Experimento con imágenes del movimento de una barra que cae y análisis de los vínculos

Analysis of constraints in the motion of a falling stick using an experiment with images

Resumo

Los vínculos y sus efectos son poco abordados en textos de física introductoria y clases teóricas de mecánica. Para problematizarlos, recuperamos el mecanismo de una barra que, al caer, gira en torno de un eje. Como otros trabajos del grupo Mecánica EXperimental con Imágenes (MEXI, http://www.fep.if.usp.br/~fisfoto/), filmamos ese movimiento para medir, en cada cuadro extraído de esos videos, el ángulo que la barra forma con la horizontal y asociarlo al instante de tiempo en que la imagen fue captada. Los resultados experimentales se comparan con los de un modelo teórico cuya representación matemática se basa en la relación entre torque y aceleración angular, que lleva a una ecuación diferencial de segundo orden en una única variable, y necesita ser integrada numéricamente. El estudio de la componente vertical de la aceleración de la barra permite constatar que la aceleración en la punta, dependiendo del ángulo inicial de lanzamiento, es a veces mayor que g. Esta experiencia es también un buen ejemplo de cambio de coordenadas polares a cartesianas a explorar en clase. La propuesta se fundamenta en una concepción modeloteórica de la física a enseñar y pretendemos que se constituya en un ejemplo paradigmático en el estudio de la caída constreñida.

Palavras-chave:
Vínculos; tecnologías de la información y la comunicación; experimentos con imágenes; modelos en física

Abstract

To problematize the topic of constraints in classes on theoretical mechanics, seldom found in introductory physics texts, we reexamine the mechanism of a stick that, when falling, rotates around an axis. Like other works of the Mechanical EXperiments with Images (MEXI, http://www.fep.if.usp.br/~fisfoto/) project, we recorded this movement to measure, in each frame extracted from these videos, the angle that the stick forms with the horizontal and associate it with the instant of time in which the image was captured. The experimental results are compared with those of a model whose mathematical representation is based on the relationship between torque and angular acceleration, which leads to a second-order differential equation in a single variable, and needs to be integrated numerically. The study of the vertical component of the stick’s acceleration allows to verify that, depending on the initial angle of launch, its value at the tip is sometimes greater than g. This experience is also a good example of polar to Cartesian coordinates change to be explored in class. The proposal is based on a theoretical model conception of the physics to be taught and is aimed to constitute a paradigmatic example in the study of the constrained fall.

Keywords:
Constraints; Information and Communication Technologies; experiments with images; models in Physics

1. Introducción

El estudio de los vínculos es un tópico al que normalmente se le presta poca atención en las clases de mecánica clásica de los diferentes niveles educativos. Tanto el análisis de los efectos de una restricción particular en el movimiento y en el reposo de un cuerpo como las ecuaciones, deducciones y demostraciones asociadas son escasos en los libros de texto. Con el propósito de atender a estas cuestiones en clases teóricas universitarias de mecánica, recuperamos aquí el mecanismo ampliamente estudiado de la caída de una barra que gira en torno a un eje localizado en una de sus extremidades, para plantear un modelo teórico de ese sistema y decidir sobre su adecuación usando resultados de su investigación empírica.

Partimos de modelizar que, cuando una barra rígida rota en relación a un eje fijo, en su interior se producen fuerzas longitudinales y transversales que hacen que todos sus puntos sigan de manera coherente el movimiento de rotación. En el caso en que la barra sea abandonada a la acción del campo gravitacional, el eje, entendido como vínculo, evitará ciertos desplazamientos. De acuerdo con el modelo teórico adoptado, esto supone que las fuerzas internas en la barra se vayan adecuando en el tiempo para forzar el movimiento circular de todos sus puntos, manteniendo la forma y tamaño del cuerpo. Si la barra no es suficientemente resistente, se partirá por acción de esas mismas fuerzas.

Para contextualizar este fenómeno, cuando presentado en las clases de mecánica, a menudo se utiliza, como ejemplo paradigmático, el análisis de lo que ocurre cuando una chimenea que cae se parte durante la caída, pues su material de albañilería no resiste las fuerzas internas de tracción y de cizallamiento [¹]. Durante las caídas de la chimenea y de la barra, esas fuerzas en el interior del material se componen con el peso de modo que, en ciertas circunstancias, toda una región del objeto acelera más que la gravedad. Debemos recordar que, a lo largo de la barra o de la chimenea, cada punto posee una aceleración diferente, que comienza en cero en el eje de la barra o la base de la chimenea, que son los puntos vinculados al laboratorio, y se hace mayor a medida que nos alejamos de esos lugares. Debido a que suponemos continuidad en esta magnitud, uno de los puntos de la barra o de la chimenea tendrá entonces aceleración igual a g. Una cuestión interesante a explorar es la de si ese punto es fijo o se mueve con el tiempo.

El presente trabajo propone la llamada modelización teórica del comportamiento de la ya tratada barra que cae dentro del marco de un curso de mecánica elemental en la carrera de formación inicial del profesorado de física y trasladable a otras carreras. Tal estudio se lleva adelante apoyándose en la comparación colectiva y fundamentada entre un modelo matemático y un experimento filmado, bajo los lineamientos de la llamada epistemología semanticista y, en particular, del modelo cognitivo de ciencia desarrollado por Ronald Giere [²]. Esta propuesta es particularmente potente para diseñar de manera fundamentada una enseñanza de la física basada en modelos [³].

De acuerdo con este marco teórico [², ³], un modelo es una representación abstracta de un sistema real expresada en diversos lenguajes. El modelo captura aspectos seleccionados del sistema y los aproxima hasta ciertos grados. A partir de un modelo se producen hipótesis teóricas que se ponen a prueba contra los resultados de la investigación empírica para decidir el ajuste entre ese modelo y los hechos del mundo que él pretende representar. Nuestra intención es acompañar al estudiantado en la modelización de la barra vinculada que cae de acuerdo con un enfoque didáctico que sigue de cerca estas ideas epistemológicas.

La propuesta invita a modelizar en contexto los efectos de las restricciones en un movimiento. Para ello echaremos mano a los conceptos de rotación, torque, inercia rotacional, aceleraciones tangencial y centrípeta, fuerzas internas y de vínculo y fuerzas de tracción y cizallamiento. De acuerdo con el metamodelo epistemológico de Giere, usaremos una versión abstracta de la chimenea que se derrumba como modelo teórico para cubrir el caso de la barra. Para tal caso, nos concentraremos en el aspecto del modelo que tiene en cuenta a la dependencia de las velocidades (y aceleraciones) de los puntos de la barra con sus posiciones respecto al eje, que es suave y continua, y dejaremos de lado el aspecto del cizallamiento.

Para nuestra propuesta de enseñanza, filmamos un mecanismo real y, con base en el video obtenido, creamos un experimento con imágenes cuyo análisis, discusión e interpretación contribuyan a la planificación, ejecución y evaluación de clases teóricas de mecánica. No se trata, por tanto, de sustituir los laboratorios didácticos tradicionales, sino de añadir a las clases de teoría un contexto visual de fenómenos reales. La idea es discutir la física que se está aprendiendo en dichas clases por medio de un ejemplo real y desde un marco experimental, pero sin toda la compleja labor técnica requerida para ejecutar la experiencia desde la perspectiva de un laboratorio de enseñanza. Los conjuntos de imágenes que obtuvimos, la guía de análisis para esta actividad y todo el material complementario necesario para poner en marcha nuestra propuesta son accesibles por el linkhttps://fep.if.usp.br/~fisfoto/rotacao/barraquecai. Los estudiantes del tercer semestre del curso de Licenciatura en Física de la Universidad de São Paulo realizaron esta actividad en el primer semestre de 2025. La actividad se está evaluando y los resultados se publicarán oportunamente.

Presentamos aquí los objetivos didácticos buscados con el análisis del experimento, sección 2, seguida por una revisión de los trabajos anteriores sobre ese tema sección 3. La construcción del aparato y su presentación a los estudiantes aparecen en la sección 4. La elaboración del modelo matemático es el tema de la sección 5. El grado de semejanza entre los resultados experimentales y los valores calculados es explorado en la sección 6, y la 7 detalla los puntos de interés didáctico. La Conclusión cierra el trabajo.

2. Propósito y Enfoque

El estudio de las rotaciones en cuerpos rígidos presenta desafíos importantes para el estudiantado de nivel preuniversitario y universitario [⁴]. El experimento con imágenes descrito en este trabajo pretende dar insumos para alcanzar los siguientes objetivos generales de enseñanza de la física en relación con este tópico tan desafiante:

1. Intentar dar sentido a las magnitudes físicas involucradas en la ecuación de movimiento para la rotación –que ya no son más la fuerza y la masa, como en la traslación.

2. Examinar la utilidad del concepto de fuerza de vínculo y definir estrategias acerca de la manera más productiva de incorporarlo en los modelos teóricos mecánicos, teniendo en cuenta que:

   • llamar a una fuerza de vínculo o interna supone describir su papel en el estado de movimiento de un sistema, no indicar su naturaleza o esencia;

   • las fuerzas internas en un cuerpo extenso pueden ser analizadas dividiendo el cuerpo en (pequeñas) partes vinculadas entre sí; y

   • la fuerza de vínculo es, por definición, en cada momento exactamente la necesaria para mantener la integridad (forma y tamaño) del cuerpo en movimiento, mientras este no se rompa.

Dentro de este encuadre general de grandes propósitos para la enseñanza de la física, el sistema de la barra fija a un eje que se deja caer sirve en particular para atender a algunos objetivos específicos, que encontramos importantes para caracterizar y comparar muchos sistemas físicos paradigmáticos (ejemplares por su capacidad de transferencia) y darles una explicación basada en modelos, o modeloteórica[³]:

1. Identificar qué vínculo(s) hay y qué roles cumple(n) en este movimiento especifico. Aquí podríamos introducir el tratamiento:

   • del eje, que obliga al cuerpo a rotar sin desplazarse; y

   • de la rigidez de la barra (que corresponde a una infinidad de vínculos internos entre sus partes), que es la que determina la relación entre las aceleraciones de todos sus puntos.

2. Emplear coordenadas polares y relacionarlas con las cartesianas, atendiendo a que una de las dificultades para hacer esto estriba en que los vectores unitarios cambian con la localización en el plano.

Los trabajos de Härtel [⁵] presenta una simulación de las caídas de una barra elástica y otra rígida, y compara los tiempos de caída de sus extremidades entre ellos y con el de una esfera colocada en la extremidad de la barra. La propuesta identifica los ángulos iniciales de caída y analiza los resultados obtenidos en cada uno de los tres casos. Entre las preguntas que el artículo sugiere trabajar se encuentran: ¿de dónde proviene la fuerza que causa la aceleración “adicional” de la punta de la barra?, ¿habrá algún ángulo en que la esfera caiga en simultáneo con tal punta?

