Linguagem imagética e sistema de equações: um estudo de campoResumo
Este trabalho objetiva apresentar os resultados de um Estudo de Campo realizado como parte de uma pesquisa que investigou as potencialidades da linguagem imagética e dos enigmas matemáticos de equações para facilitar o ensino e a aprendizagem de sistema de equações. A pesquisa foi realizada com estudantes do Ensino Médio de instituições de ensino em Alegrete, no estado do Rio Grande do Sul e desenvolvida por meio de um questionário que abordou a caracterização e as percepções dos alunos em relação à álgebra, sistema de equações, enigma matemático e linguagem imagética. Para a análise dos resultados foi utilizada a Análise de Conteúdo, que apontou a linguagem imagética e os enigmas matemáticos como elementos facilitadores para o ensino e aprendizagem de álgebra e sistema de equações. As imagens auxiliaram na compreensão da linguagem algébrica, sobretudo no entendimento das letras, e proporcionaram mais sentido aos problemas algébricos pelo seu potencial contextualizador.
Palavras-chave
ensino de matemática; álgebra; ensino médio; linguagem imagética; registro algébrico
Abstract
This paper presents the results of a field study investigating the potential of the language of images and mathematical puzzles to facilitate the teaching and learning of systems of equations. The study was conducted with secondary school students in the city of Alegrete, in the Brazilian state of Rio Grande do Sul. A questionnaire was used to characterize the students and assess their perceptions of algebra, systems of equations, mathematical puzzles, and language of images. Content analysis was used to identify the potential of the language of images and mathematical puzzles for teaching and learning algebra and systems of equations. Images aid the understanding of algebraic language, particularly the meaning of letters, and clarify algebraic problems through contextualization.
Keywords
mathematics teaching; algebra; secondary education; language of imagery; algebraic notation
Introdução
Algumas áreas da matemática figuram como complexas e de difícil entendimento pelas pessoas e pelos estudantes. Dentre elas, a Álgebra aparece como uma das mais complexas, e estudos apontam que as dificuldades podem ter relação com a linguagem adotada (Estevão, 2021; Gil, 2008). Um dos conteúdos em que isso acontece é o sistema de equações (SE), que é um conjunto de equações algébricas com mais de uma incógnita (uma letra), em que cada uma delas representa o mesmo valor nas equações. Diante disso, estudos que indiquem possibilidades que auxiliem nas dificuldades dos estudantes com a linguagem algébrica são importantes e necessários.
Ao encontro disso, a pesquisa intitulada Linguagem Imagética no Ensino e Aprendizagem de Sistema de Equações (Oliveira, 2024) foi desenvolvida com o objetivo de investigar, a partir da ótica discente, se a linguagem imagética pode facilitar o ensino e aprendizagem de equações e de sistema de equações, e como essa linguagem, contida em Enigmas Matemáticos de Equações, pode contribuir nesses processos. Sendo assim, o objetivo deste trabalho é apresentar e discutir os resultados de um dos momentos procedimentais da pesquisa, o Estudo de Campo (Prodanov; Freitas, 2013), que visou ao levantamento de percepções dos alunos a respeito da utilização da linguagem imagética e de enigmas matemáticos para facilitar o ensino e aprendizagem de sistema de equações.
Cabe destacar que se entende por linguagem imagética a comunicação por meio do uso de imagens (Linguagem imagética, 2013), e Enigma(s) Matemático(s) (EM) como desafios matemáticos na forma de equações simbólicas, que, ao invés de usar letras, usam imagens, e cujo objetivo é encontrar o valor da interrogação (González, 2021). Esses enigmas são amplamente difundidos na internet e nas redes sociais, e por isso a opção por eles na pesquisa. Na figura 1 apresentam-se problemas envolvendo SE, na linguagem algébrica, e EM, na linguagem imagética, que foram utilizados na pesquisa.
Aportes teóricos
Para embasar a utilização da linguagem imagética e dos EM na pesquisa, foram usados três aportes teóricos: Múltiplas Representações, Teoria dos Registros de Representação Semiótica (TRRS) e Contextualização. As Múltiplas Representações, que são amparadas pela Semiótica (Laburú; Zômpero; Barros, 2013), investigam a comunicação, as linguagens e suas diferentes formas de expressão voltadas ao processo de ensino e aprendizagem (Bica; Mello-Carpes; Roehrs, 2018). Elas visam a prática de se trabalhar conceitos de maneiras e com linguagens distintas, sejam elas descritivas, experimentais e matemáticas, gestuais, corporais ou figurativas, e nessas últimas, se encontram as pictóricas, por exemplo (Klein; Laburú, 2012).
Ao se utilizar novas representações, são criadas condições para que os conhecimentos prévios sejam reconhecidos e complementados, ou até mesmo revistos, colaborando no entendimento dos conceitos matemáticos. O acesso às informações por meio de outros signos, outros modos de representação, pode gerar um aprimoramento das interpretações de conceitos (Bica; Mello-Carpes; Roehrs, 2018), formando “[...] pontes entre os conhecimentos prévios do sujeito e os novos conceitos, possibilitando a estruturação de sentidos e de relações argumentativas” (Laburú; Barros; Silva, 2011, p. 481). Com isso, ao mobilizar conhecimentos anteriores, se entende, assim como os autores, que as múltiplas representações se relacionam à Aprendizagem Significativa (Moreira, 2016). Portanto, ao se valer de Múltiplas Representações, visualiza-se que o professor consegue criar um ambiente propício ao confronto entre novos conhecimentos e subsunsores, em que a ação educativa, cercada de experiências afetivas e pela troca de significados e sentimentos entre os sujeitos, acontece (Moreira, 2016), com a identificação da posição de protagonismo e predisposição a aprender do aluno.
A linguagem imagética se apresenta com potencial representacional, uma vez que elementos visuais das imagens, ligados ao sentido da visão, auxiliam na produção de significados (Scoparo, 2018) e apoiam os textos escritos (Luyten, 2011). Suas características como proximidade com a realidade, capacidade de moldar a imaginação, polissemia, subjetividade, ligação aos processos de cognição, ludicidade e relação com sentimentos e emoções (Oliveira; Roehrs, 2023a), podem colaborar no sentido de promover um outro modo de representação mais interessante e com sentido ao aluno.
