Força de arrasto em fluidos: sobre a universalidade aparente da forma quadrática

Drag force in fluids: on the apparent universality of the quadratic form

Resumo

A forma quadrática $f=\frac{1}{\text{2}}{C}_{\text{D}}\rho A{v}^2$ pode sugerir uma generalidade que, a rigor, não possui. O módulo f do arrasto só é proporcional ao quadrado do módulo v da velocidade com que o corpo se move no fluido na faixa de valores do número de Reynolds, Re, em que o coeficiente de arrasto, C_D, é aproximadamente constante. Verifica-se, por exemplo, que C_D ≈ 0,5 para um corpo esférico liso quando 10³ ≲ Re ≲ 3× 10⁵. Para outras faixas de valores de Re, em que C_D não é constante, a relação entre f e v não é quadrática, e a igualdade $f=\frac{1}{\text{2}}{C}_{\text{D}}\rho A{v}^2$, reescrita como C_D = 2f/(ρAv²), simplesmente fornece a definição do coeficiente de arrasto. No caso particular de um corpo esférico liso, verifica-se que C_D é inversamente proporcional a v para Re ≲ 1, e o resultado é uma relação linear entre f e v, característica do arrasto viscoso descrito pela lei de Stokes.

Palavras-chave:
Mecânica dos fluidos; força de arrasto; número de Reynolds; coeficiente de arrasto; forma quadrática

Abstract

The quadratic form $f=\frac{1}{\text{2}}{C}_{\text{D}}\rho A{v}^2$ may suggest a degree of generality that it does not, strictly speaking, possess. The drag force is proportional to the square of the speed v only within the range of Reynolds number (Re) values for which the drag coefficient C_D is approximately constant. For example, C_D ≈ 0.5 for a smooth sphere when 10³ ≲ Re ≲ 3× 10⁵. Outside this range, where C_D is not constant, the relationship between f and v is not quadratic, and the expression $f=\frac{1}{\text{2}}{C}_{\text{D}}\rho A{v}^2$, rewritten as C_D = 2f/(ρAv²), merely defines the drag coefficient. For a smooth sphere at low Reynolds numbers (Re ≲ 1), C_D is inversely proportional to v, leading to a linear relationship between f and v, characteristic of viscous drag as described by Stokes’ law. Keywords: Fluid mechanics, drag force, Reynolds number, drag coefficient, quadratic form.

Keywords:
Fluid mechanics; drag force; Reynolds number; drag coefficient; quadratic form

1. Introdução

As interações entre sólidos e fluidos, e entre fluidos distintos, estão entre as mais complexas que existem. Um estudante cujo contato com o tema se deu apenas ao nível de livros introdutórios de física como Halliday, Tipler e Moysés [¹, ², ³] não faz ideia de sua real extensão.

Para mudar imediatamente essa perspectiva, basta dar uma olhada no número de páginas dos livros de mecânica dos fluidos comumente adotados em cursos de engenharia [⁴, ⁵, ⁶]. O livro Introdução à Mecânica dos Fluidos, de Robert W. Fox e coautores, por exemplo, possui quase 900 páginas em sua oitava edição. E isso nem de longe dá conta do que um engenheiro projetista precisa saber. Observe o que dizem os autores, na abertura do capítulo de Introdução (na tradução de Ricardo N. N. Koury e Luiz Machado [⁴]):

Decidimos dar o título “Introdução à $\dots$” para este livro-texto pela seguinte razão: Depois de estudar o livro, você não estará apto para projetar a aerodinâmica de um novo carro ou avião, ou projetar uma nova válvula cardíaca, ou selecionar corretamente os extratores e dutos de ar para um edifício de 100 milhões de dólares; contudo, você terá desenvolvido uma boa compreensão dos conceitos que estão atrás de tudo isso, e muitas outras aplicações.

Da perspectiva de um físico – de um físico teórico, em particular – as coisas não ficam mais simples. Basta folhear o livro Fluid Mechanics, de Landau e Lifshitz [⁷] – volume 6 de seu famoso Course of Theoretical Physics –, para ter uma boa ideia do que estamos dizendo. Nele, você encontrará desenvolvimentos que não estão presentes na grande maioria dos livros de mecânica dos fluidos destinados a estudantes de engenharia, como, por exemplo, a dedução da equação de Stokes para o arrasto viscoso a partir da lei de Navier-Stokes.¹

Em todo caso, há desenvolvimentos teóricos, computacionais e experimentais específicos que são muito mais avançados do que pode ser encontrado em qualquer um desses livros mais gerais sobre mecânica dos fluidos – mesmo em um livro do nível de sofisticação do Landau Lifshitz, por exemplo. O próprio Lifshitz confirmou isso, ao ter escrito, em 1984 (Landau faleceu em 1968), no prefácio da segunda edição de seu livro:

“There is also no treatment of non-linear waves in dispersive media, which is by now a significant branch of mathematical physics” (Também não há [neste livro] tratamento de ondas não lineares em meios dispersivos, o que já é um ramo significativo da física matemática).

