Centenário do modelo de Ising: o homem e o modelo

Centenary of the Ising model: the man and the model

Resumo

Discutimos os principais aspectos que nortearam a formulação do modelo de Ising e sua percepção pela comunidade científica nos anos imediatamente seguintes à publicação do artigo que resumia os resultados obtidos por Ernst Ising em sua tese de doutorado, feita sob a supervisão de Wilhelm Lenz e defendida na Universidade de Hamburgo em 1924. Além dessa revisão, apresentamos uma pequena biografia de Ising, enfatizando sua experiência durante a II Guerra Mundial, a emigração da Europa para os EUA e sua carreira como professor universitário no seu novo país.

Palavras-chave:
Ising; Lenz; ferromagnetismo; Mecânica Quântica.

Abstract

We discuss the main aspects that guided the formulation of the Ising model and its reception by the scientific community in the years immediately following the publication of the article summarizing the results obtained by Ernst Ising in his doctoral dissertation, completed under the supervision of Wilhelm Lenz and defended at the University of Hamburg in 1924. In addition to this review, we present a brief biographical account of Ising’s life, emphasizing his experiences during World War II, his immigration to the United States, and his subsequent career as a university professor in his new country.

Keywords:
Ising; Lenz; ferromagnetism; Quantum Mechanics.

1. Introdução

Existem na evolução da ciência diversas histórias sobre indivíduos que contribuíram com o engrandecimento do conhecimento humano através de saltos geniais e quebras de paradigmas. No entanto, existem também alguns personagens que, tal como certos artistas, só passam a ser valorizados muito tempo após o período de elaboração de suas obras. Muitas vezes isso ocorre porque a visão de mundo no momento de seu trabalho não é adequada para perceber sua real contribuição. Esse é o caso do personagem desta narrativa.

Quando Ernst Ising terminou o trabalho proposto por seu orientador de doutorado, Wilhelm Lenz¹, ele estava frustrado pelo aparente insucesso de seu modelo em reproduzir os resultados experimentais do fenômeno do ferromagnetismo para o qual o modelo havia sido originalmente proposto. O que ele não poderia prever à época era como sua vida e a de seu modelo evoluiriam por caminhos tortuosos que os levariam a realidades totalmente distintas daquela em que haviam iniciado. A odisseia de ambos é digna dos caminhos percorridos na evolução da ciência. O avanço do pensamento científico e das trajetórias humanas frequentemente produz histórias grandiosas, marcadas por dramas e reviravoltas inesperadas.

Nessa breve recapitulação da história de Ising e seu modelo, destacaremos os dramas e reviravoltas que foram responsáveis pelo destino do homem e de seu trabalho, que viria a se transformar em um dos modelos científicos mais prolíficos e utilizados não apenas para o problema que foi originalmente proposto, mas também para temas que ultrapassam as fronteiras da própria Física.

Nosso principal objetivo com esse texto é trazer para o público de língua portuguesa, sobretudo estudantes e curiosos da ciência em geral, um pouco da história do trabalho de Ernst Ising e seu modelo, em atenção à efeméride que marcou o centenário da publicação de seu trabalho na forma de artigo. Não temos nenhuma ambição de imaginar que essa contribuição está dentro do cabedal mais formal da análise histórica e de suas ferramentas, mas acreditamos que pode ser uma forma apropriada de apresentar um tema que não foi tão explorado como outras histórias do desenvolvimento da Física no século XX. Para aqueles que desejarem textos mais formais e mais detalhados a respeito do que cerca o desenvolvimento do modelo de Ising e suas implicações, várias publicações em inglês estão disponíveis, entre as quais podemos destacar [¹, ²]. Chamamos a atenção do leitor também para um artigo recente em que as origens conceituais do modelo são discutidas em um nível de maior detalhe do que o escolhido por nós [³].

Em nossa narrativa, procuramos enfatizar a conexão entre dois aspectos dessa história: as transformações de uma época muito sombria da história humana e os anos de intensa fermentação científica que acompanharam a maturação de nossos personagens – o homem Ernst Ising e seu hoje famoso modelo. Assim, escolhemos apresentar separadamente essas duas histórias. Primeiro, a trajetória humana de Ernst Ising; depois, os eventos que conduziram à formulação e ao desenvolvimento de seu trabalho. Ao longo da exposição, destacaremos também o impacto científico do modelo e o processo que o transformou em um tema ainda relevante em diversos campos do saber.

2. O Homem

Ernst Ising nasceu no dia 10 de maio de 1900, na cidade alemã de Colônia, como o filho primogênito do casal Thekla Löwe e Gustav Ising (Figura 1). Sua mãe provinha de uma abastada família judia de Duisburg, enquanto seu pai era filho de um ferreiro de uma pequena cidade chamada Rietberg, na Vestfália. Já em 1904, quando nasceu sua irmã Lotte, Ising e sua família habitavam a cidade de Bochum, onde o pai Gustav era sócio numa loja de roupas femininas. Sua casa ficava no número 18 da rua Goethe, poeta por quem Ising nutria grande admiração a ponto de decorar alguns de seus textos e ter sempre consigo um livro do mesmo, para quando não conseguisse lembrar das palavras [¹]. Mais tarde, ele o homenagearia no único outro artigo que publicou, além daquele sobre o modelo que leva seu nome.

Figura 1
Na foto da esquerda, Thekla e Ernst, e na direita, Gustav Ising.²

A arte parece ter sido uma companheira na juventude de Ernst, uma vez que seus pais costumavam receber em casa uma extensa lista de nomes da cena artística alemã do início do século XX. Além disso, o próprio Ernst possuía no sótão de casa uma réplica de um palco teatral, onde costumava contracenar com amigos.

Após o término do período colegial em 1918, vivendo numa Alemanha ainda envolvida na I Guerra Mundial, foi obrigado a cumprir um período de treinamento militar. Felizmente, a guerra encerrou-se antes da conclusão desse período de treinamento, evitando assim que ele tomasse parte nos combates.

