Louis de Broglie e a síntese óptico-mecânica a partir do princípio de Hamilton: Tradução comentada de “Sobre o paralelismo entre a dinâmica do ponto material e a óptica geométrica”**

Louis de Broglie and the optical-mechanical synthesis from Hamilton’s principle: Annotated translation of “On the parallelism between the dynamics of a material point and geometrical optics”

Resumo

O objetivo desta tradução dos artigos de Louis de Broglie de 1926 da língua francesa para a portuguesa é contextualizar, do ponto de vista histórico, a filosofia da física deste cientista. De Broglie é uma síntese do pensamento racional, no sentido da lógica Kantiana, e, ao mesmo tempo, a pura intuição – algo que, para Planck, é fundamental no processo de construção teórica. Sua capacidade analítica produziu imagens reais que se revelaram capazes de dar sentido físico a um universo totalmente abstrato, a mecânica quântica. No ano de 1926, a física estava construindo um novo caminho, estava se “separando” do mundo newtoniano, um mundo “clássico”, onde o tempo era um princípio que unificava o movimento dos corpos. No entanto, era necessário justificá-lo do ponto de vista do observador, que exigia realidade física para a natureza do objeto. Louis de Broglie, assim como Erwin Schrödinger defendiam o determinismo na interpretação da física. Ao contrário, Werner Heisenberg, cuja influência do positivismo e da “escola” de Bohr faziam-no caminhar o caminho da incerteza, propiciou à física uma interpretação a partir da mecânica quântica matricial, que era indeterminista e matematicamente causal.

Palavras-chave:
História da Ciência; Filosofia; Mecânica Quântica; Teoria; Ensino de Física

Abstract

The objective of this translation of Louis de Broglie’s 1926 articles from French to Portuguese is to contextualize, from a historical point of view, the philosophy of physics of this scientist. De Broglie is a synthesis of rational thinking, in the sense of Kantian logic, and at the same time pure intuition – something that, for Planck, is fundamental in the process of theoretical construction. His analytical capacity produced real images that proved capable of giving physical meaning to a totally abstract universe, quantum mechanics. In 1926, physics was building a new way, it was “separating” from the Newtonian world, a “classic” world, where time was a principle that unified the movement of bodies. However, it was necessary to justify it from the observer’s point of view, which required physical reality for the nature of the object. Louis de Broglie, as well as Erwin Schrödinger defended determinism in the interpretation of physics. On the contrary, Werner Heisenberg, whose influence of positivism and Bohr’s “school” made him walk the path of uncertainty, provided physics with an interpretation from matrix quantum mechanics, which was indeterministic and mathematically causal.

Keywords:
History of Science; Philosophy; Quantum Mechanics; Theory; Physics Teaching

1. Introdução

Apresentamos ao público de língua portuguesa duas traduções de artigos publicados por Louis de Broglie em 1926, as quais propomos a este veículo de comunicação científica que sejam publicadas separadamente. São eles os artigos intitulados Sobre o Paralelismo entre a Dinâmica do Ponto Material e a Ótica Geométrica e Os Princípios da Nova Mecânica Ondulatória. Antes da apresentação das traduções, entretanto, consideramos pertinente responder a duas questões fundamentais: I) Por que De Broglie? II) Qual é a relevância destas duas obras no contexto da Física e da Filosofia da Ciência?

Começando pela segunda, salientamos que estas produções surgem em momento de efervescência no diálogo entre os fundadores da Mecânica Quântica que envolve nomes como os de Werner Heisenberg, Max Born e Pascual Jordan (fundadores da mecânica matricial, em 1925), Erwin Schrödinger (reconhecido como o mais importante formulador da mecânica ondulatória, de 1926) e Niels Bohr (formulador do princípio da complementaridade, em 1927). Inclui-se também Paul Dirac, que desenvolveu uma formulação abstrata e unificadora da mecânica quântica, introduzindo também o conceito de transformações canônicas quânticas e Wolfgang Pauli que formulou o princípio da exclusão (fundamental para a estrutura eletrônica) e desenvolveu o formalismo de spin (as chamadas matrizes de Pauli) que descreve a interação do spin de uma partícula com um campo eletromagnético externo.

Louis de Broglie surge neste contexto como um personagem central, já que foi o primeiro a propor, em 1924, uma mecânica, por ele cognominada, ondulatória. Os artigos em epígrafe foram parte de um conjunto de trabalhos que consolidaram sua teoria das ondas de matéria e a sua visão de uma nova mecânica ondulatória. Eles refletem o esforço de De Broglie em estender o paradigma corpuscular clássico para um quadro ondulatório, usando analogias entre ótica e dinâmica¹ [²]. Dessa forma, ele antecipa a proposta de Schrödinger influenciando-o diretamente no desenvolvimento da equação que leva o seu nome e servindo de base para uma mecânica ondulatória que se tornaria central no novo formalismo quântico.

Encontramos aqui novamente um teorema para as “ondas de fase” do elétron, que o Sr. De Broglie tinha deduzido, referindo-se essencialmente à teoria da relatividade, nessas belas pesquisas às quais devo a inspiração para meu trabalho. Vemos que o teorema em questão é de uma maior generalidade, e não surge apenas da teoria da relatividade, mas é válido para qualquer sistema conservativo da mecânica comum [³].

A ideia fundamental de De Broglie é que toda partícula com momento $p\left(mv\right)$ possui uma onda associada de comprimento $\lambda =p$. Essa ligação física entre o corpuscular e o ondulatório foi decisiva para a formulação da mecânica quântica moderna. Sua relevância está em questionar a visão clássica de que matéria e onda são categorias ontologicamente distintas. Isso acaba por mudar o quadro conceitual visto que a proposta de uma mecânica onde partículas têm uma natureza ondulatória antecipa a necessidade de um modelo híbrido que se tornaria a matriz epistemológica da mecânica quântica. Tal procedimento foi essencial para um afastamento das heurísticas da “antiga teoria quântica” abrindo espaço para novas formas de descrição. Essa síntese epistemológica que usa analogias entre ótica geométrica e dinâmica clássica acabou por ser um passo para repensar os conceitos fundamentais de trajetória, amplitude e probabilidade.

Contudo, esse movimento de associar partícula e onda não foi apenas técnico, pois teve consequências filosóficas profundas sobre a natureza do objeto físico. Essa nova perspectiva alimentou debates epistemológicos sobre o que significa descrever um sistema físico: ele deve ser descrito apenas por probabilidades (aos moldes de Born) ou como entidades físicas (ondas e partículas, por exemplo). E isso alimentaria, mais tarde, interpretações alternativas como a teoria de onda piloto (1927) e suas ramificações (interpretação de Bohm, de 1952) que questionam aspectos fundamentais da interpretação padrão.

Mas, quem foi De Broglie e por que ele é tão importante para a Física, Filosofia e História da Ciência? A origem familiar de Louis de Broglie é uma pista essencial para compreender a sua longa, prestigiada e solitária carreira. Nascido em família nobre, todos os filhos da família de De Broglie tinham títulos de príncipes e princesas concedidos pelo imperador austríaco, Francisco I, ao seu trisavô, Victor-François de Broglie (1718–1804) que foi nomeado príncipe do Sacro Império Romano Germânico. O próprio Victor-François também possuía o título de duque, que era hereditário, e que foi conferido ao seu pai, François-Marie de Broglie (1671–1745) pelo rei da França, Luís XV, em 1742. François-Marie, além de ser o primeiro a usar o nome francês De Broglie, foi o primeiro a obter do título de Duque de Broglie. Nesta época, a família Broglie já estava na França há cerca de cem anos. Tratava-se de uma família de origem italiana, os Broglia, que era ramo da família Gribaldi do Piemonte, que remonta ao século XII, e que veio para servir o rei da França no século XVII.

Os De Broglie destacaram-se na França, principalmente, pelo serviço militar. O velho François-Marie de Broglia (Francesco-Maria di Broglia) (1611–1656), Conde de Revel, no Piemonte, foi o primeiro a servir a França. Ele foi um proeminente soldado e comandante na Guerra dos Trinta Anos: “um soldado brilhante e valente, após muitas campanhas, foi morto no cerco de Valence e nomeado postumamente Marechal de França” [⁴]. Victor-François de Broglie, havia derrotado o Duque de Brunswick, que pretendia invadir o Império (Saint Empire Romain Germanique). François-Marie de Broglie (1671–1745), pai de Victor-François, foi o guerreiro mais brilhante da família que se tornou marechal da França dez anos depois do seu pai, Victor-Maurice de Broglie (1647–1734), em 1734. Victor-Maurice, por outro lado, também havia sido nomeado marechal da França já em idade avançada, em 1724, pouco antes de sua morte.

Mas, não foram somente feitos militares que deram destaque à família De Broglie. Eles também foram proeminentes no campo político e científico. No campo político [⁴], destaca-se a atuação de quatro filhos ilustres dos De Broglie. Primeiramente, Charles-Louis-Victor (1756–1793), filho de Victor-François de Broglie, acolheu a Revolução Francesa de 1789 e recusou-se emigrar como o seu pai. “Eleito para a Assembleia Constituinte de 1789, por seus esforços, ele pereceu na guilhotina, um mês antes da queda de Robespierre e do fim do Terror” [⁴]. Teve também Léonce-Victor (1785–1870), filho de Charles-Louis-Victor, que se destacou como uma das figuras mais notáveis de sua dinastia. Embora fosse pouco simpático a Napoleão, opôs-se tanto aos excessos da Restauração dos Bourbons – o Terreur Blanche – quanto à vingança política, defendendo na Alta Câmara o marechal Ney, ainda que sem êxito. Após a Revolução de 1830, aderiu à Monarquia Constitucional de Luís Filipe de Orléans, exercendo repetidas vezes o cargo de ministro e chegando a primeiro-ministro. Mais tarde, recusou qualquer participação no Segundo Império instaurado por Luís Napoleão Bonaparte (Napoleão III). O filho de Léonce-Victor, Charles-Victor Albert (1821–1901), que foi avô de Louis de Broglie, desempenhou um papel importante na política após a queda de Luís Napoleão e foi primeiro-ministro durante a presidência do Marechal MacMahon, além de ter sido embaixador em Londres e ministro do gabinete naquele período inicial da Terceira República, frequentemente chamado de république des ducs. Já Louis-Amédée-Victor-Albert (1846–1904), filho de Charles-Victor Albert e pai de Louis de Broglie, não parece ter deixado um legado comparável ao de seus prestigiosos ascendentes. Após uma estadia de dois anos nos Estados Unidos da América, casou-se com Pauline d’Armaille, neta do Marechal de Ségur, um dos Marechais de Napoleão. Teve cinco filhos: Albertine (vinte anos mais velha que Louis), Maurice, Philippe (que morreu aos 7 anos), Pauline (quatro anos mais velha que Louis, presença especialmente próxima na sua infância) e Louis.

Mas, o que marca no nome De Broglie e que é objeto direto dos nossos interesses é a presença de nomes da família no campo científico, especialmente de Maurice de Broglie e do próprio Louis².

Maurice de Broglie (1875–1960) tornou-se o sexto duque após a morte do pai em 1906. Como aristocrata estava ciente de que o cerne dos seus valores estava na concepção de serviço: militar, religioso, político e diplomático ao Estado. “O mais importante na escolha de uma atividade era sua identificação como um ‘métier du généraliste’, em que a ênfase estava na coordenação e liderança, em vez de na especialização” [⁵]. Ele completou os estudos no Collège Stanislas, onde obteve sólida formação em matemática e ciências. Ingressou na École Navale e tornou-se oficial da Marinha em 1897. Enquanto servia no Mediterrâneo, estudou física, química e astronomia na Faculdade de Ciências de Marselha, em um período marcado pelas descobertas dos raios X, dos raios de urânio e dos elétrons. Formou-se oficialmente em ciências físicas em 1901. A primeira publicação científica de Maurice sobre telegrafia sem fio e ondas elétricas data de 1902 e ele estava pensando seriamente em deixar a marinha e se dedicar inteiramente à Física. Ao saber que Maurice estava pensando renunciar à comissão naval e embarcar para o Laboratório Cavendish, na Inglaterra, seu avô, Charles-Victor Albert, escreveu-o dizendo-lhe que sua juventude podia ser mais bem aproveitada: “Você está sempre pensando em estudos científicos e em encerrar a sua carreira. A ciência é como uma senhora idosa que pode ser cortejada mais tarde e não teme a homenagem de pessoas maduras. As academias não trazem felicidade” [⁶]. Mesmo assim, em 1908, Maurice se demitiu da marinha depois de ter obtido uma grande licença e se casado com Camille Rochetaillée (em 1904) aproveitando a oportunidade para montar um laboratório em sua casa em Paris, na rua Chateaubriand. Ele praticou ciência experimental com raios X e efeito fotoelétrico e, mais tarde, com difração de elétrons com grande distinção. Como físico nuclear experimental tornou-se, no início da década de 1920, mais conhecido na França e no exterior do que o próprio de Louis de Broglie.

Em 1911, Maurice de Broglie participou, por sugestão de Paul Lagevin (1872–1946), do I Congresso Solvay, do qual foi um dos secretários e coeditor do volume dos artigos publicados, bem como das Atas.