Mesmo as Múltiplas Representações sendo um bom suporte para a pesquisa, entendeu-se ser importante trazer uma teoria mais específica da matemática e que mantivesse uma relação direta com as representações. Encontra-se essa ligação com a TRRS, de Raymond Duval. Como os objetos matemáticos não são acessíveis à percepção ou intuição imediata, verifica-se a existência do paradoxo cognitivo da matemática, envolvendo as questões de como não confundir objeto matemático e sua representação, e como saber se diferentes representações não tratam de objetos distintos (Duval; Moretti, 2012; Duval, 2010). A partir disso, é definido Sistema Semiótico como um conjunto organizado de signos para identificar objetos representados e que tem a capacidade de comunicação. Mas alguns sistemas desempenham outras funções além de comunicar, como as de objetivação e de tratamento, tornando-os mais completos. A estes sistemas, específicos da matemática, denominou-se registros (Duval, 2010).
Na TRRS, para que a representação semiótica de um objeto seja alcançada, ou ainda, para que haja o entendimento dos conteúdos matemáticos, é necessária a mobilização de pelo menos dois registros. Essa diversidade de registros é condição necessária para que os objetos matemáticos sejam reconhecidos em suas representações e não haja confusão entre objeto e sua representação (Duval, 2010). As Múltiplas Representações, por seu propósito, acabam por ocupar um papel importante para que sejam desenvolvidos os registros. E a linguagem imagética, contida nessa multiplicidade e sendo uma diferente forma de comunicar e representar, colabora na identificação de diferentes registros de representação semiótica.
A busca por mais significação do conhecimento é algo que promove o melhor entendimento dos conceitos, incluídos os matemáticos. Nesse sentido, a contextualização, vista como momento em que são desenvolvidas situações capazes de promover a construção de significado (Oliveira Neto, 2013), pode colaborar nesse sentido. Outras interpretações complementam essa definição, como a de Pedrosa (2014, p. 19), que afirma que contextualizar “é provocar a necessidade de representar uma situação, discutir sobre ela”, ou a dada por Schons et al. (2017) que aborda o conceito mais voltado ao ensino e aprendizagem, tratando contextualização como um recurso que associa experiências cotidianas com conhecimentos científicos. Esses entendimentos aproximam a contextualização das Múltiplas Representações e à TRRS.
Especificamente em matemática, contextualização também é vista como um recurso, um princípio pedagógico para envolver os conhecimentos da vida do aluno, conectando conteúdos matemáticos a outros conhecimentos, inclusive os conhecimentos prévios deles (Barbosa; Mendes, 2016). Como nem sempre os conteúdos matemáticos têm uma relação com o cotidiano (Santos; Nunes; Viana, 2017), é preciso considerar a possibilidade da contextualização da matemática pela matemática (Barbosa; Mendes, 2016), observando questões internas da área. De qualquer forma, segundo Luccas e Batista (2008), contextualizar os objetos matemáticos pode estimular os alunos a se sentirem motivados a aprender.
Os aportes teóricos, aqui apresentados de forma sintética, procuram situar o leitor em relação aos fundamentos conceituais que sustentam a pesquisa. Uma discussão mais aprofundada dessas teorias pode ser encontrada em Oliveira e Roehrs (2023b), em que tais aspectos são desenvolvidos de maneira mais ampla e sistematizada.
Metodologia
Para o desenvolvimento do Estudo de Campo, adotou-se a concepção apresentada por Prodanov e Freitas (2013), segundo a qual esse tipo de estudo é semelhante ao levantamento por interrogações diretas, porém apresenta maior profundidade e flexibilidade, por não se restringir exclusivamente a análises quantitativas e por se voltar a um universo mais restrito. Com base nessa perspectiva metodológica, foram planejados e desenvolvidos três encontros presenciais em cada escola coparticipante da pesquisa, com duração aproximada de uma hora cada. Após um contato prévio com as escolas, por telefone e/ou mensagens em redes sociais, foi realizado o primeiro encontro, compreendendo uma reunião com a direção e/ou coordenação escolar para a apresentação do pesquisador e formalização da autorização da participação destas por meio da assinatura dos termos de coparticipação.
Em seguida, após contato com os docentes de Matemática das turmas dos participantes para combinados de dias e horários, ocorreu o segundo encontro. Esse público era composto por alunos de 10 turmas do Ensino Médio de escolas das redes federal, estadual, municipal e particular de Alegrete, RS, totalizando seis instituições e N = 151 participantes, distribuídos nos três anos desse nível, preferencialmente alunos que já tivessem estudado o conteúdo de SE no Ensino Médio. A visita às turmas teve o intuito de apresentar a pesquisa e o pesquisador aos alunos, explicitando os objetivos, as atividades, a importância da pesquisa e da participação e os cuidados éticos e de segurança prescritos nos documentos oficiais. Após os esclarecimentos, foram entregues os Termos de Consentimento Livre e Esclarecido para os participantes (inclusive o de Assentimento, para os menores de idade), que foram preenchidos, assinados e entregues para o pesquisador. Em alguns casos, os termos foram devolvidos aos professores das turmas e, posteriormente, recolhidos pelo pesquisador.
Após novo agendamento com os professores das turmas, ocorreu o terceiro encontro, cuja atividade principal foi o desenvolvimento de um questionário para a coleta de dados. Ele era impresso, composto por 25 questões, algumas discursivas, sendo seis de identificação dos participantes e 19 abordando aspectos específicos sobre dificuldades com Matemática e Álgebra, contextualização, comparações e resoluções de SE e EM. Como apoio a esse instrumento, também foi desenvolvido um diário de bordo do pesquisador, para registro de suas observações. Finalizando esse encontro, foram feitos os agradecimentos e entregue uma pequena lembrança aos participantes.