Muito bem, no imenso universo que é a mecânica dos fluidos, voltaremos nossa atenção para um problema particular: a determinação da força exercida por um fluido sobre um corpo movendo-se em seu interior, com as seguintes restrições:

1. O fluido é homogêneo, isotrópico e está inicialmente em repouso no chamado referencial do laboratório.²

2. O corpo que nele se move é rígido, convexo,³ liso, possui eixo de simetria e translada, sem girar, com velocidade constante, com direção igual à do eixo de simetria.

3. O corpo está suficientemente distante das fronteiras externas (paredes) do fluido, para que não haja qualquer efeito de borda relevante.⁴

Com tais restrições, estamos livres de uma série de complicações, como, por exemplo, as chamadas forças de sustentação (lift, em inglês) [³, ⁴], que são responsáveis por manter um avião em voo e atuam em uma direção ortogonal à sua velocidade $\mathbf{v}$. (Neste contexto, não se trata de uma “complicação”, é claro.) Também não temos, para citar mais um exemplo, o chamado efeito Magnus[³, ⁴], responsável pelo desvio de uma bola de pingue-pongue lançada “com efeito” (ou seja, girando em torno de um eixo próprio), bem como pelas trajetórias “impossíveis” de uma bola de futebol nas cobranças de falta do jogador Roberto Carlos. Contudo, mesmo com essas hipóteses simplificadoras, a determinação da força exercida por um fluido sobre um corpo movendo-se em seu interior é um problema ainda bastante complexo, como veremos.

Com as restrições apresentadas acima, a força $\mathbf{f}$ exercida pelo fluido sobre um corpo que nele se move tem a direção da velocidade $\mathbf{v}$ do corpo, e sentido oposto à mesma. Trata-se da chamada força de arrasto – ou, simplesmente, arrasto (drag, em inglês).⁵ Podemos escrever:

(1) $$\mathbf{f}=-f\left(v\right)\widehat{\mathbf{v}},$$

em que $f$ é o módulo de $\mathbf{f}$, $v$ é o módulo de $\mathbf{v}$ e $\widehat{\mathbf{v}}$ é o vetor unitário (ou versor) com a direção e o sentido de $\mathbf{v}$.

Perceba que a igualdade (1) apresenta duas propriedades do arrasto $\mathbf{f}$: (i) ele tem a direção de $\mathbf{v}$, mas sentido oposto; (ii) o módulo de $\mathbf{f}$ só depende do módulo de $\mathbf{v}$ – ou seja, a intensidade do arrasto só depende da rapidez do corpo, não da direção na qual ele se move. A propriedade (i) é intrínseca à definição de arrasto, enquanto a propriedade (ii) surge das restrições apresentadas (em um fluido anisotrópico, por exemplo, podemos ter $f=f\left(\mathbf{v}\right)$, em vez de $f=f\left(v\right)$).

O problema formulado acima resume-se, portanto, à obtenção da função $f\left(v\right)$. Ou seja, trata-se de obter a relação funcional entre o módulo do arrasto e o módulo da velocidade do corpo em relação ao fluido no qual se move. Tal relação é linear? Quadrática? Talvez uma combinação entre ambas? Ou mesmo uma relação mais complicada? E quais são os parâmetros relevantes?

2. Arrasto Viscoso e Arrasto de Pressão

2.1. Força de arrasto em fluidos: parâmetrosrelevantes e número de Reynolds

O problema da determinação do arrasto – ou, mais especificamente, da relação funcional $f\left(v\right)$ entre o módulo do arrasto $\mathbf{f}$ e o módulo da velocidade $\mathbf{v}$ do corpo em relação ao fluido no qual se move – é muito complexo, mesmo quando o corpo tem uma forma geométrica simples como a de uma esfera. Vamos nos limitar a essa forma, por enquanto.

Verifica-se experimentalmente que os parâmetros relevantes para a intensidade $f$ do arrasto, como função da rapidez $v$ com que o corpo esférico se move no fluido, são a densidade $\rho$ e a viscosidade $\eta$ do fluido, além do diâmetro $D$ da esfera.⁶ Contudo, verifica-se também que o próprio tipo de relação funcional (linear, quadrática, etc.) entre $f$ e $v$ depende do valor da razão adimensional $\rho Dv/\eta$, chamada de número de Reynolds e comumente denotada por $Re$[⁴]. Isso é algo tremendamente importante!

Para corpos de diferentes formas movendo-se em um fluido, o número de Reynolds é usualmente definido como

(2) $$Re\equiv \frac{\rho }{\eta }lv\left(\text{número de Reynolds}\right),$$

em que $l$ é um comprimento característico do corpo em uma direção perpendicular à de seu movimento (usualmente o diâmetro $D$, no caso de uma esfera, o lado $L$, no caso de um cubo movendo-se perpendicularmente a um par de faces,⁷ etc.).⁸

Voltando ao caso particular de um corpo esférico, temos, fazendo $l=D$ em (2):

(3) $$Re\equiv \frac{\rho }{\eta }Dv.$$

Na área de mecânica dos fluidos, é comum referir-se ao número de Reynolds simplesmente como “Reynolds”. Assim, por exemplo, uma expressão como “regime de baixos números de Reynolds” pode ser perfeitamente substituída por “regime de baixos Reynolds”.

