Ensinando colisões inelásticas por analogia comum sistema massa-mola

Teaching inelastic collisions by analogy with a mass-spring system

Resumo

Neste trabalho, desenvolvemos um modelo pictórico para mediar o entendimento das colisões inelásticas de objetos maciços. O modelo, que consiste em duas massas pontuais conectadas por uma mola, colidindo contra uma superfície horizontal, é utilizado inicialmente para entender a redução da energia mecânica do centro de massa após uma colisão, convertida em energia interna das partículas que compõem o corpo maciço. Logo em seguida, modelamos o coeficiente de restituição do sistema massa-mola, expressando-o em termos de quantidades análogas à deformação e à rigidez dos objetos maciços em queda. A partir do modelo desenvolvido, obtemos um diagrama de fases envolvendo a compressibilidade em função da rigidez da bolinha, definindo, desta forma, os diversos regimes de colisões (elásticas, inelásticas e perfeitamente inelásticas). E, por fim, confrontamos qualitativamente o modelo desenvolvido com resultados experimentais de coeficiente de restituição em função da altura de queda, obtidos por meio da videoanálise das colisões de bolinhas de diferentes materiais e tamanhos. Além disso, para alguns casos, analisamos a conversão de energia mecânica em energia elétrica durante as colisões utilizando um sensor piezoelétrico e um Arduino.

Palavras-chave:
Ensino por analogia; videoanálise; modelagem

Abstract

In this work, we develop a pictorial model to facilitate the understanding of inelastic collisions of massive objects. The model, which consists of two point masses connected by a spring colliding with a horizontal surface, is initially used to understand the reduction of the mechanical energy of the center of mass after a collision, as it is converted into internal energy of the particles that make up the massive body. Subsequently, we model the restitution coefficient of the mass-spring system, expressing it in terms of quantities analogous to the deformation and stiffness of the falling massive objects. From the developed model, we obtain a phase diagram involving the compressibility as a function of the ball stiffness, thus defining the different collision regimes (elastic, inelastic, and perfectly inelastic). Finally, we qualitatively compared the developed model with experimental results on the coefficient of restitution as a function of drop height, obtained from video analysis of collisions between balls of different materials and sizes. Additionally, in some cases, we analyze the conversion of mechanical energy into electrical energy during collisions using a piezoelectric sensor and an Arduino microcontroller.

Keywords:
Analogy-based teaching; video analysis; modeling

1. Introdução

Na história da ciência, o uso de analogias na explicação dos fenômenos da natureza remonta ao período aristotélico [¹] e foi de extrema importância para o desenvolvimento das teorias científicas. Em ciência, uma analogia pode ser entendida como duas ideias ou conceitos similares, originadas de diferentes campos do conhecimento, com os quais tentamos utilizar um deles que conhecemos para entender o outro que não conhecemos. Mesmo com o desenvolvimento da matemática no período pós-renascentista, as analogias sempre foram estrategicamente utilizadas para tentar compreender o funcionamento da natureza de maneira mais intuitiva. Por exemplo, Augustin-Jean Fresnel [²] e James Clerk Maxwell [³] (v. 2) contribuíram, cada qual em épocas diferentes do século XIX, respectivamente, para o entendimento de fenômenos ópticos importantes (interferência, polarização e difração) e da propagação das ondas eletromagnéticas. Ambos utilizaram a ideia de um éter luminífero que sustentasse a existência de ondas eletromagnéticas transversais, por meio de uma analogia à propagação de ondas mecânicas, modelo já bem compreendido em suas épocas.

Os professores de ciências utilizam constantemente analogias em suas aulas. Elas formam uma estratégia pedagógica poderosa utilizada no ensino de conceitos abstratos difíceis de visualizar ou de compreender devido às suas complexidades [⁴, ⁵, ⁶]. Algumas vezes, as analogias são utilizadas em sala de aula pelos professores sem planejamento prévio, principalmente diante de uma pergunta inesperada de um aluno que busca uma melhor compreensão do conceito discutido. Nessas horas, o professor, com sua vivência, busca situações ou conceitos que, de certa forma, sejam similares ao conceito que está sendo ensinado, na tentativa de melhorar a compreensão do aluno. Neste trabalho, procuramos evidenciar como as analogias podem ser utilizadas na elaboração de modelos mais simples que capturam efeitos de modelos mais complexos, com o objetivo de facilitar a compreensão de conceitos abstratos.