Para a análise dose dados do questionário, utilizou-se a Análise de Conteúdo (AC) (Bardin, 2016), contando com o auxílio do aplicativo Google Forms e do software Excel para a transcrição dos 151 questionários impressos, sendo este último utilizado também para a organização e obtenção dos dados quantitativos, e do software ATLAS.ti, no apoio à unitarização, à codificação e à categorização das respostas discursivas. Além disso, após registros na agenda do pesquisador, o diário de bordo foi confeccionado no software Word, e, das informações analisadas com o auxílio do ATLAS.ti, apenas algumas foram incluídas nos resultados, complementando as obtidas pela análise do questionário. Os resultados das questões objetivas foram expressos no texto em dados numéricos, percentuais e em tabelas e quadros; para as subjetivas, em que foi realizada a categorização, utilizaram-se quadros. Em seguida, desenvolvem-se as inferências, nas quais são retomados certos percentuais, apresentadas algumas respostas dos alunos e realizadas discussões com autores.
Resultados e discussão
Para melhor organizar a apresentação dos resultados, as questões foram agrupadas em temáticas, sendo elas: caracterização dos participantes; contextualização; resolução de SE e significado das letras; conhecimento e resolução de EM; comparações entre SE e EM; e considerações sobre uso de imagens e comentários. Essas temáticas compreendem as seções que seguem, neste capítulo.
Na AC, a pré-análise foi desenvolvida durante o processo de transcrição, em que a leitura flutuante, a preparação do material nos softwares Excel e ATLAS.ti, as hipóteses e as indicações foram realizadas concomitantemente para todas as respostas, que foram os documentos escolhidos. Na sequência, a exploração do material se deu pela utilização em paralelo dos softwares, sendo o tratamento realizado pela escolha das unidades de registro (unitarização) e pela codificação (categorização inicial), realizadas no ATLAS.ti, e a categorização final1, no Excel. Na categorização, tendo em vista a quantidade e variedade de respostas, optou-se por categorias a posteriori.
Caracterização dos participantes
Na primeira temática, caracterizando os 151 participantes, verificou-se que oito alunos estão cursando o 1° ano, 115 o 2° ano e 28 o 3° ano. Essa predominância de alunos no 2° ano justifica-se por ser o ano em que boa parte das escolas desenvolve o conteúdo de SE com mais de duas incógnitas, o qual tem relação com os EM mais presentes nas redes sociais. Esse motivo, associado ao fato de os EM serem, em sua maioria, com mais de duas incógnitas, também justifica a escolha pelo Ensino Médio. A maioria dos pesquisados tinha idade entre 15 e 18 anos (141 alunos), e 144 cursavam o respectivo ano letivo pela primeira vez. Observa-se que, para fins da manutenção do anonimato, os participantes foram identificados de A1 a A151.
Contextualização sobre equação e sistema de equação
Na temática de contextualização, os alunos foram questionados se lembravam da contextualização para estudo de equações e SE, e 76% responderam que não lembravam. Esse fato pode encontrar justificativa pela contextualização acontecer de modo superficial, em que “o conteúdo é apresentado de maneira estática e desligado de qualquer sentido prático para o aluno” (Barbosa; Mendes, 2016, p. 363), e pela álgebra ocorrer de forma descontextualizada (Araújo, 2008). Aos alunos que lembravam, foi perguntado se eles poderiam descrever como foi a contextualização. Nas 35 respostas, foi realizada a AC, identificando-se 36 unidades de registro que geraram 15 códigos, dos quais emergiram três categorias, como descrito no quadro 1.
Embora o maior percentual (44%) tenha se concentrado nos alunos que não responderam, por não saberem ou não se lembrarem, e naqueles que responderam de forma superficial, 56% das respostas abordaram as duas formas de contextualizar: com a realidade e com conteúdos matemáticos. A primeira (na categoria 2), que leva o aluno a relacionar experiências do cotidiano com conhecimentos escolares e, com isso, à aprendizagem significativa (Schons et al., 2017), pode ser percebida nas respostas dos alunos A8, “Exemplos mundanos” ou de A13, “Contextualizou com problemas do dia a dia ... de maneira engraçada que memorizam [sic] mais rápido”. Cabe destaque à referência deste ao lúdico. A segunda (categoria 3), a contextualização com conteúdos matemáticos, pode ser exemplificada pelo aluno A126, afirmando “um conjunto de conhecimentos de anos passados, juntamente com a teoria das próprias equações e dos sistemas”. Embora haja um aspecto positivo nessa contextualização interna, da matemática pela matemática (Barbosa; Mendes, 2016), pois o docente provavelmente buscou resgatar conhecimentos matemáticos prévios, no caso conteúdos trabalhados no Ensino Fundamental ou em outros anos e áreas da matemática, considera-se que haveria condições para a contextualização com o cotidiano, com situações-problema e em diferentes representações.
Resolução de sistema de equações e significado das letras
Na temática sobre os SE e significado das letras, 55% dos alunos afirmam que conseguiriam resolver um SE (o da figura 1), embora a resolução não tenha sido solicitada. Os demais afirmaram que não. Esses percentuais chamam atenção, pois indicam que quase metade dos alunos não consegue resolver a questão, sendo que a maioria já havia estudado o conteúdo envolvendo resoluções desse tipo de sistema. Costa et al. (2016) apontam, em sua pesquisa, que as dificuldades em compreender os problemas e os conceitos e a imaturidade de abstração são fatores relacionados ao não aprendizado da Álgebra.
Foi questionado se os alunos compreendiam o significado das letras em equações do tipo x + y = 3, sendo que 62% dos participantes afirmaram que sim. Considera-se um percentual baixo, uma vez que o significado algébrico das letras, em Matemática, é trabalhado desde anos finais do Ensino Fundamental até o 3° ano do Ensino Médio. Para esses alunos, foi perguntado qual significado atribuíam às letras nas equações e de suas respostas foi realizada a AC, em que se observou 108 unidades de registro, organizadas em onze códigos que geraram quatro categorias, como descrito no quadro 2.