Maurice mostrou as provas tipográficas ao seu irmão mais novo. Aqui, Louis leu debates científicos entre físicos franceses cujos nomes ele conhecia – Perrin, Marcel Brillouin, Henri Poincaré e Langevin – e físicos estrangeiros que seu irmão acabara de conhecer – Planck, Einstein, Walther Nernst, Hendrik A. Lorentz, Arnold Sommerfeld [⁵].

Mais tarde, Louis lembrou que o contato com essas discussões o encorajou “a determinar a verdadeira natureza dos misteriosos quanta que Max Planck havia introduzido na física teórica” [⁷]³. Mas, foram os próprios trabalhos de Maurice que impulsionaram Louis de Broglie a adentrar-se no mundo dos quanta.

À época do I Congresso de Solvay, Maurice já estava trabalhando com Lagevin estudando o movimento browniano de partículas de fumaça ionizadas. Utilizando um ultramicroscópio colocado em um campo elétrico conseguia medir a carga elétrica das partículas. Mas, foram suas pesquisas sobre raios X que o projetaram como físico experimental.

Retomando o funcionamento do seu laboratório depois da Primeira Guerra Mundial, Maurice volta a trabalhar com raios X e descobre que a rotação lenta do cristal usado para analisar os raios X reduz significativamente os máximos de interferência espúria, que Henry Moseley chamou de “as horríveis franjas de difração”⁴ causadas por erros naturais de alinhamento no cristal. A nova técnica foi um importante passo e tornou-se indispensável para Rutherford medir, em 1914, o que ele pensava ser o comprimento de ondas dos raios $\gamma$. Mas, Maurice de Broglie fez outras tantas importantes descobertas sobre raios X, incluindo: I) interpretou as bandas de absorção anômalas registradas em uma placa fotográfica para raios X de prata, como se fossem devidas à absorção preferencial dos raios X pela emulsão de haleto de prata; II) identificou as frequências das bordas que forneceram a medição mais direta dos níveis de energia do átomo de Bohr; III) observou que os raios X estimulam os elétrons $\beta$ secundários e reconheceu que isso era a chave para um estudo da transformação de energia na absorção de raios X. Mesmo conhecedor dessas experiências, Maurice de Broglie era cético em relação à afirmação de que a energia dos raios X é sempre absorvida pelos elétrons em múltiplos integrais de $h\nu$.

Quando iniciou a avaliação detalhada da energia dos elétrons em fevereiro de 1921, ele pensou ter encontrado evidências de que os elétrons deixam o átomo com quanta de energia $h\nu$ e, portanto, devem ter absorvido mais do que essa quantidade quantizada dos raios X. Seus estudos sobre os limites de absorção dos raios X e sua compreensão do átomo de Bohr deixaram claro que alguma energia deve ser gasta para remover cada elétron do átomo. Isso parecia uma questão importante a ser esclarecida para apresentação no Terceiro Congresso Solvay, para o qual ele havia sido convidado e que se reuniria em dois meses [⁸].

Com a ajuda do seu irmão mais novo, Louis de Broglie, Maurice demonstrou que a medição da energia cinética dos elétrons liberados fornece diretamente o nível de energia da órbita de Bohr desocupada. Dessa forma, a lei do efeito fotoelétrico dos raios X não pôde ser verificada de forma independente, mas os desvios sistemáticos da relação quântica puderam ser explicados por um apelo à crescente compreensão da estrutura eletrônica do átomo. Maurice iniciou esses estudos com o objetivo de esclarecer o átomo e verificar seus resultados anteriores sobre a absorção de raios X. Segundo ele, o aspecto problemático era que se os raios X são uma onda que se espalha esfericamente a partir de um ponto de produção, não faz sentido que um segmento da frente de onda possa atingir o elétron com tanta energia quanto a onda inicial que produziu o elétron. Em várias ocasiões durante sua apresentação, ele aludiu ao comportamento “notável” do processo de absorção quando a energia dos elétrons secundários é igual à energia de toda a onda esférica de raios X. Sua conclusão foi a de que a radiação “deve ser corpuscular ou, se for ondulatória, sua energia deve estar concentrada em pontos na superfície da onda” [¹⁰].

Impressionado com a correspondência visual entre o espectro de velocidade dos elétrons e os espectros de raios X, Maurice de Broglie começou a enfatizar uma correspondência formal entre o comportamento dos elétrons e das radiações. Em um livro de 1922 sobre raios X, ele escreveu: “Há algo cinético na radiação vibratória e algo periódico nas projeções dos corpúsculos; tudo isso sugere, cada vez mais a cada dia, que a mesma realidade se manifesta, às vezes sob sua face cinética, outras vezes sob sua face ondulatória”. Esta parece ser a primeira sugestão substantiva de uma simetria nos fenômenos de ondas e partículas, tanto para elétrons quanto para radiações [⁵].

Essa foi a inspiração de que Louis de Broglie, irmão mais novo e “assistente” de Maurice, precisava. Isso foi mais tarde reconhecido pelo próprio Louis a Maurice: “A insistência com que você direcionou minha atenção para a importância e a precisão inegável das propriedades duplas de partícula e onda da radiação, pouco a pouco, redirecionou meu pensamento” [¹¹]. Mas, isso não reduz em nada a originalidade da produção intelectual de Louis de Broglie.

Como foi dito, em 1904, os irmãos De Broglie perdem o pai Louis-Amédée-Victor-Albert. Tal ocorrido acaba por transferir a tutoria educacional de Louis de Broglie, o caçula da família, para Maurice de Broglie. Dessa forma, foi decidido que Louis seria enviado para o Lycée Janson de Sailly, uma escola pública, acompanhado do padre Chanet, seu preceptor. Maurice apoiou o plano visto que lá se encontrava o seu antigo professor de física, Léopold Brizard. Ele afirmou, “evitava impor uma direção rígida aos estudos de meu irmão, embora às vezes suas vacilações me causassem alguma preocupação. Ele era bom em francês, história, física, filosofia, indiferente em matemática, química e geografia, ruim em desenho e língua estrangeiras” [⁴]. Louis de Broglie obteve, em 1909 (aos 17 anos), o bacharelado em Filosofia e em Matemática.

Influenciado por seu sobrinho Charles de Luppé, Louis ingressa na universidade para cursar história. Obtém seu diploma, mas segundo Maurice, ele não encontrou ali o que procurava.

Decepcionado com os estudos históricos aos quais se dedicara, em parte sob a influência do seu sobrinho, em parte para evitar uma orientação para as carreiras militar ou diplomática que pareciam então as únicas aceitáveis no seu caso, imerso nas incertezas da filosofia, atraído e talvez desconcertado pela análise crítica que Henri Poincaré fazia dos fundamentos do raciocínio matemático, hesitou e esteve prestes a perder a fé em si mesmo [$\dots$]. Isso é agravado pelo seu fracasso num exame de física geral (que tratava, entre outras coisas, de fenômenos periódicos). Nada parece promissor, será que ele se tornará um fracasso, apesar de todo o seu trabalho? Lá se foi a alegria e o bom humor da sua adolescência! A conversa brilhante da sua infância foi silenciada pela profundidade das suas reflexões [⁴].

Foi justamente a participação na organização do I Congresso de Solvay, juntamente com Maurice, que teria salvado Louis da depressão e lhe dado um novo entusiasmo. O papel desempenhado pela mecânica analítica e os trabalhos de Einstein sobre espaço e tempo tê-lo-iam impressionado bastante, fazendo com que ele se estimulasse para os exames para a Licence, consequentemente adquirindo uma sólida formação em Física.

Mas, chegou a Primeira Guerra Mundial e Louis de Broglie teve que prestar o serviço militar. Entrou na guerra no corpo de engenheiros e foi destacado para o Serviço de Comunicações Sem Fios em Paris. Serviu na unidade de telégrafos sem fios que operava na base da Torre Eiffel durante toda a guerra. “Por cinco anos e meio, durante a guerra, Louis de Broglie vivia no meio de aparelhos que produziam e emitiam ondas, e certamente essa vivência técnica, juntamente com o estudo teórico desses fenômenos, teve grande influência em seu trabalho posterior” [¹²].

Terminada a Primeira Guerra, Louis retorna à ciência trabalhando com seu irmão Maurice nas pesquisas em torno dos raios X e do efeito fotoelétrico, conforme ele mesmo confessou:

Desmobilizado em 1919, retornei aos estudos que havia abandonado, enquanto acompanhava de perto o trabalho desenvolvido por meu irmão em seu laboratório particular com seus jovens colaboradores sobre espectros de raios X e sobre o efeito fotoelétrico. Assim, dei meus primeiros passos na pesquisa, publicando alguns resultados nas áreas estudadas por meu irmão.

Em uma primeira série de publicações, considerei a absorção de raios X, sua interpretação pela Teoria de Bohr e sua relação com o equilíbrio termodinâmico [$\dots$]. Alguns dos raciocínios que utilizei eram questionáveis, mas me levaram a fórmulas que davam uma explicação aceitável dos fatos conhecidos na época. Ao mesmo tempo, tive longas discussões com meu irmão sobre a interpretação das belas experiências que ele realizava com o efeito fotoelétrico e os espectros corpusculares. Publiquei, com ele ou separadamente, uma série de notas sobre a teoria quântica desses fenômenos, que, embora clássica agora, não estava bem estabelecida na época [⁷].

A partir de 1920, Louis de Broglie passou a dedicar-se aos estudos experimentais sobre raios X no laboratório do seu irmão. Paralelamente, aprofundou sua formação teórica ao assistir aos cursos de Paul Langevin, no Collège de France – onde a hipótese dos quanta de luz de Einstein já era discutida – e aos cursos de matemática de Émile Borel. Influenciado pelos trabalhos de Bohr, Sommerfeld e Einstein, De Broglie concluiu ser necessária uma teoria capaz de descrever simultaneamente os aspectos ondulatórios e corpusculares da radiação. Isso fez com que ele revisasse todas as publicações de Einstein sobre a natureza da luz, o que o convenceu, como ao seu irmão, de que era necessária uma teoria sintética que combinasse representações ondulatórias e particuladas, dificuldade que Einstein não havia conseguido resolver. Em novembro de 1921, De Broglie já tinha um esboço de como essa síntese poderia ser alcançada. Segundo ele, uma teoria completa da radiação deveria ser construída de maneira paralela à da hidrodinâmica, na qual leis ondulatórias governam o comportamento macroscópico de um grande número de moléculas de água [¹³]. No final deste mesmo ano, ele aplicou a teoria da relatividade aos átomos de luz para analisar suas propriedades estatísticas sem qualquer intervenção do eletromagnetismo. Considerou os quanta de luz como “átomos de luz” e definiu para eles uma massa usando as relações quânticas e a dinâmica relativista.

Os quanta de luz, “supostamente de massa muito pequena e igual”, movem-se a velocidades que dependem da sua frequência, mas em todos os casos muito próximas de c. A massa efetiva m é a soma da massa devida à energia cinética e a uma massa “própria”, $m_0$. Como $m_0$ para um átomo de luz deve ser “infinitamente pequena”, a aproximação $m=h{\nu }_0/c^2$ será suficiente, mas esta é apenas uma aproximação. Usando-a, de Broglie derivou a lei da radiação de Wien e mostrou, entre outras coisas, que um gás de quanta de luz deveria exercer apenas metade da pressão de radiação esperada usando a teoria corpuscular clássica da luz [⁸].

A conclusão de De Broglie foi a de que quaisquer resultados para átomos de luz deveriam ser aplicados também aos átomos de matéria. Segundo Louis, “de repente, no final do verão de 1923, todas essas ideias pareceram cristalizar em minha mente” [⁷]. Dessa forma, propôs que toda partícula de matéria ou de luz é acompanhada por uma onda, de tal modo que existe um ponto em movimento no espaço no qual a frequência medida por um observador estacionário e aquela medida por um observador solidário à partícula em movimento permanecem constantemente em fase⁵.

Em 1923, publicou três breves notas no Comptes Rendus da Academia de Ciências, nas quais buscava conciliar os quanta, a relatividade e a teoria do elétron. Na primeira, intitulada “Ondes et quanta”, propôs que qualquer partícula teria um fenômeno periódico interno. Na segunda, que é mais conceitual, intitulada “Quanta de lumière, diffraction et interférences”, acrescenta que a velocidade da partícula $v$ é igual à velocidade de grupo da onda, que ele chamava de onda de fase. E a terceira, intitulada “Les quanta, la théorie cinétique des gaz et le principe de Fermat”, ele divide em duas partes: na Parte I, examina o tratamento estatístico de um gás de partículas associado a ondas de fase; na Parte II, demonstra como seu novo postulado dinâmico conduz à unificação do princípio de Maupertuis, da ação mínima, com o princípio de Fermat, do tempo mínimo na óptica. Estes artigos foram submetidos à revista Philosophical Magazine, ainda em 1923, com o título “A tentative theory of light quanta”. No ano seguinte, Louis de Broglie defendeu sua tese de doutorado.

