MEZZOMO, I.; BEDREGAL, B.

doi:10.5540/tema.2018.019.02.0181

home Tabla de contenido navigate_before Anterior (indisponível) Actual Siguiente navigate_next

Resumen (Inglés)
Resumen (Portugués)

Texto (Inglés)

Download PDF (Inglês)

Resumen (Inglés)
Resumen (Portugués)
Texto (Inglés)
Download PDF (Inglês) (abre em nova aba)

Whatsapp
BlueSky
Mastodon
Facebook
Mais

home Tabla de contenido

Whatsapp
BlueSky
Mastodon
Facebook
Mais

Resumen (Inglés)
Resumen (Portugués)

Texto (Inglés)

Download PDF (Inglês) (abre em nova aba)

Articles • TEMA (São Carlos) 19 (2) • May-Aug 2018 • https://doi.org/10.5540/tema.2018.019.02.0181 linkcopiar

Ordinal Sums of De Morgan Triples^†

Autoria SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Neste artigo, consideramos a soma ordinal dos sumandos das t-normas, t-conormas e negações fuzzy, e provamos alguns novos resultados sobre eles. Em particular, fornecemos algumas condições no sentido de garantir que quando os somandos forem triplas de De Morgan suas somas ordinais também são triplas de De Morgan. Também provamos que as leis de De Morgan são preservadas pela ação de automorfismos e N-dualidade.

Palavras-chave:
t-norma; t-conormas; negação fuzzy; triplas de De Morgan; soma ordinal

Autoria

person I. MEZZOMO

schoolCentro de Ciências Exatas e Naturais - DCEN, Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA, Mossoró, Rio Grande do Norte, Brazil. E-mail: imezzomo@ufersa.edu.brUniversidade Federal Rural do Semi-ÁridoBrazilMossoró, Rio Grande do Norte, BrazilCentro de Ciências Exatas e Naturais - DCEN, Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA, Mossoró, Rio Grande do Norte, Brazil. E-mail: imezzomo@ufersa.edu.br

person B. BEDREGAL

schoolDepartamento de Informática e Matemática Aplicada - DIMAp, Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN, Natal, Rio Grande do Norte, Brazil. E-mail: bedregal@dimap.ufrn.brUniversidade Federal do Rio Grande do NorteBrazilNatal, Rio Grande do Norte, BrazilDepartamento de Informática e Matemática Aplicada - DIMAp, Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN, Natal, Rio Grande do Norte, Brazil. E-mail: bedregal@dimap.ufrn.br

person*Corresponding author: Ivan Mezzomo - E-mail:
imezzomo@ufersa.edu.br

SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Centro de Ciências Exatas e Naturais - DCEN, Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA, Mossoró, Rio Grande do Norte, Brazil. E-mail: imezzomo@ufersa.edu.brUniversidade Federal Rural do Semi-ÁridoBrazilMossoró, Rio Grande do Norte, BrazilCentro de Ciências Exatas e Naturais - DCEN, Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA, Mossoró, Rio Grande do Norte, Brazil. E-mail: imezzomo@ufersa.edu.br

Departamento de Informática e Matemática Aplicada - DIMAp, Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN, Natal, Rio Grande do Norte, Brazil. E-mail: bedregal@dimap.ufrn.brUniversidade Federal do Rio Grande do NorteBrazilNatal, Rio Grande do Norte, BrazilDepartamento de Informática e Matemática Aplicada - DIMAp, Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN, Natal, Rio Grande do Norte, Brazil. E-mail: bedregal@dimap.ufrn.br

Fórmulas

Fórmulas (29)

(2.1)

(2.2)

(LC)

(LEM)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(4.1)

(4.2)

(4.3)

\begin{array}{l} T_{D} (x, y) = {\begin{matrix} 0 \begin{matrix} i f (x, y) \in [0,1 [^{2}; \end{matrix} \\ \min (x, y) \begin{matrix}  \end{matrix} o t h e r w i s e . \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} □ \end{array}

\begin{array}{l} S_{D} (x, y) = {\begin{matrix} 1 \begin{matrix} i f (x, y) \in] 0,1]^{2}; \end{matrix} \\ \max (x, y) \begin{matrix}  \end{matrix} o t h e r w i s e . \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} □ \end{array}

N_{⊥} (x) = {\begin{matrix} 0 \begin{matrix}  \end{matrix} i f \begin{matrix}  \end{matrix} x > 0 \\ 1 \begin{matrix}  \end{matrix} i f \begin{matrix}  \end{matrix} x = 0 \end{matrix}