2.2. Arrasto viscoso: forma linear em regime de baixos Reynolds

Verifica-se experimentalmente que, com $\rho$, $\eta$ e $D$ fixos, para velocidades suficientemente baixas – ou, mais precisamente, para $Re\lesssim 1$ –, o módulo $f$ do arrasto é proporcional ao módulo $v$ da velocidade relativa entre o corpo esférico e o fluido [⁴]. Neste sentido, trata-se de um arrasto linear, que denotaremos por $f_{\text{lin}}$.

Um exemplo icônico é o arrasto exercido pelo ar em uma gota de óleo no famoso experimento de Millikan (realizado em 1909), em que foi medida a carga elementar $e$ – que é a carga de um elétron. Esse arrasto linear obedece à lei de Stokes,

(4) $$\begin{array}{c}{f}_{\text{lin}}=3\pi \eta Dv\\ \left(\text{lei de Stokes para o arrasto viscoso}\right),\end{array}$$

que, como dissemos, pode ser deduzida da equação de Navier-Stokes – atendendo a algumas premissas, como, por exemplo, número de Reynolds muito baixo ($Re\ll 1$) e escoamento estacionário (no qual a velocidade em cada ponto não muda com o tempo) de um fluido incompressível (com densidade $\rho$ constante).⁹

Perceba que na lei de Stokes consta a viscosidade $\eta$ do fluido, mas não sua densidade $\rho$. Dizemos que se trata de um arrasto viscoso[⁹] (ou arrasto de atrito [⁴]) – um arrasto que é, predominantemente, um efeito da viscosidade do fluido.

A relação linear entre $f$ e $v$ também é verificada, em regime de baixos Reynolds, para corpos com outras geometrias (veja, por exemplo, o caso de um cilindro circular liso no capítulo 9 do livro de Robert W. Fox e coautores [⁴]).

2.3. Arrasto de pressão: forma quadrática para valores intermediários do número deReynolds

Há um segundo tipo básico de arrasto, comumente denominado arrasto de pressão[⁴], cujo módulo é proporcional ao quadrado do módulo $v$ da velocidade relativa entre o corpo e o fluido, e que, portanto, denotaremos por $f_{\text{quad}}$. Ele resulta da diferença de pressão entre as partes anterior e posterior do corpo. Essa diferença de pressão não existiria no escoamento de um fluido ideal (incompressível e sem viscosidade) em torno do corpo – levando ao célebre paradoxo de D’Alembert. Em um fluido ideal, as linhas de fluxo contornam o objeto e se recompõem integralmente na sua parte posterior, fazendo com que as forças de pressão exercidas na parte posterior equilibrem exatamente aquelas que atuam na parte anterior, resultando em um arrasto nulo e contradizendo, assim, nossa experiência cotidiana – daí o paradoxo. No escoamento de um fluido real, contudo, a existência da viscosidade – ainda que mínima – impede essa recomposição integral das linhas de fluxo. O fluido perde energia na fina camada em contato com o corpo, e isso deixa atrás do mesmo uma zona de baixa pressão e turbulência que dá origem ao arrasto de pressão.

Não existe uma expressão para o arrasto de pressão deduzida de primeiros princípios, mesmo no caso em que o corpo tem uma forma simples como a de uma esfera. Ou seja, não há uma “lei de Stokes” para o arrasto de pressão, deduzida a partir da equação de Navier-Stokes.

Verifica-se experimentalmente, para um corpo esférico liso de diâmetro $D$, que se o número de Reynolds está aproximadamente na faixa ${10}^{\text{3}}\lesssim Re\lesssim 3\times {10}^{\text{5}}$ (veja na página 451 do Fox [⁴]), o módulo $f$ do arrasto é proporcional ao quadrado do módulo $v$ da velocidade relativa entre o corpo e o fluido. Verifica-se também que, nessa mesma faixa de valores de $Re$, o módulo do arrasto é proporcional à densidade $\rho$ do fluido e à área $A=\pi D^2/4$ da projeção do corpo em um plano perpendicular à direção de seu movimento no fluido. Temos, então, a seguinte relação de proporção para o arrasto de pressão em um corpo esférico liso:

$$f_{\text{quad}}\propto \rho A{v}^2.$$

Você pode verificar que o produto $\rho A{v}^2$ tem dimensão de força. Assim, podemos escrever:

(5) $$f_{\text{quad}}=\kappa \rho A{v}^2,$$

em que $\kappa$ é uma constante adimensional a ser determinada. Obtém-se experimentalmente, para um corpo esférico liso, $\kappa \approx 1/4$[⁹].

Para corpos com outras geometrias, a igualdade (5) também é válida dentro de uma certa faixa de valores do número de Reynolds, e o valor de $\kappa$ é obtido experimentalmente (citaremos o exemplo de um cilindro circular liso no final desta seção).

Faremos uma modificação na expressão para $f_{\text{quad}}$ em (5) (que não se aplica apenas a corpos esféricos): reescreveremos a constante adimensional $\kappa$ como $C/2$, obtendo:

(6) $$f_{\text{quad}}=\frac{1}{2}C\rho A{v}^2\left(\text{arrasto de pressão}\right),$$

em que $C$ é uma constante adimensional (ainda não é o chamado coeficiente de arrasto, em sua definição ampla, que veremos na seção 3).

Sua primeira reação pode ser: “Mas qual é o sentido de explicitarmos um fator $1/2$?!” De fato, isso não seria tecnicamente necessário. Trata-se apenas de uma opção, para que tenhamos na expressão para $f_{\text{quad}}$, reescrita na forma

$$f_{\text{quad}}=CA\left(\frac{1}{2}\rho v^2\right),$$

a chamada pressão dinâmica$\frac{1}{\text{2}}\rho v^2$, presente na equação de Bernoulli.¹⁰ Embora a maioria dos autores inclua o fator $1/2$ na expressão geral para a força de arrasto de pressão, há exceções. Por exemplo, Taylor [⁹] faz uso da expressão em (5) – com $\kappa$, portanto, fazendo o papel de $C/2$ em (6).

Temos, então, no caso particular de um corpo esférico liso de raio $R$ e diâmetro $D$:

(7) $$f_{\text{quad}}=\frac{1}{2}C\rho A{v}^2=\frac{1}{2}C\rho \pi R^2{v}^2=\frac{1}{8}C\rho \pi D^2{v}^2,$$

com [⁴]

(8) $$C\approx \frac{1}{2}\text{se}{10}^3\lesssim Re\lesssim 3\times {10}^5.$$

Podemos, assim, dizer que a forma quadrática – característica do arrasto de pressão – ocorre dentro de uma certa faixa de valores intermediários do número de Reynolds (${10}^{\text{3}}\lesssim Re\lesssim 3\times {10}^{\text{5}}$, no caso de um corpo esférico liso), enquanto a forma linear – característica do arrasto viscoso – ocorre em regime de baixos Reynolds ($Re\lesssim 1$, no caso de um corpo esférico liso). E isso não é uma exclusividade de corpos esféricos: veja, por exemplo, o caso de um cilindro circular liso no capítulo 9 do Fox [⁴].

3. O Coeficiente de Arrasto e a “universalização” da Forma Quadrática

O desenvolvimento que apresentaremos a seguir é quase uma “malandragem” – e não é nossa (perdoem-nos pela informalidade, os mais conservadores).¹¹

Podemos definir o coeficiente de arrasto, $C_{\text{D}}$ (“D” de “Drag” – Arrasto, em inglês), para um corpo (não necessariamente esférico) movendo-se com rapidez $v$ em um fluido incompressível de densidade $\rho$, tendo área $A$ sua projeção em um plano perpendicular à sua direção de movimento, como

(9) $$C_{\text{D}}\equiv \frac{f}{\frac{1}{2}\rho v^{2}A}\left(\text{definição - coeficiente de arrasto}\right),$$

em que $f$ é o módulo da força de arrasto exercida pelo fluido sobre o corpo.

Entenda que $f$, em (9), não necessariamente é o módulo de um arrasto quadrático – caso em que teríamos $C_{\text{D}}$ constante, denotado por $C$ em (6), igualdade na qual $f$ está propriamente denotado por $f_{\text{quad}}$. Ou seja, $f$, em (9), não necessariamente é um arrasto de pressão – mesmo que apenas parcialmente; pode ser um arrasto puramente viscoso! Assim, a definição em (9) não limita $C_{\text{D}}$ a um valor constante $C$, e é justamente aí que está a “malandragem”: determinando-se experimentalmente o valor de $C_{\text{D}}$, a igualdade

(10) $$f=\frac{1}{2}{C}_{\text{D}}\rho A{v}^2$$

se aplica a arrastos de pressão, viscosos ou mistos; ou seja, não existe, em (10), uma relação necessariamente quadrática entre $f$ e $v$, porque $C_{\text{D}}$ pode não ser constante na faixa de velocidades considerada – e daí a universalidade apenas aparente da forma quadrática em (10).

Por exemplo, para obtermos o arrasto viscoso sobre um corpo esférico liso, segundo a lei de Stokes (igualdade (4)), basta resolvermos, para $C_{\text{D}}$, a equação

$$\frac{1}{2}{C}_{\text{D}}\rho A{v}^2=3\pi \eta Dv,$$

com $A=\pi R^2=\pi D^2/4$. O resultado é:

(11) $$C_{\text{D}}=\frac{24\eta }{\rho Dv},$$

que, reescrito em termos do número de Reynolds para uma esfera (igualdade (3)), fica:

(12) $$C_{\text{D}}=\frac{24}{Re}$$

(coeficiente de arrasto para escoamento viscoso sobre um corpo esférico liso).

Ficou mesmo claro por que dissemos que o desenvolvimento acima é uma espécie de malandragem? Vamos nos manter no caso particular de um corpo esférico (embora a definição do coeficiente de arrasto, em (9), valha para qualquer geometria). Para valores de $Re$ em que o arrasto é de pressão – ou seja, em que $f$ é proporcional a $v^2$ (${10}^{\text{3}}\lesssim Re\lesssim 3\times {10}^{\text{5}}$) –, dizemos que $C_{\text{D}}$ é constante (e aproximadamente igual a $1/2$), enquanto para valores muito baixos de $Re$, em que o escoamento é viscoso, dizemos que $C_{\text{D}}$ é dado pela igualdade (12), e aí recuperamos a lei de Stokes! Ou seja, atribuímos a $C_{\text{D}}$ valores (ou expressões) que satisfazem os dados experimentais! Não há uma teoria subjacente – nem para um corpo esférico, nem para corpos com outros formatos!

Isso nos lembra das seguintes palavras de Ivan S. Oliveira, pesquisador titular do Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas, em seu livro Física Moderna para iniciados, interessados e aficionados (volume 1, página 144) [¹⁰]: “Em física é assim: tratamos com pompa e detalhes matemáticos o que conhecemos; ao que não conhecemos associamos uma letra qualquer, damos um nome pomposo, e incluímos nos cálculos. É bárbaro!” O autor estava se referindo ao conceito de massa efetiva de um elétron em um metal: “como não conhecemos os detalhes das interações entre ele e os íons da rede, varremos tudo isso para debaixo do tapete, quer dizer, para dentro da massa do elétron, que passa então a ser chamada de massa efetiva”. Mas a citação reflete bem o espírito do que estamos discutindo aqui, com relação à definição do coeficiente de arrasto, $C_{\text{D}}$.

A exposição bem-humorada de Ivan Oliveira nos ensina algo importante sobre como os físicos trabalham, mas os estudantes devem ter em mente que esse tipo de procedimento – de “varrer certas coisas para debaixo do tapete” (aqui, para o coeficiente de arrasto, $C_{\text{D}}$) – não é feito de má-fe, é claro; muitas vezes, é o melhor que dá pra fazer, e é útil – na física e na engenharia. Assim, a definição do coeficiente de arrasto, em (9), não é realmente uma “malandragem”, e sim um procedimento legítimo. Não obstante, deve-se ter em mente (os docentes, especialmente, devem ter em mente) que a expressão em (10), obtida a partir da definição do coeficiente de arrasto, pode sugerir, especialmente a estudantes iniciantes, uma generalidade que, a rigor, não possui: não se trata, realmente, de uma forma quadrática – a menos para os valores de $Re$ em que $C_{\text{D}}$ é constante. Como vimos, no caso de um corpo esférico liso, e para valores do número de Reynolds na faixa ${10}^{\text{3}}\lesssim Re\lesssim 3\times {10}^{\text{5}}$, temos $C_{\text{D}}\approx \mathrm{0,5}$, e, portanto, $f\propto v^2$; já para valores do número de Reynolds aproximadamente menores que $1$, temos $C_{\text{D}}\propto 1/v$, e, portanto, $f\propto v$ (em vez de $f\propto v^2$). Para outras faixas de valores de $Re$, a relação entre $f$ e $v$ (fixando-se os valores de $\rho$, $\eta$ e $D$) pode ser mais complicada.

É interessante observar que poderíamos ter introduzido um coeficiente de arrasto na lei de Stokes (igualdade (4)), obtendo (trocando $f_{\text{lin}}$ por $f$, e lembrando que a lei de Stokes se aplica apenas a corpos esféricos):

(13) $$f=3\pi C_{\text{D}}^{\text{Stokes}}\eta Dv.$$

É claro, para valores de $Re$ em que a lei de Stokes se aplica (arrasto viscoso), temos $C_{\text{D}}^{\text{Stokes}}=1$. E para valores de $Re$ em que o arrasto sobre o corpo esférico é de pressão, obtemos, igualando as expressões para $f$ em (13) e (7) (com o valor de $C$ em (8)),

$$3\pi C_{\text{D}}^{\text{Stokes}}\eta Dv=\frac{1}{16}\rho \pi D^2{v}^2,$$

o que nos leva a

$$C_{\text{D}}^{\text{Stokes}}=\frac{\rho Dv}{48\eta }=\frac{Re}{48}.$$

Para outros valores de $Re$, em que o arrasto não é viscoso nem de pressão, a determinação experimental de $C_{\text{D}}$, para um corpo esférico, nos leva a uma medida indireta de $C_{\text{D}}^{\text{Stokes}}$, como veremos a seguir. Igualando as expressões para $f$ em (13) e (10), com $A=\pi D^2/4$, obtemos

$$3\pi C_{\text{D}}^{\text{Stokes}}\eta Dv=\frac{1}{2}{C}_{\text{D}}\rho \frac{\pi D^2}{4}{v}^2,$$

o que nos leva a

$$C_{\text{D}}^{\text{Stokes}}=\frac{\rho Dv}{24\eta }{C}_{\text{D}}=\frac{Re}{24}{C}_{\text{D}}.$$

Voltemos ao coeficiente de arrasto usual, $C_{\text{D}}$, definido em (9). A Fig. 1 mostra o resultado de medições de $C_{\text{D}}$, em termos de $Re$, para corpos esféricos lisos [¹¹].

Figura 1
Coeficiente de arrasto – definido em (9) – medido, em função do número de Reynolds, para corpos esféricos lisos [¹¹]. Em cada medição, $D$ é o diâmetro do corpo, $v$ é sua rapidez, e $\rho$ e $\eta$ são, respectivamente, a densidade e a viscosidade do fluido.

