Abordagem para o Ensino da Dinâmica de Massas acopladas por Cordas: Modelando a Máquina de Atwood por Videoanálise

Approach to Teaching the Dynamics of Masses Coupled by Strings: Modeling the Atwood Machine by Video Analysis

Resumo

O ensino da dinâmica de sistemas compostos com massas acopladas por cordas costuma não esclarecer as idealizações assumidas entre os entes do sistema, dificultando a compreensão das leis de Newton, seja em abordagens teóricas, experimentais e de simulação computacional, como relatado na literatura didática da Física introdutória. Propomos uma abordagem para a máquina de Atwood, baseada em Modelagem Didático-Científica, direcionada ao ensino superior, com uma atividade experimental guiada pelos vínculos dinâmicos concebidos neste modelo, obtendo o comportamento cinemático e dinâmico com videoanálise, estimando a aceleração e as tensões sobre os dois ramos da corda, que sustentam duas massas distintas. Destacamos o valor pedagógico e epistemológico da proposta, ao mostrar a importância do modelo teórico da máquina de Atwood sobre a condução da atividade experimental, a partir da interdependência entre as idealizações do modelo físico e o controle de variáveis que é conduzido na experimentação, permitindo discutir conceitos científicos, como previsões teóricas, evidências experimentais e limite de validade, de forma a esclarecer quais aspectos experimentais permitem que um modelo teórico explique satisfatoriamente o experimento, desta forma, mostrando ao público discente uma interpretação mais adequada entre os conhecimentos teóricos da Física e os sistemas físicos reais, manipulados através das aulas de laboratório.

Palavras-Chave:
Máquina de Atwood; Modelagem Didático-Científica; videoanálise

Abstract

The teaching of the dynamics of composite systems with masses connected by strings often fails to clarify the idealizations assumed between the entities of the system, hindering the understanding of Newton’s laws, whether in theoretical, experimental, or computer simulation approaches, as reported in the introductory physics teaching literature. We propose an approach to the Atwood machine based on Didactic-Scientific Modeling, aimed at higher education, with an experimental activity guided by the dynamic links conceived in this model, obtaining the kinematic and dynamic behavior with video analysis, estimating the acceleration and tensions on the two branches of the rope, which support two distinct masses. We highlight the pedagogical and epistemological value of the proposal by showing the importance of the theoretical model of the Atwood machine on the conduct of the experimental activity, based on the interdependence between the idealizations of the physical model and the control of variables that is conducted in the experiment, allowing the discussion of scientific concepts, such as theoretical predictions, experimental evidence, and validity limits, in order to clarify which experimental aspects allow a theoretical model to satisfactorily explain the experiment, thus showing students a more appropriate interpretation between the theoretical knowledge of physics and real physical systems, manipulated through laboratory classes.

Keywords:
Atwood Machine; Didactic-Scientific Modeling; video analysis

1. Introdução

No estudo da Dinâmica Newtoniana, através das disciplinas introdutórias de Mecânica nos cursos universitários de Ciências Exatas e Engenharias [¹, ², ³] e de Física para a Educação Básica [⁴, ⁵, ⁶] comumente acompanhamos uma sequência de tópicos que inicia com a explanação da natureza vetorial da força e, após anunciar as três leis de Newton, apresenta alguns tipos de força que são de interesse na Mecânica, como é o caso das forças: gravitacional, normal à superfície, atrito estático e cinético, elástica, arrasto e a força em cordas. Ao longo desta sequência didática, além da apresentação de conceitos, temos a ilustração de várias situações exemplo sobre a aplicação das leis de Newton, considerando inicialmente sistemas constituídos por um único corpo, submetidos a uma ou mais destas forças atuando em uma ou mais dimensões, sendo que o item subsequente é a abordagem de sistemas compostos, constituídos por dois ou mais corpos, mas que estejam conectados, seja por estarem em contato ou afixados por uma mesma corda, fio ou cabo, utilizando-se em algumas situações de polias, de modo que nesta classe de problemas o objetivo é que todos os componentes do sistema se movam juntos com uma mesma aceleração. Desta forma, constatamos uma evolução no grau de complexidade e que transmite ao aluno uma certa abrangência e importância das aplicações da Dinâmica, como é o caso quando se quer transportar objetos controlando a aceleração e a força resultante do sistema, seja em superfícies horizontais, inclinadas e em deslocamentos verticais, por meio de cordas e cabos.

Ao considerarmos os enunciados dados pela literatura básica na abordagem destes problemas de sistemas compostos [¹, ², ³, ⁴, ⁵, ⁶], observamos uma listagem de idealizações possíveis: desconsideração da elasticidade e da massa da corda e da massa da polia, considerando-se apenas as massas dos corpos acoplados; consideração do momento de inércia da polia e de seu movimento de rotação, mas desprezando a massa da corda; consideração do atrito estático entre a corda e a polia, de modo que a corda não escorrega sobre a polia; desprezo do atrito no eixo da polia, além de outras idealizações implícitas, como a aceleração da gravidade constante ao longo do movimento, e o tratamento dos objetos acoplados como massas pontuais, assim, desprezando-se a força de arrasto e do empuxo com o ar, de forma que com essas idealizações combinadas se tenha uma aceleração única e constante sobre todos os elementos do sistema e, frequentemente, na direção e sentido do movimento. Entretanto, podemos indagar se esta forma linear de abordagem permite uma efetiva compreensão desses vínculos estabelecidos entre os componentes do sistema, e em que isto implica na determinação do movimento de cada componente, visto que, em termos de contexto das situações problema, supõe-se a existência real de corpos conectados por cordas e polias. Dito de outra forma, é possível que haja por parte dos alunos a indagação: “como é possível não considerar a massa da corda, sendo que ela existe, interage com as massas penduradas e com a polia, e ainda é tensionada?”. Neste aspecto, como afirmam Veit, Heidemann e Araujo (2023, p. 37) [⁷]: “[$\dots$] modelos científicos são representações simplificadas de sistemas/eventos idealizados, que preservam apenas traços-chave do sistema/evento real (ou suposto como tal) que se pretende descrever, explicar ou predizer. Essa descrição pode envolver modelos matemáticos subjacentes e/ou representações simbólicas, porém também envolve proposições semânticas que expressam pressupostos teóricos, como as idealizações assumidas.”, de forma que os conhecimentos científicos são constituídos por um contínuo e complexo processo de elaboração e validação de modelos. Entretanto, por meio da transposição didática [⁸], reconhecemos que os conteúdos científicos de ensino (Saber a Ensinar) e os conteúdos científicos comunicados em sala de aula (Saber Ensinado) fazem uma correspondência indireta aos conhecimentos científicos (Saber Sábio) produzidos pela comunidade científica e, como ressaltam Brockington e Pietrocola [⁹], as simplificações advindas da transposição didática são de caráter distinto das simplificações e idealizações assumidas no processo da modelagem científica, estas as quais permanecem nos conhecimentos transpostos, portanto, é imprescindível que se desenvolva junto aos alunos uma efetiva compreensão sobre os aspectos representacional e sintetizador dos saberes científicos, ou seja, a essência da modelagem, como forma de promover uma aprendizagem significativa ao vincularmos os modelos didáticos aos correspondentes sistemas físicos assumidos como reais.

Particularmente, para os sistemas dinâmicos compostos em que as massas de interesse estão acopladas por cordas ou cabos, mesmo nas situações mais complexas em que se considera o movimento da polia, observamos que a dinâmica das massas é determinada geralmente a partir da força de interação destas com a corda, sendo que nas abordagens didáticas [¹, ², ³, ⁴, ⁵, ⁶] observamos um tratamento variado quanto a denominação desta força, utilizando-se dos termos tensão ou tração, assim como quanto a forma de representar sobre qual ente age a força, podendo ser apenas sobre as massas ou sobre as cordas, ou em ambas, a depender da contextualização da questão e do texto didático adotado. Somando-se a isto, temos a questão anteriormente relatada das idealizações, de modo que consideramos que este tópico de ensino possa ser mais bem delineado, promovendo o entendimento fisicamente adequado das situações representadas. Por exemplo, ressaltamos que a condução da análise do sistema pela 3^a. Lei de Newton seria relevante para explicitar os aspectos de interdependência entre os componentes do sistema [³, ⁴, ¹⁰, ¹¹, ¹²], sendo adequada para enfatizar aos alunos este aspecto fundamental dos sistemas compostos, em que as partes componentes interagem mecanicamente segundo as leis de Newton, sendo que os alunos estão mais familiarizados a explorar estes problemas apenas a partir da perspectiva da 2^a. Lei de Newton para as partes principais do sistema, que são as massas dos corpos, seja na situação de equilíbrio ou de aceleração.

Dentro do repertório de questões com fins didáticos sobre massas conectadas por cordas, toma destaque a máquina de Atwood¹, a qual consiste em dois blocos com massas distintas que se movem verticalmente, estando fixados às extremidades de uma corda que passa por uma polia fixa, e que assume certas idealizações e aproximações de forma que a dinâmica do movimento é determinada pela diferença dos pesos das massas, sendo a aceleração do sistema constante e menor que a aceleração da gravidade [¹, ², ³, ⁴, ⁵, ⁶]. A abordagem didática comumente trabalhada com a máquina de Atwood consiste em um exercício de fixação da 2^a. Lei de Newton, com a resolução numérica das forças nas extremidades da corda e da aceleração do sistema, não discutindo-se o caráter das idealizações supostas. De forma semelhante, encontramos outras variações² da máquina de Atwood exploradas em disciplinas de Física básica [¹, ², ³]. Por outro lado, destacamos o trabalho precursor de pesquisa de McDermott, Shaffer e Somers (1994) [¹⁴] que discute a compreensão de estudantes de Física introdutória sobre a dinâmica da interação de massas conectadas por cordas, a partir do enfoque da máquina de Atwood, trazendo à tona indagações semelhantes as que relatamos anteriormente. Dando prosseguimento, observamos também uma diversidade de outros trabalhos interessantes sobre a máquina de Atwood: sobre os aspectos científico e histórico do surgimento do aparato [¹⁵, ¹⁶]; de interesse na pesquisa em ensino de Física [¹⁷, ¹⁸, ¹⁹, ²⁰, ²¹]; proposições sobre a interação mecânica entre corda e polia [²², ²³, ²⁴, ²⁵, ²⁶, ²⁷, ²⁸]; propostas experimentais [²⁹, ³⁰, ³¹, ³², ³³]; e extensões da máquina de Atwood exibindo outros arranjos dinâmicos [³⁴, ³⁵, ³⁶, ³⁷, ³⁸, ³⁹, ⁴⁰], apontando que a máquina de Atwood mantêm-se como um artefato efetivo no ensino da Mecânica Newtoniana, possibilitando ainda que se encaminhe análises de modelagem.