A partir de esas dos preguntas, nosotros profundizamos en el siguiente aspecto modeloteórico: ¿qué hace que la extremidad de la barra acelere más que por la gravedad? O, lo que es equivalente, pero puede ser más intrigante para el estudiantado, ¿habrá algún punto de la barra cuya aceleración sea igual a g? (Nótese que esta es otra versión de la pregunta de Härtel sobre la simultaneidad de caída entre barra y esfera.)

Hay por supuesto otras cuestiones que son importantes para la comprensión de este fenómeno físico, adecuadas para disparar la discusión en clase acerca de cómo proceder para solucionar el problema: ¿qué papel juega la restricción impuesta por el eje en el movimiento de la barra?, ¿qué efectos trae el hecho de rotar en torno a ese eje fijo?, ¿cuáles son las fuerzas actuantes en el sistema? La pregunta direccionadora que encamina la resolución de todas estas cuestiones es: ¿cuál sería la ecuación de movimiento que mejor captura la rotación en torno a un eje fijo? En una primera aproximación, se trata de un punto central del programa (tradicional) de contenidos de mecánica que, cuando comprendido, permite la solución cinemática del problema propuesto, aunque no apunte todavía a la determinación de las fuerzas de vínculo ni a explicar por qué, en el caso de la chimenea, esta casi siempre se rompe al caer.

Un camino para ir encontrando las respuestas a estas preguntas con modelos físicos reside en calcular el torque del peso aplicado al centro de masa y, con él, determinar la aceleración angular de la barra. Calculada la aceleración angular, se puede interpretar la aceleración vertical como formada por componentes cartesianas de las aceleraciones centrípeta y tangencial, asociadas a las direcciones de los vectores unitarios en coordenadas polares. Ello permite encontrar la aceleración de la punta de la barra y de cualquier otro punto a lo largo de ella. Este es un movimiento en dos dimensiones, así que el término aceleración necesita ser aclarado – ¿se habla del vector o de una componente?, ¿se trata de una componente cartesiana (en la dirección de la aceleración de la gravedad) o de una componente polar (en la dirección tangencial a la trayectoria de un punto)? La precisión lingüística en la modelización es una condición necesaria para que la/el estudiante desarrolle correctamente el modelo matemático asociado para calcular la cantidad de interés. Como dijimos, la mayoría de los estudiantes tiene dificultad para realizar transformaciones entre sistemas de referencia polares y cartesianas, por lo que la propuesta experimental aquí presentada apuntaría a un uso comprensivo y justificado de las coordenadas polares.

3. Antecedentes

El caso de la rotación de una barra en relación a un eje localizado en una extremidad de manera que pueda girar en un plano vertical bajo la acción de la gravedad ha sido estudiado en numerosos trabajos con muy diversos enfoques (teórico, numérico, computacional, experimental, analógico, etc.). Seleccionamos aquí algunas de esas referencias para especificar mejor nuestro propio acercamiento.

Gómez-Tejedor [⁶] caracteriza, con un sistema similar al usado en nuestro trabajo, el movimiento de una barra rígida cuya posición es medida con un sensor óptico. En su publicación se comparan los resultados experimentales con aquellos provenientes de un modelo analítico basado en ecuaciones diferenciales del movimiento de un péndulo. Shan [⁷] describe la caída de una barra a la que se le fueron adicionando masas a diferentes distancias del eje de rotación con el fin de verificar la influencia que éstas tienen en la aceleración de caída. Roque et al. [⁸] desarrollaron una versión de este último experimento para el análisis de un video hecho en clase, dirigida a estudiantes de STEM de enseñanza media y pregrado.

Por su parte, Vollmer y Mollmann [⁹] señalan que pocos trabajos con imágenes y videos han usado velocidades de captura superiores a 41 cuadros por segundo y desarrollan una propuesta de trabajo en el laboratorio de enseñanza de la física que combina la experiencia laboratorial concreta con imágenes obtenidas con una filmadora rápida (de tasa de captura de 1000 cuadros por s) y con modelos computacionales.

En relación con el fenómeno de caída y quiebre de las chimeneas altas (como las de fábricas), que nos sirve de anclaje analógico para motivar nuestra propuesta, hay una enorme cantidad, todavía creciente, de literatura al respecto. De ella seleccionamos unas pocas referencias cuyo enfoque teórico nos resulta valioso.

El trabajo de Varieschi y Kamiya [¹⁰], así como el de Hinrichsen [¹¹], discuten la mecánica básica involucrada y su posible aplicación didáctica con demostraciones y videos relacionados a este fenómeno espectacular. Hinrichsen, que en su propuesta usó el programa Tracker, señala que muchas chimeneas modernas, cuando se derrumban, resisten al cizallamiento y que algunas no rotan en torno de su base. Él calculó la condición para que la reacción normal en la base de la chimenea sea nula y así se facilite el deslizamiento de tal base.

El ya citado trabajo de Bartlett [¹], que revisa varios artículos anteriores sobre el tema, asocia el comportamiento de la caída de la chimenea con el de una barra suspendida por una bisagra y modeliza la ruptura de la primera por las enormes fuerzas de cizallamiento a las que está sometida.

El tratamiento del tópico de la rotación de un cuerpo rígido longitudinal en torno a un eje en los libros de texto de física básica se limita a determinar velocidades en función del ángulo con la horizontal cuando la barra es abandonada desde una posición inicial conocida. El libro de Ehrlich [¹²] describe además una demostración al respecto, aunque entendemos que su realización exitosa resulta difícil de apreciar¹. Sin embargo, Lindén y Anttu [¹³] perfeccionan esa demostración; ellos filman la caída de una barra con pequeñas esferas que ocupan, inicialmente, hendiduras que evitan el movimiento en la dirección radial a lo largo de la barra. Puede observarse que las esferas más cercanas a la punta libre se despegan. El vínculo adicional debido a la hendidura desempeña un rol importante y será tratado en este trabajo, secciones 5.2.5, 6.3 y 7.5.2.

Por su parte, en el muy utilizado manual universitario de Resnick, Halliday y Krane [¹⁴], el planteamiento básico del problema se complementa con una imagen de una chimenea alta a la que se le ha colocado carga explosiva en su base para derrumbarla. Creemos que incluir en un libro tan famoso este hecho del mundo, que desde el modelo epistemológico al que adherimos se entiende como un ejemplo paradigmático, ayuda al estudiantado a reconocer la naturaleza del problema que se le invita a resolver. Sin embargo, el texto no da pistas sobre los caminos más adecuados para atacar su tratamiento y así poder plantear hipótesis, estimaciones, predicciones y cálculos, con lo cual la referencia al mundo real está, a nuestro juicio, marcadamente subaprovechada.

Para nosotros, mapear la caída y el quiebre de la chimenea fabril con un modelo teórico con base en Giere [², ³] requiere considerar, primeramente, que tanto la velocidad como la aceleración de cada punto de esa chimenea que cae son funciones de la distancia a la base a causa de la condición de rigidez del cuerpo, que entendemos como vínculo. Y, en segundo lugar, proponer la hipótesis teórica de que, durante el derrumbe de la chimenea, aparecen en función del tiempo fuerzas de cizallamiento que mantienen la integridad del sistema, pero que, llegado el caso, pueden tornarse tan grandes que venzan la resistencia del material. Se plantea así, en una formulación giereana, el lazo condicional siguiente: si llega un momento en que la argamasa que une los ladrillos no consigue mantener la cohesión de la estructura en contra de las fuerzas internas, entonces la chimenea se quiebra en dos o más partes de una manera bien determinada [¹, ¹⁰, ¹¹]. En este trabajo, como dijimos, nos concentraremos en entender cómo operan los efectos de este tipo de vínculos en el modelo de la barra, pero no profundizaremos en el estudio de las fuerzas de cizallamiento. Puede revisarse esto en la literatura; por ejemplo, en Varieschi y Kamiya [¹⁰].

4. El Experimento Con Imágenes

4.1. La actividad propuesta a los estudiantes

El desarrollo del experimento fotografiado descrito en este artículo viene a aumentar el acervo de la página de nuestro programa de innovación Experimentos de Mecánica con Imágenes – MEXI (http://www.fep.if.usp.br/~fisfoto/), que ya contiene otros que abordan la traslación [¹⁵, ¹⁶, ¹⁷] y la rotación [¹⁸, ¹⁹]. Todos los experimentos con imágenes en el MEXI fueron creados para apoyar clases de física introductoria o intermedia que abordan temas de mecánica clásica, desde conceptos elementales hasta otros que necesitan de un bagaje teórico más elaborado [²⁰, ²¹]. La perspectiva que nos guía es la que el estudiantado emita juicios sobre la similitud entre modelos teóricos (explicativos) y fenómenos observados experimentalmente, en un tipo de trabajo similar al de los físicos profesionales.

La orientación teórica elegida para la aplicación de nuestros experimentos con imágenes provenientes de videos reales en las aulas sugiere primeramente la selección de un modelo teórico (mapa abstracto de la situación) que se muestra como candidato para explicar el fenómeno bajo estudio. A ello sigue la manipulación formal del aparato teórico para obtener suposiciones y predicciones acerca de su funcionamiento y, por último, se realiza la comparación entre este insumo teórico y los resultados (datos) provenientes de la realización de un “experimento” sobre el video del fenómeno controlado, con la consiguiente valoración (colectiva y crítica) del grado de semejanza entre uno y otros [², ²²].

Se funciona así en las clases de física siguiendo de cerca la idea de Giere de hipótesis teóricas: si suponemos que este modelo que elegimos explica satisfactoriamente el fenómeno que estamos estudiando, entonces debemos esperar este comportamiento, y obraremos en consecuencia en el laboratorio (o, en nuestro caso, sobre las imágenes de los videos). Los resultados de la comparación crítica abren diversos caminos para el estudiantado: (1) se acuerda en que el fenómeno queda bien modelizado, y entonces deviene el caso de la regla teórica (una caída libre vinculada); (2) el parecido es insuficiente y hay que hacer ajustes, que pueden ser tanto a nivel del modelo teórico como en el propio montaje experimental; (3) no se reconoce parecido, se juzga que el modelo es inapropiado para explicar el fenómeno y se lo descarta en procura de uno nuevo.