Durante o estudo básico das colisões inelásticas [⁷, ⁸], não costuma ser discutida na literatura a dependência do coeficiente de restituição da colisão com a natureza do material (rigidez) dos corpos que colidem, nem com as deformações envolvidas, podendo tais questionamentos ser facilmente levantados pelos alunos durante uma aula de física. Por sua vez, a literatura carece de modelos simples que expliquem as colisões inelásticas em termos de propriedades mecânicas fundamentais. Na referência [⁹], os autores usam a teoria de Hertz, uma teoria de primeiros princípios, para descrever as deformações de bolas de borracha durante colisões, em termos de suas propriedades elásticas, e estabelecem um modelo que relaciona essas propriedades ao coeficiente de restituição das bolas. Estes fatos nos motivaram a desenvolver um modelo simples de duas massas conectadas por uma mola para entender o processo de colisão de um objeto maciço, composto por um sistema de muitas partículas, com uma superfície.

Inicialmente, utilizamos o modelo para entender as perdas de energia mecânica do centro de massa de uma esfera maciça durante as colisões, por meio da analogia do aumento da energia interna de vibração que o sistema massa-mola sofre após colidir contra a referida superfície. Logo em seguida, modelamos o coeficiente de restituição do sistema massa-mola para imitar o comportamento do coeficiente de restituição da bolinha maciça, expressando-o em termos de quantidades análogas à rigidez e à deformação da esfera maciça.

E por fim, aplicamos o modelo desenvolvido para entender qualitativamente os resultados experimentais obtidos para o coeficiente de restituição de bolinhas confeccionadas com massinha de modelar e do tipo pula-pula largadas de diferentes alturas que colidem contra a superfície de um sensor piezoelétrico para posterior análise da conversão de energia mecânica em energia elétrica. Na seção 2 apresentamos e discutimos o modelo, na seção 3 apresentamos a metodologia experimental desenvolvida, na seção 4 buscamos compreender os resultados experimentais com o modelo desenvolvido e finalizamos com as conclusões na seção 5.

2. Modelo Teórico

Durante as colisões, observa-se que uma pequena fração da bolinha comprime e depois expande, restituindo o seu formato. Para modelar as colisões de um objeto deformável contra uma superfície, simplificamos a bolinha de massa total $M_{tot}$ como um sistema de duas massas acopladas aos extremos de uma mola de constante elástica $k$. Neste caso, $m$ representa a massa correspondente à fração da bolinha que comprime e expande de maneira significativa, $M$ a massa restante e $M_{tot}=m+M$ a massa total, conforme ilustra a Figura 1. A mola é utilizada para capturar a elasticidade da bolinha.

Figura 1
Modelo para descrever a elasticidade da bolinha em termos de um sistema massa-mola acoplado. (a) Bolinha descrita em termos da fração $m/M_{tot}$ da massa total que comprime e expande significativamente durante a colisão. (b) Sistema massa-mola acoplado.

Na Figura 2-(a), o sistema massa-mola colide contra a superfície com velocidade do centro de massa (CM) ${\overrightarrow{V}}_{CM}=-v_0\widehat{y}$, momento no qual a mola se encontra relaxada. No momento em que inicia a colisão, o bloco de massa $m$ é parado instantaneamente e o bloco de massa $M$ mantém a sua velocidade ${\overrightarrow{v}}_0=-v_0\widehat{y}$, conforme ilustra a Figura 2-(b). Neste instante, a velocidade do CM é alterada instantaneamente para $-M{v}_0\widehat{y}/M_{tot}$ devido à ação da força normal $\overrightarrow{N}$ de contato exercida pela superfície. O bloco de massa $M$ comprime a mola, até que a mesma sofra compressão máxima, e depois retorna puxando o bloco de massa $m$ através da mola, conforme ilustra a Figura 2-(c). Desprezando quaisquer atritos, entre os instantes ilustrados nas Figuras 2(b) e (c), a energia mecânica da massa $M$ é conservada:

Figura 2
Colisão inelástica de um sistema massa-mola com uma superfície. (a) As duas massas caem com a mola relaxada (comprimento natural $l_0$ e velocidade inicial do CM ${\overrightarrow{V}}_{CM}={\overrightarrow{v}}_0$). (b) No momento da colisão, a massa $m$ para instantaneamente, enquanto a massa $M$ desce com velocidade ${\overrightarrow{v}}_0$. (c) Logo após a compressão máxima da mola, o bloco de massa $M$ retorna com velocidade $\overrightarrow{v}$, com a mola puxando cada vez mais o bloco de massa $m$.

(1) $$\frac{M{v}_0^2}{2}+Mg{l}_0=\frac{M{v}^2}{2}+Mgl+\frac{k{\left(l-l_0\right)}^2}{2},$$

sendo $g$ o módulo da aceleração da gravidade.