Neste contexto, propomos uma abordagem didática para a máquina de Atwood, direcionada ao ensino superior, através de uma montagem experimental guiada pela exploração dos aspectos de idealização que são concebidos neste modelo, sendo que utilizamos o recurso de videoanálise para caracterizar seu comportamento cinemático e dinâmico. O estudo está organizado da seguinte forma: na Seção 2, mostramos a origem da máquina de Atwood, e algumas adoções e desenvolvimentos posteriores que atestam a importância do dispositivo para sua exploração no ensino da Física, mais especificamente, em 2.1 comentamos aspectos históricos do surgimento da máquina de Atwood. Em 2.2 mostramos como alguns livros didáticos adotados no estudo introdutório da Mecânica apresentam os sistemas mecânicos contendo cordas, em especial, a máquina de Atwood. Em 2.3 comentamos estudos que abordaram o tema com enfoque de pesquisa para o ensino. Em 2.4 mostramos alguns trabalhos que exploraram o dispositivo de Atwood experimentalmente. Na Seção 3 apresentamos a abordagem: em 3.1 partimos da máquina de Atwood real, considerando o momento de inércia da polia e a massa da corda, e tratamos das composições com uma polia e com duas polias acopladas e discutimos as idealizações propostas para a máquina de Atwood simples, apontando algumas análises que encontramos na literatura e que deram respaldo às considerações que fizemos na condução da atividade. Posteriormente, em 3.2 descrevemos a montagem experimental para o aparato com duas polias, a execução do experimento, as análises desenvolvidas e os resultados obtidos. Na seção 4, apresentamos as considerações finais.

2. Reflexões Para o Ensino a Partir da Máquina de Atwood

Iniciamos apresentando um breve relato do contexto histórico que levou George Atwood a elaborar o aparato mecânico. Posteriormente, mostramos como alguns livros didáticos de Física, adotados na Educação Básica e Superior, abordam sistemas mecânicos compostos que interagem por meio de cordas, de modo a compormos um panorama qualitativo sobre a forma como os conceitos físicos são apresentados e quais idealizações são feitas sobre os sistemas, de modo a identificarmos quais modelos físicos são usualmente estabelecidos na abordagem didática do tema, com especial interesse em situarmos a máquina de Atwood na literatura didática. Mostramos também encaminhamentos da pesquisa acadêmica em ensino de Física sobre a temática do ensino da Dinâmica para massas conectadas por cordas. Seguimos ainda apresentando algumas propostas que exploraram a máquina de Atwood experimentalmente, aplicadas no contexto dos laboratórios de Física Básica.

2.1. Surgimento da Máquina de Atwood

O instrumento conhecido como máquina de Atwood surge originalmente na Inglaterra, na segunda metade do século XVIII, com o propósito didático de explorar de forma controlada os movimentos retilíneos acelerado e uniforme de corpos, e o movimento de rotação de polias, em um período social na Europa Ocidental marcado por duas frentes de mobilização que se coadunavam no meio acadêmico e científico da época: a divulgação e o estabelecimento das leis da Mecânica, frequentemente aliadas à proposição de experimentos [¹³, ¹⁵, ¹⁶]. O modelo proposto por George Atwood consistia em uma estrutura de hastes verticais que sustentavam em sua parte superior um sistema de quatro polias auxiliares que fixavam uma polia central, na qual passava um barbante de seda sustentando duas massas iguais, conforme ilustra a Figura 1. O movimento do sistema de massas era acionado por um acréscimo de massa sobreposta a uma das massas iniciais, promovendo um movimento retilíneo acelerado ao conjunto, o qual era interrompido quando a massa agregada era contida por um anel de diâmetro menor que esta massa, e que estava afixado por uma das hastes em uma posição pré-determinada da trajetória vertical dos corpos, deixando as massas restantes suspensas pelo fio seguirem em um movimento retilíneo uniforme. Uma das hastes continha uma escala graduada para a medição da posição das massas, e na outra haste havia um relógio de pêndulo para aferição do tempo. O sistema de polias auxiliares servia para atenuar a resistência por atrito no eixo da polia principal.

Figura 1
Ilustração da máquina mecânica proposta por Atwood, obtida de [¹⁵].

Como relatado em [¹⁵, ¹⁶], o mérito de Atwood foi em possibilitar explorar o movimento exclusivamente de translação de massas com uma aceleração constante e bem menor que a da gravidade, diferentemente da situação de queda vertical e em planos inclinados, e avaliar as previsões da Mecânica de Newton considerando todas as variáveis de força, aceleração, velocidade, posição e tempo, apresentando uma precisão notável para a época. Atwood também fez proposições para o estudo de rotação com a máquina, mas não teve a adoção necessária. Posteriormente, ao longo dos anos, foram incluídas modificações à máquina, por exemplo, a instalação de uma espécie de gatilho que acionava simultaneamente o movimento das massas e o relógio de pêndulo, e a retirada do sistema de polias, substituindo por uma única polia, destacando-se a mudança da finalidade original em promover o ensino das leis de Newton a partir de demonstração experimental para apenas ilustrar o movimento vertical uniformemente acelerado de massas conectadas por cordas.

2.2. Abordagem em livros didáticos de massas conectadas por cordas

Situações-problema envolvendo massas vinculadas por cabos ou cordas, às vezes conectadas por polias, se consolidaram ao longo dos anos na literatura didática da Física, abordadas também na Educação Básica, possivelmente por constituírem um contexto muito rico em explorar a Cinemática e a Dinâmica sob vários aspectos, como é o caso da natureza vetorial das forças em sistemas de polias móveis, e poder sintetizar a relação entre as descrições dinâmica e cinemática. Desta forma, apresentamos uma revisão sobre como esta temática é abordada no ensino de Física no nível médio e superior.

2.2.1. Abordagem no Ensino Médio

Para verificarmos qualitativamente a abordagem do tema em alguns livros didáticos de Física adotados no Ensino Médio brasileiro, primeiramente nos baseamos na recente pesquisa feita por Schivani, Souza e Lira [⁴¹], que analisaram como os livros didáticos de Física selecionados no PNLD³ para o triênio 2018-2020 foram adotados em todo o território nacional, de forma a subsidiar futuras pesquisas sobre o livro didático de Física do Ensino Médio. Desta forma, escolhemos os primeiros volumes dos seguintes livros: a coleção de Bonjorno et al. [⁶], a qual foi a mais adotada em todas as regiões do país naquele triênio; a de Gaspar [⁴] e a de Máximo e Alvarenga [¹¹], os quais estão entre os títulos que foram selecionados em todas as edições do PNLD 2009-2018, mas não lideraram os primeiros lugares em distribuição nacional; e o de Pietrocola et al. [⁵], com mais aceitação apenas no Rio de Janeiro. Ressaltamos ainda que nossa intenção em observarmos estes livros quanto a temática de sistemas mecânicos com cordas foi em depreendermos como este tópico é tratado, sendo nossa descrição enquadrada na categoria de análise denominada aspectos conceituais, conforme (Schirmer e Sauerwein, 2017 apud Schivani et al.) [⁴²].

No livro de Bonjorno et al. [⁶], verificamos que o tema é pouquíssimo abordado, aparecendo como exercícios, não explicitando a idealização em desconsiderar a corda e a polia, entretanto, solicita a determinação da força na corda, denominada de tração, onde identificamos a ausência de questões sobre a máquina de Atwood. O livro de Gaspar [⁴] aborda a força em cordas, denominada também de tração, a partir de exercícios, adotando a máquina de Atwood e suas variações, condicionando uma aceleração única para o sistema de massas com a inextensibilidade da corda, e a tração constante ao longo da corda devido sua massa ser desprezível, considerando também desprezível a massa da polia, mas sem relacionar a alguma condição específica sobre o movimento do sistema. Ainda apresenta uma explanação histórica sobre a máquina de Atwood original, destacando seu funcionamento em casos ideais, sendo composta por um fio leve e inextensível, sem escorregar sobre a polia e com atrito desprezível sobre a polia principal. Máximo e Alvarenga [¹¹] iniciam com alguns exercícios de corpos estáticos suspensos por cordas, denominando a força na corda como tensão, posteriormente apresentam o caso da polia móvel, desprezando a massa da polia, considerando iguais as tensões nas extremidades de um mesmo cabo, mas sem dar alguma informação quanto a corda, entretanto, dedicam uma seção para tratar a dinâmica de sistemas compostos, e para o caso de dois blocos conectados por uma corda, em movimento horizontal e sob a ação de uma força externa constante, como mostra a Figura 2, a partir da equação de movimento para a corda demostram que, sendo sua massa desprezível, as tensões em suas extremidades são iguais. Apesar de não tratarem da máquina de Atwood, abordam a versão em que uma das massas está em movimento ao longo de um plano inclinado com atrito, estando conectada através da corda e da polia à segunda massa, que segue pendurada à corda, justificando a tensão uniforme ao longo da corda devido a massa da corda e da polia serem desprezíveis e não haver atrito na polia.

Figura 2
Sistema de dois blocos conectados por uma corda e sob ação da força externa $\overrightarrow{F}$, extraída de [¹¹]: (a) mostra-se a interação mútua entre as extremidades da corda e os blocos A e B através dos respectivos pares de tensões. (b) as tensões da corda sobre os blocos são iguais, para a corda de massa desprezível.

O livro de Pietrocola et al. [⁵], a partir do exemplo de uma competição em um cabo de guerra, apresenta a força em uma corda como tração, a qual tem a direção da corda, e a considera similar à força exercida pela própria corda sobre os agentes externos a ela, que no caso são pessoas. Entretanto, apresenta um argumento de modelagem, quando afirma que: “Em situações ideais, quando o cabo tem pouca massa e é praticamente inextensível, a força aplicada numa extremidade é totalmente transmitida à outra.” (Pietrocola et al., 2016, p. 153), visto que considera o referido comportamento como um caso específico, submetido a condições aproximadas. Por outro lado, ao tratar de cordas atadas em roldanas fixas, mostra apenas a inversão de sentido da força na corda e a diminuição da força aplicada em relação a carga suspensa em roldanas móveis, não comentando aspectos realísticos à roldana e sua interação com a corda, para que se tenha a tração com intensidade constante ao longo da corda. Quanto aos exercícios, limita-se à informação de que a corda é praticamente inextensível e de massa desprezível, assim como a massa da roldana⁴, sendo que não aborda explicitamente a máquina de Atwood.

2.2.2. Abordagem no Ensino Superior

Continuamos a análise descritiva, considerando alguns livros-texto do Ensino Superior que são habitualmente adotados em disciplinas de Física básica no país, sendo interessante reunirmos a forma como tratam os sistemas mecânicos com cordas, para embasarmos nossa abordagem posterior sobre a máquina de Atwood.

No livro de Halliday et al. [¹] verificamos as seguintes descrições: narra a força que uma corda realiza em um corpo de força de tração ($\overrightarrow{T})$, tendo a direção da corda, visto que a corda é tracionada. Entretanto, também denomina o módulo desta força de tensão da corda, mesmo se referindo na perspectiva da força sobre o corpo. As Figuras 3(a)–(d), dadas a seguir, ilustram composições tratadas em [¹] para a corda sem massa (massa desprezível em comparação com as massas dos corpos conectados à corda) e inextensível, exibindo forças de tração iguais em suas extremidades, servindo apenas de conexão entre os corpos, considerando as polias sem massa e sem atrito nos eixos de rotação.

Figura 3
(a)–(d) Representação das forças de tração em composições em que a corda é inextensível e de massa desprezível, e com a polia de massa e atrito desprezíveis. (e) Sistema com a polia de massa não desprezível, mas a corda sendo inextensível e de massa desprezível. Extraídas de Halliday et al. [¹].