Nessa esfera de alunos, a maioria contida na categoria 1 compreende acertadamente as letras em uma equação como incógnitas. Na equação proposta na questão, a resposta variáveis, que apareceu e nominou a terceira categoria, é igualmente adequada, pois com duas letras, ao alterar uma delas a outra irá variar. Outro apontamento positivo, na categoria 2, foram as respostas relacionadas a números, em que alunos responderam “números cujo [sic] a soma resultam [sic] em 3” (A11), ou “x seria 2 ou 1 e y também” (A55), que, por se tratar de números encontrados ou a serem encontrados, se relacionam às ideias de incógnita e variáveis. Ou seja, com exceção dos que afirmaram saber o significado, mas deixaram essa resposta em branco, os demais conseguiram identificar acertadamente as letras como incógnitas ou variáveis.
Conhecimento e resolução de enigma matemático
Sobre a temática de conhecimento e resolução de EM, 80% dos alunos afirmaram que conheciam este tipo de desafio (o EM da figura 1), mesmo não sendo um conteúdo trabalhado em aula, e 82% responderam que se sentiriam motivados a resolvê-lo. São percentuais consideráveis que indicam uma boa aceitação e, sendo conhecido e motivador, sua utilização nas aulas é facilitada, pois além disso, os EM estão presentes na internet e em redes sociais.
Sobre a resolução de um EM, foi feito um questionamento inicial, para aproximar os alunos dos enigmas, sendo questionado se, independentemente da motivação, eles conseguiriam encontrar o valor de uma das imagens, especificamente do cacho de uvas. Todos responderam, sendo que 85% acertaram a alternativa correta, e a maioria citou o uso de substituição ou atribuição de valores como métodos para a resolução. Alguns alunos assinalaram outra resposta (11%), sendo que após a categorização, 82% das unidades de registro destacaram a categoria nominada “somando/calculando pelos valores das frutas”, como se percebe na resposta de A99: “se 7 é o valor da maçã, 7 (maçã) + 5 = 12 (uva)”. Segundo Boaler, Munson e Williams (2018), a melhora no desempenho em Matemática vem do desenvolvimento de conexões entre representações simbólicas e visuais dos números, e as atividades visuais podem envolver significativamente os alunos, e entende-se que a linguagem imagética, como elemento visual, pode tanto criar como ampliar essa conexão, em um primeiro momento, mais do que a linguagem algébrica.
Comparações entre sistema de equações e enigma matemático
Na temática envolvendo comparações, foram apresentadas questões que, após mostrar um SE e um EM (figura 2), perguntava-se qual era o mais interessante, o mais divertido de resolver, qual tinha mais significado e sentido em sua realidade, e qual era mais difícil de entender e resolver.
Sobre essas questões, os resultados podem ser observados no quadro 3. A maior parte das respostas dos alunos apontou o EM como sendo o mais interessante (77%) e o mais divertido (84%). Nessas duas questões, dois e três alunos, respectivamente, assinalaram as duas respostas, indicando que ambos seriam interessantes e divertidos e, por isso, o total de n é maior que N. Sobre ter significado e fazer sentido na realidade, se vê nos percentuais que os alunos ficaram mais divididos entre EM e SE, e sobre dificuldade em entender e resolver, a maior parte deles citou SE como mais difícil (75%).
Quantitativos sobre interesse, diversão, significado e sentido, e dificuldade entre SE e EM
Para compreender melhor as preferências dos alunos, foi solicitado que os alunos explicassem o porquê da sua escolha entre sistema ou enigma. Para essas justificativas, foi realizada a AC, o que gerou, para cada questão analisada, 179 unidades de registro, 52 códigos e 13 categorias, em média, para cada questão. Tendo em vista esse número elevado de categorias, são trazidas no quadro 4 apenas as quatro principais, das questões sobre sentido e dificuldade.
Sobre a questão de ter mais significado e sentido para a realidade do aluno, os resultados para SE e EM foram aproximados em relação às unidades de registro. Para o SE, as justificativas se destacam por um entendimento voltado à realidade escolar, em que a categoria 1 é mais expressiva e aborda diretamente que esse conteúdo é trabalhado em aula pelos professores. O aluno A36 mostra isso quando responde “Porque a gente vê mais o sistema de equações no dia a dia na sala de aula”. Na categoria 2, se destaca a relação mais próxima do SE e das letras com a matemática, com cálculos e operações, corroborado por Estevão (2021) ao trazer a Álgebra significativa para comunicação e compreensão de mundo, como linguagem e instrumento de cálculo.
O EM tem mais sentido e significado, segundo a categoria 1, pelo fato da presença das imagens, cores, objetos, que deixa o EM mais compreensível, mais simples, como se percebe na resposta do aluno A127: “Porque ele tem ilustrações e é de certa forma mais simples que o sistema”. A categoria 2 relaciona o fato da percepção dos alunos em se ter mais significado por ser contextualizado, estar relacionado com o dia a dia, como se observa na resposta “Pois consigo associar com coisas e problemas cotidianos”, de A101. Mas, em ambas, de certa forma, há alusão à realidade, pois as imagens e objetos também remetem ao cotidiano dos alunos.
Sobre a dificuldade de entender e resolver, em ambas as representações o destaque ficou mais na linguagem em si. O SE é mais difícil por adotar a linguagem algébrica e ter letras, como descreve a categoria 1. Mas de certa forma, esse aspecto está incluído na categoria 2, uma vez que a complexidade, a formalidade e as dificuldades com os cálculos e o conteúdo de álgebra, se devem em parte à falta de compreensão da linguagem e das letras (Estevão, 2021; Gil, 2008). Os alunos A73 e A77 descrevem isso, quando respondem que “é como olhar um quadro cheio de letras e não poder ler” e “somar letras parece mais difícil do que somar figuras”. É nesse sentido que uma nova representação pode ser importante para facilitar o entendimento e as interpretações de conceitos (Bica; Mello-Carpes; Roehrs, 2018), assim como um novo registro semiótico simbólico, com a finalidade de apreensão conceitual dos objetos matemáticos (Duval, 2010) presentes em SE, como equações e incógnitas.