A banca examinadora da tese era formada por quatro cientistas de renome. Três deles eram professores da Sorbonne: Jean Perrin, que receberia o Prêmio Nobel em 1926 “por seu trabalho sobre a estrutura descontínua da matéria”; Charles Mauguin, destacado cristalógrafo; e Élie Cartan, eminente matemático, especialista em geometria riemanniana e na teoria dos grupos contínuos. Apesar do prestígio desses três cientistas, é razoável supor que nenhum deles estivesse plenamente preparado para apreender o alcance intelectual, o brilho e a ousadia da obra de De Broglie. O quarto examinador, Paul Langevin, professor do Collège de France, participou como “examinador convidado”, por não pertencer ao corpo docente da Sorbonne. Era ele o único membro da banca versado tanto na teoria quântica quanto na relatividade.

Mesmo Langevin, a quem de Broglie havia entregado uma cópia de seu manuscrito para avaliação, ao encontrar o filósofo Leon Brunschvicg enquanto carregava o precioso manuscrito debaixo do braço, disse-lhe: “Estou levando comigo a tese do irmãozinho [referindo-se a Maurice de Broglie, com quem Langevin tinha uma relação amigável]. Parece-me rebuscada”. Ele percebeu, no entanto, que Einstein era a pessoa certa para avaliar aquele trabalho e instruiu de Broglie a enviar uma cópia da tese para Berlim. Einstein compreendeu imediatamente a importância das ideias de De Broglie e, em uma carta a Langevin, resumiu sua impressão da seguinte forma: “Ele levantou uma parte do grande véu” (Er hat einen Zipfel des grossen Schleiers gelüftet). Esse reconhecimento agradou e encorajou muito Louis de Broglie. A autoridade de Einstein sustentou a banca examinadora, que parabenizou o candidato por “ter prosseguido com notável maestria um esforço que se fazia necessário para superar as dificuldades em que os físicos se encontravam”. Apesar do tom elogioso, não se trata exatamente de um endosso às ideias do candidato. No volume dedicado à De Broglie em 1953, Charles Mauguin, então o único sobrevivente da banca, admite: “Na época, eu não acreditava na realidade física das ondas associadas aos grãos de matéria”. Quanto a Jean Perrin, pouco depois do exame, disse a Maurice de Broglie, que lhe pedia sua opinião: “Tudo o que posso lhe dizer é que seu irmão é muito inteligente”. Uma lembrança pessoal: O falecido Van de Graaff, inventor do acelerador eletrostático, então estudante, teve a oportunidade de assistir em Paris ao exame público da tese de De Broglie em 1924. Quando, na década de 1960, lhe pedi suas impressões, ele disse: “Nunca tanta coisa passou despercebida por tantas pessoas” [⁴].

Contudo, a afirmação de Abragam (1988) [⁴] segundo a qual “a autoridade de Einstein sustentou a banca examinadora” é demonstrada como não verdadeira por Andrade e Rosa [¹²]. Segundo os autores, “há uma questão de datas, que parece não ter chamado a atenção dos historiadores, que mostra que a defesa e a aprovação da tese se deram antes de Langevin receber a carta de Einstein”. Se Einstein não desempenhou um papel decisivo para a aprovação da tese de De Broglie, certamente, foi através dele que a tese se tornou conhecida fora da França e influenciou Schrödinger a desenvolver a mecânica ondulatória. Em sua teoria do gás ideal, publicada em 1925, Einstein demonstrou que as flutuações associadas à nova estatística Bose-Einstein tinham dois termos distintos que podiam ser interpretados como contribuições de ondas e de partículas [¹⁵].

Sob o impulso dado pelas observações de Einstein, a tese foi então amplamente estudada na Alemanha e em outros países. Em uma carta escrita em 1925, Paul Dirac pediu uma cópia a De Broglie, planejando dar uma palestra sobre o assunto. Mas, como também era de se esperar, o artigo de De Broglie também teve várias objeções, principalmente na Alemanha por um grupo liderado por Heisenberg que integrava Born e Jordan, mas também na Inglaterra pelo próprio Dirac. Estes autores já estavam envolvidos com um outro formalismo completamente diferente para os quanta. Ainda assim, alguém levou as ideias de De Broglie a sério, e este foi Erwin Schrödinger, então professor de Física Teórica em Zurique.

Não iremos abordar aqui as aproximações e distanciamentos da mecânica ondulatória de Schrödinger com a concepção de onda piloto⁶ ou mesmo com a teoria da dupla solução de De Broglie. Isso será feito em um outro artigo. Louis de Broglie participou do V Congresso de Solvay em 1927 e apresentou um trabalho no qual aparecem suas ideias sobre a dupla solução.

Certo é que, em 1925, Louis e Maurice de Broglie são indicados ao Prêmio Nobel de Física pelos trabalhos no campo de raios X e, em 1928, somente Louis foi indicado (por doze indicações separadas) pela fundação da mecânica ondulatória. Em 1929, Louis de Broglie é laureado com Prêmio Nobel de Física⁷. Em seu discurso de recebimento do Prêmio, De Broglie declarou:

[$\dots$] a determinação dos movimentos estáveis dos elétrons no átomo envolve números inteiros, e até agora os únicos fenômenos que envolvem números inteiros em física foram aqueles de interferência e de autovibrações. Isso sugeriu a ideia para mim que elétrons não poderiam ser representados como simples corpúsculos, mas também deveria haver uma periodicidade relacionada com eles. Eu, então, cheguei à seguinte conclusão que guiaram meus estudos: para ambos, matéria e radiação, luz em particular, é necessário introduzir o conceito corpuscular e o conceito ondulatório ao mesmo tempo. Em outras palavras, a existência de corpúsculos acompanhados por ondas tem de ser considerada em todos os casos [¹⁶].

Mas, V Congresso Solvay, de 1927, acabou por consolidar a interpretação da complementaridade, segundo a qual, entre outros aspectos, as descrições ondulatória e corpuscular dos objetos quânticos são mutuamente complementares. Essa interpretação passou a ser conhecida, por influência de Heisenberg⁸ como interpretação de Copenhague da mecânica quântica, sendo defendida sobretudo por Bohr, Heisenberg e Born, e estreitamente associada ao princípio da incerteza. Nesse congresso, De Broglie apresentou uma teoria de “variáveis ocultas” (expressão que não fora utilizada por ele)⁹ segundo a qual partículas como elétrons seriam guiadas por uma onda contínua no espaço, a chamada onda-piloto. Essa abordagem preservava uma descrição da realidade física independente do observador, existente a cada instante, e não apenas no ato da medição. Contudo, a teoria de De Broglie enfrentou objeções significativas, sobretudo por parte de Wolfgang Pauli (1900–1958), que questionou sua capacidade de tratar adequadamente certos processos quânticos, como o espalhamento inelástico, isto é, questionou se a teoria poderia explicar processos quânticos onde há troca discreta de energia (como colisões inelásticas entre partículas), usando uma técnica semiclássica que Enrico Fermi havia proposto antes. Diante dessas dificuldades, De Broglie acabou por abandonar provisoriamente sua proposta, e a interpretação de Copenhague tornou-se dominante no período subsequente.

Louis de Broglie, propôs já em seus artigos publicados entre 1922/23, reproduzindo em sua tese escrita em 1924 e defendida em 25 de novembro de 1924 que a partícula e a onda existiam ao mesmo tempo como entidades físicas reais e distintas, mas, para a partícula material como um elétron, por exemplo, estas duas entidades coexistiam sob uma única forma. Esta ideia não pode ser comparada com a interpretação de Copenhague neste período, pois esta linha interpretativa da mecânica quântica só aparecerá de forma mais intensa em 1927 no Congresso em Como na Itália, servindo como um “ensaio geral” para o V Conselho Solvay [¹⁷], em Bruxelas na Bélgica, cujo tema central seria sobre elétrons e fótons. Obviamente que estes congressos podem ser considerados dois dos mais importantes dentre os demais congressos de físicos, ele concentrará seus esforços na interpretação da Mecânica Quântica e as figuras de Einstein e Bohr serão as protagonistas dos debates sobre essas novas concepções, embora Einstein fosse a grande ausência em Como, na Itália. Louis de Broglie, ao longo de toda a sua vida de produção científica será relutante em adotar a interpretação liderada por Bohr, ou onda ou partícula e ao se deparar com a interpretação causal de Bohm o fará retornar à sua teoria da “dupla solução”, que de fato era uma teoria de síntese, onde a partícula material apresentava as propriedades de onda e de partícula no mesmo estado espaço-temporal. Essa síntese foi construída considerando que os princípios de Maupertuis e Fermat poderiam ser unificados em uma teoria físico-matemático. Para melhor compreender qual foi a atitude de De Broglie até seu contato com os trabalhos de Bohm/Vigier, é necessária uma análise histórica entre 1930 e 1952, considerando tanto as fontes primárias como as fontes secundárias.

Importa, entretanto, distinguir esse desenvolvimento teórico da confirmação experimental da hipótese ondulatória da matéria. Ainda em 1927, o experimento de Davisson e Germer, realizado nos Laboratórios Bell, confirmou a previsão de De Broglie relativa à difração de elétrons, estabelecendo empiricamente a manifestação ondulatória associada às partículas materiais. Tal resultado, contudo, não decide entre diferentes interpretações da mecânica quântica, uma vez que tanto a interpretação de Copenhague quanto a teoria da onda-piloto (posteriormente desenvolvida por David Bohm, em 1952) são capazes de reproduzir as mesmas previsões experimentais.

Desse modo, embora o experimento tenha corroborado uma hipótese central de De Broglie, ele não fornece base empírica para privilegiar uma interpretação específica da teoria quântica, devendo a predominância histórica da interpretação de Copenhague ser compreendida à luz de fatores teóricos e contextuais mais amplos. Ainda assim, De Broglie permaneceu, por muitos anos, alinhado à interpretação dominante, como ele próprio relatou posteriormente.

Após meu retorno a Paris, refleti novamente sobre todo o problema [$\dots$]. Uma objeção à teoria da “onda piloto” parecia-me insuperável: nessa teoria, a partícula era guiada por uma onda contínua cujo significado era puramente probabilístico e não representava nada além do estado do nosso conhecimento. Assim, essa teoria não podia, de fato, fornecer uma representação concreta do movimento da partícula em consonância real com as ideias da física clássica. Quanto à minha concepção original da solução dupla, ela parecia escapar dessas objeções, mas levantava dificuldades matemáticas que eu me sentia incapaz de resolver. Desanimado, abandonei completamente minhas tentativas de obter uma interpretação determinística da mecânica ondulatória e aderi inteiramente às concepções de Bohr e Heisenberg. No outono de 1928, em um curso ministrado na Faculdade de Ciências de Paris, dediquei minha primeira aula a uma descrição das teorias de Bohr e Heisenberg e a demonstrar porque minha própria teoria da onda piloto era inadequada. Desde então, aderi constantemente à interpretação probabilística da Mecânica Ondulatória, ensinando-a em minhas aulas e, em palestras populares, procurando divulgar sua natureza e originalidade, sem jamais aceitar, contudo, as consequências filosóficas um tanto precipitadas que às vezes dela derivam [⁷].

De Broglie, tal como Schrödinger, no debate com os teóricos de Göttingen-Copenhague, acabou por ceder e se viu obrigado a ensinar de acordo com a cartilha dos partidários de Bohr. Sua fidelidade à interpretação probabilística da mecânica ondulatória foi delongada estendendo-se de 1928 a 1951¹⁰.

Em 1952, em um artigo intitulado A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of “Hidden Variables”, Bohm ressuscitou a teoria das variáveis ocultas e redescobriu, sem querer – pois ele não tinha conhecimento desses trabalhos, a ideia não publicada de De Broglie sobre a “onda piloto”. O artigo foi dividido em duas partes, sendo que a primeira delas correspondia praticamente à teoria de De Broglie.

O ano de 1951 me reservou uma surpresa. Um jovem teórico americano, o Sr. David Bohm, gentilmente me comunicou seu artigo (a ser publicado na Physical Review em janeiro de 1952). Nele, ele retoma integralmente minha teoria da onda piloto, desenvolvida por mim em 1927 na Conferência Solvay, da qual, ao que parece, ele desconhecia, mas acrescenta observações interessantes e, em particular, observações que refutam certas objeções que me foram feitas pelo Sr. Pauli em Bruxelas, em 1927 [⁷].

Somente ao enviar a versão preliminar para Pauli é que Bohm ficou sabendo das críticas que foram dirigidas por ele ao trabalho de De Broglie em 1927. A questão da prioridade, entretanto, estava instaurada, pois De Broglie, em comunicado à Academia de Ciências, fez lembrar dos seus antigos trabalhos. “Minha primeira reação foi recordar, em uma nota, minha inquestionável prioridade sobre elas, bem como as dificuldades que me levaram a abandonar essa teoria na forma exposta na Conferência Solvay” [⁷].

Em carta a Pauli, Bohm, segundo Freire Jr. [²³], trata da questão da seguinte maneira:

Se um homem encontra um diamante, e em seguida abandona-o, porque ele concluiu, erroneamente, que se tratava de uma pedra sem valor, e se esta mesma pedra é encontrada mais tarde por um outro homem que reconhece seu verdadeiro valor, você não diria que a pedra pertence ao segundo homem? Eu penso que o mesmo raciocínio se aplica à interpretação da física quântica [²³].