Particularmente, a Figura 3(d) aborda uma variação da máquina de Atwood, sem fazer referência ao nome, em que um bloco de massa $M$ desliza sobre uma superfície horizontal e sem atrito, acoplado a um segundo corpo de massa $m$, através de uma corda e uma polia sem atrito, de massas desprezíveis. Analisa o movimento dos blocos tratando-os como partículas através da 2^a. lei de Newton, fazendo referência de que possuem a mesma aceleração devido a corda ser inextensível, e de que a função da polia seria de mudar a orientação da corda. Faz uma avaliação significativa da expressão da aceleração do sistema, $a=\frac{m}{M+m}g$, sendo menor que a aceleração da gravidade (de módulo $g$), visto que o corpo pendurado não se movimenta em queda livre, e da tensão na corda, $T=\frac{M}{M+m}mg$, sendo menor que a força gravitacional do corpo pendurado. A máquina de Atwood aparece como um exercício, limitando-se a fornecer as características da corda e da polia apenas como informação e solicita a determinação numérica da aceração do sistema e tensão na corda, dadas as massas dos corpos. Posteriormente, na Figura 3(e), ao considerar uma polia em forma de disco como integrante do sistema, tendo uma massa atada a uma corda presa à polia, faz as seguintes considerações: a corda inextensível e de massa desprezível não escorrega na borda da polia que gira sem atrito, de modo que a corda e a polia rotacionem juntas, para que assim a aceleração da massa pendurada seja igual a aceleração linear da borda do disco, onde solicita-se a determinação da aceleração do bloco, a aceleração angular da polia e a tensão na corda.

O livro de Young e Freedman [²] ilustra algumas situações de corpos conectados por cordas, abordando o tema de forma bem interessante, sobre vários aspectos: discutindo as três leis de Newton com a corda estando tensionada nas direções vertical e horizontal, em equilíbrio ou com aceleração e indagando quanto a considerar ou não a massa da corda. Em resumo, para uma corda tensionada verticalmente, estando em equilíbrio, sendo $T_I$ a tensão na extremidade inferior da corda e $T_S$ a tensão na extremidade superior, temos para a corda com massa: $T_S=T_I+p_c$, sendo $p_c$ o peso da corda; e sendo a corda de massa desprezível, $T_S=T_I$. E para uma corda de massa $m_c$, tensionada horizontalmente, sendo $T_D$ a tensão na extremidade direita da corda e $T_E$ a tensão na extremidade esquerda, a 2^a. lei de Newton para a corda fica dada como: $T_D-T_E=m_{c}a$, temos que para a corda em equilíbrio, sua aceleração $a=0$ e $T_D=T_E$; para a corda acelerada, com $a\ne 0$, $T_D\ne T_E$, mas sendo sua massa desprezível, $T_D=T_E$. O texto ainda apresenta a máquina de Atwood e suas variações na forma de exercícios, explorando também outras situações envolvendo massas conectadas por cordas e cabos atracados em polias, que apresentam esquemas bem diferentes de montagem, considerando o momento de inércia da polia em algumas situações-problema. A seguir, na Figura 4, destacamos a referência ao aspecto de modelagem, ao comparar uma situação real de movimento com o esquema representativo da máquina de Atwood sobre um plano inclinado.

Figura 4
(a) Situação real de movimento conjunto entre um carrinho e um balde com cargas, sendo desprezíveis os pesos do cabo e da polia, e os atritos da polia e do carrinho com o trilho do plano inclinado. (b) Simplificação da situação real, ilustrando que o sistema segue em movimento uniforme com uma relação determinada entre as suas respectivas forças pesos $p_1$ e $p_2$. Extraída de [²].

Desta forma o texto viabiliza a modelagem através da comparação entre uma situação real e a representação idealizada da dinâmica do movimento de massas conectadas por uma corda sem massa, vinculada a uma polia também sem massa, desprezando-se as forças de atrito.

O livro de Nussenzveig [³] aborda a situação de um fio tensionado horizontalmente, conectando dois blocos, sob a ação de uma força externa constante, em uma superfície horizontal sem atrito, indicando não haver força resultante sobre o fio desde que sua massa seja desprezível e, portanto, as forças em suas extremidades são opostas e de mesmo módulo, chamando a atenção que se trata de um vínculo a condição de um fio inextensível, com o sistema se movendo com a mesma aceleração. Na sequência, como mostra a Figura 5(a), apresenta o sistema constituído por uma polia fixa, de massa desprezível e sem atrito em seu eixo, contornada por um fio tensionado, resultando que as forças nas extremidades do fio tenham o mesmo módulo, denominado de tensão, sendo nulo o torque resultante sobre a polia, mas não faz referência ao atrito do fio com a borda da polia. Posteriormente resolve a versão deste sistema, ilustrada pela Figura 5(b), adicionando uma polia móvel e dois blocos, desprezando as massas do fio, das polias e o atrito nos eixos, obtendo um vínculo entre as acelerações dos blocos.

Figura 5
(a) Sistema polia e fio de massas desprezíveis e atrito desprezível no eixo da polia. (b) Sistema com polia fixa e polia móvel, movimentando um sistema de dois blocos, com as massas do fio e das polias e o atrito nos eixos desprezíveis. (c) Máquina de Atwood considerando a massa da polia, mas desconsiderando a massa da corda. Extraída de [³].

A máquina de Atwood e sua versão no plano inclinado é abordada no texto de Nussenzveig [³] como problemas, apresentando também uma análise quanto a conservação de sua energia mecânica, sendo esta temática trabalhada novamente na parte de problemas, sempre considerando as massas do fio e da polia desprezíveis. Posteriormente, a máquina de Atwood é reconsiderada no tratamento da rotação de corpos rígidos, como mostra a Figura 5(c), em que se assume a massa e o raio de uma polia, sustentando duas massas penduradas em um fio de massa desprezível, entretanto, desconsiderando o atrito do fio com a borda da polia, mas assumindo as tensões distintas na borda da polia e constantes em cada ramo do fio, sendo relacionadas ao torque sobre a polia e, desta forma, obtendo-se uma equação da aceleração conjunta do sistema massas e polia.

No livro-texto [¹⁰], Knight propõem uma abordagem diferenciada da Física Básica, evidenciando aspectos de modelagem ao tratar as situações-problema através de um processo que envolve modelo/visualização/solução/avaliação, conforme pronunciado em seu prefácio. No caso de sistemas com cordas, inicia caracterizando a força exercida pela corda sobre um objeto, denominando-a de força de tensão. Mas adiante, relaciona esta mesma força como sendo também a força interna na corda, ocasionada pelo fato da corda ao ser puxada, inicia uma interação ao nível microscópico nas camadas de átomos que a compõe, de modo que a tensão na corda surge como a força resultante a partir do somatório destas perturbações ao longo da corda. Semelhante à análise feita por Young e Freedman [²], avalia a corda tracionada horizontalmente e em equilíbrio, aplicando a 3^a. lei de Newton às partes da corda e a 1^a. lei de Newton às suas extremidades, considerando a interação mecânica com os agentes externos, de forma que a força interna vale a mesma força externa, a qual a corda é submetida. Posteriormente, ao tratar da situação da corda acelerada, faz a mesma análise que [²], aplicando a 2^a. lei de Newton para a corda, e fazendo a aproximaçãoa cordasem massa, ou seja, com massa muito menor que as dos blocos conectados a ela, resultando que as tensões nas extremidades da corda são iguais em módulo e de sentidos contrários e, pela 3^a. lei de Newton, a mesma condição vale para as forças da corda sobre os blocos. No entanto, Knight [¹⁰] apresenta uma compreensão interessante em termos deste vínculo mecânico ao sistema, ao afirmar que equivale como se corda não existisse e os blocos interagissem entre si, como um par de ação e reação. A Figura 6, dada a seguir, ilustra a representação pictórica desta modelagem.

Figura 6
(a) Sistema de dois blocos A e B conectados por uma corda, e sob ação de uma força externa constante $\overrightarrow{F}$, em uma superfície horizontal. (b) Identificação dos pares de força de ação e reação, devido a interação entre as extremidades da corda e os respectivos blocos A e B. (c) Sendo a corda de massa desprezível, equivale aos blocos A e B interagirem por um par de forças de ação e reação. Extraída de [¹⁰].

Ao considerar arranjos mecânicos com polias, Knight [¹⁰] considera o atrito estático entre a corda e a borda da polia associado ao movimento conjunto, entretanto, toma desprezíveis as massas da corda e da polia e o atrito no eixo da polia, de forma a estabelecer o vínculo da tensão com módulo constante ao longo da corda, intermediando a interação entre as massas. A máquina de Atwood e variações são abordadas em várias situações estáticas e dinâmicas na sessão de exercícios, no entanto, o texto não faz referência ao dispositivo básico de Atwood. Posteriormente, ao considerar a massa da polia, aborda brevemente a associação entre a aceleração da corda com a aceleração tangencial da borda da polia e desta com sua aceleração angular, não mencionando detalhes sobre a tensão na corda e o torque da polia.

2.3. Contribuições de sistemas mecânicos com cordas para a pesquisa em ensino de Física

Sistemas físicos constituídos por massas cuja interação mecânica é viabilizada por meio de fios, cordas e cabos são tratados nos textos didáticos de Mecânica introdutória, como mostramos na sessão anterior, sendo usados em aplicações das leis de Newton, permitindo explorar uma diversidade de composições mecânicas. Nesta subseção, mostraremos que estes sistemas assumem importância também como assunto de pesquisa em ensino de Física, direcionado à investigação quanto a compreensão dos alunos sobre o receituário da dinâmica da partícula e suas implicações na análise do movimento dos corpos, considerando estes vínculos mecânicos.

O principal destaque que trazemos são os trabalhos [¹⁴, ¹⁷, ¹⁸] do grupo de pesquisa de Educação em Física⁵, da Universidade de Washington, inicialmente liderado pela professora McDermott. Em [¹⁷], a chamada máquina de Atwood modificada⁶ foi tratada por um arranjo experimental e por simulação computacional, em que a compreensão conceitual foi investigada através de questionários e entrevistas, a partir de alterações nos parâmetros físicos, solicitadas à medida em que os alunos analisavam os dois protótipos. As seguintes dificuldades conceituais e de raciocínio foram identificadas: não reconhecimento de que ambos os blocos possuem a mesma velocidade e a mesma aceleração em módulo, particularmente na atividade experimental; não distinção entre a força de tensão na corda e o peso da massa suspensa, e de que a tensão é a força determinante para a massa sobre a mesa e não o peso da massa suspensa; e de que a força de tensão atuaria também sobre a massa suspensa, ocasionando uma aceleração menor que a de queda livre; não identificação de que o peso da massa suspensa deveria superar a tensão, produzindo uma força resultante associada a aceleração. Em [¹⁴] a pesquisa se dedicou mais profundamente ao contexto da máquina de Atwood, sendo uma questão central o entendimento da mediação feita pela corda na interação mecânica entre as massas, entretanto, tendo como base um conjunto de resultados de pesquisa que atestaram que, de modo geral, as dificuldades conceituais são semelhantes seja em arranjos de Atwood, como para com blocos conectados por cordas sem polias, em situações estáticas e dinâmicas. Desta forma, desenvolveram pré-testes e questões tutoriais delineadas para superar conflitos conceituais, explorando as leis de Newton para sistemas compostos, mas abordando as composições mecânicas de forma gradual, como exemplifica as ilustrações da Figura 7: em (a) temos dois blocos em contato, em uma superfície horizontal sem e com atrito, sobre a ação de uma força externa, acrescentando posteriormente no arranjo (b) a corda entre os blocos. O diferencial da abordagem em ter considerado a corda como um dos componentes do sistema, foi permitir identificar as forças dos blocos com a corda, e explicitar que a força externa não se transmite igualmente sobre todos os entes do sistema, para posteriormente se introduzir a aproximação da corda com massa desprezível, revelando-se a condição das forças iguais e opostas que a corda exerce sobre os blocos. A partir da mesma análise dinâmica para partes da corda, obteve-se a constância da força na corda ao longo de sua extensão para a corda de massa desprezível, nominando esta força de tensão. O próximo estágio foi abordar a máquina de Atwood, entretanto, desconsiderando as condições dinâmicas da polia, com a qual servindo apenas para alterar a direção do movimento, onde foi possível debater um comportamento similar ao dos blocos acoplados pela corda, em movimento horizontal. Ao final, abordaram mais duas situações, dadas na Figura 7: (c) a máquina de Atwood modificada e (d) a de três blocos em contato, sobre uma superfície horizontal sem atrito e sob a ação de uma força externa, dada como uma situação funcionalmente similar a dos dois blocos conectados pela corda. Portanto, as composições mecânicas abordadas em [¹⁴], e dadas na Figura 7, são tratadas de forma integrada como esquemas descritivos da dinâmica de sistemas compostos.