A justificativa sobre o EM ser mais difícil ficou, em sua maioria, relacionada ao uso de imagens, na categoria 1, mas de um ponto de vista mais específico: imagens têm detalhes e causam distração. Portanto, não é o fato em si da imagem, mas especificamente o EM, que por se tratar de desafio, tem imagens que possuem, às vezes, diferenças sutis que podem confundir as pessoas. Por exemplo, a diferença no número de bananas no EM da figura 1. Na categoria 2, aborda-se que EM não é estudado, e por isso seria mais difícil, como afirma o aluno A118: “Não sei resolver, nunca estudei este, não é questão de não lembrar como faz”. Compreende-se, novamente, que é papel do professor inserir essa prática e, por isso, a pesquisa vem sendo desenvolvida, na busca de indicar uma possibilidade aos docentes no ensino de SE.
Ainda na temática de comparações, com vistas ao levantamento das percepções dos alunos sobre a linguagem imagética, antecipando as resoluções, foi perguntado se as imagens trariam mais significado para os alunos e para os problemas envolvendo equações e SE. Para 49% dos participantes, sim; e para 29% é indiferente, o que indica que 78% deles ou visualizam que a linguagem imagética pode colaborar para a compreensão dos problemas ou se colocam em uma posição de neutralidade, indicando que esse percentual total, que é bem considerável, não seria contrário ao seu uso no ensino de equações e SE. Entre os alunos que responderam que sim, a maioria das respostas sobre que tipo de imagens se concentraram em alimentos, objetos e quaisquer imagens, sendo essa resposta significativa para a elaboração de propostas de utilização da linguagem imagética.
Para verificar qual dos problemas os alunos se identificariam mais para resolver, foi feito o convite, conforme a figura 3, sem ser solicitado que mostrassem a resolução, para não os desmotivar em suas tentativas. Mesmo assim, alguns alunos desenvolveram no questionário suas soluções, sendo que as observações dessas anotações, de ambos os desafios, foram registradas no diário de bordo.
A totalização em relação aos acertos, erros e respostas em branco/rasuradas, pode ser vista na tabela 1.
Visualiza-se na tabela 1, em relação ao SE, que boa parte dos alunos obteve a resposta incorreta (32%) ou deixaram em branco/rasuradas (41%), totalizando 73% dos participantes que não conseguiram concluir o desafio do SE. A resposta correta para o valor de t foi alcançada por 27%, o que em parte é um pouco contraditório, uma vez que mais da metade dos alunos afirmaram conseguir resolver um SE, em uma questão anterior.
Já em relação aos EM, é possível verificar que também um percentual considerável de alunos obteve a resposta incorreta (47%) ou deixaram em branco (15%), o que totaliza 62% dos participantes que não conseguiram concluir o desafio do EM. A resposta correta para o valor da interrogação foi alcançada por 38% dos participantes. As observações registradas no diário de bordo do pesquisador sobre os tipos de erros foram similares tanto para os EM quanto para o SE, em relação às operações matemáticas, sinais ou valores atribuídos às letras e às imagens.
Comparando ambos os desafios, percebe-se que houve mais erros no EM (47%) do que no SE (32%), o que não deixa de ser positivo. Entende-se que uma maior quantidade de erros implica um maior interesse em resolver o EM do que o SE, pois houve mais tentativas. Outro fato que corrobora essa situação é o percentual de alunos que deixaram a resposta em branco, que no SE foi de 41%, superior ao do EM, de 15%. Sobre esse último percentual, comparado com o de 21% dos alunos que responderam que EM era mais difícil que SE, há 6% dos alunos que, mesmo achando o EM mais difícil, ainda assim o responderam, e isso pode ter relação com os aspectos e características de acharem mais interessante e divertido que o SE.
Observando algumas resoluções e indícios de resolução (números sobre as imagens e letras, expressões, outras marcações e escritas) de alunos que optaram por registrá-las, percebe-se que parte dos participantes que respondeu o SE, é porque resolveu previamente o EM, utilizando o resultado obtido no EM para determinar o valor de t no SE. Isso possivelmente ocorreu por perceberem tratar-se do mesmo problema, em que as imagens são equivalentes às incógnitas (figura 4).
Observação sobre a resolução de A133, com indício de que respondeu o SE pela resolução do EM
Nota-se, na figura 4, que não há nenhuma escrita no SE, mas há resposta, diferente do EM, que apresenta resolução e solução. Por isso, tem-se a percepção da transcrição de respostas. Em 11 respostas vê-se claramente a mesma situação, pela apresentação de algum indício de resolução, sinal indicativo ou escrita, como na escrita do aluno A8, que escreveu em um asterisco abaixo de t: “Usei o resultado do lado”. Entretanto, não é possível mensurar todas as ocorrências nesse sentido, uma vez que nem todos os alunos apresentaram a sua resolução.
Como sequência dessa questão, foi perguntado se, tendo resolvido ou não algum dos problemas, algo havia lhes chamado a atenção, e 63% dos participantes afirmaram que sim. Para esses, foi questionado o que foi observado e, ao realizar a AC nas respostas, foram identificadas 114 unidades de registro, que geraram 46 códigos, determinando seis categorias. No quadro 5, destacam-se três dessas categorias.
A categoria 1 indica um destaque positivo para o EM, como a resposta dos alunos A113, “É muito mais interessante por ter imagens e ser colorido, fica mais fácil aprendizagem [sic]”, observando imagens como elemento facilitador, e de A120, dizendo “O desenho é a forma de interpretar os sistemas”, em que ressalta a colaboração das imagens para a interpretação. A categoria 2 cita uma similaridade entre sistema e enigma, indicando que eram iguais quanto à resolução, na ideia de problema, no resultado, ou no nível de dificuldade (ambos fáceis ou ambos difíceis), com 20 das unidades afirmando isso diretamente, como em “É igual e um parece bem mais fácil (desenho)”, de A43. Outro aspecto identificado foi que as figuras representavam incógnitas, visto na resposta de A137, “As figuras representam as incógnitas, com os mesmos valores”. Essa categoria é muito importante ao trazer a percepção dos alunos sobre representações distintas serem um mesmo problema, mas com linguagens diferentes, com letras e imagens se tratando do mesmo objeto matemático, como se vê na resposta de A1: “no caso do desafio, as duas ferraduras são iguais 2y”. Tais observações já dão indícios que alguns alunos, mesmo que superficialmente, demonstram compreender a relação representacional entre as imagens e as letras. Na categoria 3, as respostas dos alunos deram destaque positivo para os SE, mas apenas 4%, apontando que equações e SE facilitam a resolução dos problemas.