Muchos de los experimentos de MEXI fueron usados, bajo diferentes configuraciones didácticas, en cursos de física de pregrado (por ejemplo, Profesorado y Licenciatura), con sus correspondientes guías para estudiantes. Desde hace cinco años, estas guias se han ido reescribiendo con la fundamentación teórica giereana a la que ahora adherimos. En las nuevas versiones, cobra protagonismo el concepto de modelo teórico, entendido como mapa abstracto de la situación bajo estudio con fuerte carácter analógico, caracterizado por unas reglas (en física, típicamente las leyes) [³]. El experimento con imágenes reportado aquí aborda un movimiento de rotación con aceleración que no es constante (ejemplo paradigmático que aún no habíamos tratado en MEXI). El ciclo de modelización expuesto más arriba se puede aplicar a este caso porque, en el modelo adoptado, el problema bajo estudio tiene una solución numérica que provee datos a comparar con los obtenidos del tratamiento directo e indirecto de las imágenes. La guía se puede abrir desde la página del experimento anteriormente citada.

4.2. Descripción del dispositivo experimental

La Figura 1 muestra dos imágenes del dispositivo. En una se observan la barra vinculada y la esfera metálica de control en la posición de lanzamiento (1A); la otra es un recorte de otra imagen original con la barra ya en una posición alejada del punto de partida (1B), ejemplo de las imágenes componentes de los conjuntos que son usados para medir la posición angular de la barra en el movimiento de caída.

Figura 1
Imágenes extraídas del video original: A, antes del inicio de la caída; B, imagen recortada de la original donde se observa el transportador al frente de la barra de metal, ya en caída. El número 0,1458 corresponde al instante de tiempo, en segundos, en que esa imagen fue capturada, en una escala con origen en el instante inicial de la caída.

Se usó una barra de hierro con dimensiones 55,0×0,8×0,3 cm³ de largo, ancho y espesor, respectivamente. Fue montada al frente de una base de madera en L revestida en fórmica blanca. La barra fue pintada y sobre ella se dibujó una línea desde el eje de rotación y a lo largo de toda su longitud, que sirvió para ayudar a medir la posición angular. Al frente de la barra, y con el origen de la referencia coincidente con el eje de rotación, fue colocado un transportador, que posibilitó la medida de su posición angular.

A la misma altura de la extremidad suspendida de la barra fue colocada una esferita de hierro. Ambos objetos quedaron suspendidos por la acción de electroimanes (confeccionados en ferrita blanda, para evitar que se establezca un campo remanente). Así, basta desactivar los electroimanes de sustentación para iniciar la caída libre de ambos cuerpos de forma simultánea.

Con este montaje, se filmaron diversos videos. En ellos, el ángulo de sustentación de la barra fue de 33,85^∘ con relación a la horizontal. En uno de los videos se muestran ambos objetos en una caída que se inicia simultáneamente; su visualización invita a las y los estudiantes a la indagación, al constatar ellos con sorpresa que la extremidad de la barra llega a la base antes que la esfera. Para el experimento con imágenes, nos concentramos solo en la caída de la barra, que será estudiada con detalle; se descarta seguir el movimiento de la esfera, puesto que se admite que ella cae con aceleración constante e igual a la de la gravedad local.

Otro aspecto que necesita problematización es el rol de la rigidez de la barra. Para eso, se filmó una cadena, con una extremidad presa al mismo eje que la barra, que fue inicialmente estirada formando un ángulo similar al que estaba la barra, para luego abandonarla a la acción de la gravedad. Este video solo es usado para un examen cualitativo, en la introducción de la experiencia.

Los videos usados para generar las imágenes para análisis fueron captados por una filmadora (Sony Nex-FS700NH) con una tasa de captura de 240 imágenes por segundo. Todo el conjunto fue iluminado con lámparas halógenas que permitieron videos nítidos; el obturador de la filmadora tuvo que ser fijado en 1/2000 s. El eje óptico de las lentes de la filmadora fue alineado perpendicularmente al plano del transportador centrado en el eje de rotación, para evitar paralaje de la lectura de los ángulos.

Los diversos conjuntos de imágenes de la pestaña “quadros” de la página web fueron obtenidos de los videos con la ayuda del programa EDIUS 8. Un código de tiempo, que oficia de cronómetro, fue colocado en cada imagen con el programa Mathematica. Ese número fue fabricado de acuerdo a la tasa de captura de las imágenes, sin corregirlo por el tiempo de barrido de la imagen (ver Apéndice C.1), pero tiene como origen (t = 0 s) el instante de inicio de la caída. Se determinó ese instante tomándolo como parámetro por ajuste con el método de cuadrados mínimos, como se describe en el Apéndice A. Los códigos de tiempo insertados en las imágenes recortadas (como la de la Figura 1B) facilitan la lectura de cada posición angular y la asocian al número que representa el instante de tiempo para esa posición. Observe que no hay nada específico sobre el uso de estos programas, y pueden ser reemplazados por Python o GeoGebra para los cálculos, así como la versión gratuita de varios de los programas existentes para el tratamiento de imágenes.

El experimento fue filmado diversas veces para obtener conjuntos de imágenes distintas (y, consecuentemente, de datos distintos) suficientes para numerosos grupos de estudiantes de un curso.

4.3. Dimensiones del aparato experimental

Para poder aplicar un modelo que se ajuste a los resultados del análisis, los diferentes elementos del aparato experimental deben ser bien conocidos. La Figura 2 muestra un esquema del aparato experimental, donde las letras E, CM y P representan los puntos donde se localizan el eje de rotación, el centro de masa y la extremidad de la barra, respectivamente. H y Q son los puntos de la recta horizontal que pasa por E y están alineados verticalmente con CM y P, respectivamente.

Figura 2
Esquema de la barra, fuera de escala, identificando la posición de los puntos mencionados en el texto. a y d son el largo de la barra y la distancia del centro de masa (CM) al eje (E). El diseño a la izquierda y arriba de la figura detalla la posición del eje en relación a la extremidad de la barra.

La Tabla 1 trae los valores de las magnitudes físicas necesarias para incorporar al modelo. Pero, de todos los valores dados, solamente a, δ y g entrarán en los cálculos – las demás magnitudes se cancelan a lo largo del desarrollo matemático, o bien tienen valores que pueden ser ignorados en nuestro análisis.

Tabla 1
Características del aparato experimental, de acuerdo a los nombres de las dimensiones de la Figura 2. Los valores entre paréntesis indican el desvío estándar en unidades del último dígito significativo de la magnitud.

Dimensión	Valor
a, longitud de la barra	55,00(5) cm
δ, distancia eje-extremidad	0,63(3) cm
b, ancho de la barra	0,80(3) cm
espesura de la barra	0,30(3) cm
diámetro del eje	0,21(1) cm
θ0, ángulo inicial	33,85(3)∘
g, aceleración local de la gravedad	978,6(3) cm/s2

El transportador no está en el mismo plano de la barra (hay una distancia de 4 cm entre ellos), pero los errores de medición del ángulo por paralaje fueron minimizados al colocar el eje óptico de las lentes de la filmadora centrado y alineado con el eje de rotación, donde se localiza el centro del transportador; la incertidumbre debida a la precisión con que se logra alinear todo el sistema está discutida en el Apéndice C.2.

5. Representación Matemática Del Modelo Teórico

El eje de rotación está fijo en la dirección horizontal y establece un vínculo: una restricción al movimiento de la barra, obligándola a rotar en un plano vertical. En ese plano se definen dos sistemas de coordenadas, ambos con origen en el eje de rotación O, que corresponde al centro del eje material del aparato experimental, punto E de acuerdo a la xOy, con vectores unitarios $\widehat{ı}$ y $\widehat{ȷ}$, orientados hacia la derecha y arriba, respectivamente. El otro es polar, con coordenadas r y θ con vectores unitarios ${\widehat{\mu }}_r$ y ${\widehat{\mu }}_{\theta }$ respectivamente, de forma que θ es el ángulo que forma la barra con la horizontal y es creciente en sentido antihorario.

5.1. Relación entre torque y aceleración angular

Usando los símbolos τ, α e $𝒥$ para referirnos, respectivamente, a las componentes del torque, aceleración angular y momento de inercia en relación a la dirección del eje fijo, la ecuación de movimiento es

(1) $$\tau =𝒥\alpha$$

y el torque del peso, aplicado en el CM, puede ser calculado por

(2) $$\tau =-mgd\mathrm{sen}\left(\theta +{90}^{\circ }\right)=-mgd\mathrm{}\cos \mathrm{}\theta$$

en que g es la aceleración local de la gravedad y los otros símbolos aparecen en la Tabla 1.

Así, para cada instante de tiempo t y ángulo θ, la aceleración angular $\alpha \left(t\right)=\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$ es

(3) $$\alpha \left(t\right)=-\frac{mgd\mathrm{}\cos \mathrm{}\theta }{𝒥}$$

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden en θ, que no tiene solución analítica con funciones trascendentes sencillas, pero puede ser integrada numéricamente, sin complicaciones por la suavidad de la dependencia con θ.

Una solución alternativa se basa en que la única fuerza involucrada en la ecuación de movimiento es el peso, que es conservativa. Así, de la relación de conservación de la energía se obtiene una ecuación diferencial de primer orden, normalmente resuelta con una integral que tampoco puede ser calculada analíticamente, pero que tiene una forma cerrada. Cuando probamos ese camino alternativo con los estudiantes del grupo de investigación, se constató que la integración numérica de la ecuación (3) resultó ser más intuitiva, por lo cual fue el método elegido para el análisis sugerido en la guía de trabajo.

Para la solución numérica se necesita calcular el momento de inercia de una barra delgada cuyo CM gira a una distancia d del eje. Así,

(4) $$𝒥=m\left(\frac{a^2+b^2}{12}+d^2\right)\cong m\left(\frac{a^2}{12}+d^2\right)$$

usando el teorema de los ejes paralelos. El efecto del ancho de la barra, b, incurre en un cambio menor que 0,01 % del momento de inercia y como no es un aspecto importante para alcanzar los objetivos del experimento, no alertamos en la guía sobre ese detalle -algunos estudiantes prefieren hacer el cálculo sin esa aproximación, mientras que otros modelizan la barra como delgada e ignoran el término en b desde el principio. Sustituyendo la ecuación (4) en la ecuación (3) se llega a

(5) $$\alpha \left(t\right)=\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-C\mathrm{}\cos \mathrm{}\theta$$

con

(6) $$C=\frac{gd}{\frac{a^2+b^2}{12}+d^2}$$

cuyo valor numérico puede ser calculado con los datos de la Tabla 1.

La solución de la ecuación de movimiento (3) requiere dos condiciones iniciales bien definidas en un tiempo conocido: la posición y la velocidad angular en t = 0 s,

(7) $$\theta \left(0\right)={\theta }_0$$

(8) $$\omega \left(0\right)=0$$

Como fue mencionado en la sección 4.2, el instante inicial fue ajustado a los datos como tratado en el Apéndice A. Así, el estudiante no necesita añadir ningún parámetro libre al modelo matemático –la ecuación horaria de la barra está completamente determinada a partir de la ecuación (5), las condiciones iniciales de las ecuaciones (7) y (8) y los datos de la Tabla 1.

