde a identificação de harmônicos até a relação entre velocidade do som e temperatura, combinada à simplicidade da montagem torna esta proposta adequada para diferentes níveis de ensino, do básico ao superior, tanto na modalidade remota quanto na presencial.

A utilização de um violão como elemento de conexão com o cotidiano dos estudantes mostrou-se, em nosso relato de experiência, particularmente promissora para despertar interesse e facilitar a compreensão de fenômenos como a composição espectral e o timbre do som. Cabe reforçar que as observações de nossa aplicação em um curso universitário de Física básica limitam-se a indicadores qualitativos do potencial da proposta, e não constituem medida quantitativa de ganho de aprendizagem. Embora um estudo sistemático não tenha sido realizado neste trabalho, a quantificação desse potencial demandaria uma investigação por meio de instrumentos avaliativos como, por exemplo, diagnósticos aplicados antes e depois da atividade ou grupos de comparação.

Ademais, a obtenção de medições precisas da velocidade do som em função da temperatura permite validar experimentalmente o modelo termodinâmico de propagação adiabática em gases ideais, com erros relativos inferiores a 2%.

Do ponto de vista pedagógico, o experimento se destaca por integrar tópicos tradicionalmente tratados de forma dissociada, como Física ondulatória e termodinâmica, promovendo uma visão mais unificada da Física. A facilidade de replicação, a portabilidade e o baixo custo da montagem ampliam seu alcance, especialmente em contextos com limitações de infraestrutura ou recursos.

Por fim, ressaltamos que a proposta apresentada não se esgota nas aplicações aqui discutidas. O DFTubo e a montagem com o tubo ressonante podem ser adaptados para explorar outros fenômenos, como o estudo de tubos fechados, correções de borda, ou a análise de sons ambientais e instrumentais diversos. Esperamos, assim, que este trabalho inspire professores a incorporarem experimentos sonoros em suas práticas, enriquecendo o ensino por meio de investigações acessíveis e engajadoras.

Agradecimentos

Agradecemos aos então estudantes Lucas Weitzel Dutra Souto e João Pedro da Cruz Bravo Ferreira pelo trabalho realizado na elaboração da primeira versão do programa computacional que resultou no programa DFTubo aqui apresentado.

Este trabalho foi realizado com o apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (FAPERJ) – projeto E-26/210.019/2021.

Disponibilidade de Dados

Todo o conjunto de dados que sustenta os resultados deste estudo está publicado no artigo.

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Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  20 Jul 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  13 Fev 2026
• Revisado
  11 Maio 2026
• Aceito
  12 Jun 2026