Figura 7
(a) Blocos em contato sobre uma superfície horizontal, sob ação de uma força externa. (b) Blocos conectados por uma corda, em uma superfície horizontal, sob ação de uma força externa. (c) Comparação entre os movimentos da máquina de Atwood modificada e de um corpo em queda livre. (d) Três blocos em contato sobre uma superfície horizontal, sob ação de uma força externa. Extraída de [¹⁴].

O estudo relatado em [¹⁸] é continuação do artigo citado anteriormente, e abordou a compreensão conceitual dos alunos quanto a dinâmica de duas máquinas de Atwood modificadas, por meio de simulação computacional, tendo as massas e o atrito com a superfície horizontal como parâmetros. Por meio de entrevistas estruturadas que acompanharam o manuseio das simulações, foi observado a dificuldade em os alunos superarem suas linhas de raciocínio incorretas na interpretação do movimento do sistema, entretanto, questões mais detalhadas quanto à modelagem oferecida pelas simulações em relação ao experimento real não foram debatidas com os alunos.

Em [¹⁹, ²⁰] temos um estudo com interesse de pesquisa similar aos de [¹⁴, ¹⁷, ¹⁸], por meio de entrevistas, pré-testes e questionários, sobre questões qualitativas e montagens no laboratório, abordando situações estáticas de massas penduradas em cordas e por meio de polias, em que foram constatadas dificuldades quanto à compreensão funcional da tensão em cordas sem massa aliada ao caráter vetorial do conceito de força, para alunos de cursos introdutórios de Física Básica. Posteriormente, em [²¹] temos uma abordagem que propôs inferir as concepções epistemológicas de alunos da licenciatura em Física, tendo por base a relação entre os modelos teóricos científicos e os objetos da realidade, a partir de uma atividade experimental com a máquina de Atwood, em que indicaram ter havido uma migração entre a concepção realista natural para a realista crítica, respectivamente entre os alunos do segundo e oitavo períodos do curso, entretanto, o estudo não informa se houve discussões detalhadas quanto às idealizações do modelo teórico considerado e nem das implicações destas na execução do experimento.

2.4. Propostas experimentais com a Máquina de Atwood

Nesta subseção reunimos algumas abordagens experimentais com a máquina de Atwood, e que nos possibilitaram saber de que forma o dispositivo estaria sendo usado como atividade didática em laboratórios de Física Básica, em um período mais recente na história de sua adoção. Em [²⁹] temos a montagem de uma máquina de Atwood com a corda e a polia consideradas também como elementos da dinâmica do sistema, cuja intenção foi examinar a precisão na determinação da aceleração da gravidade a partir de uma análise das incertezas experimentais estimadas para as grandezas físicas controladas, mostrando a importância da análise teórica prévia na condução da prática experimental. Na descrição da atividade fica subtendido que realizaram medidas manuais quanto aos deslocamentos das massas, sendo a medição do tempo realizada por um cronômetro.

Em [³⁰] há a sugestão em trabalhar experimentalmente a máquina de Atwood em sua versão simplificada, ou seja, desprezando as massas da corda e da polia, deslocando a abordagem para o tópico de trabalho mecânico e energia mecânica, relacionando também com as grandezas cinemáticas medidas e com a dinâmica que rege a aceleração do sistema. Entretanto, não fornece detalhes da montagem experimental e da discussão sobre as idealizações supostas.

Em [³¹] temos uma inovação tecnológica ao tomar um smartphone como sendo uma das massas suspensas no arranjo da máquina de Atwood, sendo a segunda massa dada por um conjunto de massas menores, de modo que a aceleração resultante vertical do sistema é aferida pelo sensor acelerômetro do celular. O movimento do sistema é analisado pela relação linear tomada entre a aceleração e a diferença entre as massas penduradas, realizando-se a distribuição nas massas suspensas, mas mantendo a massa total constante ao realizar um conjunto de medidas. Entretanto, a condução da atividade é dirigida para comprovar a dinâmica da máquina de Atwood, como afirmado pelos autores, sendo que não são apresentados questionamentos quanto a validade das aproximações.

O estudo [³²] trabalha com um kit experimental voltado para o ensino da máquina de Atwood simplificada, cujo movimento das massas é acionado por um controle remoto, permitindo operar o sistema de Atwood para o movimento vertical retilíneo com aceleração constante e com velocidade constante. O objetivo foi investigar a confiabilidade do dispositivo para o propósito disposto, de forma que foram testados os mecanismos de funcionamento, seguido de uma análise quanto a exatidão e precisão das medidas experimentais comparando com a prescrição teórica esperada. A caracterização dos movimentos foi dada pelos gráficos da posição, velocidade e aceleração através da técnica de videoanálise.

Em [³³], com objetivo de estimar a aceleração da gravidade por meio do aparato de Atwood, temos uma análise de modelagem interessante que discute o atrito de rolamento, a inércia da polia e a massa da corda, entretanto, não esclarece de que forma foram realizadas as medidas das variáveis de movimento das massas suspensas pela corda.

3. Abordagem Didática de Modelagem para a Máquina de Atwood

Nesta seção, apresentamos a abordagem que delineamos para a máquina de Atwood, com a intensão de trabalharmos sua cinemática e dinâmica de forma integrada. Inicialmente apresentamos o modelo teórico que tipifica sua mecânica, discutindo seus aspectos de idealização. Na sequência, tratamos a condução da montagem experimental do aparato, identificando as grandezas físicas de interesse segundo os vínculos considerados, de modo a caracterizarmos o movimento do sistema composto, por meio da técnica da videoanálise através do programa Tracker⁷. Ao final, discutimos alguns aspectos relativos à conformidade do modelo da máquina de Atwood simples e o arranjo de Atwood experimental proposto.

3.1. Modelagem da Máquina de Atwood

Nas seções anteriores observamos uma variedade de sistemas mecânicos compostos por massas conectadas por cordas abordada na literatura didática da Mecânica introdutória, atestando a importância de suas aplicações. Entretanto, estes sistemas tratados estão associados a situações idealizadas específicas, que remetem a vínculos sobre o comportamento físico entre as partes componentes, e sendo a máquina de Atwood o protótipo mais simplificado, apresentamos então o interesse didático em avaliarmos o funcionamento de um arranjo experimental que seja delineado segundo este modelo. Neste contexto, nos apoiamos no referencial teórico-metodológico direcionado a modelagem científica para o ensino da Física, denominado de Modelagem Didático-Científica (MDC)⁸, estabelecido por Brandão, Araújo e Veit [⁴⁴], que compreende um campo conceitual associado aos aspectos elementares da modelagem científica, e que explicitam os conhecimentos e esquemas que podem ser mobilizados pelos alunos no processo de representação do real, a partir das versões didáticas dos modelos científicos, definindo uma Estrutura Conceitual de Referência (ECR) que reúne os conceitos associados ao processo de modelização [⁴³, ⁴⁴, ⁴⁵]. A ECR da MDC foi estendida por Heidemann [⁴⁶, ⁴⁷] para abarcar especificidades das atividades experimentais no contexto do ensino da Física, referida de MDC+. A partir da ECR composta por estes dois referenciais de trabalho [⁴⁴, ⁴⁷], destacamos alguns conceitos que são importantes no embasamento de nossa abordagem: referentes, questões de pesquisa, idealizações, objeto-modelo, modelo físico, previsões, controle de variáveis, experimento, medidas, observações, evidências, contrastação empírica, grau de precisão e domínio de validade.

A Figura 8, dada a seguir, ilustra três exemplos de composições mecânicas que podem a princípio serem associadas à máquina de Atwood, a depender das idealizações consideradas, onde temos: (a) uma montagem experimental utilizando uma polia fixa, (b) a representação de uma situação-problema também com uma única polia e em (c) uma montagem experimental utilizando duas polias fixas.

Figura 8
(a) Montagem experimental de duas massas semelhantes suspensas por um fio em uma polia fixa [Laboratório de Ensino de Física, UFRGS]. (b) Representação de uma carga de tijolos a ser suspensa verticalmente por um contrapeso de massa maior, estando pendurados a uma corda montada em uma polia fixa [²]. (c) Montagem experimental de duas massas semelhantes suspensas por um fio pendurado sobre duas polias fixas acopladas [Laboratório de Ensino de Física, UFRGS].

Os sistemas mecânicos ilustrados na Figura 8 são compostos por três elementos básicos: uma ou duas polias fixas, uma corda de sustentação e duas massas, sendo denominados de referentes na descrição de modelagem [⁴⁴, ⁴⁷], e retratam os entes que são determinantes na identificação do fenômeno físico de interesse. Em termos didáticos, estes três casos podem ser o ponto de partida para o encaminhamento de discussões sobre em que condições este tipo de arranjo atuaria segundo uma máquina de Atwood. De forma mais elaborada, podemos levantar a seguinte questão de pesquisa: estabelecendo-se um arranjo experimental baseado nos vínculos de Atwood, avaliar a caracterização do movimento do sistema pela técnica de videoanálise, determinando a aceleração e as tensões nas extremidades da corda.

Portanto, vamos inicialmente apresentar o modelo da máquina de Atwood [¹, ², ³], que consiste em dois corpos, denominados também de blocos, de massas distintas $m_1$ e $m_2$, presos às extremidades de um fio inextensível, flexível e de massa desprezível, que é pendurado sobre uma polia fixa, de massa e atrito desprezíveis, conforme ilustra a Figura 9.

Figura 9
Arranjo da máquina de Atwood, em que a massa $m_2$ é maior que a massa $m_1$, provocando a rotação da polia em sentido anti-horário. Ao lado dos blocos suspensos, ilustramos seus diagramas de corpo-livre, em que temos as respectivas forças ${\overrightarrow{T}}_1$ e ${\overrightarrow{T}}_2$ nas extremidades da corda atuando sobre os blocos e as forças pesos ${\overrightarrow{p}}_1$ e ${\overrightarrow{p}}_2$, tratando-se os blocos como massas pontuais.