Embora não tenha sido expressa a categoria, houve menção por parte dos alunos em relação a dificuldades com as letras (6% das unidades de registro). Juntamente com as duas primeiras categorias, se percebe que existe um destaque significativo aos aspectos positivo do uso de imagens e de EM, como facilitadores no entendimento dos problemas envolvendo sistemas de equações. Claramente, os alunos A45 e A142 observam esse aspecto, quando respondem, respectivamente: “Fazendo o enigma consigo fazer equações”; e “Eu não conseguia resolver o primeiro problema, porém, quando eu fui resolver o segundo, tudo ficou mais claro”. Isso destaca que a linguagem imagética auxiliou os alunos no entendimento do significado da linguagem algébrica, e acredita-se que especificamente em relação à compreensão de incógnita, atuando como uma representação múltipla e um registro semiótico.
Considerações sobre uso de imagens e comentários
A última temática, das considerações sobre o uso de imagens e comentários, aborda duas questões finais, nas quais foi solicitado aos alunos que respondessem diretamente sobre a contribuição da linguagem imagética na compreensão do conteúdo de SE, com a seguinte pergunta: “Para você, ao visualizar as imagens nos enigmas matemáticos e compará-las com as letras nas equações e sistemas de equações, possibilitaria um melhor entendimento do significado das letras?”. As respostas dos alunos podem ser visualizadas na tabela 2.
Total de respostas sobre a contribuição da linguagem imagética no entendimento do significado das letras
Essa pergunta sintetiza a intencionalidade da pesquisa sobre o uso da linguagem imagética e dos EM, como um recurso para facilitar o ensino e a aprendizagem de SE. O cômputo de 80% dos participantes indicando positivamente um melhor entendimento das letras foi um ótimo resultado, sendo esse percentual aproximado aos aspectos positivos dos EM nas comparações realizadas entre SE e EM. Isso mostra que, além da maioria perceber os EM mais interessantes, divertidos, com sentido na realidade e mais fáceis de entender e resolver, os participantes visualizam as imagens como auxiliares na compreensão dos significados das letras. Mais uma vez, destaca-se a linguagem imagética como uma múltipla representação, que pode promover no aluno uma aproximação com sua estrutura cognitiva (Klein; Laburú, 2012), aprimorando suas ideias sobre SE e colaborando no ensino e aprendizagem, e ainda ser entendida como um registro de representação semiótica, por sua representação sígnica, capaz de identificar objetos (neste caso, SE, equações e incógnitas) que, além de comunicar, permitem as funções de objetivação e tratamento (Duval, 2010).
Por fim, o questionário trouxe a possibilidade de os alunos deixarem algum comentário e 42% o fizeram. As respostas foram analisadas pela AC, que determinou oito categorias. Das oito categorias identificadas, o destaque ficou com o fato de a linguagem imagética e EM serem significativos facilitadores, para 38% das unidades de registro. Outro apontamento diz respeito à dificuldade com o conteúdo e as letras, totalizando 11%. Entende-se que existe uma ligação entre esses dois apontamentos, sendo o primeiro uma resposta para o segundo, uma vez que o emprego da linguagem imagética e EM, indicados como positiva pelos alunos, precisam ser trabalhados pelo professor para contribuir na superação dessas dificuldades com a álgebra e a sua linguagem, para que haja a coordenação entre os registros de representação semiótica, que não é algo natural para os alunos, mas absolutamente necessária para o funcionamento cognitivo (Duval; Moretti, 2012). Ainda como comentário, foram citados em 7% das unidades de registro que as letras são compreensíveis e necessárias, e que as imagens podem confundir. De fato, entende-se a importância da linguagem algébrica na matemática, por seu importante papel como instrumento de comunicação e interpretação do cotidiano, como linguagem e instrumento de cálculo (Estevão, 2021). A proposta da linguagem imagética como recurso não é contra a linguagem algébrica, e sim como um apoio na compreensão de incógnitas e, com isso, de equações e sistemas (Oliveira; Roehrs, 2023a).
Ao término do Estudo de Campo, foi entregue uma lembrança aos alunos que continha um enigma matemático. A partir disso, algumas observações foram anotadas no diário de bordo, como a de que foi possível verificar que, mesmo não sendo necessária a resolução desse enigma, alguns alunos ficaram interessados em encontrar a resposta; outros discutiam entre si as respostas encontradas, inclusive as do questionário; alguns perguntavam ao pesquisador as respostas corretas para comparação. Isso corrobora que a atividade e o EM foram interessantes, divertidos e significativos para esses alunos.
Considerações finais
Muitos são os desafios para o ensino e aprendizagem da Matemática e é preciso que se identifiquem e se estudem recursos que possam colaborar nesses processos, principalmente em Álgebra e, mais especificamente, em SE. Nesse sentido, a pesquisa se debruçou sobre uma resposta específica para um dos problemas, o da transposição das dificuldades da linguagem, visualizada na hipótese de que o uso da linguagem imagética e dos EM possa ser esse recurso facilitador para o ensino e a aprendizagem de SE e da Matemática.