Durante a colisão, o bloco de massa $m$ é mantido em equilíbrio através das forças: normal ($\overrightarrow{N}$), peso ($P_2=mg$) e elástica $F_{el}=k\left(l-l_0\right)$, sendo

(2) $$N=mg-k\left(l-l_0\right).$$

Dependendo da magnitude da velocidade de queda, $V_{CM}=v_0$ com que o CM do sistema colide contra a superfície, que, por sua vez, depende da altura de queda, a mola pode suspender o bloco de massa $m$ da superfície e fazer com que ambas as massas retornem após a colisão. No instante em que o bloco, ainda em repouso, perde contato com a superfície, com $N=0$, tem-se que o comprimento da mola é dado por $l=l_0+mg/k$, que, substituído na equação 1, obtém-se a velocidade do bloco de massa $M$ nesse mesmo instante:

(3) $$v=\sqrt{v_0^2-\frac{g^2}{{\omega }_0^2}\frac{\left(m+M\right)\left(m+2M\right)}{M^2}},$$

na qual usamos $k={\omega }_0^{\text{2}}\mu$, sendo ${\omega }_0$ a frequência angular de vibração do oscilador acoplado e $\mu =mM/\left(m+M\right)$ a massa reduzida do sistema [¹⁰] (p. 54). Sabendo que logo após a colisão o módulo da velocidade do CM é dado por $V_{CM}^{\prime }=Mv/\left(m+M\right)$, obtém-se o coeficiente de restituição $e=V_{CM}^{\prime }/V_{CM}$ do sistema, definido em termos da razão entre os módulos das velocidades do CM depois ($V_{CM}^{\prime }$) e antes ($V_{CM}=v_0=\sqrt{2gh}$) da colisão, dado por

(4) $$e=\sqrt{\frac{1}{{\left(\epsilon +1\right)}^2}-\frac{g}{2h{\omega }_0^2}\left(\frac{\epsilon +2}{\epsilon +1}\right)},$$

no qual denominamos $\epsilon =m/M$ como sendo a compressibilidade do sistema e $h$ a altura de queda. Para $\epsilon =1$ ($m=M$) dizemos, por analogia, que metade da bolinha é comprimida durante a colisão. Por sua vez, quando $\epsilon =0$ não há deformação e quando $\epsilon \to \infty$ uma fração significativa da bolinha se deforma.

De maneira geral, logo após a colisão, o sistema retorna com a velocidade do CM reduzida em relação ao valor inicial $v_0$, uma vez que, ao interagir com a superfície, parte da energia mecânica do CM é transformada em energia interna de vibração (energia mecânica interna). Neste caso, o sistema passa a oscilar enquanto o CM é freado pela aceleração da gravidade, logo após a massa $m$ perder contato com a superfície. No contexto de um sistema formado por muitas partículas, a energia interna é conhecida como energia térmica (energia cinética das partículas em relação ao CM + energia de interação entre pares), cujo valor médio está associado ao conceito estatístico de temperatura. O modelo simples apresentado neste trabalho captura parte deste conceito, uma vez que a energia interna de vibração aumenta após a colisão, apesar de estarmos lidando com apenas duas partículas, em vez de um sistema com várias. Cabe também ressaltar que, na prática, o aumento do movimento interno de vibração, logo após a colisão, é dissipado pelo atrito interno, que atua entre as partículas que compõem o corpo.

Desta forma, o modelo apresentado pode ser utilizado para entender, de maneira pictórica, as transformações energéticas que ocorrem na colisão inelástica de uma bolinha contra uma superfície, resultando em um aumento da energia interna de vibração da bolinha (aumento de temperatura). Utilizando o modelo desenvolvido, a seguir serão discutidas as condições sob as quais as colisões elásticas ($e=1$), inelásticas ($0<e<1$) e perfeitamente inelásticas ($e=0$) ocorrem [¹¹].

• Colisões perfeitamente inelásticas

Neste caso $e=0$, a bolinha colide, comprime, expande e para ($V_{CM}^{\prime }=0$), ficando prestes a perder contato com a superfície ($N=0$). A partir da equação 4, obtemos a seguinte equação do segundo grau em $\epsilon$: $A{\epsilon }^2+3A\epsilon +\left(2A-1\right)=0$, sendo $A=g/2h{\omega }_0^{\text{2}}$. A solução da equação fornece as raízes ${\epsilon }^{\pm }=-3/2\pm \sqrt{1+4/A}/2$, sendo a positiva, solução fisicamente correta, dada por:

(5) $$\epsilon =\frac{-3+\sqrt{1+8h{\omega }_0^2/g}}{2}.$$

Lembrando que a compressibilidade $\epsilon =m/M$ (uma razão entre massas) deve ser positiva ou tender a zero ($\epsilon \underset{˜}{>}0$). Neste caso, $h\underset{˜}{>}g/{\omega }_0^{\text{2}}$ define um limite de altura para que a compressão da bolinha ocorra, sendo o valor mínimo em $h\approx g/{\omega }_0^{\text{2}}$ quando a compressão é baixa ($\epsilon \approx 0$) e a bolinha fica na iminência de perder contato após a colisão. A equação 5 mostra que a compressibilidade da bolinha aumenta com a altura de queda $h$, o que é fisicamente intuitivo.

• Colisões inelásticas e elásticas

No caso de colisões inelásticas, a bolinha colide e retorna com uma velocidade menor que a velocidade de queda, $V_{CM}^{\prime }<V_{CM}=v_0$, com parte da energia cinética perdida transformada em energia de vibração interna (energia térmica). Elas respeitam a condição $0<e<1$, que, aplicada à equação 4, obtém-se a desigualdade $A{\epsilon }^2+3A\epsilon +\left(2A-1\right)<0$, que tem como solução:

(6) $$0<\epsilon <\frac{-3+\sqrt{1+4B^2}}{2},$$

uma vez que a compressibilidade $\epsilon$ deve ser positiva. Para a altura $h$ de queda fixa, o parâmetro $B=\sqrt{1/A}={\omega }_0\sqrt{2h/g}$ define a rigidez da colisão. Para bolinhas muito rígidas, $k\to \infty$ e $\mu \to 0$ (a fração da bolinha que deforma é pequena), portanto, ${\omega }_0\to \infty$ e $B\to \infty$, uma vez que ${\omega }_0^{\text{2}}=k/\mu$.

As equações 5 e 6 permitem construir um diagrama de compressibilidade por rigidez representado na Figura 3-(a). A curva preta, descrita pela equação 5, define o limiar de colisões inelásticas para as quais a bolinha colide e para na iminência de perder contato ($N=0$). Ela representa que quanto mais rígido um corpo for, mais ele terá que se deformar para a colisão ser perfeitamente inelástica ($e=0$). Se ele não deforma o suficiente, o centro de massa retorna com uma certa velocidade menor que a incidente em uma colisão inelástica ($0<e<1$). A desigualdade 6 representa todos os pontos abaixo da curva preta, área azul, para os quais a bolinha colide inelasticamente.

Figura 3
(a) Diagrama de compressibilidade $\epsilon$ em função da rigidez da bolinha $B=\sqrt{1/A}={\omega }_0\sqrt{2h/g}$. (b) Coeficiente de restituição em função do coeficiente de compressibilidade no limite de rigidez elevada $B\to \infty$.

• Limite de esfera rígida

A equação 4 permite explorar o limite de colisões elásticas $e\to 1$, representado no diagrama através dos extremos quando $\epsilon \to 0$ (baixa compressibilidade) e $B={\omega }_0\sqrt{2h/g}\to \infty$ (rigidez elevada). Nesse limite, a equação 4 depende somente da compressibilidade:

(7) $$e\approx \frac{1}{\left(1+\epsilon \right)}.$$

Esta equação está de acordo com o diagrama da Figura 3-(a), no limite de colisões elásticas ($e\to 1$), quando a compressibilidade $\epsilon \to 0$, conforme ilustrado na Figura 3-(b). Corpos que colidem inelasticamente se deformam em algum grau, e as colisões se tornam cada vez mais elásticas para corpos mais rígidos à medida que as deformações se tornam menores. Este resultado nos permite entender as colisões elásticas como um caso limite das colisões inelásticas. Isso está de acordo com o fato da inexistência de um corpo perfeitamente rígido, o qual resultaria em uma variação nula da energia térmica após a colisão e um parâmetro de compressibilidade exatamente nulo. Por mais rígido que o corpo seja, sempre ocorrerá um pequeno aumento da energia térmica após uma colisão, além da energia sonora gerada, resultando em uma colisão aproximadamente elástica, como, por exemplo, na colisão entre duas bolas de bilhar. Outro exemplo são as bolinhas “pula-pula”, que possuem uma pequena compressibilidade e um coeficiente de restituição próximo de $0.9$[¹²].

3. Experimentos de Colisões e Transferência de Energia Elétrica

Realizamos experimentos com bolinhas de diferentes massas, confeccionadas com massinha de modelar, que colidem com a superfície de um sensor piezoelétrico quando abandonadas de diferentes alturas (ver link [¹³]). Também são realizados experimentos com bolinha do tipo pula-pula. Em todos os experimentos, medimos alturas iniciais de queda $h$ e alturas máximas de retorno $h^{\prime }$ para as quais as bolinhas param após a colisão, permitindo medir o coeficiente de restituição $e=\sqrt{h^{\prime }/h}$[¹⁴] das colisões. Para cada bolinha, medimos o coeficiente de restituição em cinco alturas de queda e, para cada altura, repetimos o experimento dez vezes para obter uma barra de erro do coeficiente de restituição, por meio do desvio padrão.

Para garantir que as repetições fossem feitas em uma mesma altura e depois variando-a controladamente, utilizamos uma pinça com suporte para acomodar a bolinha em cada repetição.

Na Figura 4-(a), apresentamos uma foto do esquema experimental. Os experimentos são filmados com uma câmera de celular estabilizada em um suporte preso a um ring light e com taxa de captura de $240fps$. Neste caso, o ring light foi utilizado apenas como referencial de alinhamento entre a câmera e o plano vertical da filmagem. O celular foi posicionado a uma distância de cerca de $40$cm, medida em relação ao plano do movimento, para enquadrar todo o movimento no quadro da imagem. Acreditamos que esta possa ser a distância crítica, que garante, ao mesmo tempo, um compromisso entre uma boa visualização experimental e uma redução razoável dos erros sistemáticos de projeção.

Figura 4
Experimento de colisões e de transferência de energia elétrica. (a) Montagem experimental mostrando o celular posicionado para a filmagem, fixado em um suporte. A pinça encontra-se posicionada logo acima do piezoelétrico, presa a um suporte, sobre o qual é acomodada uma bolinha para a realização experimental. Mais ao fundo, o Arduino sobre a mesa, conectado ao sensor piezoelétrico por fios e ao computador para a aquisição de dados de tensão elétrica. (b) Videoanálise no Tracker mostrando a bolinha, confeccionada com massinha de modelar, atingindo a altura máxima de retorno logo após colidir com o sensor.

Por sua vez, as alturas de queda e de retorno são obtidas analisando posteriormente os vídeos com o software gratuito Tracker[¹⁵], conforme ilustra a Figura 4-(b). O software foi calibrado com base no diâmetro de $3.6$cm do sensor piezoelétrico como referência.

Nos experimentos, também analisamos a conversão de energia mecânica em energia elétrica no sensor piezoelétrico conectado ao Arduino e este, por sua vez, a um computador. O piezoelétrico é fixado logo abaixo da posição de queda da bolinha, conforme ilustrado na Figura 4-(b). Durante a colisão, a bolinha pressiona o piezoelétrico com uma força $F$ gerando uma tensão elétrica V proporcional à força $V=\lambda F$ sendo $\lambda$ um coeficiente de proporcionalidade [¹⁶]. Durante os experimentos, o Arduino faz a aquisição dos dados de tensão durante o tempo em que as colisões ocorrem, com resolução de milésimos de segundo. Utilizamos o tempo de 120 microssegundos entre duas leituras consecutivas.

Na referência [¹⁶] é realizado o mesmo experimento, e desenvolvido um programa no qual os valores de tensão são utilizados para obter a força impulsiva $F$ trocada entre a bolinha e o sensor ao longo do tempo. Na montagem, o autor conecta um resistor de $10k\Omega$ ao sensor, formando um circuito simples.

Neste trabalho, reproduzimos o mesmo procedimento experimental e estendemos o programa, incluindo a aquisição dos valores da energia elétrica gerada durante a colisão, mais especificamente, da energia elétrica $E_{el}$ dissipada no resistor. O código-fonte é disponibilizado como material suplementar.

Primeiro, fazemos a aquisição da potência elétrica dissipada $P_{ot}=V^2/R$ na resistência $R=5k\Omega$, em vez do valor de $10k\Omega$ utilizado pelo autor. É feita a aquisição da potência dissipada em cada instante de tempo no qual a colisão ocorre, conforme ilustra a Figura 5. De acordo com este gráfico, é possível obter uma estimativa do tempo de duração da colisão a partir do intervalo de tempo em que a energia dissipada difere de zero, da ordem de $2ms$. Por sua vez, o instante de tempo para o qual a potência dissipada instantânea atinge o seu valor máximo, da ordem de $1ms$, está relacionado ao instante em que a bolinha atinge o estágio de compressão máxima durante a colisão.

Figura 5
Potência dissipada no circuito formado pelo sensor piezoelétrico durante os $2ms$ em que a colisão ocorre, para uma bolinha feita com massinha de modelar abandonada de uma altura inicial de $4cm$.