As idealizações assumidas na máquina de Atwood, implicam em primeira análise em se desconsiderar a corda e a polia como elementos da dinâmica do sistema e considerar apenas os movimentos das massas suspensas. Entretanto, uma análise mais aprofundada indica que há mais implicações nestes vínculos, ao partirmos de uma avaliação mais realística do aparato de Atwood, dado na Figura 10(a), considerando a corda com uma massa $m_c$ não desprezível e a polia possuindo um momento de inércia $I$ e raio interno $r$, havendo dois pares distintos de tensão nas extremidades de cada ramo da corda que enlaça a polia, dados por $T_1$, $T_4$, $T_2$ e $T_3$, onde por simplicidade excluímos as setas na notação vetorial, juntamente com os respectivos pesos $p_1$ e $p_2$ das massas suspensas $m_1$ e $m_2$, sendo $m_2$ maior que $m_1$, tomando o sentido anti-horário do torque como positivo.

Figura 10
(a) Arranjo da máquina de Atwood considerando a massa da corda e o momento de inércia da polia não desprezíveis, ocasionando tensões distintas nas extremidades de cada ramo da corda. (b) Arranjo da máquina de Atwood ampliado para duas polias idênticas, com momento de inércia das polias e massa da corda não desprezíveis, ocasionando mais um par de tensões no ramo da corda entre as polias.

Para esta situação, Tarnopolski [²⁵] a partir das equações de movimento para as massas $m_1$ e $m_2$; os ramos da corda em movimento de translação vertical, representados pelos comprimentos $L_1$ e $L_2$; e do torque da polia, incluindo o seguimento de corda que a contorna, de massa ($\rho \pi r)$, sendo $\rho$ a densidade linear da corda e $g$ o módulo da aceleração da gravidade assumido como constante, além de desprezar as forças de arrasto e de empuxo do ar sobre os blocos, e Lemos [²⁶] a partir do formalismo Lagrangeano, demonstraram que a equação para a aceleração linear deste sistema de Atwood composto pelas massas, corda e polia é expressa como:

(1) $$a=\frac{\left[\left(m_2-m_1\right)+2\rho L_2-\rho \left(L_1+L_2\right)\right]g}{\left(m_1+m_2\right)+\left(I/r^2\right)+m_c}$$

indicando que a aceleração não é constante quando a corda é massiva e a inércia rotacional da polia é relevante. Entretanto, se considerarmos as seguintes condições:

1. A polia com massa desprezível, implicando em um momento de inércia desprezível, mas não inexistente, de modo que há a rotação e o consequente movimento de subida de uma das massas e de descida da outra [¹⁰].

2. O atrito no eixo da polia desprezível e o atrito estático do contato da corda sobre a polia também desprezível, mas de forma a conferir um torque diminuto à polia [²³].

3. Considerando a corda de massa desprezível: i. este atrito estático entre a corda e a polia é igual a diferença de tensão no segmento da corda em contato com a polia [²³]; ii. identificamos em cada ramo livre da corda uma tensão distinta, sendo $T_2\approx T_3$ e $T_1\approx T_4$ [¹⁰].

4. Considerando esta diferença de tensão desprezível, podemos assumir para a corda montada sobre a polia que as forças nas extremidades da corda sejam praticamente equivalentes, ou seja, $T_2\approx T_1$.

5. Aplicando a 3^a. lei de Newton para a interação mecânica entre os blocos e as respectivas extremidades da corda, temos que as forças da corda sobre os blocos são iguais em módulo a força constante sobre a corda, ou seja, adotamos $T_1=T_2=T$, e retomamos a situação da máquina de Atwood simples, dada pela Figura 9, em que representamos os vetores ${\overrightarrow{T}}_1$ e ${\overrightarrow{T}}_2$ de mesmo comprimento.

Estas idealizações podem ser tomadas na equação (1), para a aqui chamada máquina de Atwood real, fazendo o momento de inércia da polia $I\approx 0$, assim como a massa da corda $m_c\approx 0$ e sua densidade linear $\rho \approx 0$, onde obtemos a equação da aceleração para a máquina de Atwood simples:

(2) $$a=\frac{\left(m_2-m_1\right)}{\left(m_2+m_1\right)}g$$

implicando nas massas se moverem com uma aceleração única e constante, de módulo $a$ [¹⁰].

Outra composição possível é considerar o aparato de Atwood com duas polias fixas de mesmo momento de inércia $I$ e raio interno $r$, acopladas por uma haste de comprimento $L_h$, sendo a corda de massa $m_c$ e densidade linear $\rho$, e as mesmas condições para as massas $m_1$ e $m_2$, o módulo da aceleração da gravidade $g$ e as forças de arrasto e empuxo, como ilustra a Figura 10(b). Semelhante a análise Tarnopolski, avaliamos o sistema pela 2^a. lei de Newton, considerando um movimento síncrono entre as partes do sistema, dado pelas massas, a corda e as duas polias, identificado por uma aceleração linear $a$ e uma aceleração angular $\alpha =a/r$, referente ao movimento de rotação das polias e de cada correspondente seguimento da corda que contorna a extensão $\left(\pi r/2\right)$ da borda da polia, onde tomamos o comprimento total da corda como $L=\left(L_1+L_2+\pi r+L_h\right)$, sendo $L_1$ e $L_2$ os seguimentos livres da corda em movimento de translação vertical, de forma que estabelecemos as seguintes equações:

1. Para os movimentos de translação vertical das massas e dos ramos verticais da corda, respectivamente, considerando positivo o sentido para cima do movimento vertical e o sentido para baixo como negativo:

   (3) $$\begin{array}{c}{m}_{2}g-T_2=m_{2}a\\ T_1-m_{1}g=m_{1}a\\ T_2-T_3+\left(\rho L_{2}g\right)=\left(\rho L_2\right)a\\ T_4-T_1-\left(\rho L_{1}g\right)=\left(\rho L_1\right)a\end{array}$$

2. Para os movimentos de rotação das polias juntamente com os respectivos seguimentos de corda que as contornam, considerando positivo o sentido anti-horário do torque:

   (4) $$\begin{array}{c}\left(T_3-T_5\right)r=\left[I+\left(\rho \pi r/2\right)r^2\right]\alpha \\ \left(T_6-T_4\right)r=\left[I+\left(\rho \pi r/2\right)r^2\right]\alpha \end{array}$$

3. Para o movimento de translação horizontal do seguimento livre da corda entre as polias, de comprimento $L_h$, assumindo como positivo o sentido do movimento da corda:

   (5) $$T_5-T_6=\left(\rho L_h\right)a$$

A partir da combinação das equações (3), (4) e (5), obtemos a equação da aceleração linear para a máquina de Atwood com duas polias:

(6) $$a=\frac{\left[\left(m_2-m_1\right)+2\rho L_2-\rho \left(L_1+L_2\right)\right]g}{\left(m_1+m_2\right)+\left(2I/r^2\right)+m_c}$$

implicando a uma aceleração não constante e que, comparando com a equação (1), equivale ao caso de termos somente uma polia com momento de inércia igual a $2I$.

Posteriormente, se considerarmos as mesmas idealizações de (I) a (V) para este aparato com duas polias, ou seja, implicando a termos diminutos os momentos de inércia, o atrito nos eixos e o atrito estático entre a corda e as bordas das polias, e mais a massa da corda e as diferenças de tensão entre cada parte da corda, com $T_2\approx T_3$ $\approx T_5\approx T_6\approx T_4\approx T_1$, de modo que possamos assumir $I\approx 0$, $m_c\approx 0$ e $\rho \approx 0$ na equação (6), recompomos o comportamento da máquina de Atwood simples, dado pela equação (2).

Esta condição da máquina de Atwood simples, com uma ou duas polias, ao substituirmos o valor da aceleração, dado na equação (2), na equação de movimento das massas, obtemos a equação da força na corda⁹:

(7) $$T=\frac{2m_1{m}_2}{\left(m_1+m_2\right)}g$$

Desta forma, compreendemos que o sistema de dois blocos conectados por uma corda e uma ou duas polias, que satisfazem aos vínculos de (I) a (V) descritos acima, estabelecem um objeto-modelo, também denominado de modelo conceitual, e cuja dinâmica seja determinada pelas equações (2) e (7), definem o modelo físico conhecido como máquina de Atwood. Sobre o enfoque didático, as chamadas consequências da teoria [⁴⁷] subtendida pelo modelo da máquina de Atwood fornecem uma compreensão descritiva do comportamento dinâmico do sistema, em que temos: uma aceleração linear menor que a aceleração da gravidade; a força de tensão na corda é distinta da força peso; e os blocos se movimentam respectivamente com forças resultantes distintas e menores que suas forças peso; sendo as previsões¹⁰ do modelo apresentadas respectivamente por intervalos de valores indicados para a aceleração e a força atuante na corda:

(8) $$a=\frac{\left(m_2-m_1\right)}{\left(m_2+m_1\right)}g\pm u_a$$

(9) $$T=\frac{2m_1{m}_2}{\left(m_1+m_2\right)}g\pm u_T,$$

sendo $u_a$ e $u_T$ as respectivas incertezas¹¹ da aceleração e da tensão na corda.

3.2. Explorando a Máquina de Atwood porVideoanálise

Nesta seção apresentamos a atividade de experimentação para um arranjo mecânico embasado no modelo da máquina de Atwood simples, onde partimos das considerações sobre as idealizações direcionadas ao esquema com duas polias acopladas¹², discutidas na seção anterior, para selecionarmos os elementos do sistema para a montagem experimental, de forma que partimos da suposição que se utilizarmos polias de baixo atrito, com um momento de inércia mínimo e com a corda de massa e densidade linear desprezíveis, teremos o sistema funcionando segundo o regime dado pelas equações (8) e (9).

Desta forma, reunimos os seguintes elementos, conforme as ilustrações da Figura 11, em que usamos: (a) um fio de algodão¹³ com densidade linear¹⁴$\rho =\left(\mathrm{0,0025}\pm \mathrm{0,0005}\right)$ g/cm e comprimento de ($\mathrm{80,00}\pm \mathrm{0,05}$) cm; (b) duas pequenas polias plásticas acopladas por uma haste (com 12,7 mm de diâmetro e 14,5 cm de comprimento), sendo cada polia com 5 g aproximadas de massa e momento de inércia aproximado de 1,${8.10}^{-6}$ kg.m² e com as dimensões de 5,1 cm de diâmetro, 16 cm de circunferência externa e 15 cm de circunferência do sulco, conforme informado pelo fabricante¹⁵; (c) quanto as massas dos corpos suspensos, optamos por utilizar dois blocos metálicos cilíndricos, cada um com (499,$3\pm 0$,1) g, incluindo as hastes metálicas de fixação, e massas adicionais na forma de pequenas moedas as quais são utilizadas para gerar o desequilíbrio mecânico, sendo seus valores informados posteriormente.

Figura 11
Elementos utilizados na composição experimental da máquina de Atwood: (a) Seguimento de 2 m do fio, usado para determinar a densidade linear. (b) Duas polias conjugadas, para permitir maior espaçamento entres as massas penduradas. (c) Dois blocos metálicos usados como massas principais do arranjo e massas auxiliares para gerar o desequilíbrio mecânico.