Mas, a disputa não se fez presente porque, quando os artigos foram publicados, Bohm reconheceu a anterioridade de De Broglie. Tanto as objeções de Pauli à teoria de De Broglie, quanto as objeções de von Neumann à existência de objetos comuns e, portanto, ao realismo e ao determinismo, foram resolvidas por Bohm na sua descrição de variáveis ocultas (nesse caso, a posição e a velocidade das partículas), bem como na descrição das variáveis ocultas do próprio aparelho de medição.

Conforme se viu, a vida de Louis de Broglie foi um processo de efervescência intelectual que perdurou até os seus últimos dias. Mesmo não tendo encontrado uma saída matemática para resgatar o determinismo e a causalidade abandonados pela interpretação probabilística de Max Born e, em virtude disso, ser obrigado a ensinar uma interpretação probabilística por quase 25 anos, ainda assim, ele nunca abandonou a busca por uma interpretação causal da mecânica ondulatória. Os trabalhos de David Bohm, bem como de J. P. Vigier, serviram-lhe como novo ânimo ao retorno do seu programa inicial. Após essa retomada, passou a exercer uma crítica severa à interpretação probabilística e, paralelamente, expôs suas novas concepções em cerca de doze livros e mais de sessenta artigos. Nesse conjunto de trabalhos, destacam-se duas ideias centrais: a primeira consiste em conceber a partícula como um pacote de ondas não deformável, regido por uma equação de propagação não linear – conceito que Georges Lochak [²⁴] viria mais tarde a associar aos sólitons; a segunda diz respeito a uma termodinâmica da partícula isolada, na qual de Broglie buscou estabelecer uma analogia entre três princípios fundamentais da física: os de Fermat, Maupertuis e Carnot.

O artigo que ora apresentamos à comunidade acadêmica, intitulado Sobre o Paralelismo entre a Dinâmica do Ponto Material e a Ótica Geométrica (Le Journal de Physique et le Radium, 1926) [¹] representa um momento crucial na evolução do pensamento de Louis de Broglie, no qual ele consolida e generaliza a analogia profunda entre mecânica e óptica, germe de sua concepção ondulatória da matéria. Partindo do princípio de mínima ação de Maupertuis e do princípio de Fermat, De Broglie estabelece um isomorfismo formal entre as trajetórias dinâmicas de uma partícula e os raios luminosos em um meio com índice de refração variável. Este paralelismo não é apenas formal. Ele fornece a base conceitual para a “ótica das trajetórias” ou “ótica hamiltoniana” da matéria, onde a frequência e a fase da onda piloto (associada à partícula) guiam seu movimento através de uma lei de direção, plenamente desenvolvida na interpretação da mecânica ondulatória e, posteriormente, na teoria da dupla solução. O trabalho é, portanto, a pedra angular que liga sua hipótese pioneira de 1923–1924 $\left(\lambda =h/p\right)$ a um programa de pesquisa mais amplo, buscando uma teoria causal e determinista subjacente à mecânica quântica, influenciando diretamente Schrödinger e permanecendo central para as interpretações realistas não locais da física quântica.

A tradução que ora apresentamos constitui uma peça fundamental tanto para a história da física quanto para a epistemologia da ciência. Ele não apenas oferece a primeira tradução para o português de dois artigos seminais de Louis de Broglie – Sobre o Paralelismo entre a Dinâmica do Ponto Material e a Ótica Geométrica e Os Princípios da Nova Mecânica Ondulatória – como também o contextualiza com um estudo biográfico e historiográfico importante para a própria compreensão do autor. Pretendíamos aqui traçar a gênese da ideia revolucionária da onda de matéria, situando-a no ambiente intelectual da família De Broglie, nos debates do início do século XX e na própria luta do autor por uma interpretação causal da mecânica quântica, cujo legado ressurgiria décadas mais tarde. Ao recuperar o percurso intelectual de De Broglie, suas motivações, seus sucessos e seus recuos temporários, intentávamos iluminar as complexas relações entre teoria, experimento e filosofia que moldaram uma das mais profundas revoluções do pensamento científico. Convidamos o leitor, portanto, a uma leitura atenta e reflexiva, na certeza de que aqui é oferecido um olhar privilegiado e necessário sobre um dos momentos capitais da física moderna e sobre a mente do cientista que ousou pensar a matéria como onda.

No âmbito do ensino de física, a oferta de traduções acompanhadas de comentários críticos e introduções históricas revela a estudantes, docentes e pesquisadores uma rica perspectiva sobre a epistemologia da construção científica. Essa abordagem evidencia como argumentos fundamentados em premissas filosóficas podem redefinir profundamente as bases da ciência. Um exemplo claro disso reside na própria gênese da mecânica ondulatória, em que Louis de Broglie apropriou-se de dois pilares da física: o princípio de Fermat (do menor tempo óptico) e o princípio da mínima ação mecânica (ou de Maupertuis). O que teria levado De Broglie a acreditar na convergência desses dois princípios para fundamentar uma teoria unificada do movimento mecânico? Ao reconstruir o itinerário científico do físico francês, Santos [²⁵] realiza uma análise histórica comparativa que envolve, na verdade, três pilares: os princípios de Fermat, Maupertuis e Carnot. Seu objetivo, ao investigar as principais obras de De Broglie sobre a teoria da dupla solução, foi compreender como essas ideias amadureceram rumo a uma interpretação causal para a mecânica ondulatória. Em contrapartida, a análise histórico-crítica de Martins e Silva [²⁶] acerca do “princípio de mínima ação óptica” pondera que tal proposta carecia de sólida fundamentação teórica, uma vez que fenômenos como a reflexão e a refração da luz não se submetem, rigidamente, a um princípio geral de ação mínima.

As contestações de d’Alembert e Patricky d’Arcy às teses de Maupertuis ilustram um embate teórico cujo resgate é valioso para o ensino de física. Sob essa perspectiva, uma abordagem histórico-crítica proporciona a estudantes, docentes e pesquisadores uma compreensão epistemológica mais profunda, retratando a ciência como uma construção dinâmica e moldada por controvérsias. Desse modo, a História da Ciência consolida-se como um recurso indispensável para a análise social e contextualizada do conhecimento.

Há uma antiga compreensão de que a física natural se move sob o signo da menor resistência, escolhendo caminhos simples e rechaçando a inutilidade. Essa noção fundamenta-se na máxima aristotélica de que a natureza não opera em vão [²⁷]. Mais tarde absorvido pelo pensamento escolástico – notadamente em Tomás de Aquino, Suárez e na tradição jesuíta de Coimbra, esse mesmo princípio de simplicidade já ecoava em investigações científicas da Antiguidade, como nos modelos de menor percurso óptico formulados por Heron de Alexandria e Ptolomeu.

Frequentemente, análises excessivamente simplificadas que negligenciam o exame das fontes primárias induzem a equívocos elementares, o que compromete o ensino e a aprendizagem da ciência. Um exemplo disso é apontado por Moreira [²⁸] ao traduzir um ensaio de Maupertuis de 1744; o autor observa que o princípio de mínima ação foi originalmente proposto para explicar a refração da luz, e não para fundamentar fenômenos mecânicos. Uma ilustração adicional desse problema historiográfico encontra-se nos trabalhos de Rosa [²⁹] e Martins e Rosa [¹²] sobre a dualidade onda-partícula na radiação e na matéria. Historicamente, convencionou-se creditar a Einstein a consolidação desse aspecto no período formativo da física quântica. Contudo, uma investigação aprofundada nos textos originais de Einstein e De Broglie desconstrói essa narrativa. Ficou demonstrado que a obra de De Broglie não se limitou a uma mera expansão das ideias einsteinianas; ao contrário, coube ao físico francês a primazia de formular a síntese onda-partícula para a matéria e, a partir dela, unificar a descrição da luz.

A conexão entre os princípios de Fermat e Maupertuis é estabelecida por Louis de Broglie a partir do formalismo de Hamilton, caminho que o conduziu à dedução de sua célebre equação de onda de matéria $\left(\lambda =\frac{h}{p}\right)$. Ao empregar o princípio variacional hamiltoniano e o conceito de quadrivetor covariante, De Broglie demonstrou a equivalência entre sua nova proposta teórica e a equação de Planck $\left(E=h\nu \right)$ [¹²]. A síntese desses dois princípios de mínima ação – o óptico e o mecânico – constitui o “elo perdido” que viabilizou a transição da física clássica para a física quântica. Sob essa perspectiva, a equação de Schrödinger não surge de maneira isolada: ela representa a realização matemática direta da analogia óptico-mecânica resgatada por De Broglie, cuja origem remonta aos trabalhos de William Rowan Hamilton no século XIX.

Antes de De Broglie, Hamilton percebeu que as equações que descreviam o movimento de uma partícula na mecânica clássica e as equações que descreviam a propagação da luz na óptica geométrica eram matematicamente idênticas. Assim, na Óptica Geométrica, a luz viaja de um ponto a outro seguindo a trajetória de menor tempo. Esse é o princípio de Fermat, que pode ser escrito matematicamente como a minimização do caminho óptico: $\delta \int n\mathit{d}s=0$, onde, $n$ é o índice de refração e $ds$ é o elemento de caminho. Na Mecânica Clássica, uma partícula se move de um ponto a outro minimizando a ação, que é o princípio de Maupertuis ou de mínima ação: $\delta \int p\mathit{d}q=0$, onde $p$ é o momento linear e $dq$ é a coordenada de posição. Hamilton notou que se definirmos o “índice de refração” $n$ de um meio imaginário como sendo proporcional ao momento $p$ da partícula, que depende da energia e do potencial, $p=\sqrt{2m\left(E-V\right)}$, as trajetórias das partículas mecânicas comportam-se exatamente como raios de luz.

O salto conceitual dado por Louis de Broglie foi que, ao invés de Hamilton que via nisso apenas uma curiosidade matemática útil, fazer analogia com a realidade física profunda. De Broglie concebeu a óptica geométrica (de raios) como um caso limite de uma teoria mais completa, a óptica ondulatória (que envolve ondas, interferência e difração). Se a Mecânica Clássica de partículas é idêntica à óptica geométrica, então a mecânica clássica deve ser apenas o caso limite de uma “mecânica ondulatória” mais profunda.

Para que essa analogia física funcionasse, a partícula precisaria estar associada a uma onda de matéria. De Broglie postulou que o momento da partícula $p$ e o comprimento de onda dessa onda associada $\lambda$ estariam relacionados pela famosa equação: $\lambda =\frac{h}{p}$. Em 1925, ao ler a tese de De Broglie, o físico Peter Debye fez um comentário crucial a Erwin Schrödinger: “Se existe uma onda associada à matéria, deve haver uma equação de onda para descrevê-la”. Ao aceitar o desafio para encontrar essa onda, Schrödinger tomou a analogia óptico-mecânica de Hamilton e De Broglie e deu o passo matemático que faltava, deduzindo a equação abaixo.

(1) $$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\psi +V\psi =E\psi$$

Schrödinger partiu da equação de onda clássica para a luz/vibrações:

(2) $${\nabla }^2\psi -\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=0,$$

substituindo a velocidade da onda por $v$, ele utilizou a relação de De Broglie ($\lambda =h/p$) e a energia da partícula ($E=T+V$). O resultado dessa substituição direta da “onda de De Broglie” na equação de propagação de ondas foi a dedução de uma equação independente do tempo. Portanto, a equação de Schrödinger é a generalização matemática do princípio de ação mínima. Assim como a óptica física se reduz à óptica geométrica (Fermat) quando o comprimento de onda é muito pequeno, a equação de Schrödinger (mecânica ondulatória) se reduz às leis de Newton/Maupertuis (mecânica clássica) quando a constante de Planck $h$ tende a zero.

O ensino da física quântica impõe desafios significativos tanto na educação básica quanto no ensino superior. Por um lado, exige-se do docente um domínio aprofundado e rigoroso acerca do desenvolvimento histórico desse modelo que explica o universo microscópico; por outro, a mera aplicação de um formalismo matemático abstrato costuma mostrar-se ineficaz. Diante desse impasse, de que maneira os professores podem proceder? Conforme aponta Souza [³⁰], a mecânica quântica é complexa sob os aspectos formal e conceitual, e as próprias licenciaturas, que deveriam desmistificar essa percepção, frequentemente a reforçam. Isso ocorre devido a abordagens excessivamente instrumentais, focadas em cálculos e desprovidas de reflexões conceituais, o que distancia o formalismo das interpretações físicas e dos resultados experimentais. Para contornar essa barreira, caminhos metodológicos alternativos fazem-se necessários. Uma proposta promissora consiste no estudo inicial de fontes secundárias dotadas de rigor historiográfico. Essa prática permite que os alunos acompanhem o trabalho do historiador sobre as fontes primárias e se sintam estimulados a conduzir suas próprias investigações nos textos originais, estreitando o vínculo entre o estudante e a evolução teórica da física.