Finalmente, integramos numericamente a potência no tempo para obter a energia elétrica dissipada $E_{el}=\int P_{ot}\mathit{d}t$. Para o exemplo ilustrado na Figura 5, encontramos uma energia da ordem de $4\mu J$. O experimento foi feito para diversas alturas de queda. Para cada altura, o experimento foi repetido dez vezes para obter a incerteza da energia elétrica por meio do desvio padrão das medidas.

Na próxima seção, apresentamos e procuramos entender alguns resultados experimentais em função da altura de queda obtidos para o coeficiente de restituição e energia elétrica transferida pelas diferentes bolinhas de diferentes materiais e massas, utilizando o modelo baseado na analogia desenvolvida nesse trabalho. Disponibilizamos tabelas de dados experimentais das aquisições no Arduino, vídeos das colisões das diferentes bolinhas e o código-fonte do Arduino em um link na seção “Disponibilidade de dados”.

4. Resultados

Nas Figuras 6-(a) e 6-(b) temos resultados, respectivamente, para os coeficientes de restituição de duas bolinhas e para a diferença entre eles em função da altura de queda. As bolinhas são confeccionadas com massa de modelar de massas iguais a $12g$ e $6g$ e diâmetros, respectivamente, iguais a $\mathrm{2,6}$cm e $\mathrm{2,1}$cm. A partir desses gráficos, percebemos que a massa da bolinha impõe uma dependência no coeficiente de restituição para alturas menores, nas quais o coeficiente de restituição da bolinha de massa menor supera o da massa maior. Este fato pode ser entendido por meio do modelo desenvolvido neste trabalho, em analogia ao sistema massa-mola. Neste caso, em que ambas são feitas do mesmo material (mesma rigidez), e para uma mesma altura de queda $h$, a bolinha de massa menor possui coeficiente de restituição um pouco maior em relação à que possui a massa maior, uma vez que deforma menos durante as colisões para alturas menores. Portanto, conservando mais energia mecânica do CM durante a colisão. Essa discussão está de acordo com o diagrama de deformação da Figura 3-(a), construído por meio da analogia entre as colisões de uma bolinha maciça e de um sistema massa-mola contra o solo. Para uma rigidez fixa $B$, o coeficiente de restituição $e$ aumenta à medida que diminui a compressibilidade ou a deformação $\epsilon$, conforme indica a seta vermelha vertical. Do ponto de vista energético, a bolinha maior converte mais energia mecânica inicial do CM em energia interna, o que resulta em um coeficiente de restituição menor. A força peso maior ajuda a deformar mais, resultando em uma movimentação relativa maior entre as partes do sistema e, consequentemente, em um aumento maior da energia interna durante a colisão, quando comparada à bolinha menos massiva.

Figura 6
(a) Coeficiente de restituição em função da altura para bolinhas confeccionadas com massinha de modelar. Círculos pretos: bolinha de massa $12g$. Círculos vermelhos: bolinha de massa $6g$. (b) Diferença entre os coeficientes de restituição das duas bolinhas em função da altura.

Já para alturas maiores, na faixa que vai de $8cm$ até $11cm$, o coeficiente de restituição passa a depender menos da massa e da altura de queda das bolinhas, atingindo valores muito próximos entre si, $e\approx 0.46$, conforme ilustram as Figuras 6-(a) e 6-(b). Caso este comportamento viesse a se manter para alturas cada vez maiores, variando lentamente com a altura de queda, poderíamos entender o comportamento considerando o limite $h\to \infty$ na equação 4, de modo que o coeficiente de restituição ficaria expresso apenas em termos da deformação $e\approx 1/\left(1+\epsilon \right)$, que coincide com a equação 7 para o limite de esfera rígida. Neste caso, o resultado experimental para alturas mais elevadas poderia ser entendido em termos do referido limite assintótico. Neste caso, a deformação não dependeria mais da altura e nem da massa, mas somente do material, de tal modo que ambas teriam aproximadamente o mesmo coeficiente de restituição $e\approx 1/\left(1+\epsilon \right)\approx 0.46$ e deformação $\epsilon \approx 1.17$.

Nas Figuras 7-(a) e 7-(b), comparamos, respectivamente, os resultados para as energias elétricas transferidas ao piezoelétrico na colisão de cada bolinha e a diferença entre elas em função da altura de queda. Percebe-se que a escala de energia para a bolinha maior é o dobro da escala de energia para a bolinha menor, ou seja, a energia elétrica transferida aumenta com a massa. Este resultado é esperado, uma vez que a tensão elétrica gerada é proporcional à força de impacto trocada entre a bolinha e o piezoelétrico durante a colisão, que, intuitivamente, aumenta com a massa. Para as duas bolinhas mencionadas, a energia elétrica cresce inicialmente com a altura. Para a bolinha menos massiva, o crescimento é mais gradativo do que para a massa maior. Isto está relacionado ao fato de a deformação da bolinha menos massiva ser mais gradativa em função da altura de queda, em comparação à mais massiva. Na bolinha mais massiva, atua uma força peso maior que a faz deformar de maneira mais significativa, transferindo mais energia elétrica do que a bolinha menos massiva, mesmo para alturas iniciais mais baixas.