Portanto, com os itens escolhidos, supõem-se inicialmente que o comportamento mecânico das massas suspensas será preponderante aos da corda (fio de sustentação) e das polias. Entretanto, o controle de variáveis deve abranger também o estágio de realização do experimento, visto que observamos via videoanálise que se provocarmos o movimento das massas que estão equilibradas em ambos os lados da corda, o sistema cessa seu movimento devido a presença de forças resistivas, como mostram as Figuras 12(a) e 12(b). Como forma de atenuar esta resistência, adicionamos ao composto de massa $m_2$ uma quantidade $m_{cp}$ de clipes de papel, de forma que iniciado o movimento, o sistema de massas segue em movimento retilíneo uniforme, como mostram as Figuras 12(c) e 12(d). Desta forma, utilizamos a estratégia dos clipes como forma de corrigir a máquina de Atwood experimental no que tange as forças de resistência [⁵¹], sejam elas associadas as forças de atrito nos eixos das polias, e a força de resistência do ar e do empuxo sobre os blocos e as moedas.

Figura 12
(a)–(b) Videoanálises indicando o movimento retilíneo retardado para a componente vertical da posição de cada bloco, respectivamente durante a descida do bloco $m_2$ e subida do bloco $m_1$, para uma configuração com massas iguais, sinalizando a atuação de forças de resistência. (c)–(d) Videoanálises indicando o movimento retilíneo uniforme para a componente vertical da posição de cada bloco, respectivamente durante a descida do bloco $m_2$ e subida do bloco $m_1$, colocando-se clipes sobre o bloco $m_2$, sinalizando a compensação das forças de resistência para o aparato experimental. Em ambas as situações se observam flutuações na componente horizontal da posição dos blocos, associadas aos movimentos das massas não serem exclusivamente verticais, ou seja, serem um movimento tipo pendular.

Posteriormente, discutimos como avaliar o funcionamento da máquina de Atwood, identificando de que forma realizaremos as operações empíricas [⁴⁷]: a condução do experimento, os procedimentos de medidas, juntamente com as observações desejadas. Na Figura 13, dada a seguir, temos uma ilustração da montagem da máquina de Atwood para a realização da videoanálise¹⁶, em que temos uma régua de (30,$00\pm 0$,05) cm pendurada verticalmente e que serve de escala na videoanálise, sendo que realizamos a filmagem através da câmera digital de um smartphone modelo Galaxy A32 5G, com taxa de filmagem de 120 fps, posicionando-o sobre um tripé de forma centralizada e distando em torno de (230,$00\pm 0$,05) cm de distância do arranjo experimental.

Figura 13
Arranjo experimental da máquina de Atwood, identificando-se os blocos pendurados pelo fio sobre as duas polias acopladas e mais a régua de escala da videoanálise.

Adotamos a seguinte estratégia para promover o movimento da máquina de Atwood:

1. Colocamos três moedas totalizando 30,$2\pm 0$,1 g sobre o bloco da esquerda e seis moedas totalizando 30,$6\pm 0$,1 g sobre o bloco da direita.

2. Usamos os clipes para o ajuste da compensação da resistência, totalizando $m_{cp}=\mathrm{2,6}\pm 0$,1 g;

3. Adotamos individualmente os valores¹⁷ das seis moedas anteriores para compor a massa $M_i$ a qual será passada do bloco direito para o bloco esquerdo, com $i=\mathrm{1,2},\dots \mathrm{,6}$, a cada videoanálise distinta, de modo que $\Delta m_i=\left(m_2-m_1\right)$, sendo $m_2$ identificada como a massa do bloco efetivo que realiza o movimento vertical de descida¹⁸ e $m_1$ a massa do bloco efetivo que realiza o movimento vertical de subida¹⁹, com a massa $m_T=\left(m_1+m_2\right)$ do sistema permanecendo inalterada.

Avaliamos a máquina de Atwood associada a cada diferença de massas $\Delta m_i$ a partir dos seguintes procedimentos:

I. Caracterização cinemática dos movimentos das massas $m_1$ e $m_2$ realizando a videoanálise a partir de um mesmo vídeo, de forma a obtermos o comportamento gráfico da componente vertical da posição das massas em função do tempo. O procedimento de marcação das posições sucessivas das massas, a cada quadro do vídeo, foi realizado através da função automatizada do programa Tracker. A Figura 14, dada a seguir, ilustra dois pares de videoanálises associadas respectivamente a $\Delta m_1$ e $\Delta m_6$, obtidos de vídeos distintos.

II. A partir das videoanálises realizadas com o Tracker, importa-se o conjunto de dados empíricos correspondentes aos instantes de tempo e a coordenada vertical da posição das massas para o programa SciDavis²⁰, onde inferimos uma incerteza de 20% sobre o comprimento dos blocos cilíndricos para $y\left(t\right)$, ou seja, $u_y=0$,01 m. Propondo um ajuste quadrático correspondente à função horária $y\left(t\right)=a_1+a_{2}t+a_3{t}^2$, estimamos a aceleração $a$ das massas, tomando $a_3=a/2$. As Figuras 15, 16 e 17, dadas em sequência, mostram os referidos ajustes de curva, em que realizamos dois vídeos independentes para cada diferença de massas $\Delta m_i$.

Figura 14
Videoanálises indicando o movimento retilíneo acelerado para a componente vertical da posição de cada massa, para a configuração com massa $M_1$ transferida, respectivamente durante: (a) descida do bloco $m_2$ e (b) subida do bloco $m_1$, e para a configuração com massa $M_6$ transferida, respectivamente durante: (c) descida do bloco $m_2$ e (d) subida do bloco $m_1$. Em ambas as situações se observam flutuações na componente horizontal da posição dos blocos.

Figura 15
(a)–(b) Gráficos dos ajustes às curvas do movimento vertical das massas para $\Delta m_1$ e (c)–(d) para $\Delta m_2$. Os dados da videoanálise são os círculos em azul e cinza, relacionados às respectivas incertezas dadas pelas barras de erro, sendo os ajustes dados pelas curvas em azul e vermelho.

Figura 16
(a)–(b) Gráficos dos ajustes às curvas do movimento vertical das massas para $\Delta m_3$ e (c)–(d) para $\Delta m_4$. Os dados da videoanálise são os círculos em azul e cinza, relacionados às respectivas incertezas dadas pelas barras de erro, sendo os ajustes dados pelas curvas em azul e vermelho.

Figura 17
(a)–(b) Gráficos dos ajustes às curvas do movimento vertical das massas para $\Delta m_5$ e (c)–(d) para $\Delta m_6$. Os dados da videoanálise são os círculos em azul e cinza, relacionados às respectivas incertezas dadas pelas barras de erro, sendo os ajustes dados pelas curvas em azul e vermelho.

A Tabela 1, dada a seguir, reúne as respectivas estimativas obtidas para as acelerações das massas, com o subíndice s associado ao movimento de subida da massa $m_1$ e d ao movimento de descida da massa $m_2$.

Table 1
Estimativas da aceleração em m/s², obtidas a partir dos ajustes da curva $y\left(t\right)$ associada a componente vertical da posição das massas $m_1$ e $m_2$, utilizando-se seis composições de massas para a máquina de Atwood, com $\Delta m_i$ dadas em kg.

$\Delta m_i$	1∘. Vídeo $a_s$	1∘. Vídeo $a_d$	2∘. Vídeo $a_s$	2∘. Vídeo $a_d$
0,0096	0,$088\pm 0$,002	$-$0,$092\pm 0$,002	0,$090\pm 0$,002	$-$0,$092\pm 0$,002
0,0198	0,$186\pm 0$,006	$-$0,$192\pm 0$,006	0,$164\pm 0$,008	$-$0,$170\pm 0$,008
0,0300	0,$28\pm 0$,01	$-$0,$28\pm 0$,01	0,$284\pm 0$,008	$-$0,$280\pm 0$,008
0,0402	0,$38\pm 0$,01	$-$0,$39\pm 0$,01	0,$36\pm 0$,02	$-$0,$38\pm 0$,02
0,0502	0,$48\pm 0$,02	$-$0,$49\pm 0$,02	0,$46\pm 0$,02	$-$0,$46\pm 0$,02
0,0608	0,$54\pm 0$,02	$-$0,$56\pm 0$,02	0,$54\pm 0$,02	$-$0,$56\pm 0$,02

A partir da Tabela 1, para cada $\Delta m_i$ observamos um acordo satisfatório entre os valores $(a_s,a_d)$ da aceleração das massas associados a um mesmo vídeo, ou seja, para um dado movimento da máquina de Atwood as massas se movem com acelerações próximas e de sinais invertidos, mas de mesmo sentido de suas respectivas velocidades, indicando um movimento retilíneo uniformemente acelerado. Notamos também um acordo ao compararmos os valores $(a_s,a_d)$ entre dois vídeos associados ao mesmo $\Delta m_i$. As Figuras 15, 16 e 17 permitem compararmos o comportamento cinemático das massas para um dado movimento da máquina de Atwood, onde observamos a inversão do sinal das concavidades das curvas, sendo devido aos movimentos verticais de sentidos contrários das massas, correspondendo a acelerações contrárias. Os instantes de tempo em que duas curvas $y\left(t\right)$ se interceptam referem-se aos momentos em que as massas se cruzam estando a uma mesma altura, durante o movimento da máquina de Atwood.

Retomando o modelo da máquina de Atwood, conforme prenuncia a equação (2), a aceleração do sistema aumenta com o aumento da diferença de massas $\Delta m=\left(m_2-m_1\right)$, mantendo-se a massa total constante, sendo que observamos na Tabela 1 este comportamento, e uma consequência dele nas duas videoanálises dadas na Figura 14 e nas curvas $y\left(t\right)$ dadas nas Figuras 15, 16 e 17, onde observamos que as massas percorrem deslocamentos verticais próximos, em intervalos de tempo cada vez menores, com o aumento de $\Delta m$ e de suas acelerações.

III. De forma a configurar o comportamento do arranjo experimental de Atwood associado a cada diferença de massas $\Delta m_i$, para o valor esperado da aceleração do sistema adotamos o valor médio das acelerações dadas na Tabela 1, com a incerteza dada pelo desvio padrão da média²¹. Posteriormente, nos referindo as equações (3) de movimento das massas $m_1$ e $m_2$, explicitamos as tensões nos ramos da corda, de modo que ao substituirmos os valores das massas associadas a cada composição, junto com a respectiva aceleração média, e usando o valor da aceleração da gravidade $g=\mathrm{9,795}\pm \mathrm{0,003}$ m/s² [⁵³], obtemos as estimativas experimentais para as tensões na corda:

(10) $$T_1=\left(m_{1}g+m_{1}a\right)\pm u_{T_1}$$

(11) $$T_2=\left(m_{2}g-m_{2}a\right)\pm u_{T_2}$$

sendo $u_{T_1}$ e $u_{T_2}$ as respectivas incertezas²². A Tabela 2, dada a seguir, reúne os valores encontrados para as referidas acelerações experimentais, com as respectivas estimativas das tensões em cada ramo da corda.