N_{┬} (x) = {\begin{matrix} 0 \begin{matrix}  \end{matrix} i f \begin{matrix}  \end{matrix} x = 1 \\ 1 \begin{matrix}  \end{matrix} i f \begin{matrix}  \end{matrix} x < 1 \end{matrix}

(2.1)

N_{α} (x) = {\begin{matrix} 0 \begin{matrix}  \end{matrix} if \begin{matrix}  \end{matrix} x > α \\ 1 \begin{matrix}  \end{matrix} if \begin{matrix}  \end{matrix} x \leq α \end{matrix}

(2.2)

N^{α} (x) = {\begin{matrix} 0 \begin{matrix}  \end{matrix} if \begin{matrix}  \end{matrix} x \geq α \\ 1 \begin{matrix}  \end{matrix} if \begin{matrix}  \end{matrix} x < α \end{matrix}

(LC)

T (x, N (x)) = 0, \forall x \in [0,1]

(LEM)

S (x, N (x)) = 1, \forall x \in [0,1]

\begin{array}{l} T_{1} \land T_{2} (x, y) = \min {T_{1} (x, y), T_{2} (x, y)} \\ T_{1} \lor T_{2} (x, y) = \max {T_{1} (x, y), T_{2} (x, y)} . \end{array}

\begin{array}{l} T_{1} \land T_{2} (x, y) = \min {T_{1} (x, y), T_{2} (x, y)} \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = \min {T_{1} (y, x), T_{2} (y, x)} \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = T_{1} \land T_{2} (y, x) . \end{array}

\begin{array}{l} T_{1} \land T_{2} (x,1) = \min {T_{1} (x,1), T_{2} (x,1)} \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = \min {x, x} \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = x . \end{array}

\begin{array}{l} T_{N} (x, y) = N^{- 1} (T (N (x), N (y))) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = N^{- 1} (T (N (y), N (x))) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = T_{N} (y, x) . \end{array}

\begin{array}{l} T_{N} (x, T_{N} (y, z)) = N^{- 1} (T (N (x), N (N^{- 1} (T (N (y), N (z)))))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} = N^{- 1} (T (N (x), T (N (y), N (z)))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} = N^{- 1} (T (T (N (x), N (y)), N (z))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} = N^{- 1} (T (N (N^{- 1} (T (N (x), N (y))), N (z)))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} = T_{N} (T_{N} (x, y), z) \end{array}

\begin{array}{l} T_{N} (x,0) = N^{- 1} (T (N (x), N (0))) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = N^{- 1} (T (N (x),1)) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = N^{- 1} (N (x)) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = x . \end{array}

(2.3)

T^{ρ} (x, y) = ρ^{- 1} (T (ρ (x), ρ (y))),

(2.4)

S^{ρ} (x, y) = ρ^{- 1} (S (ρ (x), ρ (y))), \forall x, y \in [0,1] .

\begin{array}{l} T (x, y) = N (S (N (x), N (y))); \\ S (x, y) = N (T (N (x), N (y))), \end{array}

(2.5)

N (T (x, y)) = S (N (x), N (y));

(2.6)

N (S (x, y)) = T (N (x), N (y)) .

\begin{array}{l} N^{- 1} (T (x, y)) = N^{- 1} (T (N (N^{- 1} (x)), N (N^{- 1} (y)))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = N^{- 1} (N (S (N^{- 1} (x), N^{1} (y)))) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = S (N^{- 1} (x), N^{- 1} (y)) \end{matrix} \end{matrix} . \end{array}

\begin{array}{l} N (S_{N} (x, y)) = N (N^{- 1} (S (N (x), N (y)))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = S (N (x), N (y)) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = N (T (x, y)) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = N (T (N^{- 1} (N (x)), N^{- 1} (N (y)))) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = T_{N^{1}} (N (x), N (y)) . \end{matrix} \end{matrix} \end{array}

\begin{array}{l} N (T_{1} \land T_{2} (x, y)) = N (\min {T_{1} (x, y), T_{2} (x, y)}) \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = \max {N (T_{1} (x, y)), N (T_{2} (x, y))} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = \max {S_{1} (N (x), N (y)), S_{2} (N (x), N (y))} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = S_{1} \lor S_{2} (N (x), N (y)) . \end{matrix} \end{matrix} \end{array}

\begin{array}{l} N^{ρ} (T^{ρ} (x, y)) = N^{ρ} (ρ^{- 1} (T (ρ (x), ρ (y)))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = ρ^{- 1} (N (ρ (ρ^{- 1} (T (ρ (x), ρ (y)))))) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = ρ^{- 1} (N (T (ρ (x), ρ (y)))) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = ρ^{- 1} (S (N (ρ (x)), N (ρ (y)))) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = ρ^{- 1} (S (ρ (ρ^{- 1} (N (ρ (x)))), ρ (ρ^{- 1} (N (ρ (y)))))) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = S^{ρ} \end{matrix} \end{matrix} (ρ^{- 1} (N (ρ (x))), ρ^{- 1} (N (ρ (y)))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = S^{ρ} \end{matrix} \end{matrix} (N^{ρ} (x), N^{ρ} (y)) . \end{array}