2. Filosofia e História da Ciência – traduções científicas e o ensino da Física

A integração da História e Filosofia da Ciência (HFC) favorece o ensino e a aprendizagem da Física na Educação Básica e no Ensino Superior [³¹]. Contudo, a escassez de materiais didáticos adequados ainda limita sua aplicação em sala de aula. Diante desse cenário, as traduções de artigos fundamentais de cientistas que contribuíram de forma decisiva para o avanço da compreensão teórica e experimental da física, bem como de outras áreas da ciência, pode ser um aspecto interessante de ferramenta pedagógica na apreensão dos novos conceitos. A perspectiva histórico-filosófica no ensino de Ciências da Natureza atua de forma crucial ao oferecer a professores e estudantes elementos que situam a construção do conhecimento científico [³², ³³] em seu contexto sociocultural.

As publicações sobre o uso de HFC no ensino de Física, mostram que há um crescimento nas pesquisas voltadas ao ensino de física e de ciências na Educação Básica, além de maior diversificação dos recursos didáticos e dos tópicos científicos abordados, embora o uso de textos continue predominante [³⁴].

Neste sentido, quando especialistas [³⁵, ³⁶] se debruçam em transpor para um determinado idioma artigos científicos e livros de cientistas, de historiadores e filósofos da ciência, a pergunta inevitável é: como estas traduções podem ser consideradas úteis e aplicáveis no ensino de ciências da natureza? Qual seria a relevância de se traduzir o artigo original publicado por Einstein em 1905, cujo título é Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heristischen Gesichtspunkt (“Sobre um ponto de vista heurístico relativo à produção e transformação da luz”), por exemplo? [³⁷].

Em primeiro lugar, a língua alemã não é de fácil apreensão, e uma tradução direta do alemão, sem passar pelo duplo filtro interpretativo, evitando o whiggismo, conforme será expresso, seria muito eficaz do ponto de vista das relações conceituais, propostas pelo físico alemão, quando da sua tradução para o português, sem passar por idiomas intermediários, como é o caso do inglês ou espanhol, por exemplo. A historiografia da ciência mostra que a física alemã do início do século XX era profundamente influenciada pelo idealismo, pelo neokantismo e pela filosofia da natureza (Naturphilosophie). Traduções inglesas de meados do século XX (especialmente do período pós-Segunda Guerra) tendiam a excluir do texto, conotações filosóficas para adequá-lo à tradição empirista/pragmática anglo-americana. Fazer a tradução direta para o português permite resgatar essa dimensão filosófica que o filtro anglófono apagou. Einstein escrevia em alemão em 1916, e quando estava utilizando suas experiências de pensamento (Gedankenexperimenten) tendia a se apropriar das influências filosóficas alemãs do período. As traduções intermediárias consolidadas em inglês ou espanhol tendem a padronizar a linguagem, aplicando o jargão científico moderno (uma atitude whig). A tradução direta do alemão permite capturar a oscilação do vocabulário do autor, mostrando como os conceitos ainda estavam em disputa e formação.

Em segundo lugar, a carga de trabalho de quase a totalidade dos professores que atuam na Educação Básica não permite ter o tempo de se debruçar sobre publicações originais. Dessa forma, consideramos que o professor deva ter em mãos traduções que apresentem qualidade.

Ao investigar fontes primárias na disciplina de História e Teoria da Ciência, professores de graduação em Física preparam os estudantes nos campos epistemológico e ontológico. Essa abordagem capacita os futuros docentes a analisar controvérsias com fundamentação histórica durante os debates em sala de aula. Nesse contexto, a tradução de obras científicas relevantes com alto padrão de qualidade permite potencializar e aprofundar as discussões em sala de aula.

Os pesquisadores que trabalham de forma minuciosa com as fontes primárias contribuem para que, no processo de transposição didática, a compreensão da evolução de um determinado conceito seja consolidada cognitivamente durante a aprendizagem. Um exemplo do que afirmamos encontra-se em Robert Marc Friedman, do Institute for Archaeology Conservation and History University of Oslo, que publicou um artigo sobre o centenário do Prêmio Nobel atribuído a Einstein pela Academia Real das Ciências da Suécia (Kungliga Vetenskapsakademien) [³⁸]. Poderíamos perguntar, qual seria a relação do ponto de vista da história da ciência entre o artigo publicado por Einstein em 1905, que lhe valeu o prêmio Nobel de 1922, e o artigo comemorativo publicado em 2022, por Friedman?

Segundo Friedman [³⁸].

À medida que se aproxima o centenário da concessão do Prêmio Nobel a Albert Einstein, persistem questões sobre a motivação do prêmio e a ausência de qualquer menção específica à sua teoria da relatividade. Ao revisitar e complementar estudos acadêmicos anteriores, demonstra-se que “Einstein não recebeu – como frequentemente se afirmam – um prêmio por sua teoria do efeito fotoelétrico, e que o erro de compreensão do membro do comitê Allvar Gullstrand sobre a relatividade não foi a causa da rejeição dessa conquista, que contava com fortes indicações”. Pelo contrário, em suas avaliações da relatividade, “Svante Arrhenius (1920) e Gullstrand (1921 e 1922) demonstraram parcialidade, se não preconceito, ao realizar a tarefa; eles incorporaram argumentos da oposição – motivada por questões políticas e raciais – de físicos experimentais ultranacionalistas alemães a Einstein e às suas teorias da relatividade e da gravitação. Somente quando Carl Wilhelm Oseen integrou o comitê, em 1922, é que ele indicou, avaliou e propôs a concessão do prêmio pela descoberta da lei do efeito fotoelétrico”. A redação precisa e o silêncio deliberado sobre a derivação teórica quântica da lei, feita por Einstein, devem-se à compreensão perspicaz de Oseen quanto aos desafios envolvidos em qualquer tentativa de conceder o Prêmio Nobel tanto a Einstein quanto a Niels Bohr [³⁸].

Obviamente que as questões que envolvem a escrita do texto acima requerem cautela, pois, é preciso entender qual era o contexto histórico do período. A Europa havia exaurido todas as suas energias durante a primeira guerra mundial e as questões políticas neste período de 4 anos não isentavam os cientistas da escolha de lados a que pertencer. Einstein, de origem judia, pode, de fato, ter sofrido o preconceito político e racial.

Ao se retomar a importância das fontes primárias no intuito de investigar o que estava por trás do episódio descrito por Friedman [³⁸], poderíamos discutir sobre quem eram os opositores de Einstein na sociedade científica alemã no período. Sabemos que Einstein teve dissabores com Stark, que criticou o uso da identidade $h\nu =m{c}^2$, mas que serviu, posteriormente, de ponto de partida para a mecânica ondulatória do quantum de Louis de Broglie [¹²]. Stark e Lenard fundaram o movimento “Deutsche Physik” (“Física Alemã”), um movimento reacionário que defendia que a física deveria ser feita pelos alemães. Eles rejeitavam a Relatividade e a Física Quântica apelidando-as pejorativamente de “Jüdische Physik” (“Física Judaica”), argumentando que a verdadeira física deveria ser puramente experimental, intuitiva e conduzida por arianos [³⁹, ⁴⁰].

Contudo, uma leitura mais crítica, exigida pela historiografia da ciência, considera mais relevante o artigo publicado por Einstein em 1907 (Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme – A teoria da radiação de Planck e a teoria do calor específico) [⁴¹]¹¹. Einstein, ao utilizar a hipótese de Planck da radiação do corpo negro, explicou a lei empírica de Dulong-Petit de 1819 [⁴³] do comportamento térmico dos corpos materiais sólidos [⁴⁴]¹², que tem implicações diretas na evolução teórica da mecânica quântica. Este trabalho chamou a atenção da comunidade científica à época, levando Einstein a proferir uma série de palestras em 1909 e servindo de motivação para a realização do primeiro Conselho Solvay em 1911. Laranjeiras [⁴⁵] em sua defesa de doutorado evidenciou como Ludwig Boltzmann demonstrou analiticamente, pela primeira vez, a lei do comportamento térmico dos corpos materiais, a lei dos calores específicos dos sólidos. Em Rosa [⁴⁶], apresentou-se a importância da análise das fontes primárias, inicialmente com a crítica de Boltzmann [⁴⁷] a um teorema mecânico de Poincaré [⁴⁸], e deste, em 1912, sobre o teorema da equipartição de energia de Boltzmann. Uma síntese sobre a lei de Dulong-Petit e a prova teórica de Boltzmann pode ser localizada em Rosa, de Souza [⁴⁹].

Em Rosa, de Souza [⁵⁰], examinamos o debate entre Boissoudy e Bauer a respeito da teoria do calor específico dos sólidos proposta por Einstein [⁴¹] e seus desdobramentos na publicação do artigo de Poincaré [⁴⁸]. Para tanto, articulou-se a simulação computacional do modelo de Debye [⁵¹] à análise epistemológica dessa controvérsia científica como recurso pedagógico. O artigo clássico de Debye (Zur Theorie der spezifischen Wärmen – Sobre a teoria dos calores específicos), constituiu um marco historiográfico para a evolução da física, mas ainda não há tradução para o português. Pode-se encontrar a tradução deste artigo para o inglês em The Collected Papers of Peter J. W. Debye [⁵²].

A construção científica, como qualquer outra atividade humana, não está isenta de debates e controvérsias, é um processo natural. A produção intelectual individual, seja nas artes, na filosofia ou nas ciências, expressa, no próprio processo de criação, uma determinada compreensão de mundo. Em algum momento, porém, o indivíduo e suas criações podem ter “sofrido” as consequências das escolhas que orientaram esse processo. Daí a importância de recorrer às fontes primárias, buscando identificar quando e onde tais escolhas foram feitas, quais razões as motivaram e quais consequências delas decorreram.

Há outros trabalhos de igual importância que discutem a necessidade das traduções em História e Filosofia da Ciência e sua aplicação no ensino das ciências. A própria Revista Brasileira de Ensino de Física tem dedicado um amplo espaço para estas publicações, que servem de subsídios no trabalho de formação docente e discente. Podemos citar: 1) Kirchhoff e os primórdios da espectroscopia: contextualização e tradução comentada de seu artigo de 1859 sobre o problema das Linhas de Fraunhofer [⁵³]; 2) Antes do rastro, a câmara: tradução e análise do artigo de Wilson sobre seu Aparelho de Expansão [⁵⁴]; 3) “Max Planck e os Primórdios da Teoria Quântica” por Martin J. Klein – tradução e introdução [⁵⁵]; 4) “A Termodinâmica Oculta das Partículas” de Louis de Broglie [⁵⁶].

Esses quatro trabalhos que envolvem a tradução de artigos científicos, com comentários críticos, são importantes e, podem ser utilizados pelos docentes para contextualizar como a ciência é construída dentro do escopo das dificuldades da própria natureza empírica e teórica. Particularmente, Laranjeiras [⁵⁵] e Lima [⁵⁶], que tratam da história da teoria quântica estão intimamente relacionados à tradução dos trabalhos de Louis de Broglie de 1926, proposta neste artigo. Sabemos da forte influência sofrida pelo físico francês das ideias científicas de Albert Einstein Rosa [²⁹]; Martins e Rosa [¹²].

Outra publicação bastante relevante para a historiografia do pensamento crítico é a tradução do artigo de Einstein intitulada Indução e Dedução na Física e publicada no livro, Einstein e a busca pela unidade do real Silva [⁵⁷].

Mas, além das traduções estarem disponíveis a partir das revistas científicas de divulgação, eliminando as barreiras do idioma, elas não devem ser uma tradução literal meramente técnica. Elas precisam ser uma tradução comentada que procure adaptar a terminologia da época aos leitores atuais sem trair seu significado histórico, evitando o que se conhece na literatura da História da Ciência como whiggismo (ou historiografia whig), que é uma abordagem da história que interpreta o passado como uma marcha linear e inevitável em direção ao progresso, à liberdade e à iluminação do presente. A tradução comentada criticamente, permite o contato direto dos professores e estudantes com o texto do cientista, sem a barreira do idioma, possibilitando que se estabeleça um diálogo dialógico entre o passado histórico e a compreensão presente.

Mas, será que realmente uma tradução comentada recupera de fato o contexto das discussões epistemológicas da produção científica em relação ao contexto sociocultural de um determinado período? Os artigos e livros publicados pelos cientistas (fontes primárias) e as análises críticas de filósofos e historiadores da ciência em uma determinada época são tentativas de aproximar a tradução comentada como uso pedagógico de compreensão da evolução do pensamento científico. Porém, há ainda a análise das cartas trocadas pelos cientistas e a transmissão oral da informação. Por exemplo, a discussão travada (fonte secundária) sobre a influência de Einstein na aceitação da Tese de Louis de Broglie mostra que somente a tradução do artigo original seria insuficiente para explicar como a formulação teórica de Louis de Broglie passou a ser fundamental para os debates sobre a interpretação da mecânica quântica, em uma fase decisiva, 1927.

Há outros elementos importantes que devem ser considerados quando da utilização pedagógica das traduções; as origens e evolução de uma teoria científica. Em Silva Filho, Simon e Ferreira (2026) [⁵⁸], discute-se os estágios iniciais de desenvolvimento de uma teoria física. Os autores evidenciam que uma determinada teoria pode apresentar, inicialmente, muitos conceitos e construções que seriam desnecessários para sua interpretação, ou que poderiam ser simplesmente ambíguos, porém, à medida que a teoria se consolida com os debates realizados pela comunidade de físicos, espera-se que ela passe por um processo de depuração que elimine muitas das ambiguidades e introduza outros conceitos não concebidos inicialmente. Esta linha de raciocínio é importante, mas não elimina a necessidade de depuração constante, haja vista que o debate sobre a interpretação da mecânica quântica (determinista ou indeterminista) continua vivo quase 100 anos depois das conferências de Como, na Itália e de Bruxelas, na Bélgica.