Em primeiro lugar, perceba que o valor de $Re$ determina o valor de $C_{\text{D}}$, mas não o valor do módulo $f$ do arrasto. Por exemplo, o valor de $C_{\text{D}}$ não muda ao substituirmos o fluido por um que tenha a metade de sua densidade $\rho$, mas a mesma viscosidade $\eta$, e dobrarmos o valor do diâmetro $D$ do corpo, mantendo sua rapidez $v$; contudo, tais alterações modificam o valor de $f$ expresso em (10), com $A=\pi D^2/4$,

$$f=\frac{1}{2}{C}_{\text{D}}\rho A{v}^2=\frac{1}{2}{C}_{\text{D}}\rho \frac{\pi D^2}{4}{v}^2,$$

porque as substituições de $\rho$ por ${\rho }^{\prime }=\rho /2$ e $D$ por $D^{\prime }=2D$ nos levam a

$$f^{\prime }=\frac{1}{2}{C}_{\text{D}}^{\prime }{\rho }^{\prime }\frac{\pi D^{\prime 2}}{4}{v}^{\prime 2}=\frac{1}{2}{C}_{\text{D}}\frac{\rho }{2}\frac{\pi {\left(2D\right)}^2}{4}{v}^2=2f.$$

Por outro lado, dobrando-se o valor de $D$ e reduzindo-se o valor de $v$ à metade, não muda o valor de $Re$, nem o valor de $f$ (verifique). De todo modo, como, em princípio, temos o valor de $Re$, para uma esfera, a partir dos valores de $\eta$, $\rho$, $D$ e $v$, teoricamente já dispomos dos valores de $\rho$, $D$ e $v$ para a determinação do valor de $f$ a partir da igualdade (10), entende? Assim, faz todo sentido analisarmos o gráfico de $C_{\text{D}}$ em função de $Re$. Entre outras coisas, esse gráfico nos diz, combinado com a igualdade (10), que na região em que $C_{\text{D}}$ é aproximadamente constante temos, essencialmente, um arrasto quadrático, concorda? E o efeito da forma do corpo (que envolve muito mais do que a área $A$ em (10)) está todo embutido no valor de $C_{\text{D}}$.

Deve estar claro que, na Fig. 1, as escalas são logarítmicas (de base $10$). Ou seja, estão plotados não os pares ordenados $(Re,C_{\text{D}})$, mas os pares $({\log }_{10}Re,{\log }_{10}{C}_{\text{D}})$. Assim, observe, por exemplo, a linha tracejada relativa à lei de Stokes. Ela corresponde à seguinte igualdade, obtida a partir da igualdade (12):

$${\log }_{10}{C}_{\text{D}}={\log }_{10}24-{\log }_{10}Re,\text{para}Re\lesssim {10}^0,$$

e por isso é um segmento de reta, com “inclinação negativa”.

Chama a atenção na Fig. 1 a queda brusca no valor de $C_{\text{D}}$ para um valor de $Re$ entre $2\times {10}^{\text{5}}$ e $4\times {10}^{\text{5}}$. Trata-se – aqui para o caso de um corpo esférico liso – da chamada “crise do arrasto”: uma redução drástica na força de arrasto, o que é um resultado surpreendente e contraintuitivo, pois geralmente se espera que o arrasto aumente com o aumento da velocidade.

4. Síntese e Considerações Finais

Neste artigo, buscamos expandir um pouco a visão daqueles cujo único contato com o tema “forças de arrasto” se deu ao nível de livros introdutórios de física como Halliday, Tipler e Moysés [¹, ², ³], ou mesmo ao nível de livros de mecânica clássica como o Taylor [⁹], bem mais avançados.

Vimos que as grandezas básicas relevantes para a determinação da intensidade do arrasto são a viscosidade $\eta$ e a densidade $\rho$ do fluido, um comprimento característico $l$ do corpo em uma direção perpendicular à de seu movimento no fluido (por exemplo, o diâmetro $D$, no caso de uma esfera) e o módulo $v$ da velocidade com que o corpo se move no fluido. Temos, portanto, duas propriedades do fluido, uma característica geométrica do corpo e uma grandeza referente ao movimento relativo entre o corpo e o fluido. Perceba que no estudo do arrasto como função da velocidade, as grandezas $\eta$, $\rho$ e $l$ são tratadas como parâmetros.

Vimos, também, que o número de Reynolds, $Re$, desempenha um papel muito importante na mecânica dos fluidos – em particular na determinação do tipo de arrasto sofrido por um corpo: viscoso, de pressão ou misto. Para corpos de diferentes formas movendo-se em um fluido, o número de Reynolds é usualmente definido como $Re=\rho lv/\eta$.

O arrasto é dito viscoso quando é um efeito, predominantemente, da viscosidade do fluido. No arrasto viscoso, a força exercida sobre o corpo é proporcional à velocidade com que ele se move no fluido. Um caso particular notável é quando o corpo é esférico: temos a chamada lei de Stokes (igualdade (4)) – uma expressão fechada para o arrasto viscoso, deduzida da equação de Navier-Stokes, e que é verificada, experimentalmente, para corpos esféricos lisos quando temos $Re\lesssim 1$. Como dissemos, a relação linear entre $f$ e $v$ também é verificada, em regime de baixos Reynolds, para corpos com outras geometrias – como no caso de um cilindro circular liso (veja o capítulo 9 do livro de Robert W. Fox e coautores [⁴]).