Identificou-se que, em geral, o EM é conhecido e tem boa aceitação pelos alunos, sendo mais interessante, divertido e fácil de entender e resolver do que o SE para, em média, 79% dos alunos. Pelas análises, isso se deve, em parte, à presença de imagens, que são mais fáceis de entender e mais lúdicas. Além disso, aproximadamente 80% dos alunos não são contrários à utilização de imagens no ensino e aprendizagem de equações e SE, com mais da metade desses indicando que traria mais significado aos problemas. Esse mesmo percentual indicou diretamente que as imagens auxiliam o entendimento das letras, o que reafirma a importância da linguagem imagética, por meio dos EM, como elemento colaborador na compreensão de SE no que tange ao significado das letras, ou seja, de incógnitas e variáveis.
Essa constatação é significativa, pelo fato de o estudo indicar que aproximadamente 40% dos participantes não conseguem resolver um SE, um conteúdo já estudado por eles, a princípio, e também não sabem o significado das letras em uma equação. A linguagem imagética pode vir exatamente nesse sentido, como uma múltipla representação e um registro de representação semiótica, podendo auxiliar os alunos em dificuldades de compreensão do conteúdo.
Quanto ao sentido, tanto EM quanto SE aproximaram-se em termos quantitativos, e os motivos se relacionam em parte à contextualização. Associado a isso, o fato de que 76% dos alunos não se lembravam de como ocorreu essa ação, e dos que se lembravam, mais de 40% não relacionaram ao cotidiano, mostra que é necessário um avanço na contextualização de SE. Ao visualizar a linguagem imagética como um recurso que aproxima os conhecimentos cotidianos e prévios dos alunos aos conhecimentos matemáticos, já que por meio de imagens, inclusive algumas indicadas pelos alunos no questionário, pode-se promover essa aproximação, verifica-se a possibilidade de melhorar esses índices desfavoráveis.
Uma observação interessante diz respeito a algumas respostas do questionário, resoluções dos desafios e comentários de alunos ao fim da atividade: que imagens e letras representam a mesma ideia e que uma poderia ser substituída pela outra. Isso vai ao encontro da intenção da proposta de uso da linguagem imagética, uma vez que não existe a intenção de propor uma substituição das letras. Pelo contrário, entende-se que a linguagem algébrica é fundamental e necessária, principalmente na transcrição dos problemas e em suas resoluções. Entretanto, é importante que os alunos compreendam a representação que estão empregando, e é nesse sentido que a linguagem imagética está sendo proposta, para colaborar nessa compreensão dos significados da linguagem algébrica, e não em sua substituição.
Acredita-se que esse momento da pesquisa foi significativo e formou uma base para as inferências que permeiam toda a pesquisa. O estudo trouxe implicações para o ensino de SE e de Álgebra, ao favorecer o planejamento de atividades que empreguem a linguagem imagética e o EM, bem como subsidiar professores em explicações relacionadas à compreensão de equações e incógnitas. Para a aprendizagem dos estudantes, as contribuições são no sentido de que, por meio do recurso da linguagem imagética, eles podem compreender melhor esses conceitos e, a partir disso, assimilar melhor a linguagem algébrica, os SE e suas técnicas de resolução. Pela análise dos resultados e todas as inferências discutidas neste Estudo de Campo, pode-se compreender melhor a linguagem imagética inserida em um quadro de ensino e aprendizagem e melhor visualizá-la como um recurso capaz de facilitar a compreensão da linguagem algébrica e dos conceitos envolvendo equações e SE.
Declaração de Disponibilidade de Dados
Após a publicação, os dados da pesquisa estarão disponíveis mediante solicitação aos autores. Isso se deve aos compromissos éticos assumidos no Termo de Consentimento Livre e Esclarecido, em que foi assegurada aos participantes a confidencialidade das informações, a preservação do anonimato e a utilização dos dados exclusivamente pelos pesquisadores envolvidos no estudo, comprometidos com o dever de sigilo.
O Termo não prevê autorização explícita para o compartilhamento público dos dados brutos, e sua divulgação irrestrita poderia implicar risco de identificação indireta dos participantes, considerando o contexto específico da investigação. Contudo, mediante solicitação formal, devidamente justificada, e após análise de sua pertinência, os dados poderão ser compartilhados.
Referências
- ARAÚJO, E. A. Ensino de álgebra e formação de professores. Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v. 10, n. 2, p. 331-346, 2008.
- BARBOSA, E. J. T.; MENDES, A. A. A contextualização no ensino de equações: uma análise em um livro didático antes e depois do PNLD. Revemat: revista eletrônica de educação matemática, Florianópolis, v. 11, n. 2, p. 363-386, 2016.
- BARDIN, L. Análise de conteúdo São Paulo: Edições 70, 2016.
-
BARTH, R. Matemática genial: quanto vale o cavalo, a bota e ferradura? 2016. Disponível em: https://tinyurl.com/mrx63prs/ Acesso em: 2 fev. 2026.
» https://tinyurl.com/mrx63prs/ - BICA, M. S. N.; MELLO-CARPES, P. B.; ROEHRS, R. A neurociência e as múltiplas representações: possíveis convergências para o ensino de ciências. #Tear: revista de educação, ciência e tecnologia, Canoas, v. 7, n. 2, p. 1-18, 2018.
- BOALER, J.; MUNSON, J.; WILLIAMS, C. Mentalidades matemáticas na sala de aula: ensino fundamental. Porto Alegre: Penso, 2018.
- COSTA, A. S.; AZEVEDO, J. M.; RODRIGUES, M. P.; HAUSCHILD, C. A.; DULLIUS, N. N. Investigando as dificuldades apresentadas em álgebra por alunos do oitavo ano do ensino fundamental. Revista Destaques Acadêmicos, Lajeado, v. 8, n. 4, p. 159-176, 2016.
-
DESAFIO compasso, borracha e régua: quis do teca. In: MATEMÁTICO TECA. Disponível em: https://tinyurl.com/2vurwkys Acesso em: 29 dez. 2025.