Concluindo: embora reconheçamos que a tradução de fontes primárias, isoladamente, não constitua um ato neutro de mera transmissão verbal, nem garanta o acesso ilimitado aos sentidos originais do texto em seu contexto de produção, devemos observar que toda tradução implica escolhas interpretativas que atua como uma camada de mediação historiográfica. Distante de diminuir o valor didático da fonte, essa complexidade exige que a transposição didática de textos históricos para o ensino seja acompanhada de um aparato crítico: notas explicativas, justificativas terminológicas e contextualização, transformando as próprias escolhas da tradução em um recurso pedagógico para discutir a evolução dos conceitos e a natureza do conhecimento científico.

Por fim, citemos o prefácio do livro do Einstein de 1916, A Teoria da Relatividade Especial e Geral – Über die spezielle und die Allgemeine Relativitätsheorie, onde o autor descreve como irá apresentar as suas teorias aos estudantes com conhecimento mínimo do ensino médio.

Este livro pretende dar uma ideia, a mais exata possível, da Teoria da Relatividade àqueles que, de um ponto de vista geral científico e filosófico, se interessam pela teoria, mas não dominam o aparato matemático da física teórica. A leitura pressupõe que o leitor tenha formação equivalente à do ensino médio e apesar da brevidade do livro paciência e força de vontade¹³. O autor não poupou esforços para apresentar as ideias principais de maneira particularmente clara e simples, respeitando, em geral, a sequência e o contexto em que elas surgiram na realidade. No interesse da clareza, foi inevitável repetir-me muitas vezes, sem preocupação com a elegância da apresentação; pautei-me, escrupulosamente, pela norma do genial físico teórico Ludwig Boltzmann, que deixava as questões de elegância a cargo de alfaiates e sapateiros. Julgo não haver ocultado ao leitor as dificuldades inerentes ao assunto. Já os fundamentos físicos empíricos da teoria, conscientemente tratei-os com certa negligência, para evitar que o leitor menos familiarizado com a física fizesse como aquele caminhante que, de tantas árvores, não conseguiu enxergar a floresta¹⁴. Que este pequeno livro possa proporcionar a muitos leitores algumas horas de estímulo intelectual! [⁵⁹].

Nesse texto, Einstein procurou tornar compreensível uma das transformações mais radicais da física sem diluí-la a um nível superficial. Ao direcionar a obra a quem tem formação de ensino médio, ele estabelece uma ponte entre a física de ponta e o público geral. Exigir do leitor apenas “paciência e força de vontade” reconhece que a verdadeira divulgação científica exige engajamento ativo, e não apenas entretenimento passivo. Einstein, ao “simplificar” explicações conceituais complexas das Teorias da Relatividade Especial e Geral para atingir um público iniciante cientificamente preocupa-se com o uso adequado da linguagem, um aspecto que deve sempre ser pensado pelos professores em sala de aula. Dependendo do contexto do grupo de estudantes, deve-se evitar demonstrações matemáticas e focar em situações mais concretas. Tanto Einstein quanto Poincaré achavam Boltzmann “difícil de ser lido”, por isso ele prioriza nesse texto a precisão e a clareza na estética do texto. Para Einstein, repetições didáticas e uma linguagem direta são ferramentas necessárias para garantir a compreensão dos conceitos fundamentais, sem distrações estilísticas desnecessárias. Ao “negligenciar” deliberadamente os detalhes empíricos minuciosos destaca a intenção pedagógica do livro. Em vez de soterrar o leitor em dados e medições de laboratório, Einstein foca nos princípios conceituais e nos experimentos mentais (Gedankenexperimenten) que fundamentam a relatividade. Ele priorizou a estrutura lógica do todo (a floresta) para que o leitor não se perdesse nos detalhes técnicos particulares (as árvores).

Esta tradução de um dos artigos de Louis de Broglie de 1926 busca não apenas enriquecer a historiografia da física em língua portuguesa, mas também subsidiar propostas didáticas para a educação básica e o ensino superior. Espera-se que professores e estudantes compreendam a singularidade de cada conceito – cada “árvore” – para que, ao se depararem com a “floresta” do conhecimento científico, saibam exatamente em qual delas apoiar suas reflexões.

SOBRE O PARALELISMO ENTRE A DINÂMICA DO PONTO MATERIAL E A ÓTICA GEOMÉTRICA¹⁵,¹⁶

Pelo Sr. L. DE BROGLIE

Sumário. – Associando ao movimento de um ponto material a propagação de uma onda, pode-se conectar a energia e a quantidade de movimento do ponto à frequência e à velocidade de fase da onda de tal maneira que as equações usuais da dinâmica derivem de uma fórmula de dispersão. A teoria corpuscular da luz encontra dificuldades quando estuda a propagação nos meios refringentes; uma dessas dificuldades, cuja importância histórica é grande, diz respeito a uma pretensa contradição entre o princípio de mínima ação e a lei de Fermat. Fazendo derivar a dinâmica da teoria das ondas, pode-se encarar a questão sob um novo aspecto e afastar certas objeções.

1. Noções clássicas. – O objetivo desta exposição é mostrar como as ideias que desenvolvi recentemente sobre os quanta permitem esclarecer o paralelismo, desde há muito tempo assinalado entre a dinâmica do ponto material e a ótica geométrica.

Comecemos por recordar algumas grandes leis da teoria das ondas sem supor que se trate especialmente de ondas luminosas¹⁷.

Primeiro darei a seguinte definição geral: diz-se que um fenômeno físico se propaga por ondas senoidais simples se, na sua definição matemática, intervém uma função senoidal de coordenadas de espaço e de tempo, chamada fase, e com duas propriedades que se seguem: 1) Num ponto do espaço, tem um período $T$ e uma frequência $\nu =\frac{1}{T}$. 2) Os diferentes valores da fase se movem no espaço ao longo de certas linhas chamadas “raios de onda”, com uma velocidade $V,$ a qual, em geral, é função das coordenadas de espaço e tempo, bem como da frequência; esta velocidade $V$ também pode depender da direção do raio que se considera em um dado ponto.

Para simplificar, em tudo o que se seguirá, eu vou supor o meio, isotrópico e em um estado permanente. Neste caso, os raios da onda terão uma forma invariável e a velocidade de fase $V$¹⁸ será apenas função das coordenadas do espaço e da frequência. Expressaremos esta relação pela equação:

$$n=\frac{c}{V}=\phi (x,y,z,\nu ),$$

$c$ é a constante clássica das equações de Maxwell. Esta equação define o índice de refração $n$.

Ao lado da velocidade $V$, vamos introduzir uma grandeza chamada “velocidade de grupo”¹⁹. Ela é definida supondo que não se trata de uma onda senoidal simples, mas de um grupo de ondas senoidais simples de frequências muito próximas e compreendidas num pequeno intervalo $\nu -\delta \nu$, $\nu +\delta \nu$. Devido à variação do índice com a frequência, os pontos, onde as diversas ondas simples estão em concordância de fase, se deslocam com uma velocidade $U$ geralmente diferente de $V$; e um raciocínio conhecido dá:

$$U=\frac{\partial \nu }{\partial \left(\frac{\nu }{V}\right)}=c\left(\frac{\partial \nu }{n\nu }\right)$$

O estudo das ondas eletromagnéticas de acordo com as concepções clássicas mostra que a energia transportada por uma dessas ondas se desloca, em geral, com a velocidade do grupo sempre inferior ou, no máximo, igual à constante $c$.

O conhecimento da frequência e da função que determina os valores do índice é suficiente para calcular os deslocamentos da onda. Um princípio que em ótica, leva o nome do grande físico e matemático francês Fermat, nos ensina, de fato, que se um raio passa por dois pontos dados A e B, o tempo levado pela fase para ir de A até B é mínimo, em outras palavras: se a fase seguisse um caminho ligeiramente diferente do raio real, ela levaria mais tempo para ir de A até B. Então devemos escrever:

$$\delta {\int }_A^B\frac{dl}{V}=\frac{1}{c}\delta {\int }_A^{B}n\mathit{d}l=0$$

e, sendo $n$ conhecido em função de x, y, z, o caminho seguido pela onda é assim determinado.

Antes de chegar às minhas ideias pessoais, examinemos dois problemas de propagação de ondas que desempenham um grande papel na ótica geométrica.

a) passagem de uma onda de um meio de índice uniforme$n_1$, para um meio de índice uniforme$n_2$.

A solução é bem conhecida. O raio que vai do ponto A do primeiro meio ao ponto B do segundo é composto por duas linhas retas que se juntam num ponto M da superfície de separação, de tal maneira que (lei de Descartes).

$$n_{1}sin{\alpha }_1=n_{2}sin{\alpha }_2.$$

Fig. 1

b) Forma dos raios numa esfera refringente, cujo índice é somente função da distância no centro e da frequência.

Em óptica, este problema é chamado “problema da refração astronômica”. A forma dos raios é dada por uma equação, devida a Bouguer [⁶⁴]²⁰, que se deduz do princípio do tempo mínimo. Se M for um ponto qualquer situado sobre o raio procurado e se MT for a tangente ao raio nesse ponto, o produto do índice no ponto M pela distância do centro da esfera à tangente MT tem um valor constante ao longo de todo o raio:

Fig. 2

$$np=C^{te}.$$

2. Novas hipóteses. – Até agora me limitei a considerações de ordem clássica sobre as ondas e seus raios. Vou agora introduzir uma hipótese que caracteriza a minha interpretação dos quanta. Vou supor que há razão para admitir, numa onda, a existência de pontos de concentração da energia, a existência de corpúsculos de dimensões muito pequenas²¹, cujo movimento é tão intimamente ligado ao deslocamento da onda que o conhecimento das leis que regem um desses deslocamentos é equivalente ao conhecimento das leis que regem o outro.

Inversamente, eu vou supor que ao movimento devido a todos os tipos de corpúsculos, cuja existência nos foi revelada pela experiência, há de se associar uma propagação de ondas.

Por outro lado, hoje vou me posicionar num ponto de vista um pouco diferente dos que desenvolvi até agora, porque tomarei como base as leis da propagação das ondas e procurarei deduzir disso, enquanto consequências válidas apenas em certos casos, as leis da dinâmica do ponto material.

Admito, portanto, o princípio do tempo mínimo, consequência direta das concepções ondulatórias, e suponho conhecida a relação que dá, em cada ponto e para cada frequência, o valor do índice $n$. Uma vez o movimento da onda sendo assim determinado, para se deduzir disso o movimento de um corpúsculo associado, basta conhecer as expressões que dão, em cada ponto a sua energia $W$ e a sua quantidade de movimento $\overrightarrow{g}$ em função de $n$ e de $\nu$. Pelas razões expostas na minha tese, há uma hipótese que se impõe absolutamente, é a seguinte:

$$W=h\nu ,g=\frac{h\nu }{V}=\frac{h}{c}\left(n\nu \right),$$

o vetor $\overrightarrow{g}$ sendo tangente ao raio da onda ao longo do qual se propaga a fase no ponto considerado. Nestas condições, o corpúsculo seguirá o raio determinado pelo princípio do tempo mínimo $\delta \int n\mathit{d}l=0$ e a sua trajetória será bem aquela que a dinâmica prevê por aplicação do princípio de Maupertuis $\delta \int g\mathit{d}l=0$.

Vamos supor que a velocidade do móvel é igual à velocidade de grupo das ondas²² ao longo do raio e vamos escrever:

$$v=\beta c=U=c\frac{\partial \nu }{\partial \left(n\nu \right)}=\frac{\partial W}{\partial g}.$$

Assim, estamos sempre de acordo com a mecânica porque, segundo as equações de Hamilton, a velocidade é a derivada parcial da energia em relação à quantidade de movimento²³. As hipóteses precedentes levam à forma usual da equação fundamental da dinâmica, porque se tem:

$$\begin{array}{l}\frac{dg}{dt}={\left(\frac{\partial g}{\partial l}\right)}_W\cdot v=\frac{\partial \nu }{\partial \left(n\nu \right)}\cdot \frac{h}{c}\frac{\partial \left(n\nu \right)}{\partial l}\\ =h\frac{\frac{\partial \left(n\nu \right)}{\partial l}}{\frac{\partial \left(n\nu \right)}{\partial \nu }}=-h\frac{\partial \nu }{\partial l}=-\frac{\partial W}{\partial l}=F.\end{array}$$

3. Dinâmica do ponto. – Assim, estabelecemos uma estreita ligação entre a propagação da onda e a dinâmica do corpúsculo associado. Vejamos agora se podemos deduzir disso as relações particulares que a dinâmica postula entre a velocidade e a massa por um lado, a energia e a quantidade de movimento por outro.