(4.1)

T (x, y) = {\begin{matrix} a_{i} + (b_{i} - a_{i}) T_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}, \frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}) \begin{matrix}  \end{matrix} i f \begin{matrix}  \end{matrix} (x, y) \in {[a_{i}, b_{i}]}^{2}, \\ \min (x, y) \begin{matrix}  \end{matrix} o t h e r w i s e . \end{matrix}

(4.2)

S (x, y) = {\begin{matrix} a_{i} + (b_{i} - a_{i}) S_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}, \frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}) \begin{matrix}  \end{matrix} i f \begin{matrix}  \end{matrix} (x, y) \in {[a_{i}, b_{i}]}^{2}, \\ \max (x, y) \begin{matrix}  \end{matrix} o t h e r w i s e . \end{matrix}

(4.3)

N (x) = {\begin{matrix} (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}) \begin{matrix}  \end{matrix} i f \begin{matrix}  \end{matrix} x \in [a_{i}, b_{i}], \\ N_{S} (x) \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} o t h e r w i s e . \end{matrix}

\begin{array}{l} \begin{matrix}  \end{matrix} N (x) \in [(1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (\frac{b_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}), (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (\frac{a_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}})] \\ = [(1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (1), (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (0)] = [1 - b_{i},1 - a_{i}] . \end{array}

\begin{array}{l} N (T (x, y)) = (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (\frac{T (x, y) - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (\frac{a_{i} + (b_{i} - a_{i}) T_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}, \frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}) - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (T_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}, \frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}})) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) S_{i} (N_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}), N_{i} (\frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}})) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) S_{i} (\frac{N (x) - (1 - b_{i})}{b_{i} - a_{i}}, \frac{N (y) - (1 - b_{i})}{b_{i} - a_{i}}) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = S (N (x), N (y)) . \end{array}

\begin{array}{l} N_{S} (S (x, y)) = a_{i} + (b_{i} - a_{i}) N_{S} (\frac{S (x, y) - (1 - b_{i})}{b_{i} - a_{i}}) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = a_{i} + (b_{i} - a_{i}) N_{S} (\frac{(1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) S_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}, \frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}) - (1 - b_{i})}{b_{i} - a_{i}}) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = a_{i} + (b_{i} - a_{i}) N_{S} (S_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}, \frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}})) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = a_{i} + (b_{i} - a_{i}) T_{i} (N_{S} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}), N_{S} (\frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}})) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = a_{i} + (b_{i} - a_{i}) T_{i} (\frac{N_{S} (x) - (1 - b_{i})}{b_{i} - a_{i}}, \frac{N_{S} (y) - (1 - b_{i})}{b_{i} - a_{i}}) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = T (N_{S} (x), N_{S} (y)) . \end{array}

Como citar

linkcopiar

Ferramentas do artigo

PDFs
Métricas
Figuras e tabelas
Versiones y traducciones
Como citar este artículo
Artículos relacionados

location_on

Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional Rua Maestro João Seppe, nº. 900, 16º. andar - Sala 163 , 13561-120 São Carlos - SP, Tel. / Fax: (55 16) 3412-9752 - São Carlos - SP - Brazil
E-mail: sbmac@sbmac.org.br

rss_feed Acompañe los números de esta revista en su lector de RSS

Versão para download de PDF

PDF

Inglés

Versões e tradução automática

Escolha a versão original do texto ou utilize um serviço de tradução automática.

Versão original do texto

English

Tradução automática

Google Translator (abre serviço externo de tradução)
Microsoft Translator (abre serviço externo de tradução)

Como citar

Escolha um formato para exportar ou selecione um estilo de citação. O conteúdo abaixo pode ser atualizado após a seleção.

Baixar em RIS

Baixar em BIBTEX

Outros formatos de citação e exportação:

Ordinal Sums of De Morgan Triples†

Ordinal Sums of De Morgan Triples^†