O problema da medição na Mecânica Quântica: do desenvolvimento da teoria à informação quântica

The measurement problem in quantum mechanics: from the development of the theory

Resumo

Tendo como um dos pilares fundamentais o princípio da incerteza de Heisenberg, a construção da Mecânica Quântica (MQ) levou Albert Einstein, Boris Podolsky e Nathan Rosen a formularem, em 1935, o famoso paradoxo EPR, que questionava a completude da teoria. Até 1964, não havia sequer em teoria um teste capaz de distinguir a MQ de hipóteses alternativas baseadas em variáveis ocultas locais. O artigo intitulado “Can Quantum Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?” apontava para a incompletude da MQ, diretamente ligada ao caráter probabilístico da teoria, ao qual Einstein se opunha frontalmente. Em 1964, John S. Bell formulou seu teorema, que tornou viáveis os testes experimentais das previsões da MQ. Na década de 1980, iniciaram-se os experimentos cruciais que confirmaram as previsões da MQ sobre o emaranhamento, inaugurando uma nova fase nos estudos sobre os fundamentos da teoria. Em 2022, John Clauser, Alain Aspect e Anton Zeilinger foram agraciados com o Prêmio Nobel de Física pela violação experimental das desigualdades de Bell. O presente trabalho consiste em uma revisão de trabalhos teórico-experimentais, tendo como foco o período de 87 anos que se inicia com a formulação do paradoxo EPR e culmina com a concessão do Prêmio Nobel de 2022. Ao longo da revisão histórica dos trabalhos, são discutidos e problematizados alguns dos tópicos de maior relevância para a teoria quântica, incluindo certas interpretações da MQ. Além dos referidos experimentos, abordaremos ao final dois trabalhos laureados com o Prêmio Nobel de 2012, num contexto de aplicações da MQ em informação e computação quânticas.

Palavras-chave:
Mecânica Quântica; Medição; Decoerência; Emaranhamento; Computação quântica

Abstract

Having the Heisenberg uncertainty principle as one of its fundamental pillars, the construction of Quantum Mechanics (QM) led Albert Einstein, Boris Podolsky, and Nathan Rosen to formulate, in 1935, the famous EPR paradox, which questioned the theory’s completeness. Until 1964, there was not even a theoretical test capable of distinguishing QM from alternative hypotheses based on local hidden variables. The paper titled “Can Quantum Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?” pointed to the incompleteness of QM, directly linked to the theory’s probabilistic character, which Einstein strongly opposed. In 1964, John S. Bell formulated his theorem, which made experimental tests of QM’s predictions viable. In the 1980s, crucial experiments began, confirming QM’s predictions about entanglement and non-locality and inaugurating a new phase in studies on the foundations of the theory. In 2022, John Clauser, Alain Aspect, and Anton Zeilinger were awarded the Nobel Prize in Physics for the experimental violation of Bell’s inequalities. This work consists of a review study of theoretical and experimental works, focusing on the 87-year period that begins with the formulation of the EPR paradox and culminates with the awarding of the 2022 Nobel Prize. Throughout the historical review of the works, some of the most relevant topics for quantum theory are discussed and problematized, including certain interpretations of QM. In addition to the aforementioned experiments, we will finally address two works awarded the Nobel Prize in 2012, in the context of QM applications in quantum information and computation.

Keywords:
Quantum Mechanics; Measurement; Decoherence; Entanglement; Quantum computing

1. Introdução

A primeira década dos anos 2000 foi marcada pelo centenário da revolução dos quanta, iniciada por Max Planck, que, em 1900, propôs a quantização da energia na radiação do corpo negro [¹, ²], solucionando um problema extremamente complexo da fenomenologia física. Esse feito foi crucial para o desenvolvimento de diversos trabalhos dos chamados “Pais Fundadores” da Mecânica Quântica, como A. Einstein [³], A. H. Compton [⁴], N. Bohr [⁵], L. De Broglie [⁶], W. Heisenberg [⁷], W. Pauli [⁸, ⁹], C. Davisson e L. H. Germer [¹⁰], G.P. Thompson e A. Reid [¹¹], E. Schrödinger [¹²], P. Dirac [¹³] e P. Jordan e M. Born [¹⁴], a quem é devida a interpretação probabilística da função de onda quântica e consequentemente do caráter probabilístico da teoria.

Dada a proximidade do centenário dos trabalhos seminais de Heisenberg [⁷], Pauli [⁸] e Schrödinger [¹²], em 2023 a Assembleia Geral das Nações Unidas, sob recomendação da UNESCO, proclamou o ano de 2025 como Ano Internacional das Ciências e Tecnologias Quânticas [¹⁵]. Nesse mesmo ano, o Prêmio Nobel de Física foi concedido a John Clarke, John Martinis e Michel Divoret, pela descoberta do tunelamento quântico macroscópico e da quantização de energia em circuitos elétricos, que tornou possível a computação quântica baseada em supercondutividade [¹⁶, ¹⁷].

A Mecânica Quântica (MQ) é uma teoria que ocupa um lugar singular, entre postulados, experimentos, interpretações [¹⁸, ¹⁹, ²⁰, ²², ²¹, ²³, ²⁵, ²⁴, ²⁶, ²⁷] e aplicações. Nesse cenário peculiar e repleto de sutilezas, um aspecto notável é que a MQ é uma teoria muito bem sucedida: o que é previsto, ainda que não completamente compreendido, é confirmado experimentalmente. O problema central da teoria reside no processo de medição [¹⁸, ²⁷], que contém aspectos subjacentes a serem repensados, como a localidade e a natureza da função de onda – ôntica (real) ou epistêmica (instrumental)?

Os trabalhos supracitados contribuíram para o entendimento do comportamento dual da matéria e da radiação, bem como de sua interação. Também foram fundamentais para a compreensão da estabilidade do átomo (e, por extensão, da matéria), incluindo o estudo dos orbitais e de seu preenchimento, de acordo com o princípio de exclusão de Pauli [⁸, ⁹] e a estatística de Fermi-Dirac [²⁸, ²⁹]. Além disso, possibilitaram a descrição das propriedades dos sólidos [³⁰] e suas aplicações em dispositivos eletrônicos [³¹], que possibilitaram, por sua vez, o desenvolvimento da própria computação clássica, hoje amplamente utilizada.

A Mecânica Quântica Moderna tem seu início frequentemente situado na tese de doutorado de Louis De Broglie, defendida em 1923, na qual ele teoriza um comportamento dual da matéria. A extensão dessa dualidade para a matéria foi bem recebida pela banca avaliadora, composta pelos físicos Jean Perrin e Paul Langevin, o matemático Élie Cartan e o cristalógrafo Charles Mauguin. Perrin, embora reconhecesse a elegância da teoria, que conciliava fenômenos ondulatórios e corpusculares, manteve ceticismo em relação à proposta devido à ausência de confirmações experimentais.

Apesar de não sugerir diretamente um experimento, De Broglie estende o fenômeno da difração, notavelmente investigado por T. Young em suas pesquisas sobre a natureza da luz, às partículas, indicando a escala em que tal difração deveria ocorrer [⁶, ³²].

O comprimento de onda associado a elétrons em escalas típicas de experimentos é da ordem de 1 Å(${10}^{-10}$ m, ou 0,1 nm). Para produzir difração com ondas dessa magnitude, são necessárias fendas ou estruturas de dimensões comparáveis. A distância média entre dois átomos em uma rede cristalina, por exemplo, é da ordem necessária para produzir o efeito. Foi justamente explorando esse cenário que Davisson e Germer comprovaram experimentalmente a hipótese de De Broglie, reconhecimento que levou De Broglie ao Prêmio Nobel de Física em 1929 e Davisson em 1937.

Confirmada a hipótese de De Broglie [⁶], as discussões fundamentais da MQ frequentemente buscavam conciliar a natureza ondulatória com a informação sobre qual fenda o elétron teria atravessado. Dentro da narrativa histórica de amadurecimento da teoria, percebe-se que o elétron – enquanto ente físico elementar – manifesta-se no experimento da fenda dupla não como um corpúsculo pontual em trajetória incerta, mas como um campo cujas interações preservam suas características invariantes, como massa, carga e spin. Sob essa perspectiva, a interferência ocorre porque o ente quântico, sendo uma entidade estendida, interage simultaneamente com ambas as fendas, e a destruição do padrão de interferência por uma medição reflete a transição do campo para um estado de informação definida sobre a posição. Essa limitação fundamental seria formalizada no princípio da incerteza de Heisenberg [⁷], apresentado na subseção II-B.

O novo caráter probabilístico, ainda que em aparente contradição com a intuição clássica, demonstrava inegável sucesso. De modo análogo ao enfrentamento do problema da radiação de corpo negro e da sua incômoda solução por meio da quantização da energia, os mesmos físicos responsáveis por esses avanços precisaram lidar com as bases fenomenológicas mais fundamentais da teoria.

O primeiro problema consistia, em razão do caráter probabilístico, na determinação unívoca do estado de uma partícula antes da medição. O estado de um sistema quântico já está definido (embora indeterminado) antes da medição (interpretação realista)? Ou é a própria medição que “força” o sistema a se definir em um estado específico – aquele que é observado (interpretação de Copenhagen) [³³, ³⁴]?

A. Einstein, B. Podolsky e N. Rosen, por sua vez, publicaram, em 1935, um importante artigo que faz uso da própria MQ para apontar limitações da teoria [³⁵]. Devido à argumentação puramente teórica e à inviabilidade de um experimento, o trabalho ficou à margem das discussões sobre MQ até 1964, quando John Bell concebeu um teorema e um experimento capazes de distinguir as previsões da MQ das previsões da Teoria de Variáveis Ocultas Locais (TVOL), alternativas à MQ que visavam “restaurar o realismo e a localidade” na teoria quântica [³⁶]. Bell desenvolvera uma desigualdade matemática que permitia inferir se a TVOL seria compatível com a MQ: caso as desigualdades fossem satisfeitas, a teoria seria compatível com a MQ, indicando que a mesma seria incompleta; caso fossem violadas, falseia as TVOL.

Com a contribuição de Bell, houve um intenso engajamento de pesquisadores interessados no tema, o que levou a uma melhoria substancial das técnicas experimentais. O primeiro grupo foi o do estadunidense John Clauser [³⁷]. O segundo grupo foi o do francês Alain Aspect, cujos resultados foram reportados em 1981 e 1982 [³⁸, ³⁹]. Por fim, o grupo do austríaco Anton Zeilinger também obteve resultados que violaram as desigualdades, reportados em 1990 [⁴⁰]. Zeilinger deu um passo à frente sendo pioneiro na aplicação das propriedades não-locais para realizar o teletransporte de estados quânticos em 1997 [⁴¹].

Passados 24 anos do artigo de A. Zeilinger, a comunidade científica reconheceu o que foi talvez o feito mais relevante da física no século XX, no que diz respeito ao nosso entendimento da realidade: a confirmação de que a MQ é não-local [⁴²]. A concessão do Prêmio Nobel de Física de 2022 aos pesquisadores experimentais Clauser [³⁷], Aspect [³⁸, ³⁹] e Zeilinger [⁴⁰] demonstra o reconhecimento de resultados contundentes alcançados em rigorosos testes experimentais que ampliaram a base de comprovação da teoria quântica. John Bell, o responsável pela transição das especulações teóricas às investigações empíricas, falecido em 1990, é lembrado pela sua genialidade, sendo considerado um divisor de águas em um dos problemas mais importantes já discutidos [³⁴, ⁴³].

Neste artigo, realizamos uma revisão de trabalhos teóricos e experimentais, com foco no período de 87 anos entre a formulação do paradoxo EPR e o Prêmio Nobel de Física de 2022, concedido a J. Clauser, A. Aspect e A. Zeilinger pela violação das desigualdades de Bell. Ao longo da revisão histórica, são problematizados e discutidos alguns dos tópicos de maior relevância para a teoria quântica, incluindo algumas das interpretações da Mecânica Quântica [²⁷].

Na última seção, abordaremos a computação quântica, uma das mais importantes e atuais aplicações da MQ, com foco nos aspectos da decoerência e implementação de qubits, mencionando brevemente algumas técnicas realizadas nos anos recentes [⁴⁴, ⁴⁵, ¹⁷, ⁴⁶].

2. Noções de Mecânica Quântica

Na MQ [²², ²¹, ¹⁹, ²⁰], o estado de uma partícula quântica e sua evolução são descritos pela equação de onda de Schrödinger [¹²], proposta em 1926 e dada por:

(1) $$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\mathrm{\Psi }+V\mathrm{\Psi },$$

onde $i^2=-1$, $\hslash =h/2\pi$ é a constante de Planck reduzida, $\partial /\partial t$ é a derivada parcial em relação ao tempo e ${\nabla }^2$ é um operador diferencial denominado Laplaciano, dado pela soma das derivadas parciais de segunda ordem nas três coordenadas espaciais. $\mathrm{\Psi }$ é a função de onda, $m$ é a massa da partícula e $V$ é o potencial ao qual a partícula está submetida. A equação apresentada se aplica a uma única partícula, sendo $V$ o fator mais relevante, podendo depender ou não do tempo.

A solução para a partícula livre ($V=0$) é descrita por funções de onda com momento bem definido, representadas por ondas planas da forma:

(2) $$\mathrm{\Psi }(\mathbf{r},t)=A{e}^{i\left(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t\right)}\text{,}$$

em que $\omega =\hslash k^2/2m$. É importante notar que a Eq. (2) representa uma solução particular (um autoestado do momento). A solução geral, que descreve um sistema físico localizado, é dada pela superposição linear desses estados na forma de um pacote de ondas:

(3) $$\mathrm{\Psi }(\mathbf{r},t)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^{3/2}}\int \varphi \left(\mathbf{k}\right)e^{i\left(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t\right)}{d}^{3}k\text{.}$$

Esta formulação é fundamental para a interpretação probabilística que discutiremos a seguir.

Quando o potencial depende somente da posição e a função admite separação de variáveis, é possível trabalhar com a função de onda dependente de apenas uma coordenada espacial, simplificando a notação

(4) $$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(x,t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{\Psi }(x,t)+V\left(x\right)\mathrm{\Psi }(x,t).$$

A partir da equação acima, podemos obter a equação de Schrödinger independente do tempo, que permite determinar os estados estacionários, chamados autoestados. Para isso, supomos que $\mathrm{\Psi }(x,t)$ possa ser escrita como produto de duas funções, cada uma dependendo de apenas uma variável

(5) $$\mathrm{\Psi }(x,t)=\psi \left(x\right)\varphi \left(t\right).$$

A função dependente da posição satisfaz

(6) $$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V\left(x\right)\psi =E\psi ,$$

denominada equação de Schrödinger independente do tempo, em que $E$ é a energia da partícula. Por sua vez, a parte temporal obedece

(7) $$\varphi \left(t\right)=\exp \left[-\frac{i{E}_{n}t}{\hslash }\right].$$

Verificamos, então, que a parte temporal da função de onda não é real no sentido matemático.

Devido à linearidade da MQ, a solução completa da equação (4) pode ser obtida recompondo a função de onda como uma soma sobre os autoestados de energia [¹⁹]:

(8) $$\mathrm{\Psi }(x,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{\psi }_n\left(x\right)e^{-\frac{i{E}_{n}t}{\hslash }},$$

com probabilidade de encontrar a partícula por ela descrita na região escrita entre os pontos $a$ e $b$ da posição $x$ dada por

(9) $$P_{\left(ab\right)}={\int }_a^b{\left|\mathrm{\Psi }(x,t)\right|}^2\mathit{d}x,$$

conforme discutido em [¹⁹]. Como a partícula deve estar em algum lugar do espaço, a probabilidade total em todo o domínio precisa ser unitária. Essa condição é expressa como

(10) $${\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\mathrm{\Psi }(x,t)\right|}^2\mathit{d}x=1,$$

e denomina-se condição de normalização. Posto que a função de onda não é uma grandeza real no sentido matemático, sua interpretação física reside na relação acima, de onde se depreende que ${\left|\mathrm{\Psi }\right|}^2$ assume o papel de uma densidade de probabilidade. Sob uma perspectiva contemporânea, tal distribuição não descreve um ponto material clássico, mas sim um ente físico – o elétron – compreendido como um campo de Schrödinger no limite não-relativístico. Nesse contexto, massa, carga e spin são interpretados como atributos invariantes desse campo, evitando-se interpretações puramente corpusculares que foram superadas com o amadurecimento da teoria.

A MQ, a menos de peculiaridades, é construída sobre espaços lineares. Assim, seu formalismo pode ser expresso em termos de vetores em espaços de Hilbert munidos de bases ortonormais. Nesse contexto, a notação introduzida por Paul Dirac, laureado com o Prêmio Nobel de Física de 1933 juntamente com Schrödinger, representa os estados quânticos por vetores $|\mathrm{\Psi }⟩$. De forma equivalente à equação (8), esse estado pode ser escrito como

(11) $$|\psi ⟩=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n|n⟩\exp \left[-\frac{i{E}_{n}t}{\hslash }\right],$$

expandido em termos de uma base $|n⟩$ de energia, cuja dimensão depende da natureza do sistema, muitas vezes determinada pelo seu preparo em laboratório, por exemplo. Como a dimensão de um espaço vetorial é exatamente a quantidade de vetores da sua base, o espaço de estados de um sistema quântico pode ter, em princípio, um número arbitrariamente grande de dimensões. A combinação linear acima, portanto, é consequência do princípio de superposição, conceito fundamental com consequências profundas, que serão retomadas na última seção.

A notação de Dirac, também conhecida como notação “bra-ket”, é uma notação de álgebra linear especialmente conveniente para problemas quânticos. Os vetores de estado kets estão no espaço de Hilbert, $\mathscr{H}$, enquanto os bras $⟨\mathrm{\Psi }|$, estão no espaço dual, formado pelos complexos conjugados dos kets.

O espaço de Hilbert é um espaço vetorial sobre o corpo dos números complexos $ℂ$, dotado de produto escalar. Também é possível representar bras e kets matricialmente, como vetores linha e coluna, respectivamente. O produto escalar entre dois elementos do espaço de Hilbert é denotado por $⟨bra|ket⟩$ e corresponde à multiplicação do vetor linha (bra) pelo vetor coluna (ket), resultando em um número complexo. Há outra estruturação da MQ, que são as representações estocásticas, baseadas em leis probabilísticas [²⁵], mas que não serão abordadas no presente trabalho.

Supondo a dimensão do espaço de Hilbert igual a três, podemos encontrar um trio de vetores linearmente independentes que formam uma base, como $|1⟩,|2⟩,|3⟩$. Por uma motivação prática, as bases usadas em problemas de MQ são ortonormais, isto é, compostas por vetores ortogonais e normalizados. Essa escolha facilita a resolução dos problemas.

O sistema ortonormalizado, observando a relação de completeza das bases [²³], satisfaz as seguintes propriedades:

(12) $$⟨1|2⟩=⟨1|3⟩=⟨2|3⟩=0;$$

(13) $$⟨1|1⟩=⟨2|2⟩=⟨3|3⟩=1.$$

Essas condições refletem, respectivamente, a ortogonalidade e a normalização dos vetores da base, em analogia à condição de normalização da função de onda,

(14) $${\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\mathrm{\Psi }\right|}^2\mathit{d}x=⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩=1.$$

De forma geral, para quaisquer estados da base, tem-se

(15) $$⟨{\mathrm{\Psi }}_m|{\mathrm{\Psi }}_n⟩={\delta }_{mn},$$

em que o delta de Kronecker é definido como

(16) $${\delta }_{nm}=\{\begin{array}{cc}0,\text{se}m\ne n,\hfill & \\ 1,\text{se}m=n.\hfill & \end{array}$$

O produto escalar de dois vetores paralelos é diferente de zero, enquanto entre dois vetores ortogonais é nulo. Nesse sentido, a notação de Dirac mostra-se especialmente útil para o tratamento de sistemas ortonormais, em particular os de dois níveis, que representam estados em superposição. Quando realizamos uma medição, estamos fazendo um produto escalar de um operador (conceito apresentado na Seção II-B) com o vetor de estado.

As (equações 8) e (11), equivalentes, descrevem estados superpostos da respectiva base da expansão, condição em que um sistema quântico pode se encontrar antes da realização de uma medição, quando ainda estão presentes as contribuições de outros possíveis estados. A decoerência (ou descoerência) é o nome dado à transição quântico-clássica, caracterizada pela perda das propriedades quânticas, a exemplo da superposição de estados, ocasionada pela interação do sistema com os graus de liberadade do ambiente.

Ao fazermos uma medição, dizemos que ocorre o colapso da função de onda, e podemos obter, na primeira medição, qualquer um dos resultados previstos pelo estado superposto. Já em uma segunda medição, podemos obter o mesmo resultado anterior, mas com a mesma probabilidade de obter os demais resultados que não foram obtidos na primeira medição. Assim, as medições estão desvinculadas umas das outras (será melhor discutido na seção II-B). Além disso, a interação entre observador e sistema, no contexto da MQ é fundamentalmente diferente, pois não admite correções capazes de recuperar o estado anterior.

Um bom exemplo é a medição da temperatura ${\theta }_0$ de um pequeno volume de água, de capacidade térmica $C_0$, utilizando um termômetro cujo bulbo possui tamanho e capacidade térmica, $C_a$, de ordens comparáveis às do volume de água, e temperatura inicial ${\theta }_a$. A temperatura final, aferida (ou seja, determinada por comparação, pela lei zero da termodinâmica) ${\theta }_a’$ = ${\theta }_0’$, não indica a temperatura inicial da água, pois, pela segunda lei da termodinâmica, a água perde calor para o termômetro. O equipamento medidor altera assim o estado da água, de forma análoga ao que ocorre no caso quântico. No entanto, no caso clássico há uma diferença fundamental: é possível calcular uma correção na leitura do termômetro, pelas leis da Termologia, de modo a recuperar o valor inicial da temperatura da água: ${\theta }_0={\theta }_a^{\prime }+\frac{C_a}{C_0}\left({\theta }_a^{\prime }-{\theta }_0\right)$.

Permanece a pergunta: antes da medição, o que havia de fato, o estado superposto ou o resultado já “definido”? O conceito de colapso da função de onda está associado a uma das interpretações da MQ, conhecida como interpretação ortodoxa, ou de Copenhagen.

2.1. Teorema de Ehrenfest, Observáveis ePrimeira Quantização

Um passo importante no formalismo da MQ é o procedimento denominado primeira quantização, que diz respeito à representação de grandezas (observáveis) por meio de operadores. O teorema de Ehrenfest [⁴⁷, ⁴⁸] estabelece uma relação direta entre os valores esperados dos observáveis na Mecânica Quântica e as equações da Mecânica Clássica ao afirmar que as médias dessas grandezas obedecem às leis clássicas. Contudo, é fundamental ressaltar que essa correspondência formal não implica na existência de trajetórias clássicas para o ente quântico, uma vez que a noção de trajetória de um ponto material é substituída pela evolução unitária do campo no espaço de estados. Devido ao caráter probabilístico da teoria, trabalhamos com a ideia de valor esperado:

(17) $$⟨x⟩=\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }x\mathrm{\Psi }\mathit{d}x,$$

que, como explica o físico David Griffiths em seu livro-texto Introdução à Mecânica Quântica[¹⁹], corresponde à média das medições feitas em partículas que estão todas no mesmo estado $\mathrm{\Psi }$.

A definição é feita considerando experimentos preparados de forma idêntica, pois sucessivas medições realizadas sobre uma mesma partícula colapsarão sucessivamente (a cada nova medição) sua função de onda. Caso essas medições sejam feitas em pequenos intervalos de tempo, os resultados serão simplesmente os mesmos, pois o estado não terá evoluído, vide efeito Zenão quântico – sistema quântico observado continuamente não evolui $-$, previsto teoricamente e observado experimentalmente [⁴⁹, ⁵⁰]. O colapso sucessivo da função de onda e o distúrbio provocado no seu estado original também implicam que é impossível observar repetidas vezes e reconstruir identicamente o estado de interesse, entendimento ao qual foi dado o nome de teorema da não-clonagem[⁵¹].

Por outro lado,

(18) $$p=mv,$$

(19) $$⟨p⟩=m\frac{d}{dt}⟨x⟩.$$

Para obter a expressão para o momento na MQ, usamos a equação de Schrödinger para relacionar a derivada temporal de $⟨x⟩$ com um operador derivativo espacial. Dessa forma, o valor esperado do momento é dado por:

(20) $$⟨p⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{\Psi }}^{\ast }\left(\frac{\hslash }{i}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}\right)\mathit{d}x.$$

Por fim, operadores são ferramentas matemáticas que extraem informações do sistema, representado por um objeto descritor, que no caso é a função de onda. O operador momento, por sua vez, atua preservando o fator diferencial em $x$:

(21) $${\widehat{p}}_x=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}.$$

Retomando a equação de Schrödinger independente do tempo, (equação 6), observa-se que a energia pode ser escrita em termos de

(22) $$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+V=\widehat{H},$$

onde $\widehat{H}$ é o operador hamiltoniano. No contexto da primeira quantização, esse operador, ao atuar sobre a função de onda ou o vetor de estado, fornece a energia do sistema. Assim, a equação de Schrödinger dependente do tempo pode ser escrita como:

(23) $$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\widehat{H}\mathrm{\Psi },$$

e, de forma análoga, a equação independente do tempo:

(24) $$\widehat{H}\psi =E\psi ,$$

ou, em notação de Dirac,

(25) $$\widehat{H}|\psi ⟩=E|\psi ⟩.$$

2.2. Princípio da Incerteza

Confirmada a hipótese de De Broglie [⁶] pelos experimentos de Davisson-Germer [¹⁰] e Thomson-Reid [¹¹], uma das questões que surgiram dizia respeito à trajetória dos elétrons, ou, pelo menos, à informação sobre qual fenda cada elétron havia atravessado, tomando como modelo o experimento da dupla fenda de Young.

Para determinar por qual fenda cada elétron está passando, podemos iluminar as fendas, de modo que a luz seja refletida pelo elétron ao atravessá-las. A exigência é que a radiação tenha um comprimento de onda menor ou igual à distância entre as fendas para que, ao visualizarmos o flash, saibamos de qual fenda a luz foi refletida. Ou seja, devemos ter

(26) $${\lambda }_{\gamma }\le d_{\text{fendas}}.$$

Acontece que o momento da radiação, pela relação de De Broglie, é dado por

(27) $$p_{\gamma }=\frac{h}{{\lambda }_{\gamma }}\therefore \frac{h}{{\lambda }_{\gamma }}\ge \frac{h}{d},$$

(28) $$\frac{h}{{\lambda }_{\gamma }}\ge \frac{h}{d}\therefore \frac{h}{d}\sim p_e.$$

Inevitavelmente, o momento dessa radiação, cujo comprimento de onda é necessário, será, no mínimo, igual ao próprio momento do elétron,

(29) $$p_{\gamma }\ge p_e.$$

Logo, o momento do elétron sofrerá uma alteração da ordem do seu próprio valor, e a consequência observada é que a figura de difração se desfaz:

(30) $$\Delta p_e\sim p_{\gamma }\sim p_e.$$

Uma maneira de tratar um objeto ondulatório que se estende pelo espaço, mas que pode ser localizado, é por meio do conceito de pacote de onda. A ideia consiste, de forma simplificada, em comprimir a onda, de modo que sua oscilação ocorra em uma região restrita do espaço. Ao comprimirmos a onda, reduzimos a incerteza da posição $\Delta x$, o que implica uma maior incerteza no momento.

Por outro lado, ao esticarmos a onda – aumentando o seu comprimento até que se torne uma onda harmônica – iremos eliminar a contribuição dos demais comprimentos de onda e obtemos uma maior incerteza na posição, mas conhecemos exatamente o momento. Uma forma de construir um pacote de onda é recorrer ao fenômeno dos batimentos, superpondo ondas de frequências próximas.

Seja uma função periódica par $\psi \left(x+\lambda \right)=\psi \left(x\right)$. Para uma função par, escreveremos em termos de cossenos

(31) $$\psi \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{A}_n\cos \left(k_{n}x\right),$$

(32) $$k=\frac{2\pi }{\lambda },2\frac{2\pi }{\lambda },3\frac{2\pi }{\lambda },\dots ;k_n=n\frac{2\pi }{\lambda },$$

em que $A_n$ é uma constante de normalização, que não será demonstrada (no caso contínuo, $A_k=2/\pi {\int }_0^{\infty }\psi \left(x\right)\cos \left(k_{n}x\right)\mathit{d}x$).

No caso dos batimentos, basta somar duas frequências ou dois comprimentos de onda. Mas no caso acima estamos somando um grande número de comprimentos de onda. A diferença entre dois números de onda consecutivos será

(33) $$\Delta k=\frac{2\pi }{\lambda },$$

e, tomando o limite em que $\lambda \to \infty$, $\Delta k\to 0$, a soma expressa na (equação 31) passa a ser contínua:

(34) $$\psi \left(x\right)={\int }_0^{\infty }{A}_k\cos \left(k_{n}x\right)\mathit{d}k,$$

expressão que denominamos transformada de Fourier da função de onda. Novamente: estamos construindo o pacote de onda; para tanto, somamos um número infinito de números de onda. A partir de uma distribuição dos valores de $x$, obteremos o valor médio $\overline{x}$ e definiremos o $\Delta x$ quadrático médio (“rms”) como

(35) $$\Delta x_{rms}=\sqrt{⟨{\left(x-\overline{x}\right)}^2⟩},$$

e tomaremos uma definição equivalente para $\Delta k$, resultando na desigualdade

(36) $$\Delta k\Delta x\ge \frac{1}{\text{2}}.$$

Retomando a relação de De Broglie, temos

(37) $$\Delta p=\hslash \Delta k$$

e, consequentemente,

(38) $$\Delta x\Delta p_x\ge \frac{\hslash }{2}.$$

A relação de incerteza de posição e momentum se dá entre as mesmas componentes de cada grandeza ($x$, $p_x$; $y$, $p_y$; $z$, $p_z$), o que será explicado na próxima subseção.

Voltando ao exemplo proposto, a figura de difração também ocorre para fenda única, desde que a fenda tenha dimensões comparáveis ao comprimento da onda incidente, o que também envolve uma relação de incerteza de posição e momentum.

O exemplo mostrado tratou da relação de incerteza entre posição e momento, que, em um primeiro contato, são as grandezas de maior relevância na transição entre as mecânicas clássica e quântica, devido à tentativa de calcular uma trajetória das partículas, como nas primeiras ideias frustradas sobre modelos atômicos. Entretanto, a incerteza de Heisenberg vai muito além da incompatibilidade entre posição e momento.

É fundamental ressaltar que, sob uma perspectiva contemporânea, a função de onda $\mathrm{\Psi }(\mathbf{r},t)$ descreve um ente físico estendido – o elétron – entendido como um campo de Schrödinger no limite não-relativístico. Diferente da mecânica clássica, o elétron não é um “ponto material” com trajetória definida, mas um objeto quântico cujas propriedades invariantes, como massa, carga e spin, são atributos desse campo. Assim, o experimento da dupla fenda manifesta a natureza ondulatória desse ente, e não a trajetória incerta de um corpúsculo pontual.

2.3. O comutador

Uma importante ferramenta no formalismo da MQ é o comutador [¹⁹, ⁵²], um dispositivo que atua como um teste, permitindo investigar sistemas, interpretá-los e antecipar em que condições será necessário descrevê-los quanticamente.

O comutador consiste em realizar o produto entre duas grandezas (comumente chamadas de observáveis) e, em seguida, repetir a operação invertendo a ordem delas. Por fim, subtrai-se um produto do outro. Esse procedimento é certamente incomum, raramente o encontramos fora do estudo das propriedades aritméticas de adição e multiplicação: comutatividade, associatividade e distributividade. Afinal, o produto entre quaisquer números reais é o mesmo, independente da ordem em que sejam multiplicados.

Na MQ, essa afirmação deixa de ser válida: as grandezas podem não comutar. Diante disso, é natural perguntarmos quais outros resultados, além de zero, podemos obter. Consideremos, por exemplo, as grandezas posição e momentum em uma dimensão, representadas pelos operadores [¹⁹]

(39) $$[\widehat{x},\widehat{p}]\equiv \widehat{x}\widehat{p}-\widehat{p}\widehat{x},$$

(40) $$\widehat{x}=x,\widehat{p}=-i\hslash {\partial }_x.$$

Como esses operadores não comutam, temos

(41) $$\widehat{x}\widehat{p}\ne \widehat{p}\widehat{x}\Rightarrow [\widehat{x},\widehat{p}]\ne 0.$$

De fato,

(42) $$[\widehat{x},\widehat{p}]=i\hslash .$$

O resultado acima é denominado relação de comutação canônica. O princípio da incerteza, cujo cerne foi apresentado na seção II-B para as grandezas posição e momento, aplica-se, de modo geral, a quaisquer duas grandezas que não comutem entre si. Sempre que o comutador é nulo – ou seja, quando duas grandezas de fato comutam – significa que elas podem ser medidas simultaneamente. Quando o comutador é diferente de zero, as grandezas são ditas incompatíveis e não podem ser determinadas simultaneamente com precisão arbitrária.

É preciso lembrar que posição e momento são grandezas vetoriais, com componentes nas direções $x$, $y$ e $z$. Quando se consideram componentes distintas, elas comutam! Assim, de forma mais geral, a relação de comutação canônica é escrita como

(43) $$[{\widehat{R}}_m,{\widehat{P}}_n]=i\hslash {\delta }_{mn},$$

a qual resulta em zero quando $m\ne n$ (índices de bases ortonormais; aqui, isto é, componentes distintas).

Conectando a ideia de realismo [³⁵, ²⁶] com o resultado dos comutadores e a evolução dos sistemas, podemos afirmar que operadores incompatíveis não podem apresentar cada um, simultaneamente, um elemento de realidade: na medida em que o conhecimento de um implica o desconhecimento do outro, em conformidade com a desigualdade da (equação 41). Em outras palavras, não podem ser medidos simultaneamente com precisão.

Agora que parte das ideias foram formalizadas, relembremos algumas situações propostas no início desta Seção, relacionadas ao experimento da Dupla Fenda. Podemos usar a (equação 8) como ponto de partida para analisar o referido experimento. Nesse caso, a função de onda que descreve os elétrons ou fótons disparados será uma combinação linear de apenas dois termos, correspondentes à contribuição de cada fenda.

A medição, seja ela pela iluminação das fendas ou pela obstrução de uma delas, fará com que a função de onda se reduza a uma das alternativas clássicas. Se fechamos a fenda 1, a função de onda indicará apenas a possibilidade de passagem pela fenda 2, e vice-versa. E, se ambas forem fechadas, evidentemente não haverá probabilidade alguma de que uma partícula atravesse. De fato,

(44) $${\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\mathrm{\Psi }(x,t)\right|}^2\mathit{d}x=0⟺\mathrm{\Psi }=0.$$

A única maneira da integral acima retornar zero é caso tenhamos a função de onda identicamente nula, o que representa a ausência de partículas.

Para que aconteça a difração, não é necessário que haja mais de uma fenda. O fenômeno se manifesta sempre que uma onda contorna um obstáculo cujas dimensões sejam comparáveis ao seu comprimento de onda.

Dessa análise, relacionamos intimamente incerteza e dualidade. A dualidade, ou complementaridade, constitui uma forma pela qual a incerteza quântica pode se manifestar, mas é ainda mais geral, podendo ocorrer sem ela [¹⁸].

2.4. Equação de Schrödinger para duaspartículas

A equação de Schrödinger, nas suas duas versões já apresentadas, descreve a evolução temporal do estado de apenas uma partícula. Para um sistema com mais de uma partícula, precisamos incluir um termo correspondente a cada uma delas, envolvendo suas respectivas massas, derivadas na função de onda e potenciais associados.

Seja uma função de onda dependente do tempo para duas partículas (denotadas pelos índices 1 e 2, para posição, massa e laplaciano)

(45) $$\mathrm{\Psi }({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,t).$$

A forma explícita do operador hamiltoniano para esse sistema é

(46) $$H=-\frac{{\hslash }^2}{2m_1}{\nabla }_1^{\text{2}}-\frac{{\hslash }^2}{2m_2}{\nabla }_2^{\text{2}}+V({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,t),$$

de modo que a equação de Schrödinger dependente do tempo pode ser escrita como

(47) $$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\left[-\frac{{\hslash }^2}{2m_1}{\nabla }_1^{\text{2}}-\frac{{\hslash }^2}{2m_2}{\nabla }_2^{\text{2}}+V({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,t)\right]\mathrm{\Psi }.$$

Na forma independente do tempo, tem-se

(48) $$\left[-\frac{{\hslash }^2}{2m_1}{\nabla }_1^{\text{2}}-\frac{{\hslash }^2}{2m_2}{\nabla }_2^{\text{2}}+V({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,t)\right]\psi =E\psi .$$

Resolver uma equação diferencial consiste em determinar a função que está sendo manipulada, no caso, a função de onda para duas partículas. A forma ideal de resolução é a analítica; contudo, nem sempre isso é possível. De modo geral, quanto mais complexo o sistema, menor é a probabilidade de se obter uma solução analítica.

Em resumo, há considerações importantes ao tratarmos sistemas com mais de uma partícula. O átomo de hidrogênio envolve duas partículas: o próton e o elétron. No entanto, é comum fazermos duas grandes simplificações: considerar que o núcleo está em repouso (o que não é rigorosamente verdadeiro), chamada aproximação de Born-Oppenheimer [¹⁹] e que os elétrons não interagem entre si. Essas aproximações simplificam significativamente o problema, tornando possível determinar as autoenergias e autofunções. Ao considerar o núcleo completamente parado, tratamos apenas o elétron, submetido a um potencial, que é o de Coulomb.

Seguindo esse raciocínio, o primeiro átomo em que realmente precisamos considerar duas partículas interagindo em um mesmo potencial é o hélio. Nesse caso, o hamiltoniano é composto por dois termos hidrogênicos, representando a energia cinética e o potencial de atração de cada elétron com o núcleo, acrescido do termo de repulsão entre os dois elétrons, expresso pelo último termo da soma:

(49) $$\begin{array}{cc}\hfill H=& -\left[\frac{{\hslash }^2}{2m_1}{\nabla }^2+\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{2e^2}{r_1}\right]\hfill \\ & -\left[\frac{{\hslash }^2}{2m_2}{\nabla }^2+\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{2e^2}{r_2}\right]\hfill \\ & +\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{e^2}{\left|{\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2\right|}.\hfill \end{array}$$

Se simplesmente o ignorarmos, a equação de Schrödinger pode ser separada, e as soluções podem ser escritas como produtos das funções de onda do hidrogênio:

(50) $$\psi ({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2)={\psi }_{nlm}\left({\mathbf{r}}_1\right){\psi }_{n^{\prime }{l}^{\prime }{m}^{\prime }}\left({\mathbf{r}}_2\right).$$

Essa solução é válida apenas para o ortohélio, estado em que os elétrons possuem números quânticos principais diferentes ($n\ne n^{\prime }$). O estado parahélio, por sua vez, não admite essa separação, pois apresenta seus elétrons no estado singleto [⁵³, ⁵⁴, ⁵⁵], tema da subseção a seguir.

Cabe observar que uma alternativa a esse procedimento seria adotar o referencial do centro de massa do sistema, o que exigiria adaptações na equação, incluindo a introdução de um termo de massa reduzida.

2.5. Estados não-fatoráveis

Podemos escrever a função de onda para um elétron no átomo de Hidrogênio, por exemplo, em termos das coordenadas esféricas ou dos números quânticos, que resultam das quantizações impostas às soluções das equações diferenciais radial e angular obtidas ao resolver a equação de Schrödinger para o potencial coulombiano.

Obtidos os números quânticos, eles funcionam como atalhos e facilitam consideravelmente os cálculos, pois contêm a informação sobre o estado da partícula. O número quântico principal, $n$, está associado à coordenada radial e à quantização de energia. Já os números quânticos azimutal e magnético, $l$ e $m$, relacionam-se às coordenadas angulares $\theta$ e $\varphi$ e ao momento angular orbital. Assim, a função de onda assume a forma

(51) $${\psi }_{nlm}=R_n\left(r\right)Y_l^m(\theta ,\varphi ),$$

e, para o estado fundamental do hidrogênio, pode ser escrita como ${\psi }_{100}$, cuja sequência $n=1$, $l=0$, $m=0$ é unívoca.

A construção probabilística da MQ nos leva a sistemas compostos por duas ou mais partículas que podem estar fortemente correlacionadas. Um bom exemplo é a função de onda de duas partículas idênticas. Consideremos o átomo de hélio, o segundo átomo mais simples da natureza, formado por dois elétrons – e também por dois prótons e dois nêutrons, que, no entanto, não serão considerados aqui – em seu estado fundamental, denominado parahélio.

A função de onda para dois férmions idênticos pode ser escrita, de forma sintética, como

(52) $$\psi ({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[{\psi }_a\left({\mathbf{r}}_1\right){\psi }_b\left({\mathbf{r}}_2\right)-{\psi }_a\left({\mathbf{r}}_2\right){\psi }_b\left({\mathbf{r}}_1\right)\right],$$

em que os índices 1 e 2 denotam as partículas 1 e 2, respectivamente, indistinguíveis. Aqui, $a$ e $b$ denotam estados distintos em que cada uma delas se encontra. Se for considerado o mesmo estado para os dois elétrons, ${\psi }_a$, por exemplo, a (equação 52) torna-se

(53) $$\psi ({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[{\psi }_a\left({\mathbf{r}}_1\right){\psi }_a\left({\mathbf{r}}_2\right)-{\psi }_a\left({\mathbf{r}}_2\right){\psi }_a\left({\mathbf{r}}_1\right)\right]=0,$$

resultando em uma função de onda nula, o que indica ausência de partículas. Do ponto de vista probabilístico, interpreta-se que a probabilidade de encontrarem-se dois elétrons exatamente no mesmo estado é zero. Esse resultado é conhecido como princípio de exclusão de Pauli, enunciado pelo físico austríaco Wolfgang Pauli, laureado com o Nobel de Física em 1945, precisamente por essa descoberta fundamental.

Os estados denotados acima por $a$ e $b$ podem ser escritos também em termos dos números quânticos, como no exemplo ${\psi }_{100}$. Assim, ao supor dois elétrons no mesmo estado, temos duas funções de onda com a mesma sequência unívoca de números quânticos:

(54) $${\psi }_{nlm}={\psi }_{n^{\prime }{l}^{\prime }{m}^{\prime }}⟺n=n^{\prime },l=l^{\prime },m=m^{\prime },$$

o que leva novamente a uma função de onda identicamente nula. Surge, portanto, a necessidade de um quarto número quântico, o spin, responsável por distinguir completamente o estado de cada elétron.

Seguindo esse raciocínio, se dois elétrons compartilham os três primeiros números quânticos, o princípio de exclusão de Pauli obriga que seus spins estejam em uma configuração antissimétrica (para qualquer número de férmions), $\psi$ deve ser antissimétrica). Nesse caso, o estado do sistema será o estado emaranhado singleto:

(55) $${\psi }_{nlm\sigma }=R_n\left(r\right)Y_l^m(\theta ,\varphi ){\chi }_{\sigma },$$

(56) $${\chi }_{\sigma }=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\right|\uparrow \downarrow ⟩-|\downarrow \uparrow ⟩).$$

Na subseção IV-A serão apresentados exemplos de partículas emaranhadas e alguns modos de obtê-las.

2.6. Matrizes de Pauli

Antes de apresentarmos o teorema de Bell, convém expor as matrizes de Pauli, obtidas a partir da equação de autovalores da componente ${\widehat{\sigma }}_z$ do spin, que costuma ser tomada como ponto de partida para o tratamento das demais componentes ${\widehat{\sigma }}_x$ e ${\widehat{\sigma }}_y$.

(57) $${\widehat{\sigma }}_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\widehat{\sigma }}_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\widehat{\sigma }}_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

Além disso, essas matrizes aparecem na computação quântica como representações de portas lógicas. Em particular, a matriz ${\widehat{\sigma }}_x$ atua como a porta X (ou NOT quântica). Considerando os estados

(58) $$|0⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{e}|1⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),$$

aplicar ${\widehat{\sigma }}_x$ a $|0⟩$ resulta em

(59) $$\left(\begin{array}{c}01\\ 10\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=|1⟩,$$

e aplicar ${\widehat{\sigma }}_x$ a $|1⟩$ leva a

(60) $$\left(\begin{array}{c}01\\ 10\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=|0⟩.$$

Assim, para um estado arbitrário de um qubit,

(61) $$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩,$$

a operação ${\widehat{\sigma }}_x$ produz

(62) $${\widehat{\sigma }}_x|\psi ⟩=\alpha |1⟩+\beta |0⟩.$$

2.7. O gato de Schrödinger

O famoso experimento mental do gato de Schrödinger [⁵⁶] é uma ilustração do problema da medição e da transição quântico-clássica. O sistema consiste em um gato, um contador Geiger (aparelho capaz de detectar o decaimento de um átomo), um martelo, um frasco contendo veneno (objetos clássicos) e o átomo que irá decair; tudo isso dentro de uma caixa fechada – em outras palavras, o sistema está isolado, sem influência de agentes externos.

Podemos imaginar que preparamos o aparato e contamos o tempo decorrido após fecharmos a caixa. O que vai ocorrer é uma sequência causal de eventos que culminará na morte do gato, tão mais provável quanto maior o tempo decorrido após o isolamento (e tão menos provável quanto menor o tempo em que deixarmos o sistema isolado – ver o problema da evolução do estado, mencionado na p.2). Isso porque o átomo deve decair; esse fenômeno é detectado pelo Geiger, que por sua vez irá acionar o martelo, que quebrará o frasco e liberará o veneno, matando, por fim, o gato. Se, ao fim do intervalo, abrirmos a caixa para observar, o processo se manifesta externamente como decoerência.

O processo de decaimento do átomo nessas condições passa por superposições de estados, e o que Schrödinger afirma é que, conforme a MQ vinha sendo interpretada, haverá algum momento – nem tão cedo, nem tão tarde – em que o átomo estará em superposição e, dada a sequência causal descrita, o gato estará vivo e morto (novamente: se abrirmos a caixa, perceberemos somente o gato vivo ou morto):

(63) $$|{\psi }_{gato}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|{\psi }_{vivo}⟩+|{\psi }_{morto}⟩\right).$$

Conceber vida e morte como estados sobrepostos é claramente um absurdo, porque esses conceitos descrevem condições clássicas, antagônicas e mutuamente excludentes.

3. Desigualdades de Bell

A discussão iniciada na introdução pelo artigo de EPR de 1935 [³⁵] permaneceu em segundo plano por 29 anos por ser considerada essencialmente filosófica [¹⁹, ²⁶], pois não havia experimento capaz de distinguir as previsões da MQ e da TVOL. Testabilidade empírica é um critério indispensável em física: não se trataria de buscar “verdades”, mas sim fatos experimentais.

O modelo de Bell opera com variáveis bivalentes – que podem assumir apenas dois valores, $+1ou-1$, $\mathbf{a}$ ou $\mathbf{b}$ – como ocorre para componentes de spin ou polarização. O raciocínio de Bell baseou-se em duas suposições fundamentais: (i) o estado completo do sistema poderia ser caracterizado por um conjunto de variáveis escondidas $\lambda$, de modo que o resultado da medição em cada partícula fosse descrito por funções do tipo $A(\mathbf{a},\mathbf{b},\lambda )$ e $B(\mathbf{a},\mathbf{b},\lambda )$; e (ii) o resultado da medição sobre uma partícula não seria influenciado pela direção de spin ou polarização escolhida para a outra partícula, localizada à distância. Assim as funções podem ser escritas como $A(\mathbf{a},\lambda )$ e $B(\mathbf{b},\lambda )$, obteremos uma anticorrelação perfeita, conforme a (equação 65). Dessa forma, as exigências fundamentais seriam

(64) $$A(\mathbf{a},\lambda )=\pm 1;B(\mathbf{b},\lambda )=\pm 1,$$

(65) $$A(\mathbf{a},\lambda )=B(\mathbf{b},\lambda ).$$

A média dos produtos das medições será dada pelo coeficiente de correlação, $P(\mathbf{a},\mathbf{b})$ da (equação 66)

(66) $$P(\mathbf{a},\mathbf{b})=\int \rho \left(\lambda \right)A(\mathbf{a},\lambda )B(\mathbf{b},\lambda )\mathit{d}\lambda ,$$

em que $\rho \left(\lambda \right)$ é a densidade de probabilidade associada à variável oculta. Como qualquer densidade de probabilidade, $\rho \left(\lambda \right)$ é não-negativa e satisfaz a condição de normalização

(67) $$\int \rho \left(\lambda \right)\mathit{d}\lambda =1.$$

Para orientações arbitrárias, a MQ prevê

(68) $$P(\mathbf{a},\mathbf{b})=-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}.$$

Combinando as (equações 65), (66) e (67) e considerando um terceiro vetor $\mathbf{c}$, obtemos a famosa desigualdade de Bell.

(69) $$\left|P(\mathbf{a},\mathbf{b})-P(\mathbf{a},\mathbf{c})\right|\le 1+P(\mathbf{b},\mathbf{c}).$$

Com essa desigualdade, Bell demonstrou que a MQ não é simplesmente uma teoria incompleta que possa ser corrigida por variáveis ocultas locais. Ela é, na verdade, incompatível com as teorias de variáveis ocultas locais [³⁶]. As TVO não-locais, como a teoria da onda piloto, de De Broglie-Bohm [⁵⁷], também violam as desigualdades, prevendo inclusive violações explícitas da desigualdade.

4. Violação das Desigualdades de Bell

As contribuições teóricas de Bell [³⁶] inauguraram um novo momento na pesquisa em fundamentos da teoria quântica, servindo de inspiração para alguns cientistas que viriam a caminhar na contramão do que a academia mais consagrava à época. Para os primeiros pesquisadores, dedicar-se a esse estudo não foi simples: houve resistência e ceticismo na própria academia.

A violação das desigualdades de Bell (DB), observada experimentalmente diversas vezes desde o fim da década de 1960, compõe uma trajetória que vai além do trabalho dos três físicos laureados com o Nobel. Ainda assim, tomaremos esses três pesquisadores como referência para resumir as etapas que consideramos mais relevantes, sobretudo aquelas vinculadas às melhorias experimentais responsáveis por fechar os chamados loopholes, tema da próxima seção. Convém destacar que existem muitas desigualdades no contexto desse campo de pesquisa, mas aqui tratamos apenas das de Bell e, brevemente, da desigualdade CHSH.

4.1. Histórico das violações

O primeiro físico a violar as DB foi o estadunidense John Clauser [³⁷]. Assim como John Bell, era crítico da MQ. Com pouco mais de 30 anos, tornou-se pioneiro das pesquisas experimentais que testaram as DB. Movido pela curiosidade científica e pelas ideias revolucionárias de seu tempo, Clauser era, entre os críticos da MQ, o mais convicto da existência de variáveis ocultas.

Clauser iniciou seus experimentos ainda na década de 1960, ao lado de Stewart Freedman, sendo os primeiros físicos a violar as DB. A interpretação do resultado exigiu cautela: além de ambos serem favoráveis às TVOL, não se sabia o que esperar dos testes. Ainda assim, a dupla confirmou as predições da MQ, sem variáveis adicionais a incluir.

Os experimentos de Clauser chamaram a atenção de um outro personagem importante para essa pesquisa: Abner Shimony. Quando tomou conhecimento da pesquisa de Clauser, Shimony se dedicava ao mesmo tema, orientando dois alunos de doutorado, Michael Horn e Richard Holt. Da colaboração entre eles surgiu a desigualdade CHSH, acrônimo de Clauser, Horne, Shimony e Holt:

(70) $$-1\le S\le 0,$$

em que $S$ é o coeficiente de correlação.

Como mencionado, todos os grupos experimentais que testaram as DB observaram violações, à exceção de R. Holt e F. Pipkin, que em 1976 obtiveram resultados compatíveis com as desigualdades. Por receio de falhas sistemáticas, não publicaram o estudo. Algo semelhante ocorreu com a aplicação da desigualdade CHSH adaptada para fótons, utilizada para investigar a possível não-localidade do fenômeno. O aspecto mais relevante, ao longo dessa trajetória, é que cada novo experimento colocava em jogo diferentes limitações tecnológicas e supostos pontos fracos dos testes anteriores.

Diante de resultados que indicavam correlação entre as partículas, outras hipóteses passaram a ser consideradas, como a possibilidade de correlações entre os detectores, eventualmente estabelecidas durante sua configuração. Assim, tornou-se necessário garantir maior aleatoriedade nos experimentos, a fim de verificar, de forma mais segura, em que proporção ocorriam as coincidências observadas.

No ano de 1976, Alain Aspect decidiu dedicar seu doutoramento ao estudo experimental das DB, publicando resultados de grande relevância em 1981 e 1982 [³⁸, ³⁹]. Diante de críticas ainda relacionadas à possível correlação causal entre as detecções – entre elas, a atenta observação de John Bell sobre o progresso dos experimentos – Aspect publicou um terceiro resultado também em 1982, em colaboração com Dalibard e Roger. Nesse último trabalho, repetiu o experimento com os analisadores variando no tempo, em configurações independentes e quase aleatórias.

Ainda assim, foi verificada a anticorrelação entre os fótons, e o resultado numérico obtido foi $S=\mathrm{0,101}\pm \mathrm{0,020}$[³⁹], sendo zero o valor máximo permitido para a quantidade $S$. De acordo com as previsões da MQ, o valor previsto é $S_{MQ}=\mathrm{0,112}$. Assim, mais uma vez os resultados corroboraram as predições da teoria quântica. Apesar de algumas críticas referentes à precisão inferior desse experimento em comparação com os anteriores, tratou-se de um trabalho de grande relevância – inclusive por estar em concordância com resultados prévios – constituindo um segundo marco no aumento das citações do artigo de 1935 de Einstein, Podolsky e Rosen.

Por fim, no contexto dos trabalhos reconhecidos com o Prêmio Nobel de Física em 2022, o grupo do austríaco Anton Zeilinger também violou as DB sob circunstâncias tecnicamente ainda mais complexas e deu um passo à frente com o emaranhamento de três fótons, ao invés de dois, além de conceber e realizar o teletransporte de estados quânticos.

4.2. Aparatos e métodos de Clauser, Aspect e Zeilinger

Na seção anterior foram apresentados, de forma resumida, os resultados experimentais de Clauser, Aspect e Zeilinger. Agora, iremos considerar os experimentos em si.

Para começar, o experimento de John Clauser e Stewart Freedman traz à tona uma questão fundamental que evidencia a não-trivialidade inerente ao trabalho experimental: como produzir os fótons? No arranjo desenvolvido por eles, o método de geração dos fótons consistia em aquecer, em um forno, uma amostra de cálcio, de modo a induzir o decaimento em cascata responsável pela emissão de dois fótons no estado singleto, como ilustrado na Fig. (1). O problema é que, ao aquecer a amostra, não havia – e não há – qualquer controle fino sobre os níveis eletrônicos relevantes para o decaimento desejado. Como consequência, esse método (excitação térmica) produz inevitavelmente subprodutos indesejados.

Figura 1
Decaimento em cascata do Cálcio, elaborada pelo autor, adaptada de [³⁷]. Os fótons produzidos são emaranhados. Fonte: Retirado da referência [³⁷].

Dessa forma, a detecção de fótons – tarefa já sutil em praticamente qualquer contexto experimental – tornava-se ainda mais delicada, pois muitos fótons eram emitidos sem que se soubesse, a priori, se pertenciam ao par de interesse. Era, portanto, necessário identificá-los dois a dois por meio de janelas de coincidência (intervalos de 8 ns) entre uma emissão e outra. Em uma das coletas, essa limitação exigiu que o aparato permanecesse estabilizado e operando continuamente por até 400 horas [⁵⁸]. Essa dificuldade na obtenção de dados configurou o primeiro loophole, ou “brecha” experimental.

A despeito de toda essa dificuldade, os dados obtidos indicavam a violação das desigualdades, conclusão nada trivial. Clauser e Freedman eram simpatizantes das TVOL (o que introduzia, no mínimo, uma inclinação pessoal para um certo tipo de resultado), tampouco se tinha clareza, à época, sobre quais resultados deveriam ser antecipados nos testes. Ainda assim, a dupla confirmou as predições da MQ tal como formulada, isto é, sem necessidade de qualquer variável local adicional.

No ano de 1976, um avanço decisivo foi alcançado no quesito produção de fótons. Com o uso de laser sintonizável, tornou-se possível excitar apenas os níveis eletrônicos de interesse, reduzindo subprodutos, aumentando significativamente a taxa de eventos relevantes e diminuindo o tempo de coleta para cerca de 80 minutos. Nesse mesmo ano, o físico francês Alain Aspect iniciou seu doutoramento voltado aos experimentos sobre as desigualdades de Bell, vindo a publicar resultados de grande impacto em 1981 e 1982 [³⁸, ³⁹]. O aumento substancial do número de dados permitiu “fechar” a brecha associada à emissão e detecção insuficientes.

Nesse trabalho, o grupo refez o arranjo experimental utilizando analisadores que variavam suas configurações no tempo, de maneira independente e quase aleatória, de modo a eliminar a suspeita de que a orientação dos detectores pudesse ter sido correlacionada por algum mecanismo desconhecido (isto é, uma possível variável oculta local).

Sem entrar nos detalhes específicos dos dispositivos de aleatorização, o ponto crucial é que foram observadas correlações entre fótons enquanto os analisadores mudavam de configuração quatro vezes durante o voo dos fótons – o tempo de voo era da ordem de 40 ns, com trocas a cada 10 ns. Esse resultado representou o “desfecho” mencionado no resumo deste artigo e contribuiu diretamente para o aumento das citações do trabalho original do EPR, sendo amplamente reconhecido como um marco experimental nas evidências do emaranhamento quântico.

O dispositivo improvisado – mas criativo – de Aspect acabou reduzindo novamente a quantidade de dados, o que levou a uma violação ainda pequena das desigualdades de Bell, embora o uso do laser já contribuísse para aumentar a taxa de detecção. Esse resultado abriu caminho para a entrada em cena do físico austríaco Anton Zeilinger, que mais tarde dividiria o Prêmio Nobel de Física com Clauser e Aspect, tanto pelas contribuições experimentais às violações das desigualdades de Bell quanto pelo pioneirismo na ciência da informação quântica.

Mais uma vez, o laser aparece como ferramenta decisiva nesses experimentos. Com o avanço dos estudos em óptica não linear, o uso de cristais especiais [⁵⁹, ⁶⁰] permitiu explorar um processo em que a luz ultravioleta do laser interage com o material e dá origem a dois fótons infravermelhos, Figs. (2) e (3), cuja soma das energias não ultrapassa a do fóton original. Esses pares, conhecidos como fótons gêmeos, são produzidos já em estado de emaranhamento e apresentam correlações ainda mais intensas quando gerados por esse método. A técnica alcança taxas da ordem de 1500 pares de fótons por segundo, tornando-se um recurso fundamental para experimentos de informação quântica.

Figura 2
Produção de fótons gêmeos por Conversão Paramétrica Descendente (CPD) [⁵⁹].

Figura 3
“Fotografia” dos fótons gêmeos obtidos no processo de CPD [⁵⁹]. As interseções dos círculos são fótons emaranhados, em estado de polarização análogo ao singleto.

Além da nova técnica de produção de pares emaranhados, Zeilinger desenvolveu um gerador de configurações genuinamente aleatório e impôs ao experimento a chamada “condição estrita de localidade de Einstein” [⁵⁹], posicionando um dos detectores fora do cone de luz do outro. Com essa configuração, foram registrados aproximadamente 14.700 pares de fótons em 10 s e obtida, à época, uma violação recorde das desigualdades de Bell.

Após o trabalho de Zeilinger, outros experimentos foram realizados com refinamentos crescentes, fazendo também uso de elétrons emaranhados, com spins correlacionados, como sugerido inicialmente por Bell [³⁶]. E somente em 2015 foram realizados testes totalmente livres de loopholes[⁴²]. Do ponto de vista da pesquisa básica (ou seja, em fundamentos da física), o grupo de Zeilinger também violou as desigualdades [43], mas acabou dando um passo à frente ao ser o primeiro a utilizar estados emaranhados para explorar possibilidades em informação quântica, estabelecendo o que ficou conhecido como teletransporte quântico.

Em 2012, Zeilinger e uma equipe de colaboradores conseguiram realizar pela primeira vez um teletransporte quântico nas Ilhas Canárias, tendo gerado um par de fótons emaranhados na ilha de La Palma, dos quais um dos fótons foi medido na ilha de Tenerife, a 143 km. Esses resultados foram logo superados pelo grupo do proeminente físico chinês Jian Wei-Pan, com a realização de emaranhamento envolvendo seis fótons [⁶¹] e o teletransporte de estados entre um laboratório na Terra e um satélite [⁶²].

5. Mecânica Quântica Aplicada do Hardware ao Software

A computação clássica moderna tem como componente fundamental o transistor, que “armazena” uma informação bivalente – os bits – representada pelos valores 1 ou 0 (a unidade básica de informação), dependendo da condução de corrente elétrica ou não. Na prática, ela surgiu da combinação da válvula, dispositivo responsável pelo controle do movimento coletivo dos elétrons, desenvolvida no início do século XX [³¹], com a aplicação da álgebra booleana às portas lógicas, demonstrada por Claude Shannon em 1938 [⁶³], que associa estados bivalentes – passagem de corrente ou ausência de corrente elétrica – a informações e mensagens, e a arquitetura de hardware idealizada por John von Neumann [⁶⁴].

A primeira revolução no âmbito da computação consistiu em otimizar esses primeiros computadores, inicialmente enormes e pouco eficientes. Em 1947, então, o transistor foi inventado pelos físicos dos laboratórios Bell John Bardeen[⁶⁵], William Shockley [⁶⁶] e Walter Brattain [⁶⁷]. O dispositivo capaz de controlar o fluxo de elétrons em uma escala substancialmente menor que as válvula pôde ser posteriormente “impresso” por litografia em semicondutores, feito possbilitado pelo advento dos circuitos integrados, inventado por Jack Kilby, em 1958. Em 1956, Bardeen, Shockley e Brattain foram agraciados com o Prêmio Nobel de Física por esse feito. No ano 2000, Kilby também recebeu o Prêmio. A esse fato é devido processo de miniaturização da eletrônica na década de 1960 [³¹].

Com o aprimoramento das técnicas de fabricação e a crescente redução do tamanho dos transistores, Gordon Moore, cofundador da Intel, percebeu que o número de transistores nas CPU’s dobrava aproximadamente a cada 18 meses, fenômeno que ficou conhecido como lei de Moore [⁶⁸]. Essa lei, porém, atingiu seu limite com os dimensionamentos mais recentes, nos quais a escala de litografia dos transistores é de cerca de 3 nm, fazendo com que um único chip contenha algo da ordem de 30 bilhões de transistores. Um dos fatores que estabelecem o limite da miniaturização é o fenômeno do tunelamento quântico: à medida que os transistores se tornam menores, cresce a probabilidade de perdado bit.

R. P. Feynman, já em 1959, na palestra intitulada Plenty of Room at the Bottom[⁶⁹] – que pode ser traduzida como Há muito espaço lá embaixo ou Há muito espaço no fundo – levanta, entre outras questões, uma pergunta importante: How do we write small? (O quão pequeno podemos escrever?). Além disso, propõe simulações com computadores quânticos [⁷⁰, ⁷¹], antecipando a necessidade de dispositivos elementares capazes de representar estados quânticos – aquilo que hoje chamamos de qubits.

John Bardeen, notável pesquisador da área de física do estado sólido, foi laureado pela segunda vez com o Nobel de Física em 1972 pela conhecida teoria BCS da supercondutividade, desenvolvida juntamente com L. Cooper e J. R. Schrieffer. Essa teoria dá suporte à principal forma de implementação dos qubits atualmente [¹⁷].

5.1. Computação quântica: qubits versus bits

Com a comprovação experimental de estados do tipo gato de Schrödinger – isto é, estados quânticos em superposição – o paradigma da computação passou por uma mudança fundamental. Surge então o bit quântico, ou qubit, definido como um sistema físico de dois níveis. Exemplos incluem estados de spin 1/2 e dois modos ortogonais de polarização da luz, que fornecem implementações análogas para representar a lógica quântica.

Estendendo a noção de sistemas de dois níveis já apresentada, ao denotarmos um estado superposto

(71) $$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0⟩+|1⟩\right),$$

estamos considerando uma combinação contínua dos estados 0 e 1, abrangendo infinitos valores possíveis entre eles. Para que essa descrição seja fisicamente realizada, é necessário preservar o estado superposto, isto é, manter coerência quântica.

Essa compreensão permite introduzir os bits quânticos, ou qubits, representados na esfera de Bloch, Fig. (4), cuja superfície descreve continuamente todos os estados possíveis para o vetor $|\psi ⟩$.

Figura 4
Representação dos estados de um qubit na esfera de Bloch. Figura elaborada pelo autor, adaptada de [⁷²].

Com qubits, torna-se possível realizar computação ao aplicar transformações quânticas sobre estados de entrada [⁷²]. Considere dois qubits,

(72) $$|\psi ⟩={\alpha }_1|0⟩+{\alpha }_2|1⟩,|\varphi ⟩={\beta }_1|0⟩+{\beta }_2|1⟩.$$

O estado conjunto é obtido pelo produto tensorial,

(73) $$|\eta ⟩=|\psi ⟩\otimes |\varphi ⟩,$$

o que resulta em

(74) $$\begin{array}{cc}\hfill |\eta ⟩=& {\alpha }_1{\beta }_1|0⟩|0⟩+{\alpha }_1{\beta }_2|0⟩|1⟩\hfill \\ & +{\alpha }_2{\beta }_1|1⟩|0⟩+{\alpha }_2{\beta }_2|1⟩|1⟩.\hfill \end{array}$$

Adotando a notação compacta $|ab⟩=|a⟩|b⟩$ para produtos tensoriais de kets de base, escrevemos

(75) $$\begin{array}{cc}\hfill |\eta ⟩=& {\alpha }_1{\beta }_1|00⟩+{\alpha }_1{\beta }_2|01⟩\hfill \\ & +{\alpha }_2{\beta }_1|10⟩+{\alpha }_2{\beta }_2|11⟩.\hfill \end{array}$$

O estado dos kets-produto pode ser associado diretamente à representação binária dos números de 0 a 3, correspondentes a 00, 01, 10 e 11. A grande vantagem dos qubits em relação aos bits decorre do princípio da superposição, (equações 8) e (11), pois, no regime quântico, as transformações atuam simultaneamente sobre todas as componentes do estado de entrada. Dessa forma, um registro de $n$ qubits ocupa um espaço de estados de dimensão $2^n$, o que amplia consideravelmente a capacidade de processamento. Em 2019, por exemplo, um processador baseado em supercondutividade de apenas 53 qubits explorou um espaço de $2^{\text{53}}$ dimensões para realizar um cálculo que, estimado classicamente, levaria cerca de 10 mil anos, mas foi executado em aproximadamente 200 segundos [¹⁷].

5.2. Implementação de qubits

O qubit é, em essência, um estado quântico sobre o qual há algum grau de desconhecimento e que pode ser descrito como uma superposição de dois autoestados. A quantidade de estados, ou níveis, depende do modo de preparo do sistema; contudo, trabalhar com dois estados alinha-se de forma conveniente com a lógica booleana, permitindo a implementação de algoritmos funcionais.

Para realizar computação, além de produzir qubits, é necessário armazená-los e, posteriormente, lê-los. É justamente entre o armazenamento e a leitura que se concentram muitos dos desafios atuais da área. Nesse contexto, o controle fino da matéria em escala nanoscópica – especialmente para sistemas com poucas partículas – adquire grande relevância. Diversas plataformas físicas têm sido exploradas para a implementação de qubits, como fótons [⁷³, ⁷⁴], spins eletrônicos, íons aprisionados em armadilhas magnéticas [⁷⁵], qubits supercondutores baseados nas junções de Josephson [¹⁶] e centros de vacância de nitrogênio, entre outros. Cada forma de implementação apresenta vantagens e desvantagens próprias, que envolvem questões como armazenamento, manipulação e correção de erros.

Atualmente, a forma mais bem-sucedida de implementação – a baseada em circuitos supercondutores – enfrenta como principal desafio as temperaturas extremamente baixas necessárias para alcançar o regime supercondutor, da ordem de mK. Isso implica que, para operar um pequeno chip processador, é necessário um diluidor criogênico muitas vezes maior que o próprio chip, além de grandes espaços (como uma sala de aula mediana) cuidadosamente isolados termicamente e mecanicamente.

Em que pesem esses detalhes cruciais, os processadores quânticos supercondutores já realizaram feitos que antes eram impossíveis [¹⁷, ⁷⁶].

5.3. Decoerência

Na subseção II-G, foi apresentado o problema do gato de Schrödinger. Percebemo-nos de mãos atadas nessa investigação. Uma alternativa para isso é construir o aparato de modo que uma sonda quântica possa atravessá-lo, pois a interação que afeta drasticamente as propriedades quânticas de um sistema ocorre quando ele entra em contato com objetos clássicos e macroscópicos.

A proposta de 1996 do professor Luiz Davidovich (Professor Titular aposentado e Emérito do Instituto de Física da UFRJ) consiste em utilizar um objeto quântico – um átomo com estado inicial conhecido, emitido em direção ao aparato – para interagir com um sistema quântico [⁷⁷]. A interação entre esse átomo e o sistema deixa uma assinatura no estado do átomo, a partir da qual se torna possível inferir o estado dos fótons na cavidade. Essa proposta foi realizada nesse mesmo ano [⁷⁸], integrando a linha de pesquisa em eletrodinâmica quântica de cavidades que, anos depois, contribuiu para o trabalho reconhecido com o Prêmio Nobel de Física de 2012, concedido a Serge Haroche [⁷⁹] e David Wineland.

Em sua Nobel Lecture, “Controlando fótons em uma caixa e explorando o limite quântico-clássico”, é detalhado o experimento em que átomos de Rydberg atravessam a cavidade ressonante supercondutora – equipada com espelhos de 5 cm de diâmetro e resfriada a 0,8 K – onde os fótons permaneciam aprisionados. Átomos de Rydberg possuem alto número quântico principal $n$, ou seja, apresentam um elétron de valência bastante afastado do núcleo, o que os torna mais suscetíveis a campos de baixa intensidade produzidos em laboratório. Ao fazer um desses átomos interagir com fótons aprisionados (por um tempo da ordem de 1 segundo) em uma cavidade de espelhos supercondutores a baixas temperaