De campos em interação a potenciais interpartículas: uma abordagem pedagógica

From interacting fields to interparticle potentials: a pedagogical approach

Resumo

Tendo em mente um público-alvo de estudantes que se encontram no final da Graduação ou na Pós-Graduação, a proposta deste trabalho é apresentar, de forma detalhada e didática, um procedimento sistemático para se construir potenciais interpartículas a partir de campos quânticos em interação, considerando o seu regime de baixas energias. Os potenciais encontrados vão além da dependência usual com a distância entre as partículas. Efeitos das velocidades e dos spins de partículas não-escalares naturalmente emergem do procedimento apresentado. O estudo dos potenciais obtidos é de grande interesse na investigação de nova física além do Modelo-Padrão das Partículas Elementares.

Palavras-chave:
Teoria Quântica de Campos; Fenomenologia; Potenciais Interpartículas; Nova Física

Abstract

Having in mind a target public of students who are in the final years of their undergraduate studies or at the graduate level, this work sets out to present, in a detailed and didactical way, a systematic procedure to build up interparticle potentials from interacting quantum fields in the low-energy regime. Besides the usual dependence on the distance between the particles, effects of the velocities and spins of non-scalar particles naturally come out from the method presented here. The study of the potentials worked out is of great interest in the investigation of new physics beyond the Standard Model of Elementary Particles.

Keywords:
Quantum Filed Theory; Phenomenology; Interparticle Potentials; New Physics

1. Introdução

A investigação de novos potenciais de interação – ou de eventuais desvios em interações já bem estabelecidas, como as gravitacional e eletromagnética – tem ganhado destaque nos últimos anos. Esses estudos, conduzidos tanto no âmbito teórico quanto experimental, são fundamentais para identificar as escalas de energia associadas a diferentes modelos e teorias, além de fornecer restrições valiosas sobre seus parâmetros. É importante ser específico ao empregar o termo “potencial”, pois este pode se referir a duas situações distintas. A primeira diz respeito à interação entre uma partícula (ou um sistema/conjunto) e um campo de fundo, como o gravitacional ou o eletromagnético, entre outros. A segunda, por sua vez, corresponde ao potencial de interação interpartículas, normalmente associado à interação entre duas partículas mediada por um campo (ou partícula virtual).

A interação gravitacional foi a primeira a despertar interesse científico sistemático. Figuras como Philoponus¹, Galileu e Newton formularam ideias e realizaram alguns dos experimentos pioneiros sobre a investigação da queda de corpos e o movimento do pêndulo, com o objetivo de testar a universalidade dessa interação, isto é, o princípio da equivalência. Um panorama mais amplo, reunindo outros nomes relevantes desde o século V até a década de 1990, bem como uma descrição de diversos experimentos e suas precisões, pode ser encontrado na revisão [¹].

Entre as questões que ainda motivam intensa investigação está a busca por desvios ou correções à lei de potência do potencial gravitacional – ou, equivalentemente, à lei da força – em curtas distâncias. Há várias motivações para tais estudos, como a inclusão de contribuições do dilaton (campo escalar acoplado à gravitação) [²], a hipótese de uma quinta força fundamental [³, ⁴, ⁵] e correções oriundas de espaço curvo e/ou dimensões extras [⁶]. Para uma revisão mais abrangente, abordando outras motivações, experimentos e limites obtidos, indicamos os trabalhos [⁷, ⁸, ⁹, ¹⁰]. Além disso, há a possibilidade de se considerar correções associadas ao spin das partículas [¹¹, ¹², ¹³, ¹⁴, ¹⁵]. Nessa linha, destacam-se experimentos recentes [¹⁶, ¹⁷] que investigaram acoplamentos do tipo massa–spin e torção–spin.

No caso da interação eletromagnética, a busca por desvios na lei de Coulomb, na forma $F\sim 1/r^{2+ϵ}$, remonta aos experimentos de Robison, Cavendish e Coulomb, realizados entre 1769 e 1785. Para uma revisão dessa linha de pesquisa, com outros nomes relevantes e resultados mais recentes, indicamos os trabalhos [¹⁸, ¹⁹]. À medida que se consideram distâncias cada vez menores, espera-se que surjam correções ao potencial de Coulomb ou, de modo equivalente, à interação monopolo–monopolo. Nessas condições, o spin pode desempenhar um papel importante, levando a termos de correção do tipo monopolo–dipolo, dipolo–dipolo e a contribuições de multipolos superiores. Um exemplo marcante é o trabalho [²⁰], no qual foi investigada a interação entre os spins de dois elétrons de valência pertencentes a íons separados por distâncias da ordem de micrômetros. Os autores observaram um decaimento $\sim 1/r^3$, característico da interação dipolo–dipolo.

Ao contemplar as outras interações fundamentais (forças nucleares fraca e forte) também existem esforços no sentido de correções sutis seguindo a linha de pensamento em que a formulação do Modelo-Padrão da Física de Partículas Elementares (MP) não pode resolver algumas questões centrais (apesar de ser extremamente bem sucedido experimentalmente), sendo, portanto, necessário complementá-lo com novos setores e/ou simetrias. Destacamos aqui dois destes problemas centrais: a hierarquia de gauge/naturalidade [²¹, ²²] – isto é, a mudança abrupta na escala de energia ao se introduzir correções quânticas à massa do bóson de Higgs, bem como o enigma da matéria escura [²³, ²⁴, ²⁵, ²⁶], que, assim como a gravitação, não está contemplada no MP. Diversas propostas foram sugeridas para lidar com essas questões, incluindo supersimetria (SUSY), Higgs composto e dimensões extras. Nesse contexto, a partir da década de 1980, iniciou-se uma busca intensa por novos bósons provenientes de setores além do MP, bem como pela chamada quinta força. Para revisões mais abrangentes nessas áreas, indicamos os trabalhos [²⁷, ²⁸, ²⁹, ³⁰, ³¹, ³², ³³]. Essa linha de pesquisa permanece ativa até os dias atuais, com a expectativa de que experimentos de altíssima precisão possam revelar sinais desses bósons. Diversos cenários além do MP, motivados por fenômenos de altas energias, preveem partículas muito leves e fracamente interagentes, com massas abaixo do eV (com eV denotando a energia de um elétron-volt), que poderiam gerar novas forças de longo alcance, tais como fótons escuros (também conhecidos por fótons ocultos ou parafóton) [³⁴, ³⁵, ³⁶], áxions [³⁷], ou partículas motivadas pela SUSY [³¹].

Em 1984, o trabalho seminal de Moody e Wilczek [³⁷] evidenciou a importância de investigar as correções de spin nos potenciais interpartículas. Nesse estudo, os autores calcularam os potenciais de interação entre férmions mediados pela troca de um áxion [³⁸, ³⁹] – um possível candidato à matéria escura – e mostraram que as principais contribuições a esses potenciais são justamente aquelas dependentes do spin.

Posteriormente, outros trabalhos deram continuidade a essa linha de investigação, dentre os quais se destaca a Ref. [⁴⁰], que voltou a chamar a atenção para as correções de spin e também para as componentes dependentes da velocidade. Explorando as propriedades de paridade e invariância de rotação, os autores classificaram 16 perfis distintos de interações em baixas energias – envolvendo spin e velocidade – decorrentes da interação entre dois férmions mediada pela troca de um bóson. A partir desses estudos, as interações com dependência explícita em spin e velocidade passaram a receber atenção crescente na literatura [⁴¹]. Um dos objetivos centrais é classificar quais acoplamentos exibem essas dependências e que relevância em diferentes contextos as mesmas podem ter, como nas interações com matéria escura [⁴²] e nas formulações de teorias efetivas para núcleons [⁴³, ⁴⁴]. Outra possibilidade de investigação é analisar o impacto no potencial quando se modifica a estrutura do propagador. Exemplos incluem a troca de unparticles[⁴⁵, ⁴⁶] – campos com espectro contínuo de massa (veja, por exemplo, a tese [⁴⁷]) – cenários com violação da simetria de Lorentz [⁴⁸, ⁴⁹, ⁵⁰] e campos tensoriais anti-simétricos como mediadores [⁵¹, ⁵²].

Potenciais interpartículas dependentes da velocidade e do spin têm sido amplamente investigados em diferentes cenários, incluindo eletrodinâmicas modificadas por termos de derivadas de ordem superior e por fótons ocultos [⁵³], interações entre campos de matéria de spin-1 [⁵⁴], mediadores de spin-$1$ topologicamente massivos [⁵⁵], bem como em abordagens que exploram o papel de dimensões extras [⁵⁶]. Há que se ressaltar também diversas investigações em propostas para descrição quântica da gravitação. Por exemplo, aplicações na gravitação quântica em laços [⁵⁷] e na abordagem da Causal Dynamical Triangulation (CDT) [⁵⁸]. Para uma revisão detalhada de potenciais interpartículas no contexto da gravitação, destacamos a tese [⁵⁹].

A possibilidade de interações além das quatro forças fundamentais conhecidas na natureza (eletromagnética, gravitacional, forte e fraca) tem sido considerada como uma manifestação de novas físicas além do Modelo Padrão, frequentemente descritas como uma “quinta força”. Uma análise abrangente dessas propostas é apresentada no trabalho de revisão recente [⁶⁰], com ênfase em potenciais interpartículas dependentes do spin mediadas por bósons exóticos, tais como áxions e partículas do tipo áxion de spin-$0$, além de bósons $Z^{\prime }$ de spin-1, fótons escuros. Tais partículas são candidatas relevantes para elucidar o enigma da matéria escura e da energia escura, podendo ainda introduzir violações de simetrias fundamentais. As interações de spin entre férmions, resultantes da troca desses mediadores exóticos, têm sido exploradas em diversos experimentos conduzidos principalmente no regime de baixas energias. Entre as técnicas utilizadas destacam-se comagnetômetros atômicos, balanças de torção, sensores de spin baseados em vacância de nitrogênio e espectroscopia atômica e molecular de alta precisão. Na Ref. [⁶⁰], apresenta-se também um conjunto sistemático de potenciais de interação, deduzidos a partir da teoria quântica de campos sob hipóteses mínimas e parametrizados em termos de constantes de acoplamento reduzidas, bem como uma síntese das restrições experimentais e observacionais atualmente disponíveis, delineando o panorama contemporâneo da área e possíveis caminhos para investigações futuras.

É importante mencionar alguns experimentos adicionais que investigam potenciais com dependência em spin e velocidade. Um exemplo é a comparação de relógios atômicos baseada em ${}_{}{}^3\mathrm{He}$/${}_{}{}^{129}\mathrm{Xe}$[⁶¹, ⁶²]. Esse tipo de experimento busca detectar interações não magnéticas do tipo $V\sim \mathbf{a}\cdot \mathbf{S}$, onde $\mathbf{a}$ pode representar, por exemplo, a posição, um campo de fundo associado à violação da simetria de Lorentz, o campo gravitacional ou o campo elétrico. Nesse contexto, também se investiga o momento de dipolo elétrico do ${}_{}{}^{129}\mathrm{Xe}$. Existem outros experimentos com ${}_{}{}^3\mathrm{He}$[⁶³, ⁶⁴, ⁶⁵, ⁶⁶], voltados à busca por efeitos relacionados a interações do tipo monopolo–dipolo: $\mathbf{S}\cdot \mathbf{r}$, $\mathbf{S}\cdot \mathbf{v}$ e $\mathbf{S}\cdot \left(\mathbf{v}\times \mathbf{r}\right)$. Interações dessa natureza também são investigadas em experimentos com nêutrons [⁶⁷, ⁶⁸, ⁶⁹, ⁷⁰]. Destacamos ainda outras possibilidades experimentais. Em estudos com átomos [⁷¹, ⁷²], investigam-se interações dipolo–dipolo com dependências do tipo ${\mathbf{S}}_1\cdot {\mathbf{S}}_2$ e $\left({\mathbf{S}}_1\cdot \mathbf{r}\right)\left({\mathbf{S}}_2\cdot \mathbf{r}\right)$. Já na interação e espectroscopia de moléculas quirais [⁷³, ⁷⁴], busca-se detectar efeitos monopolo–dipolo, conforme mencionado anteriormente. No trabalho de revisão [⁷⁵], encontram-se detalhadas várias investigações de interações dependentes do spin e velocidade utilizando átomos e moléculas.

Em um regime macroscópico, experimentos com terras raras [⁷⁶] permitem investigar diferentes tipos de interações dependentes de spin e velocidade, variando-se a orientação relativa entre detector e material. Também se destacam experimentos com pêndulos de torção [⁷⁷], envolvendo sistemas com alta densidade de elétrons, cujo objetivo é analisar interações do tipo dipolo–dipolo, incluindo configurações como $\left({\mathbf{S}}_1\times {\mathbf{S}}_2\right)\cdot \mathbf{r}$. Na mesma direção, há a busca por efeitos relacionados à distribuição média de elétrons da Terra (geo-elétrons) sobre elétrons ou núcleons em laboratórios [⁷⁸]. Por fim, para revisões mais abrangentes sobre esses e outros experimentos, indicamos as Refs. [⁷⁹, ⁸⁰, ⁸¹].

Neste trabalho propomos, de maneira didática, apresentar todas as etapas envolvidas na obtenção de um potencial interpartícula com dependências tanto na velocidade quanto no spin, partindo de uma teoria quântica de campos a partir de um exemplo específico (férmions interagindo via a troca de um bóson vetorial massivo de spin-$1$) que pode, de forma natural, ser estendido a outros casos. Antecipamos, entretanto, que o acoplamento da corrente fermiônica ao bóson vetorial massivo é de natureza eletromagnética, e não apresentamos o mecanismo responsável pela geração de massa do bóson vetorial. O mecanismo mais universal para a geração de massa de bósons vetoriais é o mecanismo de Higgs, o qual não é considerado neste trabalho. Tendo em vista o nosso propósito, partimos diretamente da existência de um bóson intermediário massivo, sem discutir o mecanismo subjacente de geração de massa.

O artigo está organizado da seguinte forma: na Seção 2 introduzimos um modelo no qual um campo bosônico vetorial massivo de spin-$1$ interage com campos fermiônicos massivos de spin-$\frac{1}{2}$, apresentando as regras de Feynman correspondentes e a amplitude de probabilidade para o espalhamento férmion-antiférmion com troca de um bóson, processo a partir do qual derivaremos o potencial. Na Seção 3, dedicamo-nos à obtenção das soluções de energia positiva e negativa da equação de Dirac, bem como de seus limites não relativísticos (NR), que serão fundamentais para tornar a amplitude mais explícita. Na Seção 4, introduzimos o conceito de decomposição de Gordon para a corrente eletromagnética no regime NR, outra etapa necessária para explicitar a forma da amplitude nesse limite. Em seguida, na Seção 5, a partir da amplitude no limite NR e da primeira aproximação de Born, realizamos o cálculo explícito do potencial interpartícula e discutiremos o resultado. Na Seção 6, mostramos como recuperar o potencial associado ao espalhamento férmion-antiférmion mediado por um fóton a partir do limite de massa nula no potencial geral obtido na Seção 5. Finalmente, na Seção 7, apresentamos nossas considerações finais. Incluímos ainda um conjunto de Apêndices destinados a elucidar, de forma explícita e didática, passagens essenciais que são demasiado extensas para o corpo principal do texto.

Adotaremos, ao longo deste trabalho, a notação covariante com a assinatura da métrica dada por ${\eta }^{\mu \nu }=\text{diag}(+,-,-,-)$, cuja introdução e detalhes podem ser encontrados nas Refs. [⁸², ⁸³] para o(a) leitor(a) menos familiarizado(a) com o formalismo. Além disso, destacamos também que, ao longo do texto, as grandezas vetoriais serão representadas por letras em negrito. A literatura corrente (livros e artigos) na área da teoria quântica de campos relativísticos e física de partículas adota normalmente o chamado Sistema Natural de Unidades, tomando $\hslash =c={\epsilon }_0={\mu }_0=1$ e, por essa razão, adotaremos este sistema no presente trabalho. Todos os desenvolvimentos formais e cálculos de grandezas físicas realizados no Sistema Natural podem imediatamente ser convertidos para o Sistema Internacional (SI) de acordo, por exemplo, com as tabelas que se encontram no Apêndice A.

2. Interação Eletromagnética Entre Férmions Com Troca de Spin-1 Massivo

Em geral, numa teoria quântica de campos a ação é escrita em termos de uma densidade Lagrangeana $ℒ$ definida a partir do funcional Lagrangeano $L$ de tal maneira que

(1) $$L\equiv \int d^3\mathit{x}ℒ,$$

em que $d^3\mathit{x}$ é uma medida de integração de volume nas variáveis espaciais. Assim a ação poderá ser escrita na forma

(2) $$S\equiv \int d^{4}xℒ,$$

com $d^{4}x$ sendo uma notação simplificada para $dt{d}^3\mathit{x}$ em que $dt$ é uma integração na variável temporal.

Para os nossos propósitos, vamos partir da ação

(3) $$S=\int d^{4}x[-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+\frac{1}{2{\lambda }^2}{A}_{\mu }{A}^{\mu }+\overline{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m_f)\psi -e\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu }],$$

com $\lambda$ sendo um parâmetro com unidade de comprimento (comprimento de onda de de Broglie) definido de tal maneira que

(4) $$\lambda \equiv \frac{1}{m}.$$

Essa ação descreve a dinâmica de um campo bosônico massivo $A_{\mu }=(\varphi ,-\mathit{}{A}_i)$, com spin-$1$ e massa $m$, acoplado a um campo fermiônico descrito por um espinor de quatro componentes $\psi$, com spin-$\frac{1}{2}$ e massa $m_f$. O termo de interação eletromagnética é dado por $e\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu }$, onde $e$ representa a carga do férmion. O tensor de intensidades $F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$, com ${\partial }_{\mu }=({\partial }_t,\mathit{}{\nabla }_i)$, possui componentes totalmente determinadas pelas relações entre os potenciais escalar $\varphi$ e vetor $\mathit{}{A}_i$ e os campos elétrico e magnético: $\mathit{}{E}_i=-\mathit{}{\nabla }_i\varphi -{\partial }_t\mathit{}{A}_i$ e $\mathit{}{B}_i={\left(\mathit{}\nabla \times \mathit{A}\right)}_i$, respectivamente. O termo $\overline{\psi }\equiv {\psi }^{†}{\gamma }^0$ é o chamado conjugado de Dirac e vamos adotar a representação de Dirac para as matrizes $\gamma$ em que

(5) $${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& -I_2\end{array}\right),{\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_i\\ -{\sigma }_i& 0\end{array}\right),$$

e $I_2$ é a matriz identidade $2\times 2$ e ${\sigma }_i$ são as matrizes de Pauli definidas no espaço euclidiano.

2.1. As equações de campo

O conteúdo da ação (3) está escrito na notação covariante. Podemos reescrevê-la nas componentes Euclidianas como

(6) $$S=\int d^{4}x\{\frac{1}{2}{\mathit{E}}^2-\frac{1}{2}{\mathit{B}}^2+\frac{1}{2}{m}^2({\varphi }^2-{\mathit{A}}^2)+\overline{\psi }[i({\gamma }^0{\partial }_t+\mathit{\gamma }\cdot \mathit{\nabla })-m_f]\psi -\rho \varphi +\mathit{j}\cdot \mathit{A}\},$$

em que $\rho \equiv e{\psi }^{†}\psi$ é a densidade de cargas e $\mathit{j}\equiv e\overline{\psi }\mathit{\gamma }\psi$ a densidade de corrente. Do princípio da mínima ação para $\varphi$ e $\mathit{A}$ emergem as leis de Gauss para o campo elétrico e Ampère-Maxwell modificadas. Da identidade de Bianchi, ${\partial }_{\mu }{F}_{\nu \kappa }+{\partial }_{\kappa }{F}_{\mu \nu }+{\partial }_{\nu }{F}_{\kappa \mu }=0$, emergem as leis de Gauss para o campo magnético e Faraday-Lenz, que são inalteradas no presente caso. Ou seja, a ação (3) nos leva às seguintes equações:

(7) $$\mathit{\nabla }\cdot \mathit{E}=-m^2\varphi +\rho ,$$

(8) $$\mathit{\nabla }\cdot \mathit{B}=0,$$

(9) $$\mathit{\nabla }\times \mathit{E}=-\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t},$$

(10) $$\mathit{\nabla }\times \mathit{B}=\frac{\partial \mathit{E}}{\partial t}-m^2\mathit{A}+\mathit{j}.$$

Esse conjunto de equações de Maxwell modificadas define a eletrodinâmica de Broglie-Proca, que descreve a propagação de um fóton massivo. Esta se reduz ao caso usual de Maxwell no limite em que a massa do fóton tende a zero $\left(m\to 0\right)$. Para mais detalhes veja a Ref. [⁸⁴].

2.2. As regras de Feynman

Para o que segue, vamos trabalhar com ação (3) reescrita na forma

(11) $$S=\int d^{4}x\{\frac{1}{2}{A}_{\mu }[(\square +m^2){\eta }^{\mu \nu }-{\partial }^{\mu }{\partial }^{\nu }]A_{\nu }+\overline{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m_f)\psi -e{A}_{\mu }\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi \},$$

em que $\square \equiv {\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }={\partial }_t^2-\mathit{}{\nabla }^2$ e eliminamos os termos de borda na integração por partes realizada no campo $A_{\mu }$. Assim, dos setores quadráticos nos campos, podemos extrair os propagadores que serão úteis para a obtenção do potencial interpartícula. Tudo o que será necessário é inverter o operador dessa estrutura quadrática de campo–operador–campo. Essa inversão é bem definida no espaço dos momentos e, portanto, precisamos calcular a transformada de Fourier da ação (11) usando as prescrições

(12) $$\begin{array}{l}{A}_{\mu }\left(x\right)\equiv \int \frac{d^{4}q}{{\left(2\pi \right)}^4}{\tilde{A}}_{\mu }\left(q\right)e^{-i{q}_{\nu }{x}^{\nu }}\\ =\int \frac{d^{4}q}{{\left(2\pi \right)}^4}{\tilde{A}}_{\mu }\left(q\right)e^{-i\left(E_{q}t-\mathit{q}\cdot \mathit{x}\right)},\end{array}$$

(13) $$\begin{array}{l}\psi \left(x\right)\equiv \int \frac{d^{4}p}{{\left(2\pi \right)}^4}u\left(p\right)e^{-i{p}_{\mu }{x}^{\mu }}\\ =\int \frac{d^{4}p}{{\left(2\pi \right)}^4}u\left(p\right)e^{-i\left(E_{p}t-\mathit{p}\cdot \mathit{x}\right)},\end{array}$$

(14) $$\begin{array}{l}\overline{\psi }\left(x\right)\equiv \int \frac{d^4{p}^{\prime }}{{\left(2\pi \right)}^4}\overline{u}\left(p^{\prime }\right)e^{+i{p}_{\mu }^{\prime }{x}^{\mu }}\\ =\int \frac{d^4{p}^{\prime }}{{\left(2\pi \right)}^4}\overline{u}\left(p^{\prime }\right)e^{+i\left(E_{p^{\prime }}t-\mathit{}{\mathit{p}}^{\prime }\cdot \mathit{x}\right)},\end{array}$$

em que a medida de integração é dada por $d^{4}p=d{p}_0{d}^3\mathit{p}$ com $d{p}_0=d{E}_p$, e os quadrimomentos estão todos na camada de massa, ou seja, respeitam as relações de dispersão relativísticas

(15) $$q^2\equiv q_{\mu }{q}^{\mu }=E_q^2-\mathit{}{\mathit{q}}^2=m^2,$$

(16) $$p^2\equiv p_{\mu }{p}^{\mu }=E_p^2-\mathit{}{\mathit{p}}^2=m_f^2,$$

(17) $$p^{\prime 2}\equiv p_{\mu }^{\prime }{p}^{\prime \mu }=E_{p^{\prime }}^2-\mathit{}{\mathit{p}}^{\prime 2}=m_f^2.$$

Assim, levando as prescrições de Fourier para a ação, integrando nas variáveis temporais e espaciais, bem como usando o resultado

(18) $$\int d^{4}x{e}^{i\left(p^{\prime }-p-q\right)\cdot x}={\left(2\pi \right)}^4{\delta }^{\left(4\right)}\left(p^{\prime }-p-q\right),$$

temos que a (equação 11) pode ser escrita na forma

(19) $$\begin{array}{l}S=\int \frac{d^{4}p}{{\left(2\pi \right)}^4}\{\overline{u}\left(p\right)({\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }-m_f)u\left(p\right)\\ -\frac{1}{2}{\tilde{A}}_{\mu }\left(-p\right)\left[\left(p^2-m^2\right){\eta }^{\mu \nu }-p^{\mu }{p}^{\nu }\right]{\tilde{A}}_{\nu }\left(p\right)\\ -e\int \frac{d^4{p}^{\prime }}{{\left(2\pi \right)}^4}\overline{u}\left(p^{\prime }\right){\gamma }^{\mu }u\left(p\right){\tilde{A}}_{\mu }(p^{\prime }-p)\}.\end{array}$$

Com esta ação escrita no espaço dos momentos, podemos obter os propagadores a partir da inversão dos operadores do setor cinético, bastando tomar a inversa correspondente e multiplicá-la pela unidade imaginária $i$. Para os nossos propósitos, vamos precisar apenas do propagador do campo $A_{\mu }$ e o cálculo pode ser visto em detalhes no Apêndice B, resultando em

(20)

As linhas onduladas traduzem pictoricamente o conteúdo e a interpretação física do propagador do campo $A_{\mu }$.

Também é necessária a regra de Feynman associada ao fator de vértice de interação,

(21)

que deve sempre vir acompanhado de uma delta de conservação de momento, adotando-se o sinal positivo para os momentos que entram no vértice – indicado por ($\bullet$) na (equação 21) – e o sinal negativo para os momentos que saem dele.

Adicionalmente, para cada linha externa fermiônica (que vai de encontro ao vértice pela esquerda) com momento $p$ escrevemos

(22)

em que $u\left(p\right)$ é solução da equação de Dirac no espaço dos momentos com energia positiva. Agora, para cada linha externa de anti-férmion (que vai na contra-mão do vértice pela esquerda) com momento $p$, escrevemos

(23)

com $v\left(p\right)$ sendo solução da equação de Dirac no espaço dos momentos com energia negativa. Para cada linha fermiônica externa (que sai do vértice pela direita) com momento $p$, escrevemos

(24)

Por fim, para cada linha externa de anti-férmion (que vai de encontro ao vértice pela direita) com momento $p$, escrevemos

(25)

onde os espinores (24) e (25) são definidos como $\overline{u}\equiv u^{†}{\gamma }^0$ e $\overline{v}\equiv v^{†}{\gamma }^0$.

Reunindo todos os elementos e multiplicando o resultado pela unidade imaginária $i$, obtemos a amplitude de probabilidade $ℳ$ correspondente ao diagrama de Feynman representado na Figura 1. Para maiores detalhes sobre as regras de Feynman e amplitudes de probabilidade, destacamos alguns livros adotados em cursos introdutórios de teorias de campos e interações fundamentais [⁸⁵, ⁸⁶, ⁸³, ⁸⁷, ⁸⁸]. Nesse processo, um férmion $f^{-}$ com momento $p_1$ e um antiférmion $f^{+}$ com momento $p_2$ se espalham por meio da troca de um bóson massivo de spin-1 e massa $m$, que carrega um momento transferido $q$. Os momentos finais dos férmion e antiférmion são $p_3$ e $p_4$, respectivamente. Embora existam outras regras de Feynman que possam ser derivadas, para os nossos propósitos – a obtenção do potencial interpartículas – essas serão suficientes.

Figura 1
Diagrama de Feynman correspondente ao espalhamento de um férmion $\left(f^{-}\right)$ com antiférmion $\left(f^{+}\right)$ por um fóton massivo e seus respectivos quadri-momentos. A leitura do diagrama é feita da esquerda para direita.

2.3. A amplitude de probabilidade para umespalhamento férmion-antiférmion

Ao aplicar a regras de Feynman no processo da Figura 1, obtemos que

(26)

Os dois férmions serão rotulados por $f=a,b$ e a amplitude dada pela (equação 26) pode ser escrita explicitamente na forma

(27) $$ℳ=-\frac{e_a{e}_b}{q^2-m^2}\overline{u}\left(p_3\right){\gamma }^{\mu }u\left(p_1\right)\times \left({\eta }_{\mu \nu }-\frac{q_{\mu }{q}_{\nu }}{m^2}\right)\overline{v}\left(p_4\right){\gamma }^{\nu }v\left(p_2\right).$$

Então, identificamos as correntes vetoriais como

(28) $$J_a^{\mu }=e_a\overline{u}\left(p_3\right){\gamma }^{\mu }u\left(p_1\right),$$

(29) $$J_b^{\mu }=e_b\overline{v}\left(p_4\right){\gamma }^{\mu }v\left(p_2\right),$$

com $e_a$ e $e_b$ sendo as cargas elétricas.

Nesta etapa, vale a pena analisarmos qual é o momento $q$ transferido na interação. Podemos perceber isso a partir da ação de interação escrita no espaço dos momentos, descrita por

(30) $$S_{\text{int}}=-e\int \frac{d^4{p}^{\prime }}{{\left(2\pi \right)}^4}\int \frac{d^{4}p}{{\left(2\pi \right)}^4}\overline{u}\left(p^{\prime }\right){\gamma }^{\mu }u\left(p\right){𝒜}_{\mu }\left(p^{\prime }-p\right),$$

sugerindo que a interação eletromagnética será mediada por um fóton que transfere um momento $q=p^{\prime }-p$ no processo. No caso do diagrama da equação (26), percebemos que o momento transferido é então dado por

(31) $$q=p_3-p_1=-\left(p_4-p_2\right).$$

É conveniente considerar o problema no referencial do centro de massa (CM), onde os tri-momentos totais iniciais e finais são nulos,

(32) $${\mathit{p}}_1+{\mathit{p}}_2=\mathit{}\mathbf{0}={\mathit{p}}_3+{\mathit{p}}_4.$$

Também temos a conservação da energia

(33) $$E_1+E_2=E_3+E_4$$

e das massas das partículas espalhadas. Utilizaremos as definições de quadri-momento médio,

(34) $$P=\frac{p_1+p_3}{2}=-\frac{p_2+p_4}{2},$$

e do momento transferido $q$ como variáveis principais. No referencial do CM, os momentos dos férmions $a$ e $b$ serão então dados por

(35) $$p_1=P-\frac{q}{2}=-p_2,$$

(36) $$p_3=P+\frac{q}{2}=-p_4.$$

Como consequência imediata dessas definições temos que

(37) $$P\cdot q=0$$

e

(38) $$q_0=0,$$

isto é, as energias cinéticas individuais dos férmions $a$ e $b$ são conservadas no processo se há a conservação da massa.

Para prosseguir, precisamos de dois resultados fundamentais no cálculo do potencial interpartícula. Inicialmente, obter as soluções da equação de Dirac, que nos fornecerão explicitamente as expressões para os espinores $u$, $v$ e seus conjugados de Dirac. Em seguida, efetuar as decomposições de Gordon para as correntes $J_a^{\mu }$ e $J_b^{\mu }$, as quais nos permitirão explicitar as dependências nos momento e spin.

3. A Equação de Dirac e SuasSoluções $u$ e $v$

Ao aplicar o princípio variacional para o campo fermiônico na ação (3) temos como resultado a equação de Dirac na presença de um acoplamento mínimo com a interação eletromagnética, ou seja,

(39) $$\left(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m_f\right)\psi \left(x\right)=0,$$

em que $D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ie{A}_{\mu }$. Antes de prosseguirmos, é relevante mencionarmos que, a partir desta equação, Dirac obteve uma descrição quântica-relativística para o elétron. Um dos resultados notáveis é a explicação do valor da razão giromagnética $g=2$ presente na interação de dipolo magnético da equação de Pauli, que pode ser obtida tomando-se o limite não-relativístico da equação de Dirac [⁸⁶]. Para o que segue, temos interesse apenas nas soluções da equação de Dirac livre, onde $D_{\mu }\to {\partial }_{\mu }$. Desfazendo a notação covariante, podemos interpretar a equação de Dirac de forma simplificada, considerando-a como uma equação matricial. Nessa interpretação, temos uma matriz $4\times 4$, representada por uma notação compacta dada por $\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m_f\right)$, que atua sobre um vetor de quatro componentes escrito na forma de uma matriz coluna de dimensão $1\times 4$, $\psi$. Esse vetor é formalmente denominado espinor. Ao desfazer a notação covariante a equação de Dirac livre toma a forma

(40) $$[i\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& I_2\end{array}\right)\frac{\partial }{\partial t}+i\sum _{i=1}^3\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_i\\ -{\sigma }_i& 0\end{array}\right){\mathit{\nabla }}_i-m_f\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& I_2\end{array}\right)]\left(\begin{array}{c}{\psi }_a(t,\mathit{x})\\ {\psi }_b(t,\mathit{x})\end{array}\right)=0,$$

com ${\psi }_a$ e ${\psi }_b$ sendo espinores de Pauli de duas componentes.

Cada uma das componentes de $\psi$ satisfaz a equação de Klein-Gordon. Para demonstrar isso, aplicamos à esquerda da (equação 39) (ou de sua versão livre), o operador $\left(i{\gamma }^{\nu }{\partial }_{\nu }+m_f\right)$. Em seguida, realizamos a decomposição do produto de matrizes gama em suas partes simétrica e antissimétrica, e utilizamos a identidade fundamental da álgebra de Clifford,

(41) $$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=2{\eta }^{\mu \nu }{I}_4.$$

Notamos que a contração entre o produto simétrico das derivadas e a parte antissimétrica das matrizes gama é identicamente nula, enquanto a parte simétrica contribui de acordo com a (equação 41). Como resultado, obtemos

(42) $$\left(\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathit{\nabla }}^2+m_f^2\right)\psi \left(x\right)=\left(\square +m_f^2\right)\psi \left(x\right)=0.$$

A partir da (equação 42) podemos explicitar o espectro de energia via uma transformada de Fourier dessa equação, em que as variáveis conjugadas serão o tempo, associado à energia $E$, e a posição, associada ao momento linear $\mathit{p}$. Como isso, a transformada de Fourier do espinor $\psi$ é dada por

(43) $$\psi (t,\mathit{x})=\int \frac{d^{4}p}{{\left(2\pi \right)}^4}\tilde{\psi }(E,\mathit{p})e^{-i\left(Et-\mathit{p}\cdot \mathit{x}\right)},$$

Levando a (equação 43) em (equação 42) obtemos que a equação será satisfeita se

(44) $$E=\pm \sqrt{{\mathit{p}}^2+m_f^2},$$

descrevendo um espectro de energia que pode ser positivo ou negativo. Para as soluções de energias positivas definimos simplesmente $\tilde{\psi }(E,\mathit{p})\equiv u\left(\mathit{p}\right)$ e para as soluções de energia negativas definimos $\tilde{\psi }(E,\mathit{p})\equiv v\left(\mathit{p}\right)$ e escrevermos $e^{+i\left(Et-\mathit{p}\cdot \mathit{x}\right)}$ na (equação 43).

3.1. Soluções de energia positiva e negativa

Levando os resultados (43) para energias positivas à (equação 39), vamos obter

(45) $$\left(p_{\mu }{\gamma }^{\mu }-m_f\right)u_s\left(\mathit{p}\right)=0,$$

em que o rótulo $s$ designará o estado de spin do férmion em questão. De forma mais explícita podemos escrever (equação 45) do seguinte modo

(46) $$[E\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& -I_2\end{array}\right)-\mathit{p}\cdot \mathit{\sigma }\left(\begin{array}{cc}0& I_2\\ -I_2& 0\end{array}\right)-m_f\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& I_2\end{array}\right)\left]u{}_s\right(\mathit{p})=0.$$

Podemos expressar o espinor $u_s\left(\mathit{p}\right)$ em termos de dois espinores de Pauli, ${\xi }_s\left(\mathit{p}\right)$ e ${\chi }_s\left(\mathit{p}\right)$, multiplicados por um fator de normalização $N_u$. Dessa forma, a equação (46) nos levará ao par de equações acopladas dado por

(47) $$E{\xi }_s\left(\mathit{p}\right)-\mathit{p}\cdot \mathit{\sigma }{\chi }_s\left(p\right)-m_f{\xi }_s\left(\mathit{p}\right)=0,$$

(48) $$E{\chi }_s\left(\mathit{p}\right)-\mathit{p}\cdot \mathit{\sigma }{\xi }_S\left(p\right)+m_f{\chi }_s\left(\mathit{p}\right)=0.$$

Da (equação 48) podemos escrever ${\chi }_s$ em função de ${\xi }_s$,

(49) $$I_2{\chi }_s\left(p\right)=\frac{\mathit{p}\cdot \mathit{\sigma }}{E+m_f}{\xi }_s\left(p\right).$$

Com esse resultado, o espinor solução para energias positivas pode ser escrito de tal maneira que

(50) $$u_s\left(\mathit{p}\right)=N_u\left(\begin{array}{c}{\xi }_s\left(\mathit{p}\right)\\ \frac{\mathit{p}\cdot \mathit{\sigma }}{E+m_f}{\xi }_s\left(\mathit{p}\right)\end{array}\right).$$

Essa é a solução geral no espaço dos momentos da equação de Dirac (39) no referncial do laboratório. Em geral, o espinor ${\xi }_s\left(\mathit{p}\right)$ pode ser determinado pelo auto-estado de spin da partícula no seu referencial do centro de massa. Então, se estamos descrevendo um férmion de spin up, ${\xi }_s$ é dado por

(51) $${\xi }_{+}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right).$$

Agora se estamos descrevendo um estado de spin down para o mesmo férmion, ${\xi }_s$ assume a forma

(52) $${\xi }_{-}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).$$

Ao aplicarmos a mesma metodologia para a solução de energia negativa, obtemos

(53) $$v_s\left(p\right)=N_v\left(\begin{array}{c}\frac{\mathit{p}\cdot \mathit{\sigma }}{E+m_f}{\chi }_s\left(p\right)\\ {\chi }_s\left(p\right)\end{array}\right),$$

com as interpretações de autoestados de spin idênticas ao caso da solução de energia positiva e $N_v$ sendo uma constante de normalização. Estes espinores podem ser normalizados impondo-se as condições

(54) $${\overline{v}}_s{v}_{s^{\prime }}={\overline{u}}_s{u}_{s^{\prime }}=2m_f{\delta }_{s,s^{\prime }}\text{e}{v}_s^{†}{v}_{s^{\prime }}=u_s^{†}{u}_{s^{\prime }}=E{\delta }_{s,s^{\prime }},$$

onde ${\delta }_{s,s^{\prime }}$ denota a delta de Kronecker, definida por

(55) $${\delta }_{s,s^{\prime }}=\{\begin{array}{cc}0& \text{se}s\ne s^{\prime },\\ 1& \text{se}s=s^{\prime }.\end{array}$$

Com isso, as constantes de normalização são fixadas como sendo

(56) $$N_v=N_u\equiv N=\sqrt{E+m_f}.$$

Neste momento, gostaríamos de colocar alguns comentários a respeito da interpretação da solução de energia negativa. Isso gerou um grande debate na literatura, com repercussões na compreensão do que seria o vácuo quântico de uma teoria e na existência de anti-partículas. Inicialmente, em $1930$, Dirac apresentou a proposta conhecida por mar de Dirac, na qual o vácuo da teoria não seria um completo vazio, mas sim um vácuo com os todos os estados de energia negativa preenchidos de modo que, pelo princípio da exclusão de Pauli, apenas os estados de energia positiva estariam disponíveis. Isso foi muito criticado na época. Posteriormente, em $1931$, Dirac compreende que existe uma simetria de conjugação de carga na sua equação, que possibilita conectar as soluções de energias positiva e negativa. Com isso, ele prevê a existência do pósitron (anti-partícula do elétron), que possui mesma massa e carga elétrica oposta. Em $1932$, Carl D. Anderson detecta experimentalmente o pósitron. Por essas relevantes previsão e descoberta, Dirac e Anderson receberam o prêmio Nobel de Física de $1933$ e $1936$, respectivamente. Há que se ressaltar ainda que, no contexto da Teoria Quântica de Campos, o vácuo quântico não é um completo vazio, podendo ter efeitos de criação-aniquilição de partículas em um intervalo de tempo muito curto, produzindo as chamadas partículas virtuais. Para maiores detalhes a respeito do mar de Dirac, vácuo quântico e simetria de conjugação de carga, destacamos os livros [⁸⁶, ⁸⁷].

3.2. O limite não-relativístico das soluções

Considerando uma expansão em série de Taylor até primeira ordem em $\frac{{\mathit{p}}^2}{m_f^2}$, o limite não-relativístico (NR) da relação de dispersão será dada por (44),

(57) $$E_{\text{NR}}\approx m_f+\frac{{\mathit{p}}^2}{2m_f}.$$

Portanto, no limite NR a energia consiste de uma parcela correspondente à energia de repouso, $m_f$, e uma parcela de energia cinética $\frac{{\mathit{p}}^2}{2m_f}$.

Para obter esse limite de forma consistente nas soluções (50) e (53), devemos substituir o resultado (57) nestas soluções e então expandir até a primeira ordem em $\frac{{\mathit{p}}^2}{m_f^2}$. No entanto, antes de proceder, é importante observar um detalhe acerca da constante de normalização. Para garantir que a condição típica do regime NR, $v_s^{†}{v}_s=u_s^{†}{u}_s={\delta }_{s,s^{\prime }}$, seja recuperada, a constante de normalização deve ser ajustada no limite NR como sendo [⁸⁸]

(58) $$N\to N_{\text{NR}}=\frac{N}{\sqrt{2E}}\approx 1-\frac{{\mathit{p}}^2}{8m_f^2}.$$

Portanto, os espinores de energia positiva e negativa no limite NR serão dados por

(59) $$u_{s\text{NR}}\left(p\right)=N_{\text{NR}}\left(\begin{array}{c}{\xi }_s\left(p\right)\\ \frac{\mathit{p}\cdot \mathit{\sigma }}{2m_f}{\xi }_s\left(p\right)\end{array}\right),$$

(60) $$v_{s\text{NR}}\left(p\right)=N_{\text{NR}}\left(\begin{array}{c}\frac{\mathit{p}\cdot \mathit{\sigma }}{2m_f}{\chi }_s\left(p\right)\\ {\chi }_s\left(p\right)\end{array}\right).$$

Os resultados apresentados até agora acerca das soluções da equação de Dirac serão suficientes para a determinação do potencial interpartícula envolvendo a interação entre dois férmions. Antes de avançarmos, introduziremos o conceito de decomposição de Gordon, o qual fornecerá uma identidade útil para simplificar os cálculos da amplitude (27) no limite não relativístico.

4. Decomposição de Gordon

A decomposição de Gordon consiste em escrever a expressão da corrente eletromagnética fermiônica em termos de duas contribuições distintas: uma parte relacionada à densidade de carga e outra associada ao momento de dipolo magnético do férmion. Para facilitar, vamos construir tudo no espaço dos momentos partindo da equação de Dirac com momento $p_1$,

(61) $$\left({\gamma }^{\mu }p_1^{}{}_{\mu }{}^{}-m_f\right)u\left(p_1\right)=0,$$

e seu conjugado de Dirac com momento $p_3$,

(62) $$\overline{u}\left(p_3\right)\left({\gamma }^{\mu }p_3^{}{}_{\mu }{}^{}-m_f\right)=0.$$

Ressalta-se que utilizamos algumas propriedades envolvendo o conjugado de Dirac. A saber, seja $M$ uma matriz $4\times 4$, então $\overline{M\psi }=\overline{\psi }\overline{M}$ e $\overline{M}={\gamma }^0{M}^{†}{\gamma }^0$. Com isso, temos que $\overline{{\gamma }^{\mu }}={\gamma }^{\mu }$. Nesta etapa, multipliquemos a esquerda da (equação 61) por $\overline{u}\left(p_3\right){\gamma }^{\nu }$ e depois a direita da (equação 62) por ${\gamma }^{\nu }u\left(p_1\right)$ . Logo, somando os resultados, obtemos

(63) $$p_1^{}{}_{\mu }{}^{}\overline{u}\left(p_3\right){\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }u\left(p_1\right)+p_3^{}{}_{\mu }{}^{}\overline{u}\left(p_3\right){\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }u\left(p_1\right)-2m_f\overline{u}\left(p_3\right){\gamma }^{\nu }u\left(p_1\right)=0,$$

ou, utilizando a definição ${\sigma }^{\mu \nu }=\frac{i}{2}[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }]$ e álgebra de Clifford $\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=2{\eta }^{\mu \nu }{I}_4$, podemos reescrever como

(64) $$p_1^{}{}_{\mu }{}^{}\overline{u}\left(p_3\right)\left({\eta }^{\nu \mu }-i{\sigma }^{\nu \mu }\right)u\left(p_1\right)+p_3^{}{}_{\mu }{}^{}\overline{u}\left(p_3\right)\left({\eta }^{\mu \nu }-i{\sigma }^{\mu \nu }\right)u\left(p_1\right)-2m_f\overline{u}\left(p_3\right){\gamma }^{\nu }u\left(p_1\right)=0.$$

O que simplesmente se reduz a

(65) $$\begin{array}{l}\overline{u}\left(p_3\right){\gamma }^{\nu }u\left(p_1\right)=\frac{1}{2m_f}\overline{u}\left(p_3\right)[{(p_3+p_1)}^{\nu }-i{(p_3-p_1)}_{\mu }{\sigma }^{\mu \nu }\left]u\right(p_1)\\ =\frac{1}{2m_f}\overline{u}\left(p_3\right)\left[2P^{\nu }-i{q}_{\mu }{\sigma }^{\mu \nu }\right]u\left(p_1\right),\end{array}$$

em que $P^{\nu }={\left(p_3+p_1\right)}^{\nu }/2$ é uma média nos momentos. A expressão dada pela equação (4) é a chamada identidade de Gordon da corrente vetorial e no espaço das configurações fica

(66) $$\overline{\psi }\left(x\right){\gamma }^{\mu }\psi \left(x\right)=\frac{i}{2m_f}\left[\overline{\psi }\left({\partial }^{\mu }\psi \right)-\left({\partial }^{\mu }\overline{\psi }\right)\psi \right]+\frac{1}{2m_f}{\partial }_{\nu }\left(\overline{\psi }{\sigma }^{\mu \nu }\psi \right).$$

A importância da decomposição de Gordon é que esta facilita a compreensão das interações e correções quânticas presentes nos processos. Por exemplo, no caso da corrente vetorial (4) acoplada a um campo eletromagnético $\left(e\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu }\right)$, temos que o segundo termo contém a interação de dipolo magnético (termo de Pauli), a saber $\left(e/2m_f\right)\mathit{B}\cdot {\psi }^{†}\mathit{\sigma }\psi$. Analogamente, é possível efetuar outras decomposições para correntes do tipo $\overline{\psi }{𝒪}^{\mu }\psi$, com ${𝒪}^{\mu }$ sendo combinações e contrações envolvendo as matrizes ${\gamma }^{\mu }$, os quadri-momentos $P^{\mu }$ e $q^{\mu }$, bem como o símbolo de Levi-Civita no espaço de Minkowski ${ϵ}^{\mu \nu \alpha \beta }$ e a matriz ${\gamma }_5\equiv i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3$. Para maiores detalhes sobre decomposições de Gordon, destacamos os trabalhos [⁸⁹, ⁹⁰].

5. O Potencial Interpatícula

A fim de incluir correções de spin e velocidade no potencial, utilizaremos o método no qual o potencial, $V\left(\mathit{x}\right)$, pode ser obtido a partir da primeira aproximação de Born [⁸⁸], ou seja, realizando a transformada de Fourier da amplitude não relativística, ${ℳ}_{\text{NR}}$, em relação ao momento transferido $\mathit{q}$:

(67) $$V\left(\mathit{x}\right)=-\int \frac{d^3\mathit{q}}{{\left(2\pi \right)}^3}{ℳ}_{\text{NR}}\left({\mathit{q}}^2\right)e^{i\mathit{q}\cdot \mathit{x}}.$$

É importante mencionar outras prescrições para o cálculo do potencial. Pode-se empregar, por exemplo, a abordagem baseada na analiticidade da amplitude [⁹¹, ⁹², ⁹³, ⁹⁴, ⁹⁵, ⁹⁶, ⁹⁷] ou o formalismo via laço de Wilson [⁹⁸, ⁹⁹]. No entanto, optamos pela metodologia que consideramos mais direta.

A amplitude ${ℳ}_{\text{NR}}$ pode ser obtida pelo limite não relativístico da equação (27). Ou seja,

(68) $${ℳ}_{\text{NR}}\left(q\right)\approx -\frac{e_a{e}_b}{q^2-m^2}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(p_3\right){\gamma }^{\mu }{u}_{s_1\text{NR}}\left(p_1\right)\times ({\eta }_{\mu \nu }-\frac{q_{\mu }{q}_{\nu }}{m^2}){\overline{v}}_{s_4\text{NR}}\left(p_4\right){\gamma }^{\nu }{v}_{s_2\text{NR}}\left(p_2\right).$$

Como vimos, no referencial do CM temos que $q_0=0$ e, portanto, podemos escrever

(69) $$\begin{array}{l}{ℳ}_{\text{NR}}\left(\mathit{q}\right)\approx \frac{e_a{e}_b}{{\mathit{q}}^2+m^2}[{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(p_3\right){\gamma }^{\mu }{u}_{s_1\text{NR}}\left(p_1\right)\\ \times {\overline{v}}_{s_4\text{NR}}\left(p_4\right){\gamma }_{\mu }{v}_{s_2\text{NR}}\left(p_2\right)\\ -\frac{1}{m^2}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(p_3\right)\mathit{q}\cdot \mathit{\gamma }{u}_{s_1\text{NR}}\left(p_1\right)\\ \times {\overline{v}}_{s_4\text{NR}}\left(p_4\right)\mathit{q}\cdot \mathit{\gamma }{v}_{s_2\text{NR}}\left(p_2\right)].\end{array}$$

Ou ainda,

(70) $${ℳ}_{\text{NR}}\left(\mathit{q}\right)\approx \frac{e_a{e}_b}{{\mathit{q}}^2+m^2}\left(j_a^{\mu }{j}_{b\mu }-\frac{q_{\mu }{q}_{\nu }}{m^2}{j}_a^{\mu }{j}_b^{\nu }\right).$$

Essa notação compacta nos permite ter um maior controle de todas as etapas do cálculo.

Ao abrir termo a temo para simplificar ao máximo a expressão (70), começamos por

(71) $$j_a^{\mu }{j}_{b\mu }={\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(p_3\right){\gamma }^{\mu }{u}_{s_1\text{NR}}\left(p_1\right)\times {\overline{v}}_{s_4\text{NR}}\left(p_4\right){\gamma }_{\mu }{v}_{s_2\text{NR}}\left(p_2\right).$$

Vamos trabalhar primeiro com a corrente $j_a^{\mu }$. Em termos da decomposição de Gordon, $j_a^{\mu }$ pode ser ecrito na forma

(72) $$j_a^{\mu }=\frac{1}{2m_a}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)\times \left(2P^{\mu }-i{q}_{\nu }{\sigma }^{\nu \mu }\right)u_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right),$$

em que usamos as variáveis de momento no referencial do CM e as expressões para os espinores no limite NR.

A componente $\mu =0$ pode então ser escrita de tal maneira que

(73) $$j_a^0=\frac{1}{2m_a}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)\times \left(2P^0-i{q}_i{\sigma }^{i0}\right)u_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right).$$

Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, temos que

(74) $$\begin{array}{l}{T}_1=\frac{P^0}{m_a}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)u_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\\ =\left(1+\frac{{\mathit{q}}^2}{8m_a^2}\right){\xi }_{s_3}^{†}{\xi }_{s_1}+\frac{i}{4m_a^2}\left(\mathit{P}\times \mathit{q}\right)\cdot {\xi }_{s_3}^{†}\mathit{\sigma }{\xi }_{s_1}.\end{array}$$

No Apêndice (C), exibimos o cálculo explícito disso. Nesta etapa, é conveniente definirmos as quantidades

(75) $${\delta }_a={\xi }_{s_3}^{†}{\xi }_{s_1},$$

(76) $$⟨{\mathit{S}}_a⟩={\xi }_{s_3}^{†}\frac{\mathit{\sigma }}{2}{\xi }_{s_1},$$

em que ${\delta }_a$ será zero se as projeções de spin $s_1$ e $s_3$ forem diferentes e igual a um se forem iguais. Já $⟨{\mathit{S}}_a⟩$ denota o valor médio do spin. é importante comentarmos que, em alguns artigos na literatura, estas notações e definições são omitidas. Com essas definições podemos reescrever

(77) $$T_1=\left(1+\frac{{\mathit{q}}^2}{8m_a^2}\right){\delta }_a-\frac{i}{2m_a^2}\left(\mathit{P}\times \mathit{q}\right)\cdot ⟨{\mathit{S}}_a⟩.$$

De modo análogo, conforme discutido também no Apêndice (C), é possível mostrar que

(78) $$\begin{array}{l}{T}_2=-\frac{i{q}_i}{2m_a}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right){\sigma }^{i0}{u}_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\\ =-\frac{{\mathit{q}}^2}{4m_a^2}{\delta }_a+\frac{i}{m_a^2}\left(\mathit{P}\times \mathit{q}\right)\cdot ⟨{\mathit{S}}_a⟩.\end{array}$$

Portanto, juntando estes dois resultados, chegamos na expressão

(79) $$\begin{array}{l}{j}_a^0=T_1+T_2\\ =\left(1-\frac{{\mathit{q}}^2}{8m_a^2}\right){\delta }_a+\frac{i}{2m_a^2}\left(\mathit{P}\times \mathit{q}\right)\cdot ⟨{\mathit{S}}_a⟩.\end{array}$$

Para obter a componente zero da corrente referente ao férmion $\left(b\right)$, basta tomarmos $j_a^0$, trocando $a\to b$, $\mathit{P}\to -\mathit{P}$ e $\mathit{q}\to -\mathit{q}$. Assim, o resultado para $j_b^0$ fica dado por

(80) $$j_b^0=\left(1-\frac{{\mathit{q}}^2}{8m_b^2}\right){\delta }_b+\frac{i}{2m_b^2}\left(\mathit{P}\times \mathit{q}\right)\cdot ⟨{\mathit{S}}_b⟩.$$

Precisamos agora obter as componentes espaciais da corrente $j_a^i$,

(81) $$j_a^i=\frac{1}{2m_a}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)\times \left(2P^i-i{q}_j{\sigma }^{ji}\right)u_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right).$$

Novamente, efetua-se o cálculo de cada termo separadamente. Comecemos com

(82) $$\begin{array}{l}{\mathit{X}}_i=\frac{{\mathit{P}}_i}{m_a}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)u_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\\ =\frac{{\mathit{P}}_i}{m_a}{\delta }_a,\end{array}$$

onde utilizamos alguns resultados do Apêndice (C) para escrever a forma final da expressão $u_{s_3\text{NR}}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)u_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)$ e depois considerar apenas os termos na ordem de momentos ao quadrado divididos por $m_f^2$. Analogamente, demonstra-se a segunda contribuição,

(83) $$\begin{array}{l}{\mathit{Y}}_i=-\frac{i}{2m_a}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)q_j{\sigma }^{ji}{u}_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\\ =-\frac{i}{m_a}{\left(\mathit{q}\times ⟨{\mathit{S}}_a⟩\right)}_i.\end{array}$$

Logo, somando os dois resultados, obtemos

(84) $$\mathit{}j_a^{}{}_i{}^{}={\mathit{X}}_i+{\mathit{Y}}_i=\frac{{\mathit{P}}_i}{m_a}{\delta }_a-\frac{i}{m_a}{\left(\mathit{q}\times ⟨{\mathit{S}}_a⟩\right)}_i.$$

Para a obtenção da componente espacial da corrente referente ao antiférmion $\left(b\right)$, aplica-se a mesma metodologia realizada anteriormente, ou seja, tomamos $\mathit{}j_a^{}{}_i{}^{}$ e trocamos $a\to b$, $\mathit{P}\to -\mathit{P}$ e $\mathit{q}\to -\mathit{q}$, de modo que

(85) $$\mathit{}j_b^{}{}_i{}^{}=-\frac{{\mathit{P}}_i}{m_b}{\delta }_b+\frac{i}{m_b}{\left(\mathit{q}\times ⟨{\mathit{S}}_b⟩\right)}_i.$$

Com estes resultados, a expressão (71) toma a forma

(86) $$j_a^{\mu }j_b^{}{}_{\mu }{}^{}=j_a^0{j}_b^0-{\mathit{j}}_a\cdot {\mathit{j}}_b,$$

o que resulta em

(87) $$\begin{array}{l}{j}_a^{\mu }j_b^{}{}_{\mu }{}^{}=\left[1-\left(\frac{1}{m_a^2}+\frac{1}{m_b^2}\right)\frac{{\mathit{q}}^2}{8}+\frac{{\mathit{P}}^2}{m_a{m}_b}\right]{\delta }_a{\delta }_b\\ +i\mathit{q}\cdot [\mathit{P}\times ⟨{\mathit{S}}_a⟩{\delta }_b(\frac{1}{2m_a^2}+\frac{1}{m_a{m}_b^2})\\ +\left(a\right)\leftrightarrow \left(b\right)]-\frac{{\mathit{q}}^2⟨{\mathit{S}}_a⟩\cdot ⟨{\mathit{S}}_b⟩}{m_a{m}_b}\\ +\frac{\mathit{q}\cdot ⟨{\mathit{S}}_a⟩\mathit{q}\cdot ⟨{\mathit{S}}_b⟩}{m_a{m}_b}.\end{array}$$

A notação $\left(a\right)\leftrightarrow \left(b\right)$ significa reescrever o mesmo termo de dentro dos colchetes trocando o índice $a$ por $b$.

Ressalta-se que o segundo termo restante da (equação 70), dado por

(88) $$\frac{q_{\mu }{q}_{\nu }}{m^2}{j}_a^{\mu }{j}_b^{\nu }=\frac{\left(\mathit{q}\cdot {\mathit{j}}_a\right)\left(\mathit{q}\cdot {\mathit{j}}_b\right)}{m^2},$$

é identicamente nulo, já que usando o resultado da (equação 84), podemos escrever

(89) $$\mathit{q}\cdot {\mathit{j}}_a=\frac{\mathit{q}\cdot \mathit{P}}{m_a}{\delta }_a-\frac{i}{m_a}\mathit{q}\cdot \left(\mathit{q}\times ⟨{\mathit{S}}_a⟩\right)=0.$$

Analogamente, é imediato mostrar também que

(90) $$\mathit{q}\cdot {\mathit{j}}_b=0.$$

Neste momento, vale a pena destacarmos que isso é uma consequência da conservação da quadri-corrente $\left(q^{\mu }{j}_{\mu }=0\right)$, pois no referencial do CM temos que $q^0=0$, sobrando apenas o produto escalar na parte puramente espacial. Com todas essas simplificações, fica claro as vantagens de utilizarmos as coordenadas do referencial do CM (35) e (36). Portanto, o limite NR da amplitude $ℳ$ será dado por

(91) $$\begin{array}{l}{ℳ}_{\text{NR}}\left(\mathit{q}\right)\approx \frac{e_a{e}_b}{{\mathit{q}}^2+m^2}\{[1-(\frac{1}{m_a^2}+\frac{1}{m_b^2})\frac{{\mathit{q}}^2}{8}\\ +\frac{{\mathit{P}}^2}{m_a{m}_b}]\delta {}_a\delta {}_b+i\mathit{q}\cdot [\mathit{P}\times ⟨{\mathit{S}}_a⟩{\delta }_b\\ \times (\frac{1}{2m_a^2}+\frac{1}{m_a{m}_b^2})+\left(a\right)\leftrightarrow \left(b\right)]\\ -\frac{{\mathit{q}}^2⟨{\mathit{S}}_a⟩\cdot ⟨{\mathit{S}}_b⟩-\mathit{q}\cdot ⟨{\mathit{S}}_a⟩\mathit{q}\cdot ⟨{\mathit{S}}_b⟩}{m_a{m}_b}\}.\end{array}$$

Com isso, podemos retornar à expressão (67), usando o resultado (5) para obter

(92) $$\begin{array}{l}V\left(\mathit{x}\right)=-e_a{e}_b\int \frac{d^3\mathit{q}}{{\left(2\pi \right)}^3}\frac{e^{i\mathit{q}\cdot \mathit{x}}}{{\mathit{q}}^2+m^2}\\ \times \{[1-(\frac{1}{m_a^2}+\frac{1}{m_b^2})\frac{{\mathit{q}}^2}{8}\\ +\frac{{\mathit{P}}^2}{m_a{m}_b}]\delta {}_a\delta {}_b+i\mathit{q}\cdot [\mathit{P}\times ⟨{\mathit{S}}_a⟩{\delta }_b\\ \times (\frac{1}{2m_a^2}+\frac{1}{m_a{m}_b^2})+\left(a\right)\leftrightarrow \left(b\right)]\\ -\frac{{\mathit{q}}^2⟨{\mathit{S}}_a⟩\cdot ⟨{\mathit{S}}_b⟩-\mathit{q}\cdot ⟨{\mathit{S}}_a⟩\mathit{q}\cdot ⟨{\mathit{S}}_b⟩}{m_a{m}_b}\}.\end{array}$$

Com auxílio das integrais do Apêndice (D), podemos efetuar os cálculos das transformadas de Fourier inversas, de tal maneira que o potencial inter-partícula resultante fica dado por

(93) $$\begin{array}{l}V\left(\mathit{x}\right)=\frac{e_a{e}_b}{4\pi }\{[\frac{{\delta }_a{\delta }_b}{8}({\lambda }_a^2+{\lambda }_b^2)\\ +\frac{2}{3}{\lambda }_a{\lambda }_b⟨{\mathit{S}}_a⟩\cdot ⟨{\mathit{S}}_b⟩\left]4\pi \delta {}^{\left(3\right)}\right(\mathit{x})\\ -[{\delta }_a{\delta }_b(1+{\lambda }_a{\lambda }_b{\mathit{P}}^2+\frac{{\lambda }_a^2+{\lambda }_b^2}{{\lambda }^2})\\ +\frac{{\lambda }_a{\lambda }_b}{{\lambda }^2}⟨{\mathit{S}}_a⟩\cdot ⟨{\mathit{S}}_b⟩]\frac{e^{-\left|\mathit{x}\right|/\lambda }}{\left|\mathit{x}\right|}\\ +[(1+\frac{\left|\mathit{x}\right|}{\lambda })\mathit{L}\cdot (⟨{\mathit{S}}_a⟩{\delta }_b(\frac{{\lambda }_a^2}{2}+{\lambda }_a{\lambda }_b)\\ +\left(a\right)\leftrightarrow \left(b\right))+\lambda {}_a\lambda {}_b\mathit{Q}{}_{ij}⟨{\mathit{S}}_a⟩{}_i⟨{\mathit{S}}_b⟩{}_j\\ -\frac{{\lambda }_a{\lambda }_b}{{\lambda }^2}|\mathit{x}{|}^2\widehat{\mathit{x}}\cdot ⟨{\mathit{S}}_a⟩\widehat{\mathit{x}}\cdot ⟨{\mathit{S}}_b⟩]\frac{e^{-\left|\mathit{x}\right|/\lambda }}{{\left|\mathit{x}\right|}^3}\},\end{array}$$

onde definimos

(94) $$\mathit{L}=\mathit{x}\times \mathit{P},$$

(95) $${\mathit{Q}}_{ij}={\delta }_{ij}-3{\widehat{\mathit{x}}}_i{\widehat{\mathit{x}}}_j,$$

que correspondem ao momento angular e o operador de quadrupolo, respectivamente, e $\widehat{\mathit{x}}=\frac{\mathit{x}}{\left|\mathit{x}\right|}$ sendo o vetor posição unitário. Além disso, os termos ${\lambda }_a$ e ${\lambda }_b$ são os comprimentos de onda de Compton associados aos férmions $\left(a\right)$ e $\left(b\right)$, ou seja,

(96) $${\lambda }_a=\frac{1}{m_a}\text{e}{\lambda }_b=\frac{1}{m_b}.$$

Por último, é oportuno destacarmos algumas interações presentes neste potencial interpartícula. Inicialmente, observa-se que todos os termos para $\left|\mathit{x}\right|\ne 0$ apresentam uma dependência na exponencial $e^{-\left|\mathit{x}\right|/\lambda }$, que é comum quando a partícula mediadora é massiva (lembrando a relação $\lambda =\frac{1}{m}$). O termo dominante em grandes distâncias é proporcional $e^{-\left|\mathit{x}\right|/\lambda }/\left|\mathit{x}\right|$, i.e., um potencial tipo-Yukawa. Na origem temos as chamadas interações de contato, com dependências na delta de Dirac ${\delta }^{\left(3\right)}\left(\mathit{x}\right)$, apresentando uma correção envolvendo o produto escalar dos spins $⟨{\mathit{S}}_a⟩\cdot ⟨{\mathit{S}}_b⟩$. Além disso, nota-se a presença de interações com dependências só na velocidade via ${\mathit{P}}^2$, do tipo spin-órbita com $⟨\mathit{S}⟩\cdot \mathit{L}$, bem como interação de quadrupolo, envolvendo o termo $Q_{ij}{⟨{\mathit{S}}_a⟩}_i{⟨{\mathit{S}}_b⟩}_j$. Algumas interações aparecem com ${\delta }_a$ ou ${\delta }_b$, sendo não-triviais apenas quando a projeção do spin for preservada.

6. Limite de $m\to 0$ no Potencial Interpartícula

Nesta seção, vamos considerar o potencial dado pela equação (93) no limite $m\to 0$, ou equivalentemente, $\lambda \to \infty$. Esse caso corresponde ao potencial originado no contexto da eletrodinâmica quântica (EDQ) para o espalhamento entre um férmion $\left(a\right)$ e um antiférmion $\left(b\right)$ mediado pela troca de um fóton usual, sem massa. Em termos práticos, trata-se de repetir todo o procedimento que levou à equação (93), partindo da ação dada pela (equação 11) e tomando o limite $m\to 0$, o que recupera a ação da EDQ sem o termo fixador de calibre. Quando o termo fixador de calibre é incluído, a ação assume a forma

(97) $$S_{\text{EDQ}}=\int d^{4}x\{\frac{1}{2}{A}_{\mu }[\square {\eta }^{\mu \nu }-(1-\frac{1}{\alpha }){\partial }^{\mu }{\partial }^{\nu }]A_{\nu }+\overline{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m_f)\psi -e{A}_{\mu }\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi \},$$

onde $\alpha$ é o termo fixador de calibre responsável por evitar o modo zero na inversão do setor cinético do fóton (veja, por exemplo, a Ref. [⁸⁷]). Essa ação nos leva ao propagador do fóton dado por

(98)

Para $\alpha =1$ temos o calibre de Feynman, enquanto para $\alpha \to 0$ temos o calibre de Landau, entre outros. Assim, o limite $\lambda \to \infty$ do resultado da equação (93) equivale a refazer todos os cálculos utilizando o propagador dado pela (equação 98), resultando simplesmente em

(99) $$\begin{array}{l}{V}_{m=0}\left(\mathit{x}\right)=\frac{e_a{e}_b}{4\pi }\{[\frac{{\delta }_a{\delta }_b}{8}({\lambda }_a^2+{\lambda }_b^2)+\frac{2}{3}{\lambda }_a{\lambda }_b⟨{\mathit{S}}_a⟩\cdot ⟨{\mathit{S}}_b⟩]\\ \times 4\pi {\delta }^{\left(3\right)}\left(\mathit{x}\right)-{\delta }_a{\delta }_b\left(1+{\lambda }_a{\lambda }_b{\mathit{P}}^2\right)\frac{1}{\left|\mathit{x}\right|}\\ +[\mathit{L}\cdot (⟨{\mathit{S}}_a⟩{\delta }_b(\frac{{\lambda }_a^2}{2}+{\lambda }_a{\lambda }_b)+\left(a\right)\leftrightarrow \left(b\right))\\ +{\lambda }_a{\lambda }_b{\mathit{Q}}_{ij}{⟨{\mathit{S}}_a⟩}_i{⟨{\mathit{S}}_b⟩}_j]\frac{1}{{\left|\mathit{x}\right|}^3}\}.\end{array}$$

Aqui, o(a) leitor(a) poderia fazer o seguinte questionamento: o limite de massa tendendo a zero está bem definido? Voltando ao propagador do fóton massivo, equação (20), observa-se que existe uma singularidade quando $m\to 0$. No entanto, temos uma importante sutileza na interação envolvida: a corrente vetorial $\left(j^{\mu }=e\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi \right)$ é conservada! Em outras palavras, no espaço dos momentos, temos que $q^{\mu }{j}_{\mu }=0$, de modo que o termo singular no propagador ${\Delta }^{\mu \nu }\left(q\right)$, proporcional a $q^{\mu }{q}^{\nu }/m^2$ não contribuirá na amplitude e, consequentemente, no potencial. Nos nossos cálculos, isso aparece explicitamente no termo (88), que é identicamente nulo. A Eletrodinâmica de Proca, sempre que acoplada com correntes conservadas, conduz a um modelo consistente e com limite de massa tendendo a zero bem definido nos âmbitos das amplitudes e seções de choque [⁹¹]. É instrutivo destacarmos que na Ref. [⁵⁴], encontram-se discutidas algumas interações envolvendo a corrente pseudo-vetorial, definida por $j_{PV}^{\mu }=g_{PV}\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }_5\psi$, com $g_{PV}$ sendo a constante de acoplamento. Esta corrente não é conservada $\left(q_{\mu }{j}_{PV}^{\mu }\ne 0\right)$ de modo que teremos algumas contribuições singulares no limite $m\to 0$ dos correspondentes potenciais. Nesses casos, precisamos interpretar o potencial como uma descrição de teoria efetiva, estando bem definido apenas em certas escalas de distâncias.

Há que se ressaltar ainda que, independentemente da escolha do parâmetro de gauge $\alpha$ no propagador (98), os resultados dos potenciais serão os mesmos, uma vez que estamos lidando com correntes conservadas, a parte dependente do gauge não contribuirá na amplitude. Além do mais, dentro do resultado (99) está contido uma correção dependente da velocidade para o potencial de Coulomb, $V_c\left(\mathit{x}\right)$, dada por

(100) $$V_c\left(\mathit{x}\right)=-\frac{e_a{e}_b}{4\pi \left|\mathit{x}\right|}{\delta }_a{\delta }_b\left(1+{\lambda }_a{\lambda }_b{\mathit{P}}^2\right).$$

Por fim, como esperado, observa-se que no potencial interpartícula (99) também temos interações do tipo spin-órbita, contato e de quadrupolo. Neste sentido, ao levarmos em conta as propriedades intrínsecas das partículas interagentes (além das cargas elétricas), como os seus spins, teremos a presença de novas interações e correções ao potencial de Coulomb.

7. Considerações Finais

Nesta contribuição, procuramos apresentar de maneira didática o cálculo do potencial interpartícula relacionado à interação de um férmion com antiférmion, mediada por um bóson vetorial massivo descrito pela eletrodinâmica de Proca. Seguimos a abordagem discutida na Ref. [⁸⁸], na qual o potencial (67) é obtido tomando-se a transformada inversa de Fourier da amplitude não-relativística. Para isso, foi necessário apresentarmos as regras de Feynman, o cálculo do propagador, bem como as soluções de energias positiva e negativa da equação de Dirac. O potencial obtido (93) contempla correções além da interação monopolo-monopolo como, por exemplo, as interações dependentes do spin e da velocidade. Além disso, consideramos o limite de massa nula para o bóson mediador, obtendo algumas correções ao potencial de Coulomb (99). Ressalta-se que a mesma metodologia pode ser aplicada em outros cenários, envolvendo diferentes campos de matéria e partículas mediadoras.

Aqui vale a pena destacar que existem outros métodos como a abordagem baseada na analiticidade da amplitude [⁹², ⁹³], o cálculo via laço de Wilson [⁹⁸, ⁹⁹], entre outros. Foge dos nossos objetivos aqui entrar em maiores detalhes sobre todos esses métodos, mas consideramos importante colocar alguns comentários, bem como estabelecer eventuais vantagens e desvantagens. Inicialmente, com o método da analiticidade da amplitude, também obtém-se correções dependentes do spin e da velocidade, mas existe a vantagem de obtermos correções de ordem superiores ao potencial (com decaimentos do tipo $1/{\left|\mathit{x}\right|}^4\mathrm{,1}/{\left|\mathit{x}\right|}^5$ e, assim por diante). Nesta direção, destacamos os trabalhos [¹⁰⁰, ¹⁰¹, ¹⁰²], onde os autores analisam os efeitos de longa distância nas interações eletromagnética, gravitacional e em teorias efetivas. Na abordagem discutida aqui, efetuamos algumas aproximações no espaço dos momentos de modo que chegamos até termos com momento ao quadrado nas amplitudes e, consequentemente, com correções ao potencial até ordem $1/{\left|\mathit{x}\right|}^3$. Em seguida, com respeito ao método via laço de Wilson, a principal vantagem é que podemos calcular o potencial interpartícula na presença de campos externos. Por exemplo, investigar a interação entre duas partículas em um campo magnético ou elétrico de fundo. Isso é uma questão complexa e, em algumas situações, é possível obtermos um potencial confinante. Este método também possibilita considerar espaço-tempos com diferentes dimensionalidades, mas tem a desvantagem de não contemplar as correções dependentes do spin e da velocidade. Por último, mas não menos importante, destacamos a prescrição desenvolvida nos trabalhos [¹⁰³, ¹⁰⁴, ¹⁰⁵, ¹⁰⁶], onde os autores consideram correntes do tipo $J^{\mu }=Q{\delta }_0^{\mu }{\delta }^3\left(\mathit{x}-\mathit{a}\right)$, sendo $Q$ a carga elétrica e $\mathit{a}$ denotando a posição da partícula. Neste contexto, exploram-se apenas interações estáticas de monopolo-monopolo. No entanto, foi possível estender a metodologia para diferentes tipos de propagadores e dimensionalidades $\left(D\right)$, tomando-se ${\delta }^3\left(\mathit{x}-\mathit{a}\right)\to {\delta }^{D-1}\left(\mathit{x}-\mathit{a}\right)$, bem como extrair conexões entre a renormalizabilidade² de algumas teorias e a singularidade do potencial na origem.

Nesta parte final, gostaríamos de listar algumas questões em aberto na literatura a respeito da inclusão de interações dependentes do spin e da velocidade. Estas são:

• ¹⁾

  Pesquisas envolvendo potenciais interpartículas no contexto de extensões do Eletromagnetismo de Maxwell. Ao longo de décadas, várias extensões têm sido propostas, com diferentes motivações e origens. Assim, é interessante analisarmos as correções ao potencial de Coulomb e interações dependentes do spin e da velocidade. Neste sentido, um passo relevante foi dado na Ref. [⁵³], onde os autores investigaram as interações de partículas de spin-0, spin-1/2 e spin-1 com os propagadores descritos em termos de fatores de forma, i.e., contemplando vários modelos que preservam a simetria de Lorentz. Por outro lado, se esta simetria for quebrada, ainda teremos modelos a serem analisados na literatura;

• ²⁾

  O cálculo apresentado aqui refere-se a um potencial interpartícula envolvendo a interação entre dois férmions mediada por um bóson vetorial. Para este e outros casos, é possível efetuar a extensão contendo vários férmions, por exemplo, com interações entre primeiros vizinhos e aplicar no contexto da Matéria Condensada, vendo o impacto nas propriedades termodinâmicas como, por exemplo, calor específico e magnetização. Alguns casos particulares foram discutidos nas Refs. [¹⁰⁷, ¹⁰⁸];

• ³⁾

  A questão da dimensionalidade e inclusão das interações de spin é ainda um problema em aberto. Uma vez que a definição do spin é sensível à escolha da dimensionalidade do espaço-tempo, a princípio teríamos que analisar cada situação separadamente, ou adotar a postura de efetuar a redução dimensional para o espaço-tempo quadrimensional e depois calcular os potenciais. Como apontado na Ref. [⁵⁶] para o caso de cinco dimensões espaço-temporais, o processo de calcular o potencial e efetuar a redução dimensional pode não ser comutativo, conduzindo a diferentes resultados. É instrutivo indicar também a Ref. [¹⁰⁹] como um exemplo didático, onde efetuou-se um estudo comparativo das interações de spin com campos eletromagnéticos em quatro dimensões espaço-temporais e sua redução dimensional com a teoria planar definida inicialmente em três dimensões. Com isso é possível compreender o papel da dimensionalidade na definição do spin, bem como o impacto de diferentes esquemas de redução dimensional;

• ⁴⁾

  A investigação de candidatos à matéria escura e suas correspondentes contribuições aos potenciais interpartículas sempre aparecem com renovados interesses na literatura, seja com objetivos de detecção direta ou indireta, bem como impor restrições nos parâmetros dos modelos. Por exemplo, no caso do campo do ELKO [¹¹⁰], um férmion com dimensão de massa um, que não satisfaz a equação de Dirac, mas sim a de Klein-Gordon, existem eventuais investigações a serem feitas. Ressalta-se que algumas interações de monopolo-monopolo já foram efetuadas [¹¹¹, ¹¹²], mas parece que a inclusão de interações dependentes do spin e da velocidade ainda não foram realizadas;

• ⁵⁾

  Os potenciais interpartículas envolvendo os neutrinos. No contexto do Modelo Padrão, os neutrinos não tem massa, mas já sabemos que, pelas observações experimentais de oscilação de neutrinos, alguns deles (ou todos) devem ser massivos. Ainda encontra-se em aberto se os neutrinos são férmions de Majorana ou Dirac. Além disso, temos algumas propostas de neutrinos estéreis como prováveis candidatos à matéria escura. Devemos também apontar que os neutrinos interagem através da força nuclear fraca, mas apesar de terem carga elétrica nula, eles possuem momento de dipolo magnético, resultando em eventuais interações eletromagnéticas efetivas com fótons. Em meio a todas essas variedades de possibilidades, a investigação dos potenciais dependentes do spin e da velocidade envolvendo neutrinos é um tema atual de pesquisa científica. Por exemplo, destacamos alguns resultados nas Refs. [¹¹³, ¹¹⁴, ¹¹⁵];

• ⁶⁾

  Por fim, como já comentado na introdução, a interação gravitacional ainda não se encontra acomodada no Modelo Padrão. Existem várias propostas de uma descrição microscópica da gravitação, mas ainda sem uma teoria definitiva. Nestes casos, a investigação dos potenciais interpartículas é importante para obtermos eventuais desvios no potencial Newtoniano, bem como analisar a universalidade da interação gravitacional quando lidamos com partículas de diferentes spins. Por outro lado, poderíamos também investigar a interação eletromagnética de grávitons massivos e carregados. A fim de termos uma descrição consistente é necessário a inclusão de acoplamentos não-mínimos [¹¹⁶, ¹¹⁷, ¹¹⁸], de modo que isso pode ter eventual impacto no potencial interpartícula.

Portanto, com todas essas discussões, motivações e perspectivas, esperamos ter deixado claro para o(a) leitor(a) que a investigação sobre potenciais interpartículas dependentes do spin e da velocidade é um tema de atual interesse de pesquisa na literatura, com diversos aspectos a serem analisados e melhor compreendidos, bem como com problemas em abertos e necessidades de extensões em alguns cenários.

Agradecimentos

M.R. é grata à CAPES pelo apoio financeiro, concedido por meio de sua bolsa de Doutorado. J.P.S.M. agradece à Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (FAPERJ) pelo suporte financeiro através da Bolsa de Doutorado Nota 10. L.P.R.O. também agradece a FAPERJ por sua Bolsa de Pós-doutorado Sênior. Os autores agradecem aos revisores pelas correções e comentários que enriqueceram o trabalho.

A. Conversões de Unidades Naturais Para Unidades do SI

As convenções para as principais constantes fundamentais da física no Sistema de Unidades Naturais e no SI são apresentadas na Tabela 1. A partir das convenções da Tabela 1, podemos fazer a conversão de algumas quantidades físicas de um sistema para o outro. Na Tabela 2, por exemplo, é expressa a conversão de algumas quantidades do Sistema de Unidades Naturais para unidades do SI.

Tabela 1
Convenções de constantes fundamentais da Física em Unidades Naturais e nas Unidades do SI. $\alpha \approx \frac{1}{137}$ é a chamda constante de estrutura fina.

	Unidades Naturais	Unidades do SI
$\mathit{c}$	$1$	$\mathrm{3,00}\times {10}^8$ m$/$s
$\hslash$	$1$	$\mathrm{1,06}\times {10}^{-34}$ J $\cdot$ s
$\mathit{h}$	$2\pi$	$\mathrm{6,63}\times {10}^{-34}$ J $\cdot$ s
${\epsilon }_0$	$1$	$\mathrm{8,85}\times {10}^{-12}$ F$/$m
${\mathit{\mu }}_0$	$1$	$\mathrm{1,26}\times {10}^{-6}$ N$/$A2
${\mathit{k}}_B$	$1$	$\mathrm{1,38}\times {10}^{-23}$ J$/$K
$e$	$\sqrt{4\pi \alpha }=\mathrm{3,03}\times {10}^{-1}$	$\mathrm{1,60}\times {10}^{-19}$ C
${\mathit{G}}_N$	$\mathrm{6,71}\times {10}^{-39}$ GeV-2	$\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}$ N $\cdot$ m${}_{}{}^2/$kg2

Tabela 2
Conversões de algumas quantidades físicas em Unidades Naturais para as Unidades do SI.

	Unidades Naturais	Unidades do SI
Comprimento	$1$ GeV-1	$\mathrm{1,97}\times {10}^{-16}$ m
Tempo	$1$ GeV-1	$\mathrm{6,59}\times {10}^{-25}$ s
Energia	$1$ GeV	$\mathrm{1,60}\times {10}^{-10}$ J
Massa	$1$ GeV	$\mathrm{1,78}\times {10}^{-27}$ kg
Temperatura	$1$ GeV	$\mathrm{1,16}\times {10}^{13}$ K
Frequência	$1$ GeV	$\mathrm{1,52}\times {10}^{24}$ Hz
Campo Magnético	$1$ GeV2	$\mathrm{5,12}\times {10}^{15}$ T
Campo Elétrico	$1$ GeV2	$\mathrm{1,54}\times {10}^{24}$ V$/$m
Corrente Elétrica	$1$ GeV	$\mathrm{8,04}\times {10}^5$ A

B. Cálculo do Propagador

Como mencionado na Seção 2, o propagador do campo $A_{\mu }$, no espaço dos momentos, está associado com a inversa do operador

(A.1) $$K^{\mu \nu }=-\left[\left(p^2-m^2\right){\eta }^{\mu \nu }-p^{\mu }{p}^{\nu }\right].$$

Vamos calcular a inversa de $K^{\mu \nu }$ usando uma base de projetores composta por um projetor ${\theta }_{\mu \nu }$ transversal à direção de propagação, dado por

(A.2) $${\theta }_{\mu \nu }\equiv {\eta }_{\mu \nu }-\frac{p_{\mu }{p}_{\nu }}{p^2},$$

e um projetor longitudinal ${\omega }_{\mu \nu }$ dado por

(A.3) $${\omega }_{\mu \nu }\equiv \frac{p_{\mu }{p}_{\nu }}{p^2}.$$

Esses são genuínos projetores, pois satisfazem uma ágebra fechada, a saber

(A.4) $${\theta }_{\mu \nu }+{\omega }_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu },$$

(A.5) $$\begin{array}{l}\theta _{\mu }^{}{}_{}{}^{\alpha }{\theta }_{\alpha \nu }=\left({\delta }_{\mu }^{\alpha }-\frac{p_{\mu }{p}^{\alpha }}{p^2}\right)\left({\eta }_{\alpha \nu }-\frac{p_{\alpha }{p}_{\nu }}{p^2}\right)\\ ={\eta }_{\mu \nu }-\frac{p_{\mu }{p}_{\nu }}{p^2}-\frac{p_{\mu }{p}_{\nu }}{p^2}+\frac{p_{\mu }{p}_{\nu }{p}^2}{p^4}\\ ={\theta }_{\mu \nu },\end{array}$$

(A.6) $$\omega _{\mu }^{}{}_{}{}^{\alpha }{\omega }_{\alpha \nu }=\frac{p_{\mu }{p}^{\alpha }}{p^2}\frac{p_{\alpha }{p}_{\nu }}{p^2}=\frac{p_{\mu }{p}_{\nu }}{p^2}={\omega }_{\mu \nu }$$

e, por fim,

(A.7) $$\begin{array}{l}\omega _{\mu }^{}{}_{}{}^{\alpha }{\theta }_{\alpha \nu }=\frac{p_{\mu }{p}^{\alpha }}{p^2}\left({\eta }_{\alpha \nu }-\frac{p_{\alpha }{p}_{\nu }}{p^2}\right)\\ =\frac{p_{\mu }{p}_{\nu }}{p^2}-\frac{p_{\mu }{p}_{\nu }}{p^2}=0.\end{array}$$

Escrevendo $K^{\mu \nu }$ em termos dos projetores, obtemos

(A.8) $$\begin{array}{l}{K}^{\mu \nu }=-\left(p^2-m^2\right)\left({\theta }_{\mu \nu }+{\omega }_{\mu \nu }\right)+p^2{\omega }_{\mu \nu }\\ =-\left(p^2-m^2\right){\theta }_{\mu \nu }+m^2{\omega }_{\mu \nu }.\end{array}$$

O anzats para a inversa usando a base de projetores é dado por

(A.9) $$K_{\mu \nu }^{-1}=a{\theta }_{\mu \nu }+b{\omega }_{\mu \nu }.$$

Portanto, a matriz identidade poderá ser escrita na forma

(A.10) $$K_{\mu \alpha }^{-1}{K}^{\alpha \nu }={\delta }_{\mu }^{\nu }.$$

A partir da equação (A.10) poderemos encontrar os coeficientes $a$ e $b$ da equação (A.9), pois

(A.11) $$\begin{array}{l}{K}_{\mu \alpha }^{-1}{K}^{\alpha \nu }=\left(a{\theta }_{\mu \alpha }+b{\omega }_{\mu \alpha }\right)\\ \times \left[-\left(p^2-m^2\right){\theta }^{\alpha \nu }+m^2{\omega }^{\alpha \nu }\right]\\ =-a\left(p^2-m^2\right)\theta _{\mu }^{}{}_{}{}^{\nu }+b{m}^2\omega _{\mu }^{}{}_{}{}^{\nu }\\ =-a\left(p^2-m^2\right){\delta }_{\mu }^{\nu }\\ +\left[a{p}^2-\left(a-b\right)m^2\right]\frac{p_{\mu }{p}^{\nu }}{p^2}\\ ={\delta }_{\mu }^{\nu }.\end{array}$$

Comparando os coeficientes, podemos escrever

(A.12) $$a=-\frac{1}{p^2-m^2},$$

(A.13) $$a{p}^2-\left(a-b\right)m^2=0,$$

que resulta em

(A.14) $$b=-a\left(p^2-m^2\right)\frac{1}{m^2}=\frac{1}{m^2}.$$

Com esses resultados para os coeficientes $a$ e $b$, a inversa $K_{\mu \nu }^{-1}$ toma a forma

(A.15) $$\begin{array}{l}{K}_{\mu \nu }^{-1}=-\frac{1}{p^2-m^2}{\theta }_{\mu \nu }+\frac{1}{m^2}{\omega }_{\mu \nu }\\ =-\frac{1}{p^2-m^2}\left({\eta }_{\mu \nu }-\frac{p_{\mu }{p}_{\nu }}{p^2}\right)+\frac{1}{m^2}\frac{p_{\mu }{p}_{\nu }}{p^2}\\ =-\frac{1}{p^2-m^2}{\eta }_{\mu \nu }+\frac{m^2+\left(p^2-m^2\right)}{\left(p^2-m^2\right)m^2}\frac{p_{\mu }{p}_{\nu }}{p^2}\\ =-\frac{1}{p^2-m^2}\left({\eta }_{\mu \nu }-\frac{p_{\mu }{p}_{\nu }}{m^2}\right).\end{array}$$

O propagador então será dado por

(A.16) $${\Delta }_{\mu \nu }\left(p\right)=i{K}_{\mu \nu }^{-1}=\frac{-i}{p^2-m^2}\left({\eta }_{\mu \nu }-\frac{p_{\mu }{p}_{\nu }}{m^2}\right),$$

em conformidade com a (equação 20).