El Apéndice B describe el procedimiento numérico sugerido para resolver la ecuación (3). La guía, ya mencionada en la sección 4.1 (última línea), en el ítem B5 y su anexo, orienta detalladamente la construcción de una planilla para ese cálculo con el método de Euler y, opcionalmente, con el método del punto medio. En lo que sigue, consideraremos que ese procedimiento fue completado y se dispone de la ecuación horaria θ(t).

5.2. La aceleración

5.2.1. Componentes en coordenadas polares

Dado que en este experimento se mide el ángulo θ, es natural determinar el vector aceleración $\overrightarrow{a}$ de un punto de la barra en una posición A definida por (r_A, θ_A) usando los vectores unitarios del sistema polar de coordenadas:

(9) $${\overrightarrow{a}}_A=\alpha r_A{\overrightarrow{\mu }}_{\theta A}-{\omega }^2{r}_A{\overrightarrow{\mu }}_{rA}$$

en que ω = dθ_A/dt. Nótese que r_A, ${\overrightarrow{\mu }}_{\theta A}$ y ${\overrightarrow{\mu }}_{rA}$ cambian con la posición del punto A. Por eso, para que puntos vecinos giren alrededor del eje E con radios diferentes pero manteniéndose vecinos, se necesitan fuerzas diferentes, causando tensiones internas.

El sistema de coordenadas fue elegido de manera que todos los puntos de la barra tengan la misma coordenada θ cuando se ignora el ancho, de manera que la ecuación horaria θ(t) es la misma para todos ellos y el vector posición del punto A es ${\overrightarrow{r}}_A=r_A{\overrightarrow{\mu }}_{rA}$ con r_A ≥ 0. Sin embargo, el subíndice A no es necesario en los símbolos de las coordenadas ni en los vectores unitarios, entendiéndose en las fórmulas abajo que (r, θ) podría ser cualquiera de los puntos del plano, pero marca uno -y solo uno- de los puntos de la barra. Se usa inicialmente el suscrito A (para luego ocultarlo) porque es didácticamente importante resaltar que ${\overrightarrow{r}}_A$ no es un vector sino un vector posición, que marca un punto de la barra en el espacio, pero los vectores unitarios ${\overrightarrow{\mu }}_r={\overrightarrow{\mu }}_{rA}$ y ${\overrightarrow{\mu }}_{\theta }={\overrightarrow{\mu }}_{\theta A}$ permiten definir cualquier vector en el plano.

Resulta más interesante reescribir la ecuación (9) de manera que la dependencia con el ángulo sea más explícita. La nueva formulación se obtiene usando α de la ecuación (3) y ω² de la expresión de la conservación de la energía

(10) $$\frac{1}{\text{2}}𝒥{\omega }^2+mgd\mathrm{sen}\theta =mgd\mathrm{sen}{\theta }_0$$

Así, la aceleración de un punto de la barra, ${\overrightarrow{a}}_A=\overrightarrow{a}(r,\theta )$ es:

(11) $${\overrightarrow{a}}_A=-\frac{mgd\mathrm{}\cos \mathrm{}\theta }{𝒥}r{\overrightarrow{\mu }}_{\theta }-\frac{2mgd\left(\mathrm{sen}{\theta }_0-\mathrm{sen}\theta \right)}{𝒥}r{\overrightarrow{\mu }}_r$$

Sustituyendo θ = θ(t) en la ecuación (11), es posible encontrar la aceleración a cada instante.

5.2.2. La punta de la barra: componente tangente

La aceleración tangente de un punto A de la barra, $a_{tA}$, es la componente en la dirección ${\overrightarrow{\mu }}_{\theta }$ del vector aceleración. Así, de la expresión (11), se deduce

(12) $$a_{tA}=-\frac{mgd\mathrm{}\cos \mathrm{}\theta }{𝒥}{r}_A$$

que permite evaluar la aceleración de la punta cuando se sustituye $r_A=r_P=\frac{a}{2}+d$. Una fórmula más interesante puede ser obtenida notando que, en el aparato experimental,

$$d\approx \frac{a}{2},𝒥\approx \frac{m{a}^2}{3}y{r}_P\approx a$$

que, en la expresión (12), resulta en

$$a_{tP}\approx -\frac{3}{\text{2}}g\mathrm{}\cos \mathrm{}\theta$$

Ese es el resultado que aparece en todos los trabajos sobre este asunto. Sin embargo, al usar los valores numéricos de la Tabla 1, se obtiene prácticamente el mismo resultado, $a_{tP}=-\mathrm{1,4997}g\mathrm{}\cos \mathrm{}\theta$, ya que el eje está a apenas 0,6 cm de la punta de la barra delgada con 55 cm de largo.

5.2.3. Componentes en coordenadas cartesianas

Los vectores unitarios del sistema de coordenadas polares se relacionan con los cartesianos por:

(13) $${\overrightarrow{\mu }}_r=\cos \theta \overrightarrow{i}+\mathrm{sen}\theta \overrightarrow{j}$$

(14) $${\overrightarrow{\mu }}_{\theta }=-\mathrm{sen}\theta \overrightarrow{i}+\cos \theta \overrightarrow{j}$$

Transformando los vectores unitarios de la ecuación (11) con esas relaciones, se obtiene

(15) $$a_{yA}=-\frac{mgdr}{𝒥}\left({\cos }^2\theta +2\mathrm{sen}\theta \cdot \left(\mathrm{sen}{\theta }_0-\mathrm{sen}\theta \right)\right)$$

(16) $$a_{xA}=\frac{mgdr\mathrm{}\cos \mathrm{}\theta }{𝒥}\left(3\mathrm{sen}\theta -2\mathrm{sen}{\theta }_0\right)$$

5.2.4. Punto que cae con aceleración igual a g

Como la aceleración de un punto de la barra es proporcional a la distancia al eje, si la punta cae con aceleración mayor que la gravedad, algún punto entre los extremos caerá con g. De la expresión (15), imponiendo $a_{yA}=-g$ y aislando la posición r en la barra, se llega a

(17) $$r_g\left(\theta \right)=\frac{𝒥}{md\left({\cos }^2\theta +2\mathrm{sen}\theta \cdot \left(\mathrm{sen}{\theta }_0-\mathrm{sen}\theta \right)\right)}$$

que es la distancia al eje del punto de la barra cuya aceleración es igual a g.

Este valor cambia a lo largo de la caída, y de manera bastante compleja, ya que involucra las acciones internas en la barra que aseguran que cada punto tenga trayectoria circular. Eso sugiere examinar si hay alguna parte de la barra donde la componente de la aceleración a lo largo de su trayectoria pueda ser asignada solo a la gravedad.

5.2.5. Punto en que la acción total es debida a la de la gravedad

En este sistema constreñido, la componente radial de la fuerza de la gravedad no causa movimiento en la dirección longitudinal a la barra; en cada partícula, las componentes radiales de su peso y de las fuerzas de interacción con las otras partículas ocasionan la fuerza centrípeta. En la dirección transversal, para que la aceleración tangente sea proporcional a la distancia al eje, la componente del peso de la partícula necesita ser parcialmente compensada cerca del origen e incrementada cerca de la punta. Así hay un punto S donde la acción neta es igual a la de la gravedad. Ese punto traza un círculo de radio r_S y cambia su movimiento con una aceleración en la dirección del movimiento (tangencial)

(18) $$a_{tS}=-g\mathrm{}\cos \mathrm{}\theta$$

que, usando la ecuación (12) con r = r_S, resulta

$$-\frac{mgd\mathrm{}\cos \mathrm{}\theta }{𝒥}{r}_S=-g\mathrm{}\cos \mathrm{}\theta$$

de dónde se deduce que

(19) $$r_S=\frac{𝒥}{md}$$

Este r_S es el llamado centro de percusión de la barra, que vale $r_S\approx \frac{2a}{3}$ para una barra uniforme que rueda en torno de su extremidad. Como la aceleración es proporcional a la distancia al eje, los puntos con r ＞ r_S aceleran más que bajo la actuación de la gravedad solamente, y para r ＜ r_S, menos.

Recuperamos así el resultado clásico, en el que se basa la demostración propuesta por Ehrlich [¹²], y que es la condición para que las esferas de la demostración de Lindén y Anttu [¹³] se despeguen de la barra, tal como elaboraremos en la Discusión, sección 7.5.2.

5.3. La fuerza del eje sobre la barra

A pesar de que el eje de rotación es un objeto con dimensiones (pequeñas, pero no infinitesimales), y que la fuerza del eje está aplicada a un punto diferente del agujero de la barra en cada ángulo durante la rotación, tomaremos al eje material como un objeto de radio nulo y no distinguiremos el eje de rotación de ese cuerpo.

Se puede evaluar la fuerza del eje sobre la barra, ${\overrightarrow{F}}_{b\left(E\right)}$, con la segunda ley de Newton, considerando el centro de masa de la barra. Así, en coordenadas cartesianas:

(20) $${\overrightarrow{F}}_{b\left(E\right)}-mg\overrightarrow{j}=m\left(a_x(r_{CM},\theta )\overrightarrow{i}+a_y(r_{CM},\theta )\overrightarrow{j}\right)$$

que se puede calcular usando las ecuaciones (16) y (15) para las componentes de la aceleración, sustituyendo $r_{CM}=d$, la coordenada del CM.

6. Resultados Del Experimento Fotográfico y Comparación Con Los Valores Calculados

6.1. Ecuación horaria

Los puntos del gráfico de la izquierda de la Figura 3 son los valores medidos de la posición angular de la barra; la línea curva suave es la interpolación de los valores calculados de acuerdo al modelo de la ecuación (B.5). El gráfico de puntos de esa misma figura muestra las diferencias entre los valores medidos y calculados; la raiz cuadrada de su valor cuadrático medio es 0,11^∘. Además de la fluctuación estadística de ≈ 0,1^o, se observa un comportamiento sistemático. Los datos experimentales están de acuerdo con el modelo y poseen una precisión y acuracia mayor que la esperada por las medidas con el transportador, con divisiones a cada grado (discutido en la sección 7.2.4). La desviación estándar del ángulo depende en parte de quién toma los datos, pero se sitúa en torno a 0,2 grados para la mayoría de los grupos de estudiantes que realizan la actividad.

Figura 3
Comparación de los valores medidos de la posición de la barra con los resultados del modelo teórico. Izquierda: la línea continua es una curva suave que pasa por los valores calculados con la ecuación (B.5) y los puntos representan los valores medidos, cuyas barras de incertidumbre son menores que los tamaños de los puntos. Derecha: residuos entre los valores experimentales y los calculados.