Figura 7
(a) Resultados da energia elétrica gerada na colisão de duas bolinhas confeccionadas com massa de modelar, em função da altura. Círculos pretos: bolinha de massa $12g$. Círculos vermelhos: bolinha de massa $6g$. (b) Diferença entre as energias elétricas geradas na colisão das duas bolinhas em função da altura.

Conforme ilustram as Figuras 7-(a) e 7-(b), o comportamento ruidoso da energia elétrica transferida pela bolinha de massa maior de $12g$, justificado pela grande variabilidade nas barras de erro, não nos permite obter uma tendência de comportamento clara em função da altura para esse conjunto de dados. Por outro lado, este comportamento é contrastado com o crescimento regular assintótico para a energia elétrica transferida pela bolinha menor de massa $6g$ para alturas elevadas. Uma vez que a energia elétrica transferida durante a colisão é igual à área abaixo do gráfico da Figura 5, este comportamento regular assintótico pode ser atribuído ao fato de a potência máxima dissipada aumentar e o tempo de colisão diminuir, de modo que a área sob o gráfico tende a se manter. Quanto maior for a altura de queda, maior a potência máxima dissipada (mais alto será o pico da curva) e menor será o tempo de colisão (mais estreita será a curva). Este é um resultado não trivial quando pensamos apenas no comportamento da potência de pico, que tende a aumentar com a altura de queda. O que poderia fazer o leitor pensar, em um primeiro momento, no aumento monotônico da energia elétrica em função da altura de queda. Todavia, a contribuição para a energia elétrica transferida é obtida pela área abaixo do gráfico da potência dissipada em função do tempo. Neste caso, o comportamento temporal da potência dissipada durante a colisão parece determinar o comportamento não trivial da energia elétrica em função da altura de queda.

Por sua vez, a diferença de comportamento das energias elétricas transferidas em função da altura de queda, para os dois conjuntos de dados associados às bolinhas de $6g$ e $12g$, pode ter sua fonte nas imperfeições das superfícies dessas bolinhas. A energia elétrica transferida está relacionada à distribuição da força exercida pela bolinha sobre a superfície do sensor, que, por sua vez, depende da área de contato da bolinha durante o curto intervalo de tempo da colisão. Desta forma, a bolinha maior tende a manter menos o seu formato esférico e a se deformar mais do que a menor sob determinada tensão mecânica, uma vez que ambas são feitas do mesmo material macio. E, neste caso, a transferência de energia elétrica associada à bolinha maior poderá variar de forma mais significativa devido à maior irregularidade da área de contato decorrente das deformações permanentes ao longo das repetições. O que pode acabar justificando a grande variabilidade das barras de erro dos dados associados.

Na Figura 8, avaliamos o coeficiente de restituição em um cenário de rigidez mais elevada. Neste caso, repetimos o experimento com uma bolinha do tipo “pula-pula”, de massa $12g$ e diâmetro $\mathrm{2,4}$cm. Conforme esperado pelo nosso modelo e ilustrado na Figura 8, a bolinha restitui mais energia mecânica ao CM após a colisão, o que implica um coeficiente de restituição maior, quase o dobro, em relação à bolinha feita com massinha de modelar de massa correspondente (ver Figura 6). O que implica também uma menor transformação da energia mecânica do CM em energia interna.

Figura 8
Resultados do coeficiente de restituição da bolinha “pula-pula” de massa $12g$ em função da altura de queda.

Conforme mostram os dados da Figura 8, as barras de erro do coeficiente da bolinha pula-pula apresentam comportamento errático. A grande variabilidade das barras de erro, neste caso, pode estar associada à não uniformidade das deformações nos diferentes pontos de contato, provocada pela bolinha pula-pula na superfície do sensor piezoelétrico ao longo das diferentes repetições experimentais, o que pode levar a valores distintos de altura de retorno após a colisão. Por outro lado, em decorrência da grande variabilidade das barras dos dados apresentados na Figura 8. Um comportamento de crescimento monotônico do coeficiente de restituição em função da altura, tendendo a um valor assintótico, previsto pelo modelo teórico desenvolvido, não deve ser descartado em um cenário experimental mais adequado, no qual as incertezas são minimizadas. Na faixa de alturas restritas entre $9cm$ e $11cm$, na qual as barras de erro são reduzidas, os valores médios exibem um comportamento visual aproximadamente constante que seria mais convenientemente corroborado pelo limite assintótico de esfera rígida dada pela equação 7. Uma vez que a bolinha pula-pula é mais rígida do que a confeccionada com massinha de modelar.