C. Cálculo dos Termos da Correntes no Limite NR

O resultado $T_1$ dado pela (equação 74) pode ser obtido mediante ao seguinte cálculo:

(A.17) $$\begin{array}{l}{T}_1=\frac{P^0}{m_a}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)u_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\\ =\frac{P^0}{m_a}{u}_{s_3\text{NR}}^{†}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right){\gamma }^0{u}_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\\ =\frac{P^0}{m_a}{N}_{\text{NR}}^2({\xi }_{s_3}^{†},{\xi }_{s_3}^{†}\frac{\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)\cdot \mathit{\sigma }}{2m_a})\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& -I_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\xi }_{s_1}\\ \frac{\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\cdot \mathit{\sigma }}{2m_a}{\xi }_{s_1}\end{array}\right)\\ =\frac{P^0}{m_a}{N}_{\text{NR}}^2{\xi }_{s_3}^{†}\left\{1-\frac{\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)\cdot \left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)-i\left[\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)\times \left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\right]\cdot \mathit{\sigma }}{4m_a^2}\right\}{\xi }_{s_1}\\ =\frac{E_1+E_3}{2m_a}\left(1-\frac{4{\mathit{P}}^2+{\mathit{q}}^2}{16m_a^2}\right){\xi }_{s_3}^{†}\left[1-\frac{4{\mathit{P}}^2-{\mathit{q}}^2+4i\left(\mathit{P}\times \mathit{q}\right)\cdot \mathit{\sigma }}{16m_a^2}\right]{\xi }_{s_1}\\ =\left[1+\frac{1}{2m_a^2}\left({\mathit{P}}^2+\frac{{\mathit{q}}^2}{4}\right)\right]\left(1-\frac{4{\mathit{P}}^2+{\mathit{q}}^2}{16m_a^2}\right){\xi }_{s_3}^{†}\left[1-\frac{4{\mathit{P}}^2-{\mathit{q}}^2+4i\left(\mathit{P}\times \mathit{q}\right)\cdot \mathit{\sigma }}{16m_a^2}\right]{\xi }_{s_1}\\ =\left(1+\frac{{\mathit{q}}^2}{8m_a^2}\right){\xi }_{s_3}^{†}{\xi }_{s_1}-\frac{i}{4m_a^2}\left(\mathit{P}\times \mathit{q}\right)\cdot {\xi }_{s_3}^{†}\mathit{\sigma }{\xi }_{s_1}.\end{array}$$

onde utilizamos a identidade

(A.18) $$\left(\mathit{A}\cdot \mathit{\sigma }\right)\left(\mathit{B}\cdot \mathit{\sigma }\right)=\mathit{A}\cdot \mathit{B}-i\left(\mathit{A}\times \mathit{B}\right)\cdot \mathit{\sigma },$$

com $\mathit{A}$ e $\mathit{B}$ sendo dois vetores, $\mathit{\sigma }=({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)$ e ${\sigma }_i$ denotando as matrizes de Pauli definidas no espaço euclidiano.

Para obtermos o segundo termo $T_2$ na (equação 78), recordemos a definição ${\sigma }^{\mu \nu }=\frac{i}{2}[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }]$, que na representação de Dirac da (equação 5), conduz para as componentes

(A.19) $${\sigma }^{0i}=i\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_i\\ {\sigma }_i& 0\end{array}\right),$$

(A.20) $${\sigma }^{ij}={\epsilon }_{ijk}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_k& 0\\ 0& {\sigma }_k\end{array}\right),$$

onde utilizamos o fato de que o comutador de duas matrizes de Pauli toma a forma

(A.21) $$[{\sigma }_i,{\sigma }_j]=2i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k$$

com ${\epsilon }_{ijk}$ sendo o símbolo de Levi-Civita no espaço euclidiano $\left({\epsilon }_{123}=1\right)$, definido por

(A.22) $${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{ll}1,& \text{se}\left(ijk\right)\text{for uma permutação par de}\left(123\right),\\ -1,& \text{se}\left(ijk\right)\text{for uma permutação ímpar de}\left(123\right),\\ 0,& \text{caso contrário}.\end{array}$$

A partir dessas definições, temos que

(A.23) $$\begin{array}{l}{T}_2=-\frac{i{q}_i}{2m_a}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right){\sigma }^{i0}{u}_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\\ =\frac{q_i}{4m_a}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)[{\gamma }^i,{\gamma }^0]u_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\\ =\frac{1}{2m_a}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)\mathit{q}\cdot \mathit{\sigma }\left(\begin{array}{cc}0& I_2\\ I_2& 0\end{array}\right)u_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\\ =\frac{1}{2m_a}{u}_{s_3\text{NR}}^{†}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)\mathit{q}\cdot \mathit{\sigma }\left(\begin{array}{cc}0& I_2\\ -I_2& 0\end{array}\right)u_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\\ =\frac{N_{\text{NR}}^2}{2m_a}({\xi }_{s_3}^{†},{\xi }_{s_3}^{†}\frac{\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)\cdot \mathit{\sigma }}{2m_a})\mathit{q}\cdot \mathit{\sigma }\left(\begin{array}{c}\frac{\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\cdot \mathit{\sigma }}{2m_a}{\xi }_{s_1}\\ -{\xi }_{s_1}\end{array}\right)\\ =\frac{N_{\text{NR}}^2}{4m_a^2}{\xi }_{s_3}^{†}\left[\mathit{q}\cdot \mathit{\sigma }\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\cdot \mathit{\sigma }-\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)\cdot \mathit{\sigma }\mathit{q}\cdot \mathit{\sigma }\right]{\xi }_{s_1}\\ =-\frac{1}{4m_a^2}\left(1-\frac{4{\mathit{P}}^2+{\mathit{q}}^2}{16m_a^2}\right){\xi }_{s_3}^{†}\left[{\mathit{q}}^2-2i\left(\mathit{P}\times \mathit{q}\right)\cdot \mathit{\sigma }\right]{\xi }_{s_1}\\ =-\frac{{\mathit{q}}^2}{4m_a^2}{\delta }_a+\frac{i}{m_a^2}\left(\mathit{P}\times \mathit{q}\right)\cdot ⟨{\mathit{S}}_a⟩.\end{array}$$

Analogamente, podemos calcular ${\mathit{Y}}_i$ na (equação 83), que toma a forma

(A.24) $$\begin{array}{l}{\mathit{Y}}_i=-\frac{i}{2m_a}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)q_j{\sigma }^{ji}{u}_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\\ =-\frac{i}{2m_a}{\overline{u}}_{s_3\text{NR}}{\left(\mathit{q}\times \mathit{\sigma }\right)}_i{u}_{s_1\text{NR}}\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\\ =-\frac{i}{2m_a}{N}_{\text{NR}}^2({\xi }_{s_3}^{†},{\xi }_{s_3}^{†}\frac{\left(\mathit{P}+\frac{\mathit{q}}{2}\right)\cdot \mathit{\sigma }}{2m_a}){\left(\mathit{q}\times \mathit{\sigma }\right)}_i\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& -I_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\xi }_{s_1}\\ \frac{\left(\mathit{P}-\frac{\mathit{q}}{2}\right)\cdot \mathit{\sigma }}{2m_a}{\xi }_{s_1}\end{array}\right)\\ =-\frac{i}{2m_a}\left(1-\frac{4{\mathit{P}}^2+{\mathit{q}}^2}{16m_a^2}\right){\xi }_{s_3}^{†}{\left(\mathit{q}\times \mathit{\sigma }\right)}_i{\xi }_{s_1}\\ =-\frac{i}{m_a}{\left(\mathit{q}\times ⟨{\mathit{S}}_a⟩\right)}_i.\end{array}$$

D. Integrais úteis

As seguintes integrais são úteis para obtenção do potencial interpartícula:

(A.25) $$\int \frac{d^3\mathit{q}}{{\left(2\pi \right)}^3}\frac{e^{i\mathit{q}\cdot \mathit{x}}}{{\mathit{q}}^2+m^2}=\frac{e^{-\left|\mathit{x}\right|/\lambda }}{4\pi \left|\mathit{x}\right|};$$

(A.26) $$\int \frac{d^3\mathit{q}}{{\left(2\pi \right)}^3}\frac{{\mathit{q}}_i{e}^{i\mathit{q}\cdot \mathit{x}}}{{\mathit{q}}^2+m^2}=i{\mathit{x}}_i\left(1+\frac{\left|\mathit{x}\right|}{\lambda }\right)\frac{e^{-\left|\mathit{x}\right|/\lambda }}{4\pi {\left|\mathit{x}\right|}^3};$$

(A.27) $$\int \frac{d^3\mathit{q}}{{\left(2\pi \right)}^3}\frac{{\mathit{q}}^2{e}^{i\mathit{q}\cdot \mathit{x}}}{{\mathit{q}}^2+m^2}={\delta }^{\left(3\right)}\left(\mathit{x}\right)-\frac{1}{{\lambda }^2}\frac{e^{-\left|\mathit{x}\right|/\lambda }}{4\pi \left|\mathit{x}\right|};$$

(A.28) $$\begin{array}{l}\int \frac{d^3\mathit{q}}{{\left(2\pi \right)}^3}\frac{{\mathit{q}}_i{\mathit{q}}_j{e}^{i\mathit{q}\cdot \mathit{x}}}{{\mathit{q}}^2+m^2}=\frac{1}{3}{\delta }_{ij}{\delta }^{\left(3\right)}\left(\mathit{x}\right)+[(1+\frac{\left|\mathit{x}\right|}{\lambda }){\delta }_{ij}\\ -(3+3\frac{\left|\mathit{x}\right|}{\lambda }+\frac{{\left|\mathit{x}\right|}^2}{{\lambda }^2})\frac{{\mathit{x}}_i{\mathit{x}}_j}{{\left|\mathit{x}\right|}^2}]\\ \times \frac{e^{-\left|\mathit{x}\right|/\lambda }}{4\pi {\left|\mathit{x}\right|}^3}.\end{array}$$

onde $\lambda =\frac{1}{m}$, com ${\delta }^{\left(3\right)}\left(\mathit{x}\right)$ e ${\delta }_{ij}$ sendo as deltas de Dirac e Kronecker, respectivamente.

O cálculo da primeira integral (A.25) pode ser realizado via teorema dos resíduos [¹¹⁹, ¹²⁰]. Além disso, as demais integrais (A.26)–(A.28) podem ser deduzidas tomando-se derivadas da integral (A.25) com relação à coordenada da posição.

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• 1
  John Philoponus (de 490 a 570 d.C.) foi um filósofo, teólogo e comentarista grego bizantino que atuou principalmente em Alexandria e foi um dos primeiros a questionar conceitos Aristotélicos estabelecidos, especialmente sobre o movimento e a natureza do espaço e do tempo. Embora não tenha formulado diretamente os aspectos teóricos da mecânica como conhecemos hoje, seu trabalho é relevante ao introduzir ideias sobre forças e movimentos que serviram de base para o desenvolvimento dos conceitos das leis da mecânica na Renascença [¹].
• 2
  O termo renormalizabilidade refere-se à possibilidade de conseguirmos lidar com as divergências que aparecem nos cálculos de observáveis ao incorporarmos as correções quânticas.

Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  15 Maio 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  24 Out 2025
• Revisado
  22 Jan 2026
• Aceito
  01 Mar 2026