Para isso, precisamos, em cada caso, especificar a forma que a equação de dispersão $n=\phi (x,y,z,\nu )$ toma. Vamos primeiro estudar a propagação de um dado tipo de onda no vácuo a uma grande distância de qualquer outra matéria. O princípio da relatividade nos impõe a forma da função $\phi$:

$$n=\sqrt{1-\frac{\nu _0^{}{}_{}{}^2}{{\nu }^2}}$$

onde ${\nu }_0$ é um invariante que tem o mesmo valor para todos os sistemas galileanos e características da natureza intrínseca da onda. Um corpúsculo ligado à onda da maneira especificada há pouco terá por velocidade²⁴:

$$v=\beta c=c\frac{\partial \nu }{\partial \left(n\nu \right)}=nc.$$

Então, neste caso, $n=\beta$ e em seguida $V=c/n=c/\beta$, resultado que eu demonstrei de muitas outras maneiras; a energia e a quantidade de movimento são iguais a

$$\begin{array}{c}W=h\nu =\frac{h{\nu }_0}{\sqrt{1-n^2}}=\frac{h{\nu }_0}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\\ g=\frac{h}{c}\left(n\nu \right)=\frac{W}{c^2}v.\end{array}$$

Estas formas podem se identificar com as da dinâmica de Einstein, colocando:

$$h\nu =m{c}^2,$$

relação que define a massa própria $m_0$ do corpúsculo em função da invariante ${\nu }_0$. Se a onda considerada for uma onda luminosa, a invariante ${\nu }_0$ e consequentemente a massa própria $m_0$ devem ser escolhidos extraordinariamente pequenos; talvez até, para evitar uma objeção que o Sr. Langevin teve a bondade de me assinalar, seja melhor colocar francamente ${\nu }_0=m_0=0$. Em todo caso, a velocidade do corpúsculo deve ser extraordinariamente próxima da constante $c$, ou mesmo igual a ela, e a dinâmica do átomo de luz aparece como um limite da dinâmica do ponto material de massa finita. Em particular, é fácil mostrar que este ponto de vista permite uma explicação completa dos diversos efeitos Doppler.

Vamos agora deixar o caso do vácuo e considerar um meio de simetria esférica em que o índice varia com a distância $r$ ao centro segundo a lei

$$n^2={\left(1-\frac{F\left(r\right)}{\nu }\right)}^2-\frac{\nu _0^{}{}_{}{}^2}{{\nu }^2}.$$

A velocidade de um corpúsculo associado é encontrada aqui igual a:

$$v=\frac{nc}{1-\frac{F\left(r\right)}{\nu }}=\beta c.$$

A energia e a quantidade de movimento são:

$$W=\frac{h{\nu }_0}{\sqrt{1-{\beta }^2}}+hF\left(r\right);g=\frac{W-hF\left(r\right)}{c^2}v.$$

Colocando ainda $h{\nu }_0=m_0{c}^2$ e identificando o produto $hF\left(r\right)$ com aquilo que a dinâmica chama energia potencial, vemos que o movimento do corpúsculo é o de um ponto material sob a ação de uma força central. As trajetórias do móvel poderão ser determinadas pela equação de Bouguer: $np=C^{te}$. Como $g=h/c\left(n\nu \right)$, esta equação também se escreve:

$$g\cdot p=C^{te},$$

e é a equação das áreas que nos aparece assim como um caso particular da de Bouguer.

A aplicação mais interessante disso que precede é o estudo do átomo de hidrogênio concebido por Bohr. Agora ele [átomo de Bohr] nos aparece como uma esfera refringente que, para as ondas que acompanham o movimento de um elétron de carga $-e$, apresenta um índice variável segundo a lei escrita acima, onde se coloca

$$F\left(r\right)=-\frac{eE}{hr},$$

$E$ sendo a carga do núcleo. Os raios fechados sobre si mesmos coincidem com as trajetórias possíveis do elétron, e alguns possuem a propriedade muito notável de estar em ressonância com a onda. São precisamente estes raios que são as trajetórias “estáveis” de Bohr.

Note-se de passagem que a esfera refringente “átomo de Bohr” apresenta o fenômeno da miragem.

4. Dispersão óptica. – Para concluir, consideremos o caso de um meio material homogêneo, em que o índice não depende do ponto considerado, mas é uma função qualquer da frequência. Poderemos, como no caso do vácuo, definir a massa própria do corpúsculo associado pela equação invariante:

$$m_0=\frac{h}{c^2}\nu \sqrt{1-n^2},$$

mas $m_0$ será imaginário quando $n$ exceder a unidade. A energia terá como valor $\frac{mc_0^{}{}_{}{}^2}{\sqrt{1-n^2}}$, mas só tomará a forma dinâmica $\frac{mc_0^{}{}_{}{}^2}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$ se $n=\beta$ ou, de acordo com as nossas definições gerais, se $n=\frac{d\nu }{d\left(n\nu \right)}$. Esta equação tem como integral geral $n=\sqrt{1+\frac{A}{{\nu }^2}}$. Se a constante $A$ for negativa, reencontramos uma dinâmica análoga àquela do ponto material no vácuo. Se $A$ for positivo, a massa é imaginária e a velocidade de fase inferior a $c$²⁵.

Apliquemos estas considerações ao quantum de luz que atravessa um meio cuja dispersão obedece à relação:

$$n^2=1+\sum _i\frac{{\epsilon }_i}{\nu _i^{}{}_{}{}^2-{\nu }^2},$$

válido apenas fora da região de absorção. Os ${\nu }_i$ são as frequências próprias do meio dispersivo e os ${\epsilon }_i$ são constantes características dele. No lado vermelho de cada frequência ${\nu }_i$, a massa própria é imaginária e a velocidade de fase menor que $c$; no lado violeta, a massa própria é real e a velocidade de fase superior a $c$. Finalmente, para as frequências superiores a todos os ${\nu }_i$, a dispersão é expressa pela equação:

$$n^2=1-\frac{{\sum }_i{\epsilon }_i}{{\nu }^2}$$

e a dinâmica do quantum torna-se análoga àquela do ponto material no vácuo, com a diferença essencial que sua massa própria é determinada pelas propriedades do meio atravessado.

5. Exame de um raciocínio clássico. – Os defensores da teoria de Fresnel fizeram à teoria da emissão uma objeção que lhe foi fatal. “Consideremos, diziam estes físicos, o trajeto da luz entre um ponto A situado num meio de índice uniforme $n$,²⁶ e um ponto B situado num meio de índice uniforme $n_2$. Este trajeto é formado por duas retas que se juntam num ponto da superfície de separação (ver fig. 1). O princípio de Fermat dá (já vimos):

$$n_{1}sin{\alpha }_1=n_{2}sin{\alpha }_2.$$

Ao contrário, a teoria corpuscular deve partir do princípio de Maupertuis $\delta {\int }_A^{B}g\mathit{d}l=0$. Como $g$ é o produto da massa constante do corpúsculo de luz pela velocidade, temos $\delta {\int }_A^{B}v\mathit{d}l=0$; de onde se deduz:

$$n_1\sin {\alpha }_2=n_2\sin {\alpha }_1.$$

Qual das duas fórmulas é correta? Se o meio 1 for ar ou vácuo de índice igual a unidade, e o meio 2 for água, a experiência prova que ${\alpha }_1>{\alpha }_2$. Portanto, para a teoria ondulatória $n_2>1$, e a fase se propaga menos rápido na água do que no ar. Para a teoria da emissão, ao contrário, a conclusão é inversa. Ora, a experiência pronunciou-se no primeiro sentido: a teoria corpuscular está errada”. O raciocínio precedente é defeituoso porque, hoje em dia, conhecemos a variação da massa com a velocidade; no entanto, pode parecer possível, à primeira vista, restaurá-lo. Com efeito, o ponto material livre tem, segundo Einstein, uma quantidade de movimento igual a $\frac{W}{c^2}v$, sendo $W$ a sua energia. Ora, a passagem de um meio para outro não pode fazer variar esta energia: para mim, em particular, esta conclusão se impõe, uma vez que uma mudança de energia seria acompanhada por uma mudança de frequência. Portanto, a massa $\frac{W}{c^2}$ do corpúsculo em movimento também não varia e deve-se, assim escrever bem

$$\delta {\int }_A^{B}v\mathit{d}l=0$$

A objeção parece persistir.

Escapa-se dela, no entanto, ao se adotar o ponto de vista aqui desenvolvido, segundo o qual as equações da dinâmica são deduzidas em certos casos particulares da teoria das ondas. Na minha opinião, com efeito, é preciso voltar sempre à definição de $g$:

$$g=\frac{h}{c}\left(n\nu \right)=\frac{W}{c^2}nc.$$

A quantidade de movimento, portanto, só é igual a $\frac{W}{c^2}v$ se

$$n=\beta =\sqrt{1+\frac{A}{{\nu }^2},}$$

e esta condição não é, em geral, realizada para os meios refringentes nas condições usuais.

A única forma correta e geral do princípio de Maupertuis é, portanto:

$$\delta {\int }_A^B\frac{h\nu }{c}n\mathit{d}l=0.$$

Não pode estar em contradição com a ótica ondulatória, uma vez que é idêntica ao princípio de Fermat.

Manuscrito recebido em $1^{\underset{¯}{0}}$ de julho de 1925.

Nota de correção²⁷:

Supondo que o quantum de luz possui em um meio refringente uma energia potencial $P$, somos evidentemente levados a escrever:

$$g=\frac{h\nu -P}{c^2}v=\frac{h\nu }{c^2}$$

de onde se tira:

$$P=h\nu \left(1-n\frac{d\left(n\nu \right)}{d\nu }\right)=h\nu \left[1-\frac{d\left(n^2{\nu }^2\right)}{d\left({\nu }^2\right)}\right].$$

Se houver uma única frequência crítica no meio, a fórmula de Lorentz dá, fora das zonas de absorção,

$$P=-h\nu \frac{{\epsilon }_i\nu _i^{}{}_{}{}^2}{{\left(\nu _i^{}{}_{}{}^2-{\nu }^2\right)}^2}<0.$$

Tudo acontece, portanto, como se as moléculas do meio atraíssem o quantum, e isso tanto mais fortemente quanto mais próximo da ressonância.

Disponibilidade de Dados

Todos os materiais que fundamentam as análises e conclusões apresentadas neste manuscrito encontram-se integralmente disponíveis no próprio artigo, por meio das referências bibliográficas, citações e documentação explicitamente indicadas pelos autores. A pesquisa não envolveu a geração de conjuntos de dados experimentais, bases de dados originais, códigos computacionais ou outros materiais suplementares que exijam depósito em repositórios específicos. Desse modo, todas as evidências, fontes documentais e procedimentos metodológicos necessários para a compreensão, verificação e reprodutibilidade acadêmica do estudo são de acesso público e estão devidamente identificados e referenciados no texto, em conformidade com os princípios da Ciência Aberta, da transparência científica e das diretrizes editoriais para disponibilização de dados de pesquisa.

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• ^[64] P. Bouguer, Optical Treatise on the gradation of light (University of Toronto Press, Toronto, 1961).
• ^[65] L. de Broglie, em: Électrons et Photons (Gauthier-Villars, Paris, 1928).

¹

“A nova dinâmica de um ponto material livre é para a dinâmica clássica como a óptica ondulatória é para a óptica geométrica” [²].

²

Pauline se tornou uma conhecida romancista e estudiosa de literatura depois que seus interesses científicos foram desencorajados.

³

DE BROGLIE, Louis. “Vue d’ensemble sur mes travaux scientifiques”. In: GEORGE, André (ed.). Louis de Broglie: Physicien et penseur. Paris: Albin Michel, 1953.

⁴

Em Heilbron [⁹], pode-se ler entre aspas a frase: “horrid diffraction fringes then come round the lines of the spectrum and prevent their positions being measured very accurately”, que traduzimos como: “frentes de difração horrendas, em seguida, circundam as linhas do espectro e impedem que suas posições sejam medidas com muita precisão”.

⁵

Para uma visão mais detalhada sobre os conceitos de velocidade de grupo e velocidade de fase na Mecânica Ondulatória de Louis de Broglie sugerimos o artigo: De Broglie’s relativistic phase waves and wave groups [¹⁴]. A equação $V=\frac{c^2}{v}$, onde: $V$ é a velocidade da onda, $c$ é a velocidade limite da relatividade restrita e $v$ é a velocidade do quantum em movimento. Na tese de Doutorado defendida por Louis de Broglie em novembro de 1924 estão as discussões e demonstrações sobre os conceitos de onda de fase, grupos de onda, velocidade de grupo etc., que tiveram suas concepções teóricas entre 1922/23. Ver [¹³]. Há uma tradução para o inglês da Tese de Louis de Broglie em – De_Broglie_Kracklauer.pdf.

⁶

A concepção da onda piloto parece ter suas raízes neste primeiro artigo que está sendo traduzido. Ver a nota de rodapé 16.

⁷

Heisenberg recebeu em 1932 e Schrödinger dividiu o Prêmio com Dirac, em 1933.