Table 2
Estimativas da aceleração do sistema em m/s² e das tensões na corda dada em Newtons, a partir das previsões teóricas (segunda e quarta colunas respectivamente) e das indicações experimentais (terceira, quinta e sexta colunas respectivamente), utilizando-se seis composições de massas para a máquina de Atwood, com $\Delta m_i$ dadas em kg.

	aceleração	aceleração	$T$	$T_1$	$T_2$
$\Delta m_i$	teórica	experimental	teórica	experimental	experimental
0,0096	0,$089\pm 0$,001	0,$091\pm 0$,001	5,$188\pm 0$,002	5,$189\pm 0$,002	5,$187\pm 0$,002
0,0198	0,$183\pm 0$,002	0,$178\pm 0$,007	5,$187\pm 0$,002	5,$184\pm 0$,004	5,$189\pm 0$,004
0,0300	0,$277\pm 0$,002	0,$281\pm 0$,001	5,$184\pm 0$,002	5,$186\pm 0$,002	5,$182\pm 0$,002
0,0402	0,$372\pm 0$,001	0,$378\pm 0$,006	5,$181\pm 0$,002	5,$184\pm 0$,004	5,$177\pm 0$,004
0,0502	0,$464\pm 0$,001	0,$473\pm 0$,008	5,$177\pm 0$,002	5,$181\pm 0$,004	5,$172\pm 0$,005
0,0608	0,$562\pm 0$,002	0,$550\pm 0$,006	5,$171\pm 0$,002	5,$165\pm 0$,003	5,$178\pm 0$,004

As estimativas teóricas para a aceleração do sistema e a tensão constante ao longo da corda, apresentadas na Tabela 2, foram determinadas a partir das equações (8) e (9), considerando-se o mesmo valor anterior para a aceleração da gravidade, e os respectivos valores das massas associadas a cada $\Delta m_i$. Ao compararmos os valores teóricos e experimentais, a partir da Tabela 2, observamos uma concordância entre as estimativas da aceleração, assim como das tensões associadas, dentro dos graus de precisão considerados, fornecendo uma indicação satisfatória de que o arranjo experimental delineado se comporta conforme o modelo da máquina de Atwood simples.

IV. Numa perspectiva mais integrativa sobre o funcionamento do arranjo experimental trabalhado, propormos uma análise do comportamento das acelerações experimentais médias $a_i$ em função da diferença das massas $\Delta m_i$, como mostra a Figura 18, dada a seguir.

Figura 18
Comportamento das acelerações experimentais médias em função da diferença de massas, para as composições trabalhadas nas videoanálises, a partir dos valores dados na Tabela 2.

No gráfico da Figura 18, observamos um comportamento linear com o ajuste da curva fornecendo o coeficiente angular $A=\mathrm{9,25}\pm \mathrm{0,06}$. Tomando a equação (2) da aceleração do sistema, escrevemos:

(12) $$a_i=\frac{g}{m_T}\Delta m_i,$$

em que temos uma estimativa teórica para a inclinação da função, dada por $A_t=\frac{g}{m_T}\pm u_{A_t}$, sendo $u_{A_t}$ sua incerteza²³. Substituindo os valores adotados $g=\mathrm{9,795}\pm \mathrm{0,003}$ m/s² e $m_T=\mathrm{1,0594}\pm \mathrm{0,0001}$ kg, encontramos $A_t=\mathrm{9,246}\pm \mathrm{0,003}$ m/s² kg, indicando um acordo com o resultado empírico dado pelo valor de A, implicando adicionalmente que o aparato experimental apresenta um funcionamento conforme a máquina de Atwood simples, independente da escolha das massas, entretanto com a razão $\left(\frac{\Delta m_i}{m_T}\right)$ gerando um intervalo de acelerações aceitável para a realização das videoanálises.

Notamos ainda que ao escrevermos a equação (6) da aceleração do sistema para o aparato com duas polias, da forma:

(13) $$a=\frac{\left(m_2-m_1\right)\left[1+\frac{2\rho }{\left(m_2-m_1\right)}{L}_2-\frac{\rho }{\left(m_2-m_1\right)}\left(L_1+L_2\right)\right]g}{\left(m_1+m_2\right)\left[1+\frac{\left(2I/r^2\right)}{\left(m_1+m_2\right)}+\frac{m_c}{\left(m_1+m_2\right)}\right]}$$

podemos avaliar os termos abaixo para valores reais dos elementos escolhidos para compor a máquina de Atwood experimental, obtendo:

• Para a primeira composição das massas $\Delta m_1:\frac{2\rho }{\left(m_2-m_1\right)}\approx \mathrm{0,0005}$; $\frac{\rho }{\left(m_2-m_1\right)}\approx \mathrm{0,0003}$; $\frac{\left(\frac{2I}{r^2}\right)}{\left(m_1+m_2\right)}\approx \mathrm{0,006}$; $\frac{m_c}{\left(m_1+m_2\right)}\approx \mathrm{0,0002}.$

• Para a sexta composição das massas $\Delta m_6:$ $\frac{2\rho }{\left(m_2-m_1\right)}\approx \mathrm{0,00008}$; $\frac{\rho }{\left(m_2-m_1\right)}\approx \mathrm{0,00004}$, já que a massa total permanece constante e as polias são as mesmas em todas as composições de massas.

ou seja, podemos desprezar estes termos e considerar que o aparato experimental de Atwood apresenta um comportamento segundo os termos predominantes da equação da máquina de Atwood simples.

Do exposto, temos que as análises I, II, III e IV, baseadas nos procedimentos empíricos encaminhados, constituem as chamadas evidências obtidas na condução do experimento, e que quando comparadas com as previsões teóricas indicadas para o modelo da máquina de Atwood, conduzem à chamada contrastação empírica [⁴⁷]. A partir desta, obtemos as conclusões da abordagem apresentada, e que mostram que conseguimos encaminhar um arranjo experimental funcionando segundo os vínculos preditos da máquina de Atwood. Baseada no referencial da modelagem didático-científica [⁴⁴, ⁴⁷], a abordagem permitiu evidenciar a interrelação existente entre o modelo teórico e o esquema experimental, mostrando a importância das idealizações e do controle de variáveis de forma elucidar o domínio de validade do modelo físico subjacente ao fenômeno em estudo, que no caso é a execução de uma máquina de Atwood em uma atividade didática experimental.

4. Considerações Finais

Consideramos que a abordagem desenvolvida, ao contemplar as três dimensões: i. a histórica, com uma breve narrativa do contexto do surgimento da máquina de Atwood; ii. a didática, através da revisão sobre o tratamento dado pela literatura de ensino de Física sobre sistemas de massas acopladas por cordas; iii. a de modelagem científica, ancorada no referencial da MDC, de modo a orientar a elaboração e a realização da atividade, mostrando ainda a viabilidade de se elaborar uma análise teórica e experimental para o ensino; possibilitou evidenciar o papel pedagógico que a máquina de Atwood representa no ensino da Dinâmica.

A seguir, destacamos algumas reflexões sobre a abordagem de modelagem que desenvolvemos para a máquina de Atwood:

1. Com os resultados de pesquisa em ensino de Física [¹⁴, ¹⁷, ¹⁸, ¹⁹, ²⁰, ²¹] pudemos verificar que há uma variabilidade de interpretações equivocadas dos alunos sobre a aplicação das leis de Newton para sistemas compostos conectados por cordas, seja através do ensino teórico, experimental e de simulação computacional, entretanto, sem tratarem aspectos de modelagem. A partir da nossa proposta, percebemos que um enfoque didático da modelagem científica [⁴⁴, ⁴⁷] possibilita o desenvolvimento da compreensão conceitual sobre enunciados e contextos de situações problema, que fazem parte do repertório do ensino da dinâmica para sistemas compostos, como é o caso da máquina de Atwood, podendo vir a tornar o aprendizado mais significativo.

2. O encaminhamento de modelagem para o ensino da máquina de Atwood possibilitou uma discussão mais aprofundada sobre a função de cada ente do sistema, substituindo a interpretação comumente dada de eliminar a corda e a polia, pela a de idealização sobre os aspectos funcionais das partes envolvidas, e pelo controle das variáveis na realização experimental possibilitou a compreensão de que os atributos que compõem um sistema físico real em estudo podem ser controlados, e não extintos em definitivo.

3. Complementando a reflexão anterior, a forma como conduzimos as idealizações mantém a presença das polias para a atuação do torque e o consequente movimento de subida e descida das massas, possibilitando uma discussão sobre as relações entre o atrito estático entre a corda e as polias e a diferença de tensões nos ramos da corda em contato com as polias [²³], para que se tenha os torques, mesmo que diminutos, assim como a diferença entre as tensões, concordando com a condição de utilizarmos um fio de sustentação das massas de baixa densidade linear, sendo que estes aspectos da idealização puderam ser explicitados nos termos desprezados da equação da máquina de Atwood real com duas polias.

4. A modelagem, conduzida teórica e experimentalmente, permite esclarecer a denominação quanto a corda de massa desprezível, encontrada habitualmente nos problemas, corrigindo a interpretação sobre esta idealização, e esclarecendo também o uso didaticamente confuso dos termos tensão e tração em cordas, cujos entendimentos são importantes para a compreensão da interação mecânica entre as massas e a corda, assim como para a compreensão das leis de Newton nestes sistemas.

5. O referencial teórico-metodológico da MDC [⁴⁴, ⁴⁷] nos permitiu ir além da temática de uma atividade experimental para o ensino da máquina de Atwood via videoanálise, de modo que o embasamento epistemológico da modelagem científica possibilitou reorientarmos a relação entre o modelo físico associado ao sistema em estudo e a condução da atividade experimental. Particularmente, alinhamos a organização da atividade com a interpretação dos conceitos dados na Estrutura Conceitual de Referência da MDC+ [⁴⁷], os quais orientam atividades didáticas para o ensino de Física com enfoque na modelagem científica, incluindo a prática experimental. Enfatizamos que a forma como estes conceitos podem ser trabalhados em sala de aula é dada pelas indicações dos seus invariantes operatórios associados [⁴⁷]. Por exemplo, sobre o conceito de evidência, Heidemann, Veit e Araujo (2016, p. 23) indicam o invariante: “Coletado um conjunto de dados empíricos brutos, realizar a(s) transformação(ões) necessária(s) para torná-los contrastáveis com previsões”, sendo que, em nosso caso, foi o que realizamos por meio do ajuste das curvas para se chegar as estimativas das acelerações dos blocos, e com a investigação do comportamento das acelerações em relação a diferença das massas suspensas, para se obter uma análise mais decisiva sobre o arranjo experimental trabalhado.

6. A atividade desenvolvida permite realizar de forma integrada uma análise quanto a cinemática e a dinâmica da máquina de Atwood. Destacamos que em todo o processo da realização da atividade podemos discutir as leis de Newton, não somente em termos teóricos, mas a partir dos resultados das videoanálises, por exemplo, sobre a atenuação das forças de resistência com a utilização dos clipes, podemos explorar a primeira lei de Newton e, posteriormente, com a máquina de Atwood em funcionamento, podemos discutir a segunda lei de Newton e inferir ainda sobre as forças resultantes sobre os blocos, a partir dos valores numéricos estimados para as acelerações e tensões nos ramos da corda.