No ano seguinte, Ernst Ising iniciou seus estudos em Física e Matemática na Universidade de Göttingen, instituição que atraía estudantes de toda a Europa por contar em seus quadros com expoentes como Hilbert, Klein, Schwarzschild e Debye, entre outros. No ano seguinte, mudou-se para Bonn, onde estudou Matemática e também Astronomia. Em abril de 1921, Ising se transferiu para a recentemente fundada universidade de Hamburgo (1919). Lá, graças à influência de seu futuro orientador de doutorado, Wilhelm Lenz, começou a estudar Física Teórica. No final do ano seguinte, iniciou sua tese sob a supervisão de Lenz. Este, por sua vez, havia chegado também em 1921 a Hamburgo, após ter se formado sob a orientação de Arnold Sommerfeld, em Munique, e de ter trabalhado como professor na Universidade de Rostock. Em 1920, ele havia publicado um artigo sobre sais paramagnéticos [⁴] onde usava um argumento sobre a liberdade de rotação do momento de dipolo magnético distinta daquela utilizada no modelo de Weiss.

Em 1924, dois anos após iniciar o trabalho com Lenz, Ising submeteu sua tese à Faculdade de Ciências Naturais e Matemática da Universidade de Hamburgo, recebendo seu grau de doutor em Física. Em 1925, após deixar a universidade, ele iniciou um trabalho no escritório de patentes da Allgemeine Elektrizitätsgesellchaft (AEG – Companhia Elétrica), em Berlim. Embora esse trabalho lhe propiciasse estabilidade financeira, ele não se sentia completamente realizado com o novo cotidiano e voltou-se para o desejo de ensinar. No ano seguinte, deixa o trabalho na Companhia Elétrica e ingressa em novos cursos para formação em pedagogia e filosofia, na Universidade de Berlim. Ainda nesse mesmo ano, após se juntar a um grupo de estudantes nomeado “Organização Estudantil Pacifista”, ele vem a conhecer Johanna Ehmer (Figura 2). Ela, que iniciara na Universidade de Berlim estudos em Física e Matemática, depois de três semestres transferiu-se para o curso de Economia. Após conseguir um diploma como professora de Comércio, pelo Colégio de Comércio, em 1924, Johanna iniciou um doutorado na mesma Universidade de Berlim sob a supervisão da professora Charlotte Leubuscher, a primeira mulher a conseguir um diploma em ciências humanas nesta universidade. Em 1926, Johanna finalizou sua tese, garantindo o grau de doutora em Economia. Quatro anos após se conhecerem, Ernst e Johanna se casariam. Nesse mesmo ano de 1930, ele seria aprovado nos exames para professor de ensino público e admitido como Studienassessor (alta posição no serviço público, mas ainda em período probatório) em uma escola de Strausberg, uma pequena cidade localizada a $30km$ de Berlim.

Figura 2
Ernst e Johanna.

No entanto, o idílio pessoal e profissional da família Ising seria profundamente alterado nos anos seguintes. Em 1933, Adolf Hitler é catapultado à posição de chanceler do Reich e em 07 de abril deste ano, o governo nazista promulga a chamada “Lei de Restauração da Função Pública Profissional” (Gesetz zur Wiederherstellung des Berufsbeamtentums), excluindo judeus e inimigos políticos do regime de qualquer cargo público. Ernst passou o restante do ano à procura de uma nova posição, chegando até mesmo a ocupar uma vaga temporária de professor numa escola para crianças emigrantes em Paris [⁵]. No ano seguinte, Ising é admitido num internato para crianças judias em Caputh, nas cercanias de Potsdam, leste da Alemanha. O internato ocupava, entre outros edifícios, a antiga casa de veraneio de Albert Einstein, que já havia emigrado para os EUA. Por conta do endurecimento das leis raciais na Alemanha nazista, o local passou a receber um número crescente de crianças. Ising se tornou diretor do internato três anos após sua admissão. Entretanto, no ano seguinte (em 10 de novembro de 1938), um novo golpe atinge sua vida, quando o internato é fechado, vítima da onda de violência antissemita que varreu toda a Alemanha e ficou conhecida como “A noite dos cristais” (Kristallnacht). As crianças tiveram que ser retiradas das instalações e conduzidas por ele e demais professores através da floresta, para retornarem a seus lares ou a algum local seguro. Nas memórias de um sobrevivente da época, essa fuga foi como uma reprodução realista da trama apresentada no filme “A noviça Rebelde” (The Sound of Music)[⁵], ficção baseada na história real da família von Trapp, que fugiu da Áustria quando ela foi incorporada ao Reich alemão.

Em 27 de janeiro de 1939, Ising foi apreendido em Berlim e passou quatro horas em poder da Gestapo, depois das quais foi liberado sob a condição de que ele e a esposa deveriam deixar a Alemanha. Assim, ele e Hannah partiram para Luxemburgo, onde passaram a residir na cidade de Mersch. Sua entrada no país ocorreu graças à ajuda de seu cunhado, Hermann Busch, e de Dannie Heineman, um empresário americano radicado na Bélgica que convenceu o governo de Luxemburgo a abrir suas fronteiras para 100 famílias judias, financiando sua estadia com o pagamento de aluguéis de quartos em hotéis vazios e com uma mesada. Aquele ano, entretanto, terminaria com uma alegria para a família Ising pois, em 09 de setembro, nasceu seu filho Thomas (Figura 3). A princípio, eles imaginavam conseguir um visto para se mudar para os Estados Unidos. No entanto, as cotas de imigração estavam completas e eles tiveram de permanecer em Luxemburgo.

Figura 3
Ernst, Hannah e Tom.

Era 10 de maio de 1940, dia do aniversário de 40 anos de Ernst, quando as tropas nazistas tomaram Luxemburgo e a família teve de sair do hotel onde morava. Apesar de mais um contratempo, o período sob o domínio nazista, embora certamente tenso, ocorreu sem muitas ameaças. Ernst Ising estava enquadrado dentro da categoria de judeus que tinham dois tipos de “salvo-condutos”: casado com uma mulher não judia e pai de um filho “ariano”. Assim, passou a maior parte dos cinco anos finais da guerra, em empregos manuais em fazendas da região, mas por um período curto, também se ocupou do ensino de crianças judias que haviam sido expulsas de escolas da capital e em serviços comunitários ajudando pessoas idosas e doentes, que ainda não haviam sido encaminhadas ao monastério de Cinqfontaines, o qual passou a operar como um centro de deportação de judeus para os campos de concentração. Próximo ao fim da guerra, Ising, juntamente com outros 35 homens judeus casados com mulheres não-judias, foi convocado para desmontar trilhos da linha Maginot.