O efeito da não uniformidade das deformações na superfície do sensor piezoelétrico nos seus diferentes pontos de colisão também pode vir a explicar a variabilidade das barras de erro para o coeficiente de restituição da bolinha de massa $12$g feita com massinha de modelar na faixa de altura entre $4cm$ e $6cm$, conforme ilustra a Figura 6. Por sua vez, os dados do coeficiente de restituição associados à bolinha pula-pula parecem ser mais sensíveis à não uniformidade das deformações na superfície do sensor piezoelétrico, em função das diversas alturas medidas, devido à sua maior rigidez, quando comparada à da bolinha feita com massa de modelar.

Outra possível fonte importante de erro que pode impactar a medida do coeficiente de restituição são os eventos em que a bolinha, após a colisão, retorna em um plano de movimento diferente daquele da descida. O que pode resultar em uma medida equivocada da altura de retorno. Isto pode acontecer em decorrência de imperfeições nas superfícies de contato ou por alguma perturbação no movimento de queda da bolinha, como, por exemplo, uma pequena rotação indesejada no momento em que a bolinha é abandonada.

5. Considerações Finais

Neste trabalho, propomos um modelo simples de duas massas pontuais ligadas por uma mola, para entender qualitativamente como o coeficiente de restituição de um objeto maciço real depende da sua deformação e rigidez, bem como da altura de queda. O modelo desenvolvido captura a conversão de energia mecânica do CM em energia interna durante as colisões e a descrição dos diversos tipos de colisões por meio de um diagrama de fases.

Em um primeiro momento, confrontamos qualitativamente dados experimentais para o coeficiente de restituição de bolinhas feitas com massinha de modelar com o modelo desenvolvido. Verificamos que os dados variam lentamente com a altura de queda, em uma faixa restrita de $8cm$ a $11cm$, conforme ilustra a Figura 6. E mostramos que, em um possível cenário em que esse mesmo comportamento se mantenha para alturas cada vez maiores, em um limite assintótico, é previsto pelo modelo teórico desenvolvido. Por sua vez, para alturas mais baixas, os dados experimentais de uma das bolinhas não apresentam um comportamento bem definido, devido à grande variabilidade das barras de erro. E o mesmo acontece com o conjunto de dados da bolinha pula-pula para todas as alturas de queda. O comportamento errático das barras de erro em diferentes alturas também dificulta a determinação do comportamento experimental dos dados de energia elétrica transferida pela bolinha de maior massa $12g$.

Para uma comparação teoria-experimento mais adequada, pretendemos no futuro aprimorar o aparato experimental para reduzir as incertezas experimentais, controlando melhor, por exemplo, o alinhamento da câmera, o procedimento de abandono da bola e a altura de queda na qual as bolinhas são abandonadas, além de realizar uma quantidade maior de medidas. E também pretendemos medir coeficientes de restituição em alturas mais elevadas, a fim de testar o limite assintótico previsto pelo modelo desenvolvido. Além de realizar experimentos com bolinhas confeccionadas com outros tipos de materiais.

Do ponto de vista pedagógico, este trabalho tem o propósito de evidenciar a importância das analogias na elaboração de modelos mais simples e que, ao mesmo tempo, capturem os pontos essenciais, na tentativa de promover um entendimento mais claro do fenômeno abordado. Além de expor as dificuldades que surgem ao confrontar resultados experimentais com o modelo teórico e a importância de controlar e mitigar as principais fontes de incerteza durante a execução experimental.

Agradecimentos

Os autores agradecem ao Programa Jovens Talentos da FAPERJ e ao IFRJ pelas bolsas de iniciação científica concedidas durante o desenvolvimento do projeto. Gostaríamos de agradecer também a atuação do segundo árbitro, que julgou o trabalho de maneira bastante criteriosa, auxiliando, no final, a melhorar significativamente, principalmente, a apresentação e a discussão dos resultados. E a J. F. Nascimento, por ceder gentilmente o código-fonte do Arduino para ser adaptado aos devidos fins deste trabalho.

Disponibilidade de Dados

Todo o conjunto de dados que dá suporte aos resultados deste estudo foi disponibilizado em https://github.com/RSDFIS/Experiments-of-collisions.

Referências

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Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  26 Jan 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  07 Jul 2025
• Revisado
  12 Dez 2025
• Aceito
  15 Dez 2025