7. Em termos didáticos, pontuamos que os aspectos trabalhados nesta investigação podem ser convenientemente dosados, de acordo com a intenção pedagógica pretendida, como é o caso da alusão a história da máquina de Atwood e seus propósitos, ou a seleção de problemas contidos em textos didáticos de Física introdutória sobre a máquina de Atwood, como forma de encaminhar discussões sobre as idealizações consideradas nos enunciados. Pode-se ainda planejar a atividade como um Episódio de Modelagem, o qual consiste numa metodologia baseada na MDC [⁵⁴]. Dada a abrangência da abordagem, entendemos que a atividade seja direcionada ao ensino introdutório da Mecânica no nível superior, em disciplinas de Física básica ou de laboratório básico, entretanto, possa ser dimensionada ao ensino da Mecânica no nível médio.

Por fim, temos que a proposta apresentada está em acordo com as reflexões dadas por Borges [⁵⁵] sobre o uso didático do laboratório de Ciências, no caso do ambiente escolar, mas que serve ao nível universitário, no que diz respeito a adequada interpretação da tríade teoria, observação e experimento, para que se possa desenvolver junto aos alunos uma compreensão correta do fazer científico na geração de conhecimentos, acrescentando que a partir das orientações da MDC [⁴⁴, ⁴⁷], acreditamos que vincular a modelagem científica ao fazer pedagógico é imprescindível para que se promova um ensino de Física mais qualificado.

Agradecimentos

A primeira autora deste trabalho gostaria de agradecer a professora Magale Elisa Bruckmann, do Instituto de Física da UFRGS, pelas discussões sobre a prática experimental da máquina de Atwood conduzida em suas aulas de laboratório e as reflexões para a proposição do estudo aqui desenvolvido. Aos técnicos dos Laboratórios de Ensino do Instituto de Física da UFRGS: Gabriel Cury Perrone, Lara Elena Sobreira Gomes, Renato Divan Silveira de Souza, Ricardo Ferrari Severo, Rogério Nunes Wolff, pela disposição dos materiais e organização do local para a montagem da máquina de Atwood. Ao grupo de pesquisa Inovações Didáticas no Ensino de Física, do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física da UFRGS, liderado pela professora Eliane Angela Veit, por viabilizar meu estágio de pós-doutorado. Ao professor André Luiz de Moraes Costa, do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Sergipe, pelas discussões sobre o conceito de tensão na literatura de resistência de materiais.

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• ^[55] A.T. Borges, Caderno Brasileiro de Ensino de Física 19, 291 (2002).

• 1
  O aparato conhecido como máquina de Atwood foi elaborado pelo inglês George Atwood (1745–1807), e publicado em um tratado de 1784 [¹³], servindo de demonstração didática dos movimentos acelerado e uniforme de massas sob o efeito da gravidade e do movimento rotacional de polias, tendo um mecanismo de funcionamento mais complexo que o modelo difundido nos livros didáticos de Física atuais [¹, ², ³, ⁴, ⁵, ⁶, ¹⁰, ¹¹].
• 2
  Uma variação da máquina de Atwood é composta por dois blocos ligados por uma corda passando por uma polia, com um dos blocos sob uma superfície horizontal; uma outra variação é expandir a composição anterior, pendurando um terceiro bloco por meio de uma segunda corda e uma segunda polia, conectando-o ao lado livre do bloco que está sob a mesa [¹⁴].
• 3
  O Programa Nacional do Livro e do Material Didático (PNLD) é um programa do Governo Federal brasileiro que visa avaliar e disponibilizar obras didáticas, pedagógicas e literárias para escolas públicas da rede de Educação Básica do país. Para mais detalhes, acesse: https://www.gov.br/fnde/pt-br/acesso-a-informacao/acoes-e-programas/programas/programas-do-livro.
• 4
  Diferentemente dos outros livros de Ensino Médio citados acima, Pietrocola et al. [⁵] usa o termo roldana em vez de polia. Interessante observarmos que na definição destas duas palavras, temos a descrição de seus usos em aplicações da Física, como mostra: ROLDANA e POLIA. In: DICIO, Dicionário Online de Português. Porto: 7Graus, 2024. Disponível em: https://www.dicio.com.br/roldana/ e https://www.dicio.com.br/polia/. Acesso em: 30/09/2024.
• 5
  UW Physics Education Group dedica-se a mais de trinta anos no desenvolvimento curricular para o ensino de Física, elaborando protocolos de pesquisa que são aplicados no acompanhamento das disciplinas. Acesso a página do grupo: https://phys.washington.edu/fields/physics-education.
• 6
  Esta composição é dada por uma das massas em uma superfície horizontal, com ou sem atrito, conectada à uma segunda massa pendurada, através de uma corda e polia de massas desprezíveis.
• 7
  Tracker, idealizado pela Open Source Physics, que desenvolve uma coleção digital de recursos didáticos em Física, Computação e modelagem computacional. Acessível em: https://www.compadre.org/osp/.
• 8
  O campo conceitual da MDC é composto por situações problema, invariantes operatórios e representações simbólicas, relacionados a uma Estrutura Conceitual de Referência (ECR). Para uma compreensão mais completa deste aporte teórico-metodológico, ver as referências [⁴⁴, ⁴⁷].
• 9
  Na literatura da Mecânica dos Sólidos [⁴⁸], o termo tração ou carregamento de tração implica na força externa exercida pelos blocos atuando na direção longitudinal da corda, de forma a provocar um estiramento, enquanto o termo tensão refere-se a tensão normal, dada pela força resultante interna na corda dividida pela área da seção transversal da corda. Por outro lado, notamos que a nomenclatura da Física básica chama de tensão a força interna resultante na corda e, pela 3^a. lei de Newton, é igual à força externa de tração na corda. Isso se deve ao uso de tensão tanto para a tradução de “tension” (a força na corda) quanto para a tradução de “stress” (tensão mecânica).
• 10
  Segundo Heidemann [⁴⁷], baseado em Bunge [⁴⁹], há uma interpretação ingênua de que a teoria e a experiência são diretamente contrastáveis, e uma concepção equivocada, defendida frequentemente na formação acadêmica, de que as previsões derivam diretamente da teoria e os dados brutos derivam diretamente do experimento. As previsões e as evidências dependem de teorias auxiliares e de valores experimentais auxiliares, não verificados no processo investigativo em questão, como, a exemplo, a teoria das incertezas estatísticas, e o uso do valor da aceleração da gravidade no contexto de uma investigação envolvendo a Mecânica.
• 11
  As expressões para estas incertezas são determinadas a partir da lei de propagação da incerteza [⁵⁰] e a partir das equações (2) e (7), obtemos respectivamente: $u_a=\sqrt{{\left[\frac{-2m_{2}g}{{\left(m_1+m_2\right)}^2}\right]}^2{u}_{m_1}^2+{\left[\frac{2m_{1}g}{{\left(m_1+m_2\right)}^2}\right]}^2{u}_{m_2}^2+{\left[\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right]}^2{u}_g^2}$, e $u_T$ $=\sqrt{\left(\frac{4m_2^{\text{4}}{g}^2}{{\left(m_1+m_2\right)}^4}\right)u_{m_1}^2+\left(\frac{4m_1^{\text{4}}{g}^2}{{\left(m_1+m_2\right)}^4}\right)u_{m_2}^2+\left(\frac{4m_1^{\text{2}}{m}_2^{\text{2}}}{{\left(m_1+m_2\right)}^2}\right)u_g^2}$, sendo $u_{m_1}$ a incerteza da massa $m_1$, $u_{m_2}$ a incerteza da massa $m_2$ e $u_g$ a incerteza da aceleração da gravidade.
• 12
  Optamos por utilizar um dispositivo com dupla polia, de forma a permitir maior afastamento entre as massas suspensas, visto que pela técnica de videoanálise realizamos um rastreamento visual, frame a frame, das posições das massas suspensas, de forma a obter a caracterização de seus movimentos.
• 13
  A escolha do fio para os experimentos deste trabalho (adquirido de um eletrotécnico) tem como característica principal a sua inextensibilidade e era especialmente usado para conduzir o ponteiro que indicava o valor da frequência da estação sintonizada no mostrador dos antigos rádios de mesa.
• 14
  Estimamos a densidade linear da corda tomando 2 metros da mesma e medindo sua massa na balança digital, obtendo sua incerteza pela relação de propagação da incerteza [⁵⁰], tomando a incerteza na massa da corda 0,1 g, ou seja, igual ao menor valor não nulo exibido no mostrador e a incerteza do comprimento da corda de 0,5 mm, ou seja, como a metade da menor divisão da escala de medida [⁵⁰].
• 15
  As especificações das polias conjugadas da marca Pasco podem ser acessadas em: https://www.pasco.com/products/lab-supplies/pulleys/atwood-s-machine“#specs-panel.
• 16
  Atualmente a adoção da técnica da videoanálise em atividades de laboratório de Física, com fins didáticos, se tornou bastante acessível com o surgimento do software Tracker e das câmeras digitais dos smartphones. Sugerimos o livro de Jesus [⁵⁵] para introdução na área, especialmente em tópicos de Mecânica.
• 17
  Os valores $M_i$ das moedas que são transferidas para o lado esquerdo são dados por: 5,0 gramas; 5,1 gramas; 5,1 gramas; 5,1 gramas; 5,0 gramas; 5,3 gramas, com incertezas de 0,1 gramas.
• 18
  Para o cômputo da massa $m_2$ que realiza o movimento de descida não consideramos as massas dos clipes, apenas do bloco cilíndrico, das três moedas iniciais e das moedas transferidas.
• 19
  Para o cômputo da massa $m_1$ que realiza o movimento de subida consideramos a massa do bloco cilíndrico, mais as massas das moedas restantes.
• 20
  Acesso ao SciDavis: https://sourceforge.net/projects/scidavis/.
• 21
  Usando a definição do desvio padrão da média [⁵⁰], temos para incerteza da aceleração: $u_a=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^4{\left(a_i-\overline{a}\right)}^2}{4\left(4-1\right)}}$.
• 22
  As expressões para estas incertezas são determinadas a partir da lei de propagação da incerteza [⁵⁰] e a partir das equações das massas, dadas em (3), obtemos respectivamente: $u_{T_1}=\sqrt{g^2{u}_{m_1}^2+a^2{u}_{m_1}^2+m_1^{\text{2}}{u}_g^2+m_1^{\text{2}}{u}_a^2}$ e $u_{T_2}=\sqrt{g^2{u}_{m_2}^2+a^2{u}_{m_2}^2+m_2^{\text{2}}{u}_g^2+m_2^{\text{2}}{u}_a^2}$, sendo $u_{m_1}$ a incerteza da massa $m_1$, $u_{m_2}$ a incerteza da massa $m_2$, $u_g$ a incerteza da aceleração da gravidade e $u_a$ a incerteza da aceleração.
• 23
  A partir da lei de propagação da incerteza [⁵⁰], encontramos para a incerteza da inclinação: $u_{A_t}=\sqrt{{\left(\frac{1}{m_T}\right)}^2{u}_g^2+{\left(\frac{g}{m_T^2}\right)}^2{u}_{m_T}^2}$, sendo $u_g$ a incerteza da aceleração da gravidade e $u_{m_T}$ a incerteza da massa total do sistema.

Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  12 Jan 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  10 Jun 2025
• Revisado
  17 Set 2025
• Aceito
  14 Out 2025