Finalmente, o pesadelo começou a terminar quando, em 10 de setembro de 1944, os aliados chegaram a Mersch. Um ano depois, a II Guerra Mundial estaria oficialmente encerrada. Ising e seus pais, que haviam se refugiado em Basel, Suíça, puderam voltar a se reunir em 1946. Finalmente, no ano seguinte, a família conseguiu concluir o processo para imigrar para os Estados Unidos. Em abril, eles embarcaram de Roterdã, viajando no navio cargueiro “Lipscomb Lykes” com destino a Nova Iorque, onde já se encontravam sua irmã, Lotte, e o marido, Hermann.

Ainda nesse mesmo ano, Ising participou de uma convenção de Física em Boston, quando foi interpelado se ele era o mesmo “Ising” do modelo de Ising. Certamente foi uma surpresa perceber que seu trabalho era conhecido, mesmo depois dos anos de terror pelos quais passou, quando sua única preocupação era a sobrevivência da família e dele próprio. Ainda em 1947, começou a trabalhar como professor no State Teacher’s College, em Minot, Dakota do Norte. No ano seguinte, foi convidado a assumir uma posição permanente na Universidade Bradley, em Peoria, Illinois, onde permaneceu até se aposentar, em 1976. Em 1953, a família recebeu a cidadania americana, quando Ernst passou a ser chamado “Ernest”, enquanto Johanna, se tornou “Jane”.

Ising tinha uma grande paixão pelas atividades didáticas. Recebeu um doutorado honorário da sua universidade e, em 1971, o título de “Educador notável do ano”. Suas aulas eram muito apreciadas pelos estudantes. Ele não acompanhava os artigos de pesquisa em Física e apenas em 1944, ano da publicação do famoso trabalho de Onsager [⁶], descobriu que seu artigo havia sido estudado e citado por muitos. Além do ensino, tinha também uma grande paixão pela poesia. Seu segundo artigo publicado [⁷] versa sobre a “Doutrina das Cores” (“Zur Farbenlehre”) [⁸], obra na qual o poeta J. W. von Goethe se contrapõe à abordagem estritamente físico-matemática da ótica, que tem Newton como um dos seus pioneiros. No artigo, Ising sugere que, embora Goethe não tenha obtido sucesso em desafiar Newton com sua abordagem alternativa, ele foi, de certa maneira, um pioneiro da ótica fisiológica. Goethe também manifestou interesse por outras áreas da ciência, como botânica e mineralogia. Há muitos anos, conversando numa roda de amigos sobre essa obra de Goethe, um dos autores (JFS) veio a saber de uma professora do curso de teatro da UFSC, Marcia Pompeo Nogueira, que ela era muito utilizada nas disciplinas relacionadas com a técnica de iluminação de palco, por exemplo.

Abrindo um parêntese na narrativa biográfica de Ising, não deixa de ser interessante que Heisenberg compartilhou o interesse por essa obra de Goethe com Ising [⁹], publicando um ensaio sobre o tema [¹⁰]. A discussão feita por Heisenberg, em seu livro, sobre a aparente oposição entre as abordagens newtoniana e goethiana da ótica, apresentada no capítulo “Os ensinamentos de Goethe e Newton sobre a cor sob a luz da física moderna”, de certa maneira, está relacionada com a questão ancestral do papel desempenhado pela razão e pelos sentidos no estudo da natureza. Entre os filósofos pré-socráticos, a ideia de que a razão é mais importante e que os sentidos não são confiáveis pode ser encontrada nos ensinamentos de Parmênides de Eléia, enquanto a proposta oposta, de que a atuação mais importante no estudo da natureza cabe aos sentidos é defendida, por exemplo, por Protágoras de Abdera, como é discutido magistralmente por Schrödinger em seu livro “A Natureza e os Gregos” [¹¹]. É claro que muito tempo passou desde as propostas seminais dos pré-socráticos até a época de Newton. Entretanto, pouco antes da sua época, notamos que a ênfase dos sentidos sobre a razão foi defendida por Francis Bacon, enquanto René Descartes propunha o oposto, com a primazia dos argumentos racionais sobre dados observacionais. Heisenberg lembra que as duas abordagens da ótica, newtoniana e goethiana, se opõem, e que claramente a proposta de Newton prevalece na seara científica, mas propõe que, com o advento da física moderna, produto da revolução científica que ocorreu no início do século 20, a aparente distância entre elas é menor do que era na física clássica. Para fechar esse parêntese nesta descrição biográfica de Ising, é interessante que tanto ele como Werner Heisenberg consideraram que os comentários de um poeta como Goethe sobre a ótica eram merecedores de consideração por parte dos físicos, atitude que, certamente, não é predominante entre os cientistas.

Ernst Ising faleceu em sua casa, em 1998, um dia após completar noventa e oito anos. Totalmente dedicado à arte do ensino, nunca voltou a trabalhar com a pesquisa relacionada ao seu já famoso modelo. Na verdade, segundo relatos de pessoas próximas, ele até se mostrava tímido quando o tema de seu trabalho era trazido à tona. Foi sua a ideia de que a nomenclatura do modelo deveria ser “modelo de Lenz-Ising”, dando crédito a seu ex-orientador e idealizador da proposta original [¹²]. No entanto, essa escolha nunca se popularizou na comunidade científica. Tampouco Lenz parece ter tido qualquer atitude no sentido de reclamar alguma primazia sobre o trabalho. Dessa maneira, o nome do professor Ising passou a ser também a denominação do modelo que foi proposto para descrever o ferromagnetismo, mas que se expandiu em áreas até mesmo além das teorias físicas. Em tempo, no mesmo ano de sua morte (1998), sua biografia foi adicionada à coletânea “222 Judeus que mudaram o mundo” [¹³], que descrevia a contribuição da cultura judaica para as sociedades da Europa e da América. Em 2009, a prefeitura de Mersch em Luxemburgo, onde a família viveu depois de sair da Alemanha, decidiu homenagear o físico, nomeando uma rua com seu nome. Johanna (Jane) Ising estava viva para ver este tributo prestado ao marido (Figura 4). Ela faleceu em 2 de fevereiro de 2012, na manhã de seu ${110}^{\circ }$aniversário.

Figura 4
Johanna (Jane) Ising com a placa nomeando a rua que homenageia seu marido em Mersch, Luxemburgo.

3. O Modelo

A história do modelo que tornou Ernst Ising famoso é permeada pelas dúvidas e excitações de um período extraordinário da Física. Assim como seu criador, o trabalho de Ising testemunhou um mundo em transformação e sofreu com essas mudanças.

O modelo foi concebido para descrever o fenômeno do ferromagnetismo, observado especialmente em materiais compostos por elementos da família do ferro. Similarmente aos chamados materiais paramagnéticos, os ferromagnetos exibem propriedades magnéticas, quando estão sujeitos à influência de um campo magnético externo. No entanto, diferentemente dos primeiros, em que essas propriedades desaparecem quando o campo magnético externo é interrompido, os ferromagnetos sustentam sua magnetização (chamada de ‘espontânea’) nessa situação, desde que estejam abaixo de uma certa temperatura.

A percepção deste comportamento se deu ainda no século XIX, graças ao trabalho de Pierre Curie que, em 1895, completou sua tese de doutorado com o estudo do comportamento de materiais magnéticos sob a influência de mudanças de temperatura e campos externos [¹⁴]. Em sua investigação experimental, Curie concluiu que enquanto os materiais paramagnéticos possuíam uma magnetização que, para campos fracos ($H$), dependia da temperatura ($T$), na forma hoje conhecida como Lei de Curie,

(1) $$M\sim \frac{H}{T},$$

os ferromagnetos eram caracterizados por uma temperatura $T_C$ (temperatura de Curie) acima da qual suas propriedades magnéticas desapareciam, quando não estavam mais sob a ação de um campo externo. Curiosamente, ele também percebeu uma semelhança entre o comportamento ferromagnético e aquele de fluidos, observando a existência de uma “analogia entre a forma com que a intensidade da magnetização de um corpo magnético aumenta sob a influência da temperatura e da intensidade do campo e a forma com que como a densidade de um fluido aumenta sob a influência da temperatura e da pressão” [¹⁵]. Desta forma, ao menos em termos qualitativos, ele antecipou uma noção de universalidade que só estaria plenamente estabelecida quase um século mais tarde.

Em 1905, Paul Langevin, a partir da ideia de que em um gás paramagnético os elétrons circulando em órbitas fixas nas moléculas geravam um momento magnético, foi capaz de obter a lei de Curie [¹⁶]. Dois anos depois disso, Pierre-Ernest Weiss, estende a ideia de Langevin para sais ferromagnéticos, considerando que cada molécula deveria experimentar um campo proveniente de todas as moléculas ao redor e que esse campo seria proporcional à intensidade da magnetização e teria sua mesma orientação [¹⁷] (Figura 5). Weiss chamou esse efeito de campo molecular. Embora seu postulado tenha sido baseado na observação da pirrotita, não conseguiu fornecer uma explicação fundamental para a existência desse campo. A única aparente certeza era que este não tinha origem no magnetismo, uma vez que a ordem de intensidade dessa interação dipolar seria demasiadamente pequena para explicar por que esse campo interno permitia o aparecimento de uma magnetização espontânea, como concluiu Weiss.

Figura 5
Pierre Curie (esquerda), Paul Langevin (centro) e Pierre Weiss (direita).

O estudo do magnetismo teve um ponto de inflexão quando Niels Bohr (1911) e, independentemente, Hendrika Johannah van Leeuwen (1919) mostraram que o magnetismo não poderia surgir de uma descrição clássica do movimento de elétrons não-relativísticos em equilíbrio termodinâmico [¹⁸, ¹⁹](Figura 6). Para remediar essa questão, o próprio Bohr, através de seu modelo atômico, postula que os elétrons descrevem órbitas em torno do núcleo, tal como um planeta em torno de sua estrela. Nesse modelo, o momento angular dos elétrons só pode assumir certos valores. Cada um deles, por sua vez, dá origem a um momento magnético. Assim, esta condição permite a existência de momentos magnéticos (atômicos ou moleculares), os quais podem responder à aplicação de um campo magnético externo, permitindo a emergência do paramagnetismo. Nessa descrição, em um gás paramagnético, os magnetos individuais poderiam se orientar em qualquer direção. Com base neste modelo, que reunia elementos clássicos e quânticos, foi possível obter a lei de Curie.

Figura 6
Hendrika van Leuween e Niels Bohr.

No entanto, surgiram críticas a esta derivação devido ao questionamento sobre a livre rotatividade dos magnetos. Wilhelm Lenz, em 1920, pontuou a inconsistência do modelo de Weiss por levar isso em conta mesmo em sólidos. Na visão de Lenz, a orientação dos momentos magnéticos devia estar subordinada à simetria do arranjo dos átomos no sólido. Em suas palavras [²]:

“Para obter a lei de Curie, a suposição de livre rotatividade dos magnetos parece, portanto, indispensável; e, como a estrutura cristalina proíbe a rotação livre das moléculas, poderia-se pensar em uma rotação livre dos átomos. No entanto, essa suposição também é incompatível com nossa concepção da estrutura cristalina, pois devemos, seguindo Born, assumir que a simetria dos cristais já está ‘pré-formada’ de acordo com a estrutura e a posição espacial desses átomos”.

Em vez da livre rotatividade, Lenz assumiu que existiam apenas certas direções equivalentes para a orientação dos magnetos elementares, definidas pela simetria cristalina. Para uma rede cúbica, por exemplo, apenas duas orientações – uma direção e seu reverso – seriam permitidas. Ou seja, no lugar de uma rotação livre em qualquer direção, seu modelo contava apenas com transições de inversão dos magnetos. Usando esta ideia de reversão (a qual ele chamou de Umklapp), Lenz foi bem-sucedido em obter a lei de Curie, a partir da teoria estatística de Boltzmann [⁴]. Embora as fontes históricas não deixem isso explícito, a ideia de limitar a orientação dos momentos magnéticos a apenas um conjunto finito de possibilidades parece ter sido motivada pela influência da relação de quantização proposta pelo seu ex-orientador, a regra de Bohr-Sommerfeld. A evidência experimental para a quantização do momento angular seria feita apenas após a publicação de Lenz, graças ao trabalho de Otto Stern e Walther Gerlach, de 1922 [²⁰]. Coincidentemente, Stern seria, a partir de 1923, colega de Lenz na Universidade de Hamburgo.

O resultado de Lenz foi obtido para um sistema paramagnético, no qual os magnetos eram independentes entre si. Ainda assim, ao final de seu artigo de 1920 [⁴], ele sugeriu um mecanismo para a emergência do ferromagnetismo, considerando um modelo com apenas dois estados de orientação (os quais ele nomeou como $\alpha =0$ e $\alpha =\pi$):

“Se se supõe que, nos corpos ferromagnéticos, a energia potencial de um ímã elementar em relação aos seus vizinhos é diferente na posição $\alpha =0$ e na posição $\alpha =\pi$. Então, surge uma orientação natural do magneto e, portanto, uma magnetização espontânea. As propriedades magnéticas dos ferromagnetos seriam então explicadas em termos de forças não magnéticas, em concordância com o ponto de vista de Weiss…”

No entanto, apesar da confiança demonstrada na sentença acima, Lenz não elaborou esta hipótese para mostrar que ela poderia mesmo levar ao resultado esperado. Essa seria a tarefa de seu futuro aluno de doutorado, Ernst Ising (Figura 7).

Figura 7
Wilhelm Lenz.

Ao iniciar seu trabalho de pesquisa, Ising tinha pela frente o desafio de elaborar um modelo microscópico para descrever a interação entre os momentos magnéticos e empregar o formalismo da mecânica estatística de equilíbrio para calcular propriedades macroscópicas deste modelo, em particular a magnetização como função de $T$ e $H$, com o propósito de mostrar que, ao fazer $H\to 0$, esta magnetização não se anulava também abaixo da temperatura de Curie. A proposta original seria fazer isso para um sistema tridimensional.

De início, Ising assimilou em seu modelo as características levadas em conta por Lenz, ou seja, um modelo com dois estados de orientação para os momentos magnéticos e uma interação entre esses momentos que não possuía uma natureza magnética. Essa característica já estava presente na própria teoria de Weiss, uma vez que era bem aceito que a interação magnética não era forte o bastante para produzir uma temperatura de Curie na magnitude observada nos materiais ferromagnéticos conhecidos. Quanto à forma dessa interação, Ising assim a justificou em sua tese [², ²¹]:

“À parte de um campo magnético externo aplicado, os magnetos devem ser influenciados pelas forças que exercem uns sobre os outros. Não podemos fornecer mais detalhes sobre essas forças, que podem ser de natureza elétrica (ver W. Schottky [²²]); no entanto, assumimos que elas diminuem rapidamente com a distância, de modo que, em geral, como primeira aproximação, precisamos considerar apenas o efeito dos elementos vizinhos. Esta última suposição está, em certa medida, em contraste com a hipótese do campo molecular, que P. Weiss [¹⁷] mostrou não poder ser de natureza magnética.$\dots$’ ”

A citação ao trabalho de Schottky merece atenção em nossa discussão. Walter Schottky propôs um modelo para a interação entre átomos em uma rede cristalina, no qual os elétrons das camadas externas, ao orbitarem o núcleo, produziam um efeito de sincronismo semelhante ao observado em osciladores acoplados (Figura 8). Usando um sistema de dois átomos com um elétron, colocados lado a lado, Schottky mostrou que esse sincronismo era estabelecido pela interação elétrica e não magnética. E, com os elétrons girando numa mesma direção, os dois átomos exibiam momentos magnéticos paralelos, com uma energia potencial elétrica que era menor do que um arranjo em que eles, girando em sentidos opostos, produziam momentos magnéticos anti-paralelos [²³]. O trabalho de Schottky foi publicado em 1922, quando ele já atuava em Hamburgo. No próprio artigo, ele agradece a Lenz por ter indicado diversas referências. Assim, é plausível supor que a troca de ideias entre ambos – e também com Ising – tenha influenciado a forma como Ising modelou a interação entre os momentos magnéticos.

Figura 8
Walter Schottky.

Embora houvesse nesta proposta os elementos centrais para produzir uma magnetização espontânea, ou seja, um sistema com duas possíveis orientações, cujos momentos magnéticos interagiam apenas com os seus pares imediatamente vizinhos e com uma energia minimizada quando eles se orientavam paralelamente, Ising não justificou com maior profundidade suas escolhas. A modelagem seguiu um padrão típico daquela época, quando conceitos quânticos ainda se mesclavam a ideias clássicas. Ising combinou elementos que funcionavam isoladamente, embora o conjunto pudesse apresentar inconsistências. Eventualmente, essas inconsistências seriam o principal alvo das críticas que seu trabalho viria a sofrer. A outra tarefa no desafio de estudar essa proposta para o ferromagnetismo era empregar as ferramentas da Mecânica Estatística de equilíbrio. A primeira escolha feita por Ising, nesse sentido, foi a de limitar o estudo do problema ao caso unidimensional, em que ele tratou de uma cadeia linear de momentos magnéticos. Além disso, ele assumiu que esse sistema, na fase ferromagnética, estaria em um equilíbrio térmico descrito pela distribuição de Boltzmann-Gibbs [²⁴]. Desta forma, pôde escrever uma função de partição canônica

(2) $$𝒵=\sum _{\text{configurações}}\exp \left(-\beta E\right),$$

onde $\beta =\frac{1}{kBT}$, sendo $k_B$ a constante de Boltzmann e $E$ a energia total do sistema para uma dada configuração microscópica.

Ao contrário do que vemos hoje nos livros-texto, onde o cálculo da função de partição é feito através do formalismo da matriz de transferência introduzido por Kramers e Wannier nos anos 40 [²⁵], a resolução de Ising para a versão unidimensional de seu modelo foi um tanto mais complicada. Para aqueles que tiverem a curiosidade de estudar essas duas abordagens, uma apresentação do tipo de solução usada por Ising pode ser encontrada em [²⁶]. A solução mais moderna via a matriz de transferência está descrita em diversas fontes, tais como o livro do Prof. Salinas [²⁴] ou o recente artigo do Prof. Mário J. de Oliveira [³], onde além dessa solução e de uma discussão sobre as origens do modelo, também se encontram traduções para o português dos artigos de Weiss [¹⁷], Lenz [⁴] e Ising [²⁷]. O ponto essencial é que esse resultado permitiu determinar a magnetização $M$ como função do campo externo $H$ e da temperatura $T$, resultando em onde $\lambda =\frac{H}{k_{B}T}$ e $\epsilon$ é a energia associada a um par de momentos magnéticos com orientação anti-paralela, assumindo que ela seja nula quando a orientação for paralela. A partir da expressão acima, é simples ver que ao desligarmos o campo magnético externo, $H=0$, a magnetização também se anula para qualquer temperatura finita. Desta forma, o resultado de Ising mostrava que, para a cadeia linear de momentos magnéticos, seu modelo não conseguia prever o aparecimento de uma magnetização espontânea e, portanto, a emergência do ferromagnetismo.

(3) $$M\sim \frac{\sinh \left(\lambda \right)}{\sqrt{{\sinh }^2\left(\lambda \right)+e^{-\frac{2\epsilon }{kBT}}}},$$

Em sua tese defendida em 1924, mas não no artigo publicado no ano seguinte, Ising procurou investigar variações na disposição dos magnetos. Estudando sistemas com diferentes geometrias, cadeias lineares com interações entre segundos vizinhos e uma cadeia linear com momentos magnéticos com mais de duas orientações possíveis. No entanto, em todos esses casos, o resultado final foi o mesmo: a magnetização espontânea não era observada. Isso o levou a fazer uma generalização, errônea como veremos mais adiante, sobre seu resultado, concluindo que no caso tridimensional a fase ferromagnética não emergiria para baixas temperaturas a campo nulo. Como escreveu em suas conclusões:

“Portanto, se não assumirmos, como fez P. Weiss, que também elementos bastante distantes exerçam influência uns sobre os outros – e isso nos parece não ser permitido sob nenhuma circunstância —, não conseguimos explicar o ferromagnetismo a partir de nossas suposições. É de se esperar que essa afirmação também seja válida para um modelo espacial em que apenas elementos próximos interajam entre si.”

Por sua vez, em seu parecer da tese, Lenz afirmou:

“A teoria do ferromagnetismo, com mais de cem anos, chegou a uma certa conclusão formal nos trabalhos de P. Weiss. Estes tornaram possível expressar o comportamento térmico de um ferromagneto de maneira formal. No entanto, os desenvolvimentos ‘weisseanos’ não podem ser considerados uma teoria satisfatória, pois o seu alicerce – o chamado campo molecular – tem, em si mesmo, o caráter de uma abordagem auxiliar. Uma teoria satisfatória deve basear-se no comportamento dos átomos de um corpo sólido, para o qual a teoria de Bohr fornece as pistas necessárias. Seguindo uma teoria do comportamento térmico dos sais paramagnéticos que satisfaz esses requisitos, sugeri ao candidato que estendesse essas ideias ao ferromagnetismo. As considerações probabilísticas necessárias, bastante complexas, foram desenvolvidas pelo autor com notável habilidade. Elas levaram à conclusão de que o ferromagnetismo não se realiza pelo caminho adotado, e as razões para isso são discutidas. Como uma mudança nas ideias fundamentais sobre as propriedades atômicas e suas interações não é uma opção, surge a questão de saber se o estado ferromagnético pode, de fato, ser considerado um estado de equilíbrio térmico. O estudo dessa possibilidade, porém, teria excedido em muito o escopo desta tese. O resultado globalmente negativo deve ser visto como uma afirmação importante para a continuação da teoria. O trabalho também apresenta alguns novos aspectos metodológicos e merece o predicado de ‘muito bom’, Lenz.”

Neste parecer se destacam o fato de que Lenz elogia os “novos aspectos metodológicos” que se referiam ao método estatístico usado por Ising para obter a função de partição e, desta, as propriedades termodinâmicas do sistema e a dúvida manifesta sobre a fase ferromagnética ser um estado de equilíbrio termodinâmico. Como o próprio Lenz não elabora melhor essa afirmação no texto do parecer, nem mesmo em nenhum outro trabalho posterior, só resta imaginar que esta hipótese estava pautada apenas no aparente fracasso dos cálculos em prever o aparecimento do ferromagnetismo.

3.1. O spin do elétron e o ferromagnetismo

Como discutimos previamente, os principais elementos presentes na tentativa de modelar o mecanismo gerador do ferromagnetismo continham um híbrido de ideias calcadas na Mecânica Clássica e na nascente Mecânica Quântica. Essa era uma característica das investigações sobre fenômenos físicos no início dos anos 1920, quando a descrição dos problemas que norteariam o desenvolvimento da Física Quântica ainda era feita com base em modelos clássicos. Certamente, o mais emblemático exemplo disso é aquele do modelo atômico de Bohr que, apesar da inclusão de postulados em desacordo com a Mecânica Clássica, ainda se baseava em estruturas que incluíam elementos como a órbita do elétron em torno de seu núcleo.

No entanto, esse esquema de investigação, baseado sobretudo no formalismo de quantização de Bohr–Sommerfeld, enfrentava grandes dificuldades. Em particular, não conseguia explicar resultados vindos de sistemas com mais de um elétron ou submetidos a campos externos. Especialmente reproduzir o que se observava no chamado Efeito Zeeman anômalo [²⁸] e no experimento de Stern-Gerlach [²⁰]. Estes dois casos constituíram um quebra-cabeça que, eventualmente, levaria a uma ruptura com essa maneira de aplicar os conceitos de quantização e que viria a ser chamada de Velha Mecânica Quântica.

Um dos expoentes nessa reformulação da Mecânica Quântica foi o físico austríaco Wolfgang Pauli. Em maio de 1922, Pauli foi contratado como assistente no grupo chefiado por Lenz, em Hamburgo. No entanto, ainda em setembro, saiu para um período de um ano no Instituto de Copenhague, trabalhando sob a supervisão de Niels Bohr. Nesse período, ele tentou explicar o efeito Zeeman anômalo através do formalismo de Bohr-Sommerfeld sem obter sucesso. Em outubro de 1923, retornou a Hamburgo, onde já no ano seguinte foi contratado para uma posição de livre-docência. Também em 1924, Pauli submete um artigo propondo o acréscimo de um quarto número quântico para explicar as linhas espectrais observadas nos experimentos [²⁹]. No ano seguinte, graças ao trabalho de George Uhlenbeck e Samuel Goudsmit [³⁰], esse novo grau de liberdade foi associado a uma propriedade quântica intrínseca do elétron, que receberia o nome de spin.