O arrasto de pressão é um efeito da diferença de pressão entre as partes anterior e posterior do corpo que se move relativamente ao fluido. No escoamento de um fluido real, a existência da viscosidade – ainda que mínima – impede a recomposição integral das linhas de fluxo em torno do corpo. O fluido perde energia e não consegue mais acompanhar a superfície do corpo, deixando atrás dele uma zona de baixa pressão e turbulência que dá origem ao arrasto de pressão. Nesse tipo de arrasto, o módulo da força exercida sobre o corpo é proporcional ao quadrado do módulo da velocidade com que ele se move no fluido. Tal relação é verificada, experimentalmente, no caso particular de um corpo esférico liso, para a seguinte faixa de valores intermediários do número de Reynolds: ${10}^{\text{3}}\lesssim Re\lesssim 3\times {10}^{\text{5}}$. Mas não há, nem mesmo no caso particular de um corpo esférico liso, uma expressão fechada para o arrasto de pressão, deduzida da equação de Navier-Stokes.

Na expressão $f_{\text{quad}}=\frac{1}{\text{2}}C\rho A{v}^2$ para o arrasto de pressão, válida apenas numa determinada faixa de valores do número de Reynolds – qual, precisamente, depende da forma geométrica do corpo –, $C$ é uma constante adimensional a ser obtida experimentalmente, $\rho$ é a densidade do fluido, $A$ é a área da projeção do corpo em um plano perpendicular à direção de seu movimento no fluido, com velocidade de módulo $v$, e escrevemos “$f_{\text{quad}}$”, no lugar de “$f$”, para dar destaque à relação quadrática entre o módulo do arrasto de pressão e $v$. Para um corpo esférico liso, obtém-se, experimentalmente, $C\approx \mathrm{0,5}$ na faixa ${10}^{\text{3}}\lesssim Re\lesssim 3\times {10}^{\text{5}}$.

A seção 3 foi a seção central deste artigo. Nela, buscamos mostrar – tendo em mente, especialmente, estudantes iniciantes interessados no tema “forças de arrasto” – que a definição do coeficiente de arrasto, $C_{\text{D}}$, em (9), dá à igualdade (10) uma aparência de relação quadrática entre $f$ e $v$, mas tal relação só é realmente quadrática se $C_{\text{D}}$ é constante na faixa de velocidades considerada (com as demais grandezas relevantes mantidas fixas). Como dissemos, isso ocorre, no caso de um corpo esférico liso, na seguinte faixa de valores intermediários do número de Reynolds: ${10}^{\text{3}}\lesssim Re\lesssim 3\times {10}^{\text{5}}$.

Deve estar claro que a constante $C$, neste texto, é o coeficiente de arrasto, $C_{\text{D}}$, na faixa de valores de $Re$ em que tal coeficiente é constante.

Na Fig. 1, apresentamos o resultado de medições de $C_{\text{D}}$, em termos de $Re$, para corpos esféricos lisos [¹¹]. Observe, novamente, a constância (aproximada) de $C_{\text{D}}$ ($\approx \mathrm{0,5}$) na faixa acima – na qual temos um arrasto de pressão. Chamamos também a atenção do leitor, na Fig. 1, para a lei de Stokes (temos um arrasto viscoso para $Re\lesssim 1$) e para a denominada crise do arrasto.

Deve ficar claro que a forma geométrica do corpo tem um efeito direto sobre o valor de seu coeficiente de arrasto, $C_{\text{D}}$, como função do número de Reynolds, $Re$, sem que saibamos prever analiticamente qual é, exatamente, esse efeito – a menos de relações mais gerais, do tipo: os valores de $C_{\text{D}}$ são usualmente menores para corpos mais aerodinâmicos. Muito da física do arrasto está embutida na relação empírica entre o coeficiente de arrasto e o número de Reynolds – como, por exemplo, a crise do arrasto, revelada na Fig. 1. É nesse sentido que o coeficiente de arrasto é um daqueles parâmetros que sintetizam uma física que não conseguimos derivar de forma puramente analítica.

Agradecimentos

Somos muito gratos aos professores Sérgio de Lemos Campello e Elizabeth Lacerda Gomes, da UFPE, por sua análise de uma primeira versão do manuscrito, bem como aos pareceristas anônimos, que revisaram com bastante zelo a versão submetida.

Disponibilidade de Dados

Como este artigo é um estudo teórico, não foram utilizados dados para a sua elaboração.

Referências

• ^[1] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física (LTC, Rio de Janeiro, 2023), v. 2, 12 ed.
• ^[2] P.A. Tipler e G. Mosca, Física para Cientistas e Engenheiros (LTC, Rio de Janeiro, 2009), v.1, 6 ed.
• ^[3] H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica (Blucher, São Paulo, 2014), v.2, 5 ed.
• ^[4] R.W. Fox, A.T. McDonald e P.J. Pritchard, Introdução à Mecânica dos Fluidos (LTC, Rio de Janeiro, 2014), 8 ed.
• ^[5] Y.A. Çengel e J.M. Cimbala, Mecânica dos Fluidos (AMGH, Porto Alegre, 2015), 3 ed.
• ^[6] M.C. Potter, D.C. Wiggert e B.H. Ramadan, Mecânica dos Fluidos (Cengage Learning, São Paulo, 2014), 2 ed.
• ^[7] L.D. Landau e E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics (Pergamon, Oxford, 1987), 2 ed.
• ^[8] E.J. Vasques, P. Menegasso e M. Souza, Revista Brasileira de Ensino de Física 38, 1307 (2016).
• ^[9] J.R. Taylor, Classical Mechanics (University Science Books, Nova York, 2005).
• ^[10] I.S. Oliveira, Física Moderna para iniciados, interessados e aficionados (Editora Livraria da Física, São Paulo, 2005), v. 1.
• ^[11] H. Schlichting e K. Gersten, Boundary-Layer Theory (Springer, Heidelberg, 2017), 9 ed.