6.2. Aceleración vertical de la punta de la barra

A partir de la Figura 4 se puede intentar interpretar teóricamente el hecho de que la punta de la barra caiga con aceleración mayor que g. Las aceleraciones radial y tangencial asociadas al movimiento de rotación poseen componentes verticales que se suman. Ya la componente vertical de la aceleración tangencial es siempre mayor que g a lo largo del movimiento, pero la aceleración centrípeta contribuye significativamente a la componente vertical de la aceleración, a_y, desde cerca de la mitad del movimiento para el ángulo de lanzamiento utilizado en este experimento.

Figura 4
Aceleración vertical de la punta de la barra en función del tempo (línea negra) que resulta de la suma de las proyecciones verticales, en rojo y azul, en líneas llenas, de las aceleraciones centrípeta y radial que aparecen en líneas de trazos.

6.3. Punto con aceleración igual a g

En la Figura 5 pueden observarse los gráficos que muestran el punto de la barra a partir del cual la aceleración es mayor que g, r_g, así como el centro de percusión, r_s; la Figura 5a los esquematiza en función del ángulo y la 5b, en función del tiempo. El hecho de que la aceleración centrípeta reduzca su contribución a la aceleración vertical a partir de un cierto ángulo hace que r_g, que inicialmente se desplaza en dirección al eje, termine desplazándose hacia la punta de la barra.

Figura 5
Distancia al eje del punto de la barra con aceleración vertical igual a g, r_g, así como r_s en función de: a) el ángulo de la barra con la dirección horizontal y b) el tiempo. Las dimensiones y condiciones son las del aparato usado en el experimento fotografiado para este trabajo.

A fin de discutir la demostración de Linden y Anttu [¹³], hicimos, en la Figura 6, los mismos gráficos de la Figura 5 para las condiciones de esa demostración; el ángulo inicial fue estimado a partir del video que esos autores publicaron, que puede ser visto en el material complementar de [¹³].

Figura 6
Mismas gráficas que en las Figuras 5a y 5b, ahora para una barra de 100 cm y ángulo inicial de 16^∘, condiciones usadas por Linden y Anttu en el video publicado [¹³]. Las diferencias con aquellas residen en las escalas.

Nótese que la diferencia entre r_g y r_s en la Figura 6, menor que 6 cm en una barra de 100 cm (6%), es mucho menor que para la barra de 55 cm usada en este trabajo, más de 15 cm (30%) (Figura 5), en consecuencia del menor ángulo de lanzamiento.

6.4. La fuerza del eje sobre la barra

Los gráficos de las componentes y la intensidad total de la fuerza del eje por unidad de peso de la barra aparecen en la Figura 7. Los valores fueron calculados usando r = d (la posición del CM) en la fórmula (20) con los valores numéricos de la Tabla 1 y usando la ecuación horaria θ(t).

Figura 7
Componentes cartesianas e intensidad de la fuerza que la barra realiza sobre el eje de rotación, normalizadas para el peso de la barra.

7. Discusión

7.1. El modelo teórico

Los dos aspectos centrales del sistema capturados por el modelo teórico propuesto para poder explicar la aceleración mayor que la de la gravedad en la punta son la existencia del eje fijo de rotación y la rigidez de la barra. El eje constriñe a la barra a rotar, mientras que su rigidez garantiza que la fuerza neta en cada punto sea la adecuada para realizar el movimiento de rotación sin deformación ni colapso. Esas fuerzas internas cambian punto a punto², pero su resultante sobre la barra entera es nula por la tercera ley de Newton, de manera que es posible reducir las ecuaciones de movimiento para las infinitas partículas que componen el sistema en una ecuación diferencial de una única variable –el ángulo entre la barra y la horizontal. Además, de la solución de dicha ecuación se puede, suponiendo la rigidez de la barra, obtener la cinemática de cada una de sus partículas y de allí las fuerzas que actúan en cada punto.

Un análisis como este permite discutir con el estudiantado por qué no habría una ley de Newton específica para las fuerzas de vínculo –no sería necesaria, ya que las tres leyes newtonianas valen para cada partícula de la que está constituido un cuerpo extenso. Así, en el movimiento de un cuerpo rígido, la manera de determinar esas fuerzas exige la descomposición (imaginaria) del cuerpo en partes menores que tengan sus posiciones relativas fijas. Cuando el movimiento del cuerpo rígido es conocido, se pueden encontrar las aceleraciones de sus puntos a partir de las relaciones matemáticas de localización relativa de ellos dentro del cuerpo rígido. De esas aceleraciones, y partiendo de los diagramas de cuerpo libre correspondientes, se pueden obtener las fuerzas internas, a pesar de que ellas estén totalmente ausentes en la formulación elemental de las leyes de Newton para el cuerpo en su totalidad.

Nótese que es necesario estar alerta para no confundir a los estudiantes con la discusión del párrafo anterior. Cuando se describe la barra toda como un cuerpo único, no tiene sentido hablar de la tercera ley de Newton para las fuerzas internas, ya que ella vale para cuerpos distintos, tales como la fuerza entre la barra y el eje. Por eso, cuando se discuten el cizallamiento y la tensión, creemos que es muy importante destacar que la barra está de hecho compuesta por muchas partículas, e indicar claramente en cuáles secciones la barra fue imaginariamente dividida para, de esa manera, poder aislar pares acción-reacción.

7.2. Desarrollo de la hipótesis teórica dentro de la concepción modeloteórica

La suposición de que los aspectos de las leyes de Newton que se proyectaron sobre el aparato experimental son suficientes para explicar ajustadamente la caída de la barra en sus detalles –posición, velocidad y aceleración en cada instante– constituye la hipótesis teórica (de acuerdo con el marco de Giere) que se pretende poner a prueba en un montaje como el nuestro. Pero esta puesta a prueba general y compleja resulta probablemente poco adecuada para la ciencia escolar. El desarrollo de un modelo que permita responder a la pregunta motivadora – ¿por qué la punta de la barra acelera más que g? – no es directo; por eso, a lo largo del análisis, se despliegan diversas comparaciones entre el modelo y los valores experimentales. Esta es una característica inherente a la economía de conceptos y leyes fundamentales de la física, que no busca crear un gran repertorio de modelos sino más bien crear familias que la definan por el menor número de conceptos, leyes y procedimientos posibles que permitan comprender (y muchas veces predecir) una gran variedad de fenómenos.

Frente a este problema, un físico formado no tiene dificultad para percibir que debe empezar por determinar la ecuación de movimiento de la barra y encontrar su posición en función del tiempo, porque desde ahí siempre se puede calcular el movimiento y la dinámica de cada uno de sus puntos; un estudiante en los niveles iniciales, en cambio, necesita orientación para encontrar este camino. Esta subsección lista los pasos que elegimos (guía) y el despliegue de sucesivas hipótesis teóricas escolares a lo largo del trabajo.

7.2.1. Apropiación del modelo y planteode hipótesis teóricas

El análisis que proponemos empieza al mirar con atención el video de la caída simultánea de la barra y la esferita para percibir que, excepto por el aire que poco influye en el movimiento, la esferita cae libremente; la barra, en cambio, rota en torno de un eje fijo que le impone un vínculo. Para esta configuración hay una ecuación de movimiento, obtenida a partir de las leyes de Newton, que permite explicar y prever esa rotación. Luego se presenta un segundo video al estudiantado, el de una cadena inicialmente estirada como si fuera una barra que es abandonada y cae de manera muy diferente a aquella (nuestra intención teórica al sugerir comparaciones con este segundo movimiento es similar a la que subyace a la inclusión de la barra elástica en la propuesta de Härtel [⁵]). Buscamos que el estudiante entienda la rigidez de la barra como una condición que vincula de manera particular los movimientos de todos los puntos. La idea clave sería que del movimiento del todo se puede aislar el movimiento de cualquier punto de interés, en este caso, la punta de la barra. Cuando se comprende que la solución del problema tiene dos etapas, se puede poner a prueba una hipótesis intermedia, al buscar si la posición de la barra cambia con el tiempo como prevé la ecuación de movimiento de la rotación vinculada.

7.2.2. La representación matemática

Poner a prueba esta hipótesis requiere un cálculo que puede ser novedoso para el estudiante que se inicia en la mecánica. Antes de proceder, sugerimos una validación de carácter cualitativo. La ecuación de movimiento de la rotación no es compleja, pero sus elementos – torque y momento de inercia – son menos familiares que los conceptos de fuerza y masa para los estudiantes de esos niveles. Orientamos al estudiante para que mire el video de la caída simultánea de la barra y la esferita y perciba un detalle intrigante – inicialmente, la barra “cae” junto con la esferita, pero termina adelantándose a ella. Así, la aceleración de la punta es muy próxima a g al principio y termina bastante mayor que g. Emitir un primer juicio sobre la similitud del modelo con esta observación cualitativa da robustez al camino adoptado. Hacer los cálculos de las aceleraciones para el inicio y el final del movimiento es sencillo, aunque por razones elaboradas, como detalla la guía³.

7.2.3. Determinación del grado decompatibilidad modelo-experimento

Cuando el estudiante se aprópia de la representación matemática, puede calcular numéricamente la posición angular de la barra para llegar a ver que es compatible con los datos experimentales dentro de la incertidumbre de la medición. Llegar a la aceleración vertical de la punta de la barra es un ejercicio de cinemática vectorial que requiere transformar componentes vectoriales de la aceleración en un sistema polar a la misma magnitud en un sistema cartesiano, pero aporta material para formar una segunda hipótesis subyacente a la pregunta motivadora –el peso y las fuerzas de cohesión de la barra en su extremidad se combinan para que su punta acelere más que g.

7.2.4. Profundizando la verificación del grado de compatibilidad

Un examen del gráfico de las diferencias entre los valores medidos y los calculados con el modelo muestran que los residuos tienen una componente de carácter sistemático, del mismo orden de magnitud que la fluctuación estadística. Una investigación más detallada del aparato experimental revela que él no fue construido para garantizar que las incertidumbres fueran tan pequeñas como las observadas. Modelos del barrido del obturador de la filmadora y de la medida del ángulo (apéndices C.1 y C.2) indican que los errores debidos al barrido y al paralaje en la medida son comparables con la fluctuación estadística. La sección C.4 de ese apéndice lista muchas otras fuentes de incertidumbre, que no fueron examinadas en detalle. Así, el acuerdo entre el experimento y el modelo es mejor de lo que se podría esperar, hecho que atribuimos al haber ajustado el instante de inicio de la caída de la barra a los datos experimentales con el mismo modelo que es usado para comparar la posición de la barra en función del tiempo. Dos consideraciones son dignas de mencionar.

Giere [²] apunta que siempre se debe verificar si hay otros modelos que puedan explicar el resultado observado antes de concluir que el experimento corrobora el modelo adoptado. En este caso, es posible adoptar diversos modelos del aparato experimental e incluir detalles de su funcionamiento sin alterar el grado de semejanza observado entre datos y modelo. Para la investigación de cualquier extensión del modelo teórico, es necesario mejorar el aparato experimental.

Este experimento contribuye a fundamentar el hábito de los físicos – antes de adoptar un modelo cuyo origen provenga de teorías probadas por un único experimento, se deben realizar otros experimentos que empleen distintos procedimientos. Comúnmente, los modelos son construidos a partir de leyes y principios ya testados en diferentes circunstancias, por distintos métodos.

7.3. El rol del experimento

Estudiar la caída de una barra real filmada complica la aplicación del modelo teórico con su solución matemática (numérica) asociada. Por ejemplo, no es posible fijar el eje de rotación en la extremidad estricta de la barra: al desarrollar la parte matemática del modelo no se puede usar la fórmula bien conocida del momento de inercia de una barra con respecto a su extremidad. Sin embargo, este obstáculo se puede circunvalar: sirve de motivación para aplicar el teorema de los ejes paralelos. Los modelos teóricos en física (aplicaciones de las leyes que se estudian en clase) necesitan de una etapa de adaptación (aproximación y simplificación) cuando se los quiere utilizar para comprender la física de sistemas reales; creemos que ese ha de ser un objetivo central explícito de un curso de física.

Como las principales hipótesis sobre las cuales se basa el modelo – que la barra es rígida, que el eje es fijo, que no se tiene en cuenta la fricción con el eje y con el aire, que el movimiento está restringido a un plano vertical – son muy sensatas para el montaje que propusimos, la posición angular experimental está de acuerdo con las curvas calculadas, como se puede apreciar en los gráficos de la Figura 3.

La ecuación horaria que estamos usando para explicar la caída de la barra exige la integración numérica de una ecuación diferencial, lo que demanda de algún tipo de cálculo numérico que se puede hacer con una planilla electrónica. La forma de trabajo para este problema ejemplifica muy bien el hecho de que muchos de los problemas físicos reales no admiten soluciónanalítica.

7.4. La construcción de los conjuntosde imágenes

En este experimento, a diferencia de los creados anteriormente por el equipo del proyecto MEXI, los códigos de tiempo insertados en las imágenes se refieren a un tiempo dictado por el fenómeno físico – el instante de inicio de caída de la barra –, que fue obtenido por ajuste a partir de los datos experimentales. La intención es facilitar la solución del problema para el estudiantado y así concentrar la atención de la clase en los objetivos conceptuales de esta actividad.

Vollmer [⁹] apunta correctamente que es difícil “determinar con precisión el instante de caída por […] tan pequeña” y es difícil evaluarlo con precisión porque las velocidades iniciales son muy pequeñas; esta complejidad se tiene en cuenta en el Apéndice A, que presenta el procedimiento de ajuste de ese instante, y da un resultado muy preciso. Nuestro procedimiento se muestra como una alternativa viable a la propuesta de Vollmer de incluir en el aparato una señal óptica que advierte cuando se abandona la barra.

7.5. Los efectos de los vínculos

Este experimento estimula al estudiante que argumente sobre la dinámica de rotación de una barra vinculada; apunta un camino para modelizar las características bien particulares del movimiento de un punto específico. En el modelo teórico utilizado, los vínculos – el eje fijo y la rigidez de la barra – desempeñan un rol fundamental.

7.5.1. El eje de rotación

La acción del eje asegura el movimiento de rotación puro de la barra y varía de manera compleja a lo largo de la caída, como se ve en los gráficos de la dependencia temporal de la fuerza del eje sobre la barra en la Figura 7. La componente vertical, siempre menor que el peso y con sentido opuesto, muestra que el CM de la barra está acelerando durante todo el movimiento, pero menos de lo que estaría si ella estuviese completamente libre. La componente horizontal invierte su sentido durante la caída. Al principio es positiva, dado que todos los puntos de la barra necesitan desplazarse hacia la derecha a partir del reposo –es decir, necesitan ganar velocidad horizontal para rotar en torno del eje. Pero esa componente de la velocidad llega a hacerse nula cuando la barra alcanza la posición horizontal; así, a partir de algún momento, es necesario frenar el desplazamiento horizontal.

7.5.2. La aceleración más grande que g y lademostración de Linden y Anttu

El video en que se ve la barra caer más rápido que una esfera largada simultáneamente motiva la búsqueda de una explicación para ese fenómeno. Cuando se calculan la aceleración de la punta de la barra en función del tiempo y la localización del punto de la barra que acelera con g, se obtienen resultados poco evidentes, pero que se pueden analizar y comprender en términos del modelo teórico adoptado. Esos resultados llaman la atención por la complejidad de las acciones internas a la barra.

El modelo desarrollado permite explicar la demostración de Linden y Anttu [¹³], en que pequeñas esferas en las hendiduras más cercanas a la punta de la barra se despegan, cuando se la deja caer. El vínculo adicional conformado por la hendidura (véase [¹³]) constriñe la esfera a una trayectoria circular, con el mismo centro que las trayectorias de los puntos de la barra. En la subsección 5.2.5 del Modelo Matemático se presenta el cálculo del límite de la región en que la barra acelera más que las esferas, r_s, dado por la fórmula (19), que coincide con el centro de percusión.

Sin embargo, los gráficos de las Figuras 5 y 6 muestran que, para un intervalo angular, algunas esferas cercanas a r_s que se despegan vuelven a aproximarse a la barra, ya que en esas posiciones intermedias la barra acelera menos que la gravedad. La Figura 5 usa las condiciones del experimento de este trabajo, con ángulo inicial de ∼ 34∘ y longitud a = 100 cm, y la Figura 6, las condiciones de la demostración de Linden y Anttu, con ángulo inicial de 16^∘ y una barra con a = 100 cm de largo. El contraste entre los ángulos iniciales conduce a distintos resultados – con un ángulo inicial menor, la diferencia $\frac{r_g-r_S}{a}$ se acota mucho, de modo que en esa demostración solo una esfera está en el intervalo $r_g<r<r_s$. La esfera muestra ese comportamiento de alejarse y aproximarse a la barra, como se puede observar en el video. Hay una llamativa diferencia entre los puntos que aceleran como si solo la gravedad actuara cuando se considera o no el vínculo de rotar con la barra, expresados en las ecuaciones (19) y (17), respectivamente. Eso resalta la importancia de determinar la existencia y naturaleza de los vínculos en el fenómeno de interés para entonces incorporarlos en la formulación del modelo físico y poder tenerlos en cuenta en la representación matemática.

El análisis físico detallado de fotogramas extraídos de filmaciones de alta resolución sobre experimentos reales tiene aciertos e inconvenientes, como se fue discutiendo a lo largo de este trabajo. Quedan por investigarse las similitudes y diferencias de nuestra propuesta con otros usos extendidos de tecnologías digitales en la experimentación científica, como laboratorio asistido por computadora, video análisis de fenómenos físicos o realidad aumentada.

8. Conclusión

Este nuevo experimento con imágenes que se agrega a la página de nuestro proyecto de innovación MEXI aborda conceptos de la física de la rotación de cuerpos rígidos; en particular, quiere enfocarse en la pertinencia del uso de la ecuación de movimiento newtoniana. El dispositivo específico que usamos genera muchas preguntas interesantes que pueden ser respondidas por el estudiantado con base en el desarrollo de un modelo definido con contenidos que se abordan en las asignaturas introductorias de física de distintas carreras.

Una de las preguntas motivadoras que propusimos – ¿por qué hay puntos que aceleran más que g, o por qué es un punto cercano a la mitad de la barra el que está sujeto a una aceleración igual a g? – sugiere aplicar un modelo teórico para discutir las consecuencias de la rigidez de un cuerpo, entendida como vínculo, en su movimiento. Imponer la condición de rigidez en el modelo conduce a una representación matemática que se apoya en una ecuación de movimiento para un único punto de referencia de ese cuerpo, de cuya solución se infiere el movimiento de todos sus puntos. Creemos que responder a esa pregunta motivadora muestra al estudiantado la importancia de localizar e incorporar los vínculos en el modelo físico para que el desarrollo matemático subsecuente acompañe su ajuste al fenómeno de interés.

Nuestra guía de análisis fue escrita con la intención de inducir al estudiante a construir y probar una secuencia de conjeturas o suposiciones a lo largo del estudio, ya que la hipótesis teórica formal es muy abstracta para quienes empiezan a estudiar física. Aunque este tipo de trabajo añada complejidad, se trata de un hecho característico de la física, que construye modelos por agregación de leyes y principios. La interpretación de la mayoría de los experimentos reales requiere esta multiplicidad de verificaciones parciales, y puede constituir un obstáculo importante al aprendizaje de la física en general.

El experimento también ofrece un contexto para el uso de análisis importantes para el estudiante. Por un lado, aparece la cuestión de la integración numérica, que expande mucho las posibilidades de aplicación de las leyes de la física y sirve de puente para métodos de cálculo computacional más avanzados. Por otro, el uso de coordenadas polares, que, según Owusu [²³], es difícilmente encontrado en experimentos propuestos a estudiantes de mecánica elemental.

Desde el punto de vista de la construcción de los conjuntos de imágenes, insertar códigos de tiempo con origen en el instante en que la barra inicia su caída colabora para que el análisis sea accesible al estudiante de física que se está iniciando. Es frecuente que las y los estudiantes no consigan resolver problemas del mundo real cuando los temas son abordados desde la exposición, a diferencia de cuando el aprendizaje tiene evidencia experimental que les permite apropiarse de los modelos teóricos en juego. Así, entendemos que esta es una buena aplicación para fomentar el estudio de los métodos numéricos de computación y la comprensión de las transformaciones de coordenadas polares a cartesianas al hacerlas necesarias para realizar la comparación de la aceleración vertical de la extremidad de la barra con la aceleración local de la gravedad.

Agradecimientos

A la Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo – FAPESP, Proyectos números: 2014/08206-0, 2019/11569-0 y 2023/12128-3; a la Pró-Reitoria de Graduação de la Universidade de São Paulo – PRG-USP, por las becas PUB para los estudiantes de graduación; a los talleres de mecánica y electrónica y los Laboratorios Didáctico y de Demostraciones del Instituto de Física de la USP.

A. Determinación Del Instante Inicial de La Caída

A pesar de que el número de cuadros por segundo con que se filmó la caída de la barra fue relativamente elevado, 240 cuadros por segundo, no es posible determinar visualmente cuál cuadro es más cercano al instante en que la barra se despega del imán. En ese inicio del movimiento, la aceleración angular es bien aproximada por

$${\alpha }_0=-\frac{gd}{\sqrt{\frac{a^2}{12}+d^2}}\mathrm{}\cos \mathrm{}{\theta }_0$$

El tiempo que se necesita para que el desplazamiento sea más grande que el mínimo que se puede notar en las imágenes, que es del orden de 0,1^≈ ∘ 0,002 rad, es

$$\epsilon \approx \sqrt{\frac{2\times \mathrm{0,002}}{22}}\approx \mathrm{0,01}s$$

que equivale al tiempo en que se toman 2 a 3 cuadros.

Sin embargo, un desplazamiento de tiempo de ese orden de magnitud genera grandes diferencias en el tiempo de caída. Así, determinar el instante de inicio de caída e insertar en las imágenes los códigos de tiempo que se refieran a ese instante como origen de la coordenada tiempo permite usar condiciones iniciales sencillas, ecuaciones (7) y (8), y evitan (para el estudiante) la complejidad adicional de ajustar un parámetro.

Para ese ajuste se midieron las posiciones en función del tiempo con origen elegido arbitrariamente, pero próximas al instante del despegue. Así, para cada conjunto de imágenes, los datos forman el conjunto $\{(t_i^{\prime },{\theta }_i),i=1..N\}=\left\{(t_i^{\prime },{\theta }_i)\right\}$, donde los tiempos son calculados como $t_i^{\prime }=i/240$ s.

Se construye la función de mérito de los mínimos cuadrados en función del desplazamiento de tiempo con respecto al instante de inicio de caída, $t^{\prime }=t_q$:

(A.1) $$Q(t_q;\left\{(t_i^{\prime },{\theta }_i)\right\})=\sum _{i=1}^N{\left({\theta }_i-{\theta }_m\left(t_i^{\prime }+t_q\right)\right)}^2$$

donde ${\theta }_m\left(t\right)$ es la solución de la ecuación (3). La estimativa de mínimos cuadrados para t_q es la coordenada del mínimo de la función. La Figura A.1 muestra el gráfico de uno de los casos.

Figura A.1
Representación gráfica de la ecuación (A.1) para los valores de posición de la barra de uno de los videos en función del instante de inicio de la caída, normalizado para 1 en el mínimo.

El código de tiempo insertado en las imágenes fue calculado de acuerdo a la tasa de captura de las imágenes, pero tiene como origen (t = 0 s) el instante de inicio de la caída, o sea, $t_i=t_i^{\prime }+t_q$. Note que el resultado preciso para t_q proviene de los puntos medidos cerca del final del movimiento, cuando la barra se mueve rápidamente.

B. Solución Numérica de la Ecuación de Movimiento

Para facilitar la lectura de este apéndice, repetimos aquí la ecuación de movimiento y las condiciones iniciales:

(5) $$\alpha \left(t\right)=\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-C\mathrm{}\cos \mathrm{}\theta$$

(7) $$\theta \left(0\right)={\theta }_0$$

(8) $$\omega \left(0\right)=0$$

siendo C una constante dada por la ecuación (6), cuyo valor numérico debe ser calculado con los datos de la Tabla 1, que trae también el valor de θ₀.

La guia de trabajo del experimento puede ser accesada por el link: https://fep.if.usp.br/~fisfoto/rotacao/barraquecai/roteiros/Roteiro_Barra_página_Esp.pdf. En el ítem B5, páginas 3 y 4, se orienta como usar una planilla, dando detalles relacionados a la organización de las celdas y el ingreso de las fórmulas necesárias para realizar el cálculo. Así, se orienta a construir una planilla con cuatro columnas, para los valores de tiempo, ángulo, velocidad y aceleración, que serán calculados de acuerdo a las ecuaciones B.1 a B.4 abajo, en que el subíndice i identifica los valores obtenidos en la i-ésima iteración. El método de Euler es indicado inicialmente, con las ecuaciones

(B.1) $$t_{i+1}=t_i+\text{Δ}t$$

(B.2) $${\theta }_{i+1}={\theta }_i+{\omega }_i\text{Δ}t$$

(B.3) $${\omega }_{i+1}={\omega }_i+{\alpha }_i\text{Δ}t$$

(B.4) $${\alpha }_i=-C\mathrm{}\cos \mathrm{}{\theta }_i$$

Para disparar el proceso (i = 1), se usa t₁ = 0 s, θ₁ = θ₀ y ω₁ = ω(0) = 0 rad/s. Este procedimiento presenta un resultado aceptable si Δt ≲ 0,005 s. Con pequeños cambios en la planilla se puede mejorar la precisión, sin modificar Δt. Llamamos la atención del estudiante que θ₂ = θ₁, consecuencia de haber empezado el cálculo con ω₁ = ω(0) = 0 en ese cálculo. Apuntamos que sería mejor usar ${\omega }_1\cong \frac{1}{\text{2}}\alpha \left(0\right)\text{Δ}t$ y que, en general, $\theta \left(t_{i+1}\right)=\theta \left(t_i\right)+\omega \left(\overline{t}\right)\text{Δ}t$ es una mejor aproximación que la ecuación (B.2). El mismo razonamiento vale para el cálculo de la velocidad angular -la aceleración en la mitad del intervalo de tiempo aproxima mejor la aceleración media. Cuando los tiempos para los cuales se calcula la posición son espaciados igualmente como en (B.1), es posible cambiar las ecuaciones (B.2) y (B.3) por

(B.5) $${\theta }_{i+1}={\theta }_i+{\overline{\omega }}_i\text{Δ}t\mathrm{con}\overline{\omega }=\omega \left(\frac{t_i+t_{i+1}}{2}\right)$$

(B.6) $${\omega }_{i+1}={\omega }_i+{\alpha }_{\left(i+1\right)}\text{Δ}t$$

Ese es el método del punto medio, una de las variaciones del método de Runge-Kutta de segundo orden. Aparte de la precisión, este método tiene una mejor interpretación desde el punto de vista de la cinemática. Sin embargo, la guía marca su uso como opcional, ya que no es central para los objetivos del experimento.

C. Incertidumbres y Errores Sistemáticos

Las incertidumbres en los parámetros del modelo y muchos factores pertenecientes al aparato usado y método de análisis adoptado afectan la precisión y exactitud de los resultados. Las secciones C1 y C2 presentan modelos que evalúan algunos de esos efectos, la sección C3 presenta estimaciones sencillas de otros efectos, y la última colecciona todos los resultados en una tabla. En todos los casos, se determina el efecto de la fuente de incertidumbre sobre la medida del ángulo, por ser la posición angular en función del tiempo el resultado experimental buscado.

C.1. Desplazamiento de tiempo por el barrido del obturador en la obtención de la imagen

La filmadora opera con un obturador electrónico que lee los pixeles de la imagen secuencialmente, línea por línea, de arriba para bajo (obturador de barrido o rolling shutter). El instante de tiempo en que cada pixel de la imagen es gravado depende de su posición en el cuadro. Esta sección describe el modelo usado para tener en cuenta el efecto del desplazamiento del tiempo en la obtención de un punto de interés en la imagen y su influencia en las mediciones efectuadas. Se busca determinar el instante en que la cámara registra en la imagen la pequeña región que define la medida del ángulo, que son los puntos de la línea central diseñada en la barra próximos a la circunferencia externa del transportador.

Cada imagen consiste en una matriz de píxeles. Llamaremos altura del cuadro al número de líneas, que es mayor que el número de columnas. Los píxeles se numeran secuencialmente de la izquierda para la derecha y de arriba para bajo. Usamos pares ordenados(x, y) para representar las coordenadas de columna y línea, numerados con números enteros a partir de (1, 1) para la extremidad superior izquierda. El tiempo que la filmadora lleva para leer todas las líneas de un único cuadro es

$$\tau =\frac{1}{\text{número de cuadros por s}}$$

En los cálculos que siguen, se ignora cualquiera posible diferencia de tiempo de adquisición de los datos correspondientes a los píxeles de una mesma línea.

A cada cuadro i se le asigna un tiempo t_i, que corresponde al tiempo en que grava la imágen de una línea de referencia, cuya coordenada será y_ref, referencia mantenida constante durante el análisis, ya que durante la filmación la cámara no se movió con relación al aparato. La imagen de un punto con coordenada y en el cuadro será registrada antes, si $y<y_{ref}$ y después, si $y>y_{ref}$, con una diferencia de tiempo con relación a t_i igual a

(C.1) $$t-t_i=\text{Δ}t\left(y\right)=\frac{y-y_{ref}}{a}\tau$$

siendo a la altura del cuadro en píxeles, unidad usada también para y e y_ref.

En una de las imágenes, se miden las coordenadas del centro del transportador y del punto de la circunferencia que corresponde a 0^o, (x₀, y₀), donde se deduce el radio del transportador, r. La línea del pixel que corresponde a la lectura del ángulo θ en el transportador es una función del ángulo θ,

(C.2) $$y\left(\theta \right)=y_0-r\mathrm{sen}\theta$$

En conjunto, esas dos ecuaciones permiten determinar el instante de la lectura de posición en la imagen a partir de la lectura de la posición angular en el transportador, que es como se obtienen los datos en este experimento con imágenes. Los valores de a y τ son obtenidos de las condiciones de filmación, a = 1080 píxeles y $\tau \text{=}\left(\frac{1}{\text{240}}\right)$ s, pero y_ref está relacionado al procedimiento de determinación de los códigos de tiempo, descrito en el apéndice A. Allí se aplicó el método de mínimos cuadrados a todos los datos de posición por tiempo, considerados todos con el mismo peso. De eso resulta que el impacto de cada dato para la determinación del instante de inicio de la caída es proporcional al efecto que un cambio Δt causa en la suma de los cuadrados de las diferencias en la ecuación A.1, de modo que el centroide del conjunto de los datos de tiempo es

(C.3) $$t_c=\frac{{\sum }_i^N{t}_i{\left(\omega \left(t_i\right)\text{Δ}t\right)}^2}{{\sum }_i^N{\left(\omega \left(t_i\right)\text{Δ}t\right)}^2}$$

Se usan los valores de los códigos de tiempo en las imágens para t_i, mientras que los de ω(t_i) son deducidos de los ángulos medidos por medio de la ecuación de conservación de la energía (10). Con ese resultado, se deduce la posición de la línea de referencia como

(C.4) $$y_{ref}=y\left(\theta \left(t_c\right)\right)$$

El grafico de la Figura C.1 muestra los errores sistemáticos en la posición angular causados por el desplazamiento del tiempo causado por el barrido del obturador en función del tiempo, para los resultados mostrados en la Figura 3, evaluados como

(C.5) $$\text{Δ}\theta \left(t\right)=\frac{180}{\pi }\omega \left(t\right)\text{Δ}t\left(y\left(\theta \right)\right)$$

Figura C.1
Error en la medición del ángulo debido al barrido del obturador de la filmadora, correspondiente a los datos de la Figura 3.