Assim, enquanto Ising desenvolvia sua tese (1922–1924), o Instituto de Física de Hamburgo abrigava alguns dos principais nomes ligados à descoberta do spin, como Pauli e Stern. Esse conceito forneceria a explicação dos momentos magnéticos responsáveis pelo ferromagnetismo. Entretanto, não parece ter havido qualquer conexão entre as descobertas de Pauli e Stern e o projeto encabeçado por Lenz e Ising. Mesmo que, segundo as palavras do próprio Ising, Pauli estivesse ciente das conclusões de seu trabalho:

“Discuti amplamente o resultado do meu artigo com o Professor Lenz e com o Dr. Wolfgang Pauli, que naquela época lecionava em Hamburgo. Houve uma certa decepção pelo fato de que o modelo linear não apresentou as propriedades ferromagnéticas esperadas” [³¹].

No ano de 1925, Wolfgang Pauli também publicou um segundo artigo sobre o tema do spin em que ele postulou a impossibilidade de que dois ou mais elétrons pudessem coincidir em todos os mesmos números quânticos [³²]. Essa afirmação ficou conhecida como o Princípio da Exclusão de Pauli. De fato, no mesmo volume 31 de 1925 da Zeitschrift für Physik, temos os dois artigos de Pauli sobre o spin e o trabalho de Ising. As transformações da Velha Mecânica Quântica foram vertiginosas. Nos dois anos seguintes, Heisenberg [³³] e Schrödinger [³⁴] demoliram o edifício semiclassico representado pelo formalismo de Bohr–Sommerfeld, abandonando de vez imagens como as órbitas planetárias dos elétrons. Com isso, inauguraram uma nova era da Mecânica Quântica, baseada em matrizes e funções de onda.

O advento do spin esclareceu a origem dos momentos magnéticos responsáveis pelo magnetismo observado em materiais paramagnéticos e ferromagnéticos. Na origem dessa discussão, esses magnetos eram criados a partir do momento angular orbital do elétron, que executava seu movimento em torno do núcleo. Agora, eles passavam a ser produto de uma qualidade intrínseca do elétron (o spin), tendo esta apenas dois possíveis valores. Assim, parte do modelo microscópico pensado por Lenz e Ising estava justificado nesse novo cenário e suposições como a simetria cristalina e as ideias de Schottky sobre movimentos síncronos tornaram-se desnecessárias. A outra ponta solta do modelo de Ising seria elucidada depois do trabalho sobre a origem da interação entre esses momentos magnéticos. Isso foi conseguido em 1928, quando Heisenberg [³⁵] atacou o problema da emergência do ferromagnetismo, procurando elucidar o mecanismo da interação entre os momentos magnéticos, proposto por Weiss com o campo molecular e por Ising em suas interações entre primeiros vizinhos (Figura 9). O artigo em que Heisenberg deita as bases para a formulação de uma teoria quântica do ferromagnetismo foi o segundo trabalho a se referir aos resultados de Ising, sendo precedido por Karl F. Herzfeld, em 1925 [³⁶].

Figura 9
Wolfgang Pauli (esquerda) e Werner Heisenberg.

A resposta alcançada por Heisenberg levou o problema a um novo nível de complexidade. Utilizando o novo formalismo da Mecânica Quântica e o Princípio da Exclusão de Pauli, ele mostrou que a interação coulombiana entre dois elétrons era modificada por um termo puramente quântico, denominado interação de troca. Devido ao Princípio da Exclusão de Pauli, as funções de onda conduzem a uma distribuição de cargas que minimiza a energia coulombiana quando elétrons vizinhos possuem spins paralelos. Dessa forma, a hipótese usada por Schottky e repetida no modelo de Ising, era validada na teoria de Heisenberg, mas desta vez livre dos paralelos com o mundo clássico.

A incorporação dos novos conceitos e o surgimento de ferramentas formais para o estudo de fenômenos fizeram com que trabalhos como o de Ising passassem a parecer anacrônicos. Em sua formulação, elementos da Física Clássica e da Mecânica Quântica ainda conviviam sem uma separação conceitual clara. Embora Pauli e o próprio Heisenberg acreditassem que mesmo o modelo semiclássico de Ising pudesse exibir uma solução ferromagnética em três dimensões, este modelo acabou sendo posto de lado nos anos restantes da década de 1920 e na primeira metade do decênio seguinte.

Muitas das autoridades no estudo dos problemas magnéticos da época, como era o caso de John Hasbrouck Van Vleck, sentenciaram a proposta de Lenz-Ising como uma mera peça de interesse matemático, mas que era falha em descrever a física do fenômeno [²]:

“Em certo sentido, o modelo de Lenz–Ising é uma ficção puramente matemática, pois ele negligencia as interações $-2J\left(s_{xi}{s}_{xj}+s_{yi}{s}_{yj}\right)$ entre as componentes do spin perpendiculares à direção do campo magnético, que são frequentemente importantes do ponto de vista físico.”

Em 1930, Pauli apresentou no VI Congresso de Solvay, em Bruxelas, uma revisão do estado da arte do estudo do magnetismo à luz das recentes descobertas da Física Quântica e do modelo de Heisenberg. Nesta apresentação, ele mostrou pela primeira vez, uma forma funcional para um hamiltoniano que descrevia o modelo de Ising, considerando o caso unidimensional [⁵],

(4) $$\mathscr{H}=-A\sum _k({\sigma }_k,{\sigma }_{k+1}),$$

onde $A$ representa a intensidade da interação de troca entre dois spins primeiros vizinhos na cadeia e a operação $({\sigma }_k,{\sigma }_{k+1})=\pm 1$, a depender dos spins serem paralelos ou anti-paralelos. É importante destacar que Pauli distinguiu o operador de spin usado no modelo de Heisenberg daquele empregado para escrever o hamiltoniano do modelo de Ising. Sendo que neste último trata-se de uma variável semiclássica. A liberdade que Pauli encontrou para fazer isso devia-se ao fato de que a formulação original do modelo de Ising não depende da natureza desta quantidade, sendo o novo conceito do spin plenamente absorvido.

3.2. O modelo de Ising: de irrealistaa amplamente aceito

Foi ainda na década de 1930, que o modelo de Ising – assim chamado pela primeira vez por Peierls em 1936 – começou a receber reconhecimento. O próprio Rudolf Peierls, em 1936, demonstrou que para uma rede bidimensional, o modelo de Ising levava ao surgimento de uma magnetização espontânea [³⁷]. Sua argumentação se baseou na geometria das fronteiras entre regiões da rede quadrada com momentos magnéticos positivos e negativos. Ele mostrou que, a temperaturas suficientemente baixas, a área total de um desses estados supera a do outro. Entretanto, havia um problema com a demonstração que foi corrigido, em 1964, por Robert B. Griffiths [³⁸].

A partir do resultado de Peierls, o interesse pelo modelo de Ising, talvez por ser o modelo mais simples a apresentar o fenômeno do ferromagnetismo, aumentou. É importante mencionar que, em 1944, Lars Onsager obteve a solução exata do modelo na rede quadrada [⁶], a campo magnético nulo. Este trabalho é um marco na física estatística. Ele mostra que, na ausência de campo magnético, o modelo apresenta uma transição contínua entre uma fase paramagnética (desordenada), a altas temperaturas, e uma fase ferromagnética, a temperaturas mais baixas. Trata-se de uma obra-prima da física matemática, bastante difícil de ser entendida, e usa a técnica da matriz de transferência. Uma versão alternativa e mais acessível do que o trabalho de Onsager, baseada no mapeamento do modelo num sistema de férmions, pode ser encontrada no trabalho de Schultz, Mattis e Lieb [³⁹]. Foi ainda nos anos 50 que se identificaram materiais – à base de terras raras – cujas propriedades magnéticas se mostravam adequadamente descritas através do modelo de Ising [⁴⁰].

Durante as décadas de 1920 e 1930, o modelo foi, na maior parte do tempo, negligenciado como um modelo físico digno de nota. Isso se dava principalmente pelo fato de que a proposta de Heisenberg para o ferromagnetismo parecia ser mais completa para descrever um fenômeno que, a esta altura, todos concordavam emergir devido às propriedades quânticas da matéria. Nas décadas seguintes, entretanto, o modelo de Ising passaria a ser visto como um ícone dos chamados fenômenos cooperativos. Nesses processos, agentes individuais interagindo localmente podem gerar configurações ordenadas mediante a variação de algum parâmetro externo, como a temperatura. Assim, surgiriam conexões com problemas muito distantes da motivação magnética original, tais como as teorias de formação de superredes em ligas [⁴¹] e o processo de adsorção por superfícies [⁴²].

As consequências dessas conexões, assim como a observação de Pierre Curie sobre a analogia entre magnetismo e fluidos, descortinaram uma nova linha de pesquisa que marcaria a Física Estatística nas décadas seguintes. Essa linha investigaria as propriedades comuns que surgem quando os sistemas sofrem transições de fase. Não é nossa intenção revisar aqui esse tema, visto que ele por si só é merecedor de uma narrativa à parte. Várias referências [¹, ², ⁵], no entanto, podem iluminar o caminho que leva do modelo de Ising até esses desenvolvimentos. Ressaltamos, no entanto, a aplicação do modelo a um sistema de partículas confinadas a uma rede, conhecido na literatura como gás de rede, e proposto em 1952 por T.D. Lee and C.N. Yang [⁴³].

Para encerrar nossa discussão, vamos apontar para um novo capítulo que catapultou o modelo de Ising para além das fronteiras da Física. Em 1963, o físico estadunidense Roy J. Glauber [⁴⁴] propôs uma versão dinâmica para a interação entre spins, tal que o modelo de Ising pudesse ser estudado também em suas propriedades temporais. A simplicidade do modelo, aliada ao algoritmo que permitia estudar sua evolução temporal, ampliou seu uso para muito além do ferromagnetismo – e até mesmo além dos sistemas físicos. Hoje, o modelo de Ising aparece em áreas tão diversas quanto teoria de linguagens [⁴⁵], dinâmicas sociais [⁴⁶, ⁴⁷], genética de populações [⁴⁸], evolução populacional [⁴⁹] e muitas outras [⁵]. A Figura 10, retirada das estatísticas sobre as citações recebidas pelo modelo de 1925 [²⁷] e encontradas na plataforma Web of Science, ilustra a pluralidade de fenômenos relacionados com o modelo de Ising.

Figura 10
Um mosaico ilustrativo com as diferentes áreas de pesquisa onde artigos que citam o modelo de Ising foram publicados.

Assim, terminamos nossa narrativa sobre a dupla história de um homem e seu modelo. Um homem que principiou um trabalho que havia malogrado em obter a resposta esperada. Um trabalho que ele precisou abandonar para seguir outros caminhos – primeiro na carreira, depois para salvar a própria vida e a de sua família. Paralelamente, um modelo físico nascido em meio à tormenta científica das primeiras décadas do século XX evoluiu, ganhou força e, apesar das dificuldades iniciais, alcançou uma notoriedade que seu autor jamais imaginaria. Ao final, nossos dois personagens caminharam em vias separadas. Enquanto o homem, iniciando uma nova vida em um outro país, se recolheu a um cotidiano mais simples, cercado por seus alunos e aqueles que amava, seu modelo ganhou a notoriedade que não parecia ser capaz de alcançar quando Ernst Ising o divulgou em sua única publicação científica. O modelo tornou-se praticamente inevitável em inúmeras aplicações e versões, abrangendo os mais variados problemas e consolidando-se como uma das propostas mais simples – e também mais onipresentes – da Física. Alcançando seu centenário ainda com vigor para sobreviver por muitas outras décadas mais.

Disponibilidade de Dados

Todo o conjunto de dados que dá suporte ao presente texto foi publicado no corpo do artigo.

Referências

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• 1
  Não confundir com outro Lenz famoso na Física, Heinrich F. E. Lenz, cujo nome está associado a lei do eletromagnetismo que determina o sentido da corrente induzida devido à variação do fluxo do campo magnético.
• 2
  Todas as fotos desta seção foram obtidas a partir da apresentação “Some Scenes from Ernst Ising”, material apresentado por Thomas Ising e disponível no site Ising Lectures (https://icmp.lviv.ua/ising/index.html).

Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  03 Ago 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  07 Mar 2026
• Revisado
  04 Jun 2026
• Aceito
  12 Jun 2026