• 1
  O Course of Theoretical Physics, em 10 volumes, é predominantemente destinado a estudantes de pós-graduação em física, especialmente os que pretendem seguir carreira na física teórica. Trata-se de uma coleção ao mesmo tempo fascinante e assustadora – ao menos para a maioria de nós, meros mortais. Poucos são os que conseguem estudar bem esses dez volumes. E, no entanto, Landau considerava que ter domínio sobre o conteúdo de sua coleção era possuir um “mínimo teórico”.
• 2
  É claro, parte do fluido passa a se mover em decorrência do movimento do corpo em seu interior.
• 3
  Um sólido K é dito convexo se, para quaisquer dois pontos A e B que pertencem a K, o segmento de reta que liga A a B está inteiramente contido em K.
• 4
  Esses efeitos de borda são também chamados de efeitos de confinamento ou efeitos de parede.
• 5
  No caso de um avião em voo, existe arrasto, além de forças de sustentação (entre outras forças possíveis). Mas é interessante observar que essa separação entre arrasto e sustentação é mais uma “conveniência”, para engenheiros e físicos, que uma divisão real na interação do ar com a aeronave. Analogamente, a força de atrito e a força normal que um piso exerce sobre um bloco em movimento constituem, juntas, uma única força de contato (ou, para sermos mais precisos, a resultante de forças de contato microscópicas); mas considerá-las separadamente facilita enormemente a análise do problema.
• 6
  Se você não conhece a definição da grandeza viscosidade, comumente denotada por $\eta$ ou $\mu$, consulte um livro de física básica (recomendamos o Tipler [²] ou o Moysés [³]).
• 7
  Ou poderia ser, por exemplo, o comprimento de uma diagonal de uma face do cubo; o comprimento de um lado do cubo é, apenas, a escolha mais natural. Mesmo no caso da esfera, não há unanimidade: alguns autores adotam $l=R=D/2$, em vez de $l=D$.
• 8
  A importância do número de Reynolds não se limita à análise do movimento de corpos em fluidos. Ele também é usado, por exemplo, na classificação do regime de escoamento de um fluido em um tubo (basicamente, escoamento laminar para valores baixos de $Re$ e escoamento turbulento para valores altos de $Re$). Neste caso, $l$ é o diâmetro interno do tubo.
• 9
  A equação de Navier-Stokes é uma equação fundamental da mecânica dos fluidos. Grosso modo, ela é o análogo, para fluidos, da segunda lei de Newton para partículas, ou para corpos rígidos. Sua forma clássica (existem formas mais gerais da equação de Navier-Stokes), aplicável apenas a fluidos newtonianos incompressíveis – aqueles que apresentam uma relação linear entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação, e cuja densidade é constante no espaço e no tempo –, é: $\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}\cdot \nabla \right)\mathbf{v}\right)=-\nabla p+\eta {\nabla }^2\mathbf{v}+\rho \mathbf{g}$, em que $\mathbf{v}$ é a velocidade do fluido e $p$ sua pressão, no ponto considerado, enquanto $\mathbf{g}$ é a aceleração da gravidade local. Se lhe interessa dar uma olhada na dedução da lei de Stokes a partir da equação de Navier-Stokes, veja, por exemplo, o trabalho de Vasques, Menegasso e Souza, publicado em 2016 na Revista Brasileira de Ensino de Física [⁸].
• 10
  $\rho v^2/2$ é uma energia cinética por unidade de volume do fluido, no ponto em que sua densidade é $\rho$ e sua velocidade tem módulo $v$. O termo “pressão dinâmica” é usado porque ela tem unidade de pressão, e aparece, na equação de Bernoulli, somada à “pressão estática” $P$ (ou $p$, como alguns autores preferem denotar).
• 11
  Um amigo que leu uma versão preliminar deste artigo nos disse – meio de brincadeira, meio sério – que não perdoa. E entendemos sua preferência. Mas gostaríamos de deixar registrada, aqui, a defesa de nosso ponto de vista: estamos usando esse tipo de escrita informal como uma ferramenta pedagógica. Por exemplo, ao inserirmos, no texto, uma pergunta como “Razoável, não acha?”, convidamos o leitor à reflexão. E ao abrirmos um parágrafo com a expressão “Muito bem, …”, estamos sinalizando para o leitor que uma parte da exposição foi concluída, e uma nova parte está para ser iniciada. Voltando à forma como iniciamos esta seção – que é a seção central do artigo: nossa intenção é chamar a atenção para algo que pode passar realmente despercebido pelo estudante iniciante, e até mesmo por estudantes mais experientes.

Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  03 Ago 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  17 Dez 2025
• Revisado
  26 Jun 2026
• Aceito
  27 Jun 2026