Cuando se observa que la velocidad angular de la barra es negativa en el sistema de coordenadas adoptado en este trabajo, se verifica que hacer esta corrección no reduciría la estructura de los residuos observada en la Figura 3b.

C.2. Paralaje debido a errores en alineamiento

El modelo usado para el movimiento de la barra supone que el aparato de medición es ideal. Sin embargo, la medición del ángulo se realiza con un transportador, cuyo plano anterior está alejado del que pertenece al movimiento de la barra. Además, hay una incertidumbre en el alineamiento del eje ótico de la filmadora con el eje de rotación, y en la posición del centro del transportador con respecto al eje de rotación.

En este modelo que desarrollaremos para cuantificar los errores de medición debidos a esos factores, adoptamos un sistema de referencia tri-ortogonal en que la barra se desplaza en el plano xy y el eje z coincide con el eje de rotación, con origen en el punto de la superficie de la barra que está sobre el eje de rotación; el eje y apunta en la dirección vertical. El centro óptico de la filmadora está a una distancia c de la barra, desplazada del eje por una distancia δ_c, de manera que su vector de posición es

(C.6) $${\overrightarrow{r}}_c={\delta }_c\mathrm{}\cos \mathrm{}{\theta }_c\widehat{i}+{\delta }_c\mathrm{sen}{\theta }_c\widehat{j}+c\widehat{k}$$

en que $\widehat{i}$, $\widehat{j}$ y $\widehat{k}$ son los vectores unitarios en las direcciones Ox, Oy y Oz, respectivamente, y θ_c define la dirección en la que el centro óptico está desplazado con relación al eje de rotación. Ese ángulo, como todos los ángulos de interés, son medidos con relación al eje Ox.

El transportador tiene un radio r y está paralelo al plano xy, a una distancia s, con su centro desplazado del eje de rotación de la barra por δ_t. Consideramos que la línea que une las marcas de 0^o y 180^o están alineadas con el eje Ox; cualquier rotación del transportador en torno a su eje afecta directamente el ángulo leído, y consistirá en otra fuente de incertidumbre, independiente de la que evaluamos con este modelo. El vector posición del punto sobre el transportador que corresponde a la lectura de un ángulo θ_q es

(C.7) $${\overrightarrow{r}}_q=\left(r\mathrm{}\cos \mathrm{}{\theta }_q+{\delta }_{t,x}\right)\widehat{i}+\left(r\mathrm{sen}{\theta }_q+{\delta }_{t,y}\right)\widehat{j}+s\widehat{k}$$

El vector unitario que apunta en la dirección de la barra cuando ella está inclinada en un ángulo θ, que es la coordenada que se busca medir con el aparato, es

(C.8) $$\overrightarrow{u}=\cos \theta \widehat{i}+\mathrm{sen}\theta \widehat{j}$$

La lectura se hace sobre el punto en que la línea central de la barra coincide con el borde del transportador. Se determina el punto de la intersección entre el conjunto de puntos definidos por el transportador, r_q, y el plano definido por $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{r_c}$, dado por la ecuación

(C.9) $$c\left(\mathrm{sen}\theta \right)x-c\left(\cos \theta \right)y+{\delta }_c\mathrm{sen}\left({\theta }_c-\theta \right)z=0$$

El ángulo leído en el transportador es el valor de θ_q de la ecuación (C.7) que está en ese plano. Para encontrar ese punto $(x,y)=({\widehat{x}}_q,{\widehat{y}}_q)$ se sustituye z = s en la ecuación (C.9) y se aísla el término en x, de manera que:

(C.10) $${\widehat{x}}_q=\cot \theta {\widehat{y}}_q-\frac{s}{c}{\delta }_q\frac{\mathrm{sen}\left({\theta }_c-\theta \right)}{\mathrm{sen}\theta }$$

De la ecuación (C.7), con $\cos {\theta }_q=\frac{\widehat{x}{}_q}{r_q}$ y $\mathrm{sen}{\theta }_q=\frac{\widehat{y}{}_q}{r_q}$, se deduce que

(C.11) $${\left({\widehat{x}}_q-{\delta }_{t,x}\right)}^2=r_q^2-{\left({\widehat{y}}_q-{\delta }_{t,y}\right)}^2$$

De la solución del sistema de ecuaciones (C.10) y (C.11), se calcula $\mathrm{sen}{\theta }_q=\frac{{\widehat{y}}_q}{r_q}$. El resultado es una expresión con muchos términos, por lo que preferimos mostrar abajo el resultado cuando${\delta }_{t,x}={\delta }_{t,y}=0$:

(C.12) $$sen{\theta }_q=sen\theta \sqrt{1+{\alpha }^2{\left(sen\left({\theta }_c-\theta \right)\right)}^2}+\alpha \cos \theta sen\left({\theta }_c-\theta \right)$$

con

(C.13) $$\alpha =\frac{{\delta }_c}{r}\frac{s}{c}$$

Cuando se usan valores realistas para los parámetros del sistema: δ_c = 1 cm, r = 25 cm, s = 4 cm, c = 80 cm, correspondientes al aparato utilizado, $\alpha =\frac{{\delta }_c}{r}\frac{s}{c}=\frac{1}{\text{500}}$. Así, en la expresión (C.12) se puede ignorar el término en α², de modo que

$$\mathrm{sen}{\theta }_q=\mathrm{sen}\theta +\alpha \mathrm{}\cos \mathrm{}\theta \mathrm{sen}\left({\theta }_c-\theta \right)$$

Como α es muy pequeño, $\mathrm{sen}{\theta }_q\cong \mathrm{sen}\theta$. Expandiendo en série sen θ_q,

$$\mathrm{sen}{\theta }_q\cong \mathrm{sen}\theta +\cos {\theta }_q\left({\theta }_c-\theta \right)\cong \mathrm{sen}\theta +\cos \theta \left({\theta }_c-\theta \right)$$

que, sustituido en la expresión anterior, permite deducir

(C.14) $${\theta }_q-\theta \cong \alpha \mathrm{sen}\left({\theta }_c-\theta \right)$$

De esa expresión, se deduce que el error de paralaje es del orden de α, aproximadamente igual a 0,1^∘, y tiene un comportamiento que depende de la posición de la filmadora — que puede tanto tener signo constante para todo el rango de ángulos de interés como cambiar de signo, ya que es nulo para θ = θ_c.

Incluyendo valores de δ_t ∼ 0, 1 cm en ese cálculo, se verifica que el error de paralaje puede llegar a ser el doble, dependiendo de las orientaciones relativas de los errores de posicionamiento de la filmadora y del transportador.

C.3. Otras fuentes de incertidumbre

Parámetros de aparato. La longitud de la barra, a, distancia eje-extremidad, δ, ancho de la barra, b, y aceleración local de la gravedad, g, listados en la Tabla 1, entran en el modelo de forma agregada, como la constante definida en la ecuación (6) y transcripta abajo

$$C=\frac{mgd}{𝒥}=\frac{gd}{\frac{a^2}{12}+d^2}$$

con $d=\frac{a}{2}-\delta$. Usando los datos de la Tabla 1 y estimando la desviación estándar como mitad del valor del digito menos significativo, resulta en

$$C=\mathrm{27,00}\left(5\right)s^{-2}.$$

Una mudanza de una proporción 5/2700 en C causa una mudanza de misma proporcion en la aceleracion. Esa pequeña incerteza implica que la incertidumbre en la posición angular (debida a ese fenómeno) es menor que 0,1^∘ en cualquier instante del movimiento.

Ángulo inicial. Un error en el valor del ángulo inicial produce un error creciente a medida que la barra gira. Así, la desviación estándar sale del valor 0,03^∘ en el inicio del movimiento, de acuerdo a la Tabla 1, llegando a 0,04^∘ al final, calculado con la solución de la ecuación diferencial con un ángulo inicial igual a θ₀ − σθ_o.

Espesura de la barra. Esta característica no influye en este movimiento, de manera que la incertidumbre en la medida correspondiente será ignorada. Sin embargo, es importante que la barra sea homogénea, pero este es uno de los muchos factores que pueden llegar a ser importantes pero no serán considerados aquí por alejarse del objetivo de este trabajo.

C.4. Balance de incertidumbres

La Tabla C.1 lista los diversos valores y factores que causan incertidumbre en los resultados y fueron discutidos en este apéndice. Así como la uniformidad de la espesura de la barra, aquí no serán tratados otros factores que pueden añadir incertidumbres, como los relacionados a: la inclinación del plano del movimiento de la barra; la fricción con el eje; los artefactos debidos al tratamiento de imágenes por la filmadora antes del registro del video en formato digital; la uniformidad integral y diferencial de la escala del transportador; la precisión de la base de tiempo de la filmadora y la uniformidad de la tasa de registro de cuadros.

Table C.1
Factores que causan errores sistemáticos e incertidumbres en las mediciones de posición angular.

Magnitud o factor	Desvio en θ (◦)	método
barrido de la imagen	0,1-0,3	modelo del barrido, apéndice C.1
paralaje	0,1-0,2	modelo de paralaje, apéndice C.2
a, δ, b, g de la Tabla 1	∼ 0, 1	Propagación de incertidumbres, modelo de la barra, apéndice C.3
ángulo inicial	< 0,1	Propagación de incertidumbres, modelo de la barra, apéndice C.3

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• 1
  El autor sugiere cubrir una regla larga o un metro de carpintero (vara rígida de madera) con monedas, sostenerlo en un cierto ángulo con la dirección horizontal, fijar un lado y dejar caer el otro, con la expectativa de que solo las monedas en el tercio final se desplacen cuando ésta se detenga. En realidad, todas las monedas saltan de sus lugares cuando la vara se detiene, y el movimiento es muy rápido para que el ojo humano pueda acompañarlo, independientemente del ángulo inicial con la horizontal.
• 2
  Este es un razonamiento en dos etapas: i) La aceleración de cada punto es diferente, lo que determina que la fuerza resultante en cada punto sea diferente. ii) Además de la gravedad, en cada punto solo actúan fuerzas internas y, como la gravedad es constante, son las fuerzas internas que cambian con el punto en consideración.
• 3
  La proyección vertical de la aceleración de la punta de la barra es la suma de las proyecciones de la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial. Ocurre que la aceleración centrípeta es nula al inicio del movimiento y, cuando θ = 0◦, su proyección vertical es nula. Así, el cálculo necesita considerar unicamente la aceleración tangencial, que se puede calcular cuando θ es conocido.

Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Fechas de Publicación

• Publicación en esta colección
  26 Ene 2026
• Fecha del número
  2026

Histórico

• Recibido
  15 Mayo 2025
• Revisado
  15 Oct 2025
• Acepto
  11 Nov 2025