» https://tinyurl.com/2vurwkys -
DUVAL, R. Sémiosis, pensée humaine et activité mathématique. Amazônia: revista de educação em ciências e matemáticas, Belém. v. 6, n. 11, p. 126-143, 2010. DOI: https://doi.org/10.18542/amazrecm.v6i0.1708
» https://doi.org/10.18542/amazrecm.v6i0.1708 -
DUVAL, R.; MORETTI, T. M. T. Registros de representação semiótica e funcionamento cognitivo do pensamento. Revemat: revista eletrônica de educação matemática, Florianópolis, v. 7, n. 2, p. 266-297, 2012. DOI: https://doi.org/10.5007/1981-1322.2012v7n2p266
» https://doi.org/10.5007/1981-1322.2012v7n2p266 - ESTEVÃO, E. J. O. Dificuldades na aprendizagem e ensino de álgebra: atividades propostas para minimizar essas dificuldades. 2021. 178 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Rede Nacional) – Universidade Federal de Goiás, Catalão, 2021.
- GIL, K. H. Reflexões sobre as dificuldades dos alunos na aprendizagem de álgebra 2008. 118 f. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – Faculdade de Física, Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2008.
-
GONZÁLEZ, R. Jogos matemáticos: enigmas matemáticos. In: COQUINHOS: jogos educativos. 2021. Disponível em: https://www.coquinhos.com/tag/enigmas-matematicos/ Acesso em: 5 fev. 2026.
» https://www.coquinhos.com/tag/enigmas-matematicos/ - KLEIN, T. A. S.; LABURÚ, C. E. Multimodos de representação e teoria da aprendizagem significativa: possíveis interconexões na construção do conceito de biotecnologia. Ensaio: pesquisa em educação em ciências, Belo Horizonte, v. 14, n. 2, p. 137-152, 2012.
-
LABURÚ, C. E.; BARROS, M. A.; SILVA, O. H. M. Multimodos e múltiplas representações, aprendizagem significativa e subjetividade: três referenciais conciliáveis da educação científica. Ciência & Educação, Bauru, v. 17, n. 2, p. 469-487, 2011. DOI: https://doi.org/10.1590/S1516-73132011000200014
» https://doi.org/10.1590/S1516-73132011000200014 - LABURÚ, C. E.; ZÔMPERO, A. D. F.; BARROS, M. A. Vygotsky e múltiplas representações: leituras convergentes para o ensino de ciências. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, Florianópolis, v. 30, n. 1, p. 7-24, 2013.
-
LINGUAGEM imagética. In: DICIONÁRIO inFormal. São Paulo: Dicionário informal, 2013. Disponível em: https://tinyurl.com/ye25yht4 Acesso em: 5 fev. 2026.
» https://tinyurl.com/ye25yht4 - LUCCAS, S.; BATISTA, I. L. A importância da contextualização e da descontextualização no ensino de matemática: uma análise epistemológica. In: ENCONTRO BRASILEIRO DE ESTUDANTES DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2., 2008, Rio Claro. Anais [...]. Rio Claro: Unesp, 2008.
- LUYTEN, S. M. B. História em quadrinhos: um recurso de aprendizagem: introdução. Salto para o futuro, boletim 1, Brasília, DF, n. 21, p. 5-9, 2011.
- MOREIRA, M. A. Subsídios teóricos para o professor pesquisador em ensino de ciências: comportamentalismo, construtivismo e humanismo. 2. ed. Porto Alegre: Ed. do Autor, 2016.
- OLIVEIRA, L. Linguagem imagética na contextualização, ensino e aprendizagem de sistema de equações 2024. 304 f. Tese (Doutorado em Educação em Ciências Química da Vida e Saúde) – Universidade Federal do Pampa, Uruguaiana, 2024.
- OLIVEIRA, L.; ROEHRS, R. Linguagem imagética na transposição da linguagem algébrica no ensino e aprendizagem da Matemática. Ciência & Educação, Bauru, v. 29, p. 1-17, 2023a.
- OLIVEIRA, L.; ROEHRS, R. Imagery language and system of equations: semiotic representations and contextualization as theoretical contributions. In: CHALLENGES and innovations in education: scientific perspectives. São José dos Pinhais: Seven Editora, 2023b. p. 1-18.
- OLIVEIRA NETO, J. P. Contextualização no ensino de ciências e matemática: uma proposta de análise de produtos educacionais. 2013. 80 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciência e Matemática) – Centro de Ciências e Tecnologia, Universidade Estadual da Paraíba, Campina Grande, 2013.
- PEDROSA, B. C. G. A. Educação matemática: contextualizando o ensino de matemática nos aspectos sociais de Nazarezinho - PB. 2014. 66 f. Monografia (Especialização em Fundamentos da Educação: Prática Pedagógicas Interdisciplinares) – Universidade Estadual da Paraíba, Sousa, 2014.
-
PINTEREST. Enigna fruta. Disponível em: https://br.pinterest.com/pin/442900944596974856/ Acesso em: 5 fev. 2026.
» https://br.pinterest.com/pin/442900944596974856/ - PRODANOV, C. C.; FREITAS, E. C. Metodologia do trabalho científico: métodos e técnicas da pesquisa e do trabalho acadêmico. 2. ed. Novo Hamburgo: Feevale, 2013.
- SANTOS, F. P.; NUNES, C. M. F.; VIANA, M. D. C. V. Currículo, interdisciplinaridade e contextualização na disciplina de matemática. Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v. 19, n. 3, p. 157-181, 2017.
- SCHONS, E. F.; SESTARI, F. B.; PERSICH, G. D. O.; PINTO, J. M.; MACHADO, J. V. V. A contextualização como ferramenta no ensino de ciências. In: PESSANO, E. F. C.; QUEROL, M. V. M.; LIMA, A. P. S.; CASTRO, L. R. B. et al (org.). Contribuições para o ensino de ciências: alfabetização científica, aprendizagem significativa, contextualização e interdisciplinaridade. Bagé: EdUNIPAMPA, 2017. p. 18-33.
- SCOPARO, T. R. M. T. Texto verbal e imagético: uma proposta semiótica de ensino. Revista (Con)Textos Linguísticos, Vitória, v. 12, n. 23, p. 129-151, 2018.
Editado por
-
Editor:
Nelson Pirola
Fonte: adaptado de 
Fonte: adaptado de 
Fonte: adaptado de 
Fonte: elaboração dos autores.