⁸

De acordo Chevalley (1999) [¹⁸] e Camilleri (2009) [¹⁹], o primeiro registro “Interpretação de Copenhague”, é creditado ao físico soviético Dmitrii Ivanovich Blokhintsev, que em 1953 publicou o artigo: Kritik der philosophischen Anschauungen der sogennanten Kopenhagener Schule in de Physik (Crítica às visões filosóficas da chamada “Escola de Copenhague”) (https://doi.org/10.1007/978-3-663-14179-2_10). Em 1925, o termo “Interpretação de Copenhague” já é encontrado em escritos de Heisenberg.

⁹

Este termo foi utilizado e difundido por Bohm em 1952, apesar do conceito ter sido usado, textualmente por von Neumann em 1932. No prefácio do livro: Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Leon van Hove observa que, “Von Neumann dedicou em seu livro considerável atenção a um ponto que não havia sido discutido nos artigos de 1927 e que posteriormente foi objeto de muita controvérsia. Trata-se da questão da possível existência de “variáveis ocultas”, cuja consideração eliminaria o elemento não causal envolvido no processo de medição” [²⁰].

¹⁰

É importante destacar que não houve uma adesão de ambos à interpretação de Copenhague. No caso de Schrödinger, fica ainda mais claro, pois ele se recusava a utilizar o termo: Mecânica Quântica, Moore (1994) [²¹] e Schrödinger (1952) [²²].

¹¹

Há uma tradução para o português publicada na RBEF em 2005 [⁴¹], mas não diretamente do alemão. Esta tradução foi feita a partir dos The Collected Papers of Albert Einstein, v. 2, The Swiss Years: Writings, 1900–1909 (Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1989) [⁴²], Tradução para o inglês: Anna Beck. Tradução para o português de Marta Feijó Barroso [⁴⁴], Instituto de Física, UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. Revisão da tradução a partir do original em alemão: Hans-Thomaz Elze, Instituto de Física, UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.

¹²

Ver a tradução do artigo para o português publicado em 2005 pela RBEF (Einstein, 2005).

¹³

Grifo dos autores: Geduld und Willenskraft (do original em alemão) [⁶⁰]. No texto original, em aparato matemático (mathematischen Apparat¹), Einstein colocou uma nota de rodapé com algumas referências sobre o assunto que não constam na tradução para o português.

¹⁴

Grifo dos autores.

¹⁵

L. de Broglie [²]. Sur le parallélisme entre la dynamique du point matériel et l’optique géométrique. Journal de Physique et le Radium, 1926, 7 (1), pp. 1–6. No apêndice A do livro – História da teoria quântica – a dualidade onda-partícula de Einstein a De Broglie localiza-se as publicações de Louis de Broglie de 1920 a 1930, em ordem cronológica [¹³]. As traduções dos artigos aqui propostos estão relacionadas às tentativas de De Broglie de preservar a essência da sua teoria em relação a uma eventual mudança no seu programa de pesquisa, em função do surgimento da mecânica quântica matricial, com uma nova proposta: a dupla solução versus a onda-piloto (proposta original). Há notas mais curtas que indicaremos nas referências bibliográficas, verificando se poderiam ter sido lidas por Schrödinger neste mesmo período. Em 16/02/1925, Louis de Broglie publicou uma nota curta na Comptes Rendus (180), pp. 498–500 [⁶¹], que traduzimos como: Sobre a frequência própria do elétron (Sur la fréquence propre de l’électron). Trata-se de um pequeno artigo de 3 páginas, apresentada por Maurice de Broglie à Academia de Ciências de Paris. Esta nota pode ser considerada um dos resultados obtidos por Louis de Broglie em sua tese defendida em novembro de 1924 sobre a teoria mecânica do quantum. Como ele supõe uma frequência própria para uma partícula material qualquer, também para o elétron, os elementos da teoria da relatividade restrita são preservados. É uma nota curta, mas de grande profundidade física. Nesta nota, parece que Louis de Broglie ainda não estava em contato com os resultados da Mecânica Ondulatória de Schrödinger, ao contrário dos artigos traduzidos, onde, ele já cita o físico austríaco, principalmente no segundo artigo (Les Principes de la Nouvelle Mécanique Ondulatoire) [⁶²], também traduzido pelos autores desta tradução e publicado na RBEF de 2026.

¹⁶

Tradução nossa.

¹⁷

Na tese [⁶³], ele generaliza e admite que é válido para qualquer tipo de onda.

¹⁸

Ver o trabalho de Harvey Brown e Roberto A. Martins [¹⁴] para detalhes sobre a velocidade de fase e a velocidade de grupo da onda. https://www.ghtc.usp.br/server/pdf/ram-20.pdf.

¹⁹

A tese [⁶³] de Louis de Broglie foi publicada na revista Annales de Physique, com o título: Recherches sur la théorie des Quanta, Louis De Broglie Ann. Phys., 10 (3) (1925) 22–128. Published online: 28 April 2017 – DOI: https://doi.org/10.1051/anphys/192510030022 Recherches sur la théorie des Quanta). Após uma introdução histórica dividida em dois tópicos: Du XVI^e au XX^e siècle e Le XX^e siècle: la Relativité et les Quanta, onde ele comenta sobre as teorias físicas e seus autores, começando por Newton e terminando com Maxwell. Na sequência, Louis de Broglie começa o capítulo I com o título: L’onde de phase. Neste capítulo ele introduz uma definição relativística para a propagação de uma onda qualquer.

²⁰

Pierre Bouguer nasceu em 16 de fevereiro de 1698, em Le Croisic na França e faleceu em 15 de agosto de 1758, em Paris. Bouger foi um cientista versátil, mais lembrado como um dos fundadores da fotometria, a medição de intensidades luminosas. Bouguer foi um prodígio treinado por seu pai, Jean Bouguer, em hidrografia e matemática. Após a morte de seu pai, Pierre, aos 15 anos, sucedeu o irmão mais velho como professor real de hidrografia. Durante a década de 1720, ele fez algumas das primeiras medições em fotometria astronômica, comparando o brilho aparente dos objetos celestes com o de uma chama de vela padrão. Ele fez tabelas de refração atmosférica, investigou a absorção da luz na atmosfera e formulou a lei de Bouguer (às vezes chamada de lei de Lambert), sobre a atenuação de um feixe de luz em um meio transparente. Esta lei e seu trabalho fotométrico ele publicou em seu Essai d’optique sur la gradation de la lumière (1729; Optical Treatise on the Gradation of Light). Macedonio Melloni citou a lei de Bouguer em suas pesquisas sobre o calor radiante. A lei de Bouguer é também conhecida como lei de Bouguer, Lambert e Beer, ela descreve a atenuação da intensidade da radiação ao atravessar um meio absorvente. Matematicamente é definida por: $I=I_0{e}^{-\alpha x}$, onde: $x$ é a espessura ou caminho ótico percorrido no meio e $\alpha$ é o coeficiente de absorção do meio e depende do material e do comprimento de onda.

²¹

Aqui temos a hipótese da onda piloto, que não aparece em sua defesa de tese em 1924. É comum afirmar que Louis de Broglie introduziu a hipótese da onda piloto no Congresso Solvay de 1927, mas esta hipótese já aparece neste artigo curto de 6 páginas, embora ele não mencione de forma explícita. Pode-se verificar que ele continua insistindo em fundir os aspectos da óptica (princípio da mínima ação de Fermat) com os da mecânica (princípio da mínima ação de Maupertuis), através das equações de Hamilton. No original teríamos a nova hipótese: Je supposerai qu’il y a lieu d’admettre, dans une onde, l’existence de points de concentration de l’énergie, de corpuscules de très petites dimensions dont le mouvement est si intimement lié au déplacement de l’onde (p. 3). De Broglie não escreve onde pilote, porém, há indícios de que ele esteja pensando neste aspecto. O termo onda piloto (onde pilote) só aparecerá em sua apresentação no Conselho de Solvay de 1927, nos tópicos: II. Signification probable des ondes continues $\Psi$ (13) – 4. Cas d’un seul point matériel dans un champ constant (p. 116) e 7. La dynamique des systèmes (p. 118); III. Expériences apportant un commencement de preuve directe en faveur de la nouvelle Dynamique de l’électron. – 10. Phénomènes dont les nouvelles conceptions suggèrent l’existence (p. 125). O título da publicação do artigo de Louis de Broglie no Conselho Solvay de 1927 é La nouvelle Dynamique des Quanta e tem 28 páginas (De Broglie, 1927, pp. 105–133) [⁶⁵]. Há uma tradução para o inglês com o título: The new dynamics of quanta, publicado online pela University Cambridge Press em 05 de março de 2013 e traduzido por Guido Bacciagaluppi (University of Aberdeen) e Antony Valentini (Imperial College of Science, Technology and Medicine, London). Observamos que a ideia e o desenvolvimento matemático da onda piloto já estava neste artigo de 6 páginas, De Broglie introduziu não uma onda, mas um grupo de ondas que se moveriam concomitantemente com o movimento da partícula material. Seria um indício de uma teoria quântica de campo! Neste artigo é provável que Louis de Broglie não tenha lido ainda as publicações do Erwin Schrödinger. Mas, no segundo artigo que foi publicado em novembro de 1926, ele já teve acesso aos artigos de Schrödinger e aos debates na outra linha de pesquisa da mecânica quântica, a que ficou conhecida como interpretação matricial ou de Copenhagen.

²²

Verificar na tese [⁵⁵], p. 39 o significado de U (velocidade de propagação do batimento). De Broglie utilizou as relações trigométricas de seno e cosseno e afirmou que a velocidade do batimento é igual à velocidade do grupo de ondas, que já estavam presentes em seus principais trabalhos de 1922/1923. Matematicamente, Louis de Broglie demonstrou, nestes trabalhos, que há uma relação entre “la vitesse du mobile et celle de l’onde de phase” – a velocidade do móvel e a velocidade da onda de fase. Ele partiu de uma igualdade já conhecida: $\frac{1}{U}=\frac{d\left(\frac{\nu }{V}\right)}{d\nu }$ e atribui ao móvel a velocidade $v=\beta c$. Nestes artigos curtos ele utilizou o princípio de Hamilton, publicando estas ideias em sua tese, defendida em novembro de 1924. De Broglie inicia a demonstração utilizando a igualdade $h\nu =m{c}^2$, (pp. 31–33 – L’onde de phase – A onda de fase). No tópico: II. – Vitesse de Phase et Vitesse de Groupe (Velocidade de grupo e velocidade de fase), ele demonstra que: $U=\beta c=v$ (La vitesse de groupe des ondes de phase est bien égale à la vitesse du mobile – A velocidade de grupo das ondas de fase é igual à velocidade do móvel), a partir das relações $V=\frac{c}{\beta }$ e $\nu =\frac{1}{h}=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$, equação de Planck e Einstein na forma relativística, de acordo com o fator de Lorentz. Neste caso, $V$ é a velocidade de propagação da onda e $\nu$ é a frequência. Para mais detalhes indicamos [¹¹], particularmente o capítulo 3 – Os Artigos Iniciais de Louis de Broglie (p. 135), especialmente a partir do tópico 3.7 – O Nascimento da Teoria Dualística de Louis de Broglie (p. 163).

²³

Neste artigo, De Broglie utiliza a letra $g$ para definir a quantidade de movimento.

²⁴

Grifo dos tradutores. Nos artigos de 1922/23 e na tese defendida em 1924, a ideia de Louis de Broglie é bem diferente. Embora tenha significado físico tanto quanto a proposta da onda associada à partícula material (onda-piloto), ela mais ousada. Remete a uma imagem, que embora seja abstrata, teria realidade física, podendo o elétron ser pensado como uma onda pulsante, porém, sendo o pulso indefinido.

²⁵

No artigo original, De Broglie faz a seguinte citação: A velocidade da energia seria então superior a $c$; este caso, portanto, não seria possível fisicamente.

²⁶

No artigo original publicado por Louis de Broglie está escrito: “Considérons, disaient ces physiciens, le trajet de la lumière entre un point A situé dans un milieu d’indice uniforme $n$, et un point B situé dans un milieu d’indice uniforme $n_2$. É bem provável que haja um erro de publicação para $n$,. Deveria ser $n_1$, para estar de acordo com a equação: $n_1\sin {\alpha }_1=n_2\sin {\alpha }_2$.

²⁷

Esta passagem foi introduzida por Louis de Broglie como uma tentativa de explicar e estender formalmente os conceitos de massa e energia potencial mecânica ao quantum de luz (conceito que mais tarde seria denominado fóton) no interior da matéria. Com isso, ele permitiu que as equações mecânicas e ópticas se tornassem matematicamente idênticas. Nota-se que, ao fazer referência a Lorentz, de Broglie preserva a concepção relativística do início de suas pesquisas teóricas (1922–1923), trajetória que culmina em sua Tese de Doutorado com a dedução do comprimento de onda ($\lambda =h/p$) expressa no formalismo do quadrivetor covariante. O parágrafo final evidencia o pensamento físico de De Broglie quanto à interação do quantum de luz com os potenciais elétricos/moleculares do meio refrativo.

*Endereço de correspondência:

[e-mail]

Editor-Chefe:

Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

** Título Original:

Sur le Parallélisme entre la Dynamique du Point Matériel et l’Optique Géométrique [¹].

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  02 Nov 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  18 Maio 2026
• Revisado
  22 Jul 2026
• Aceito
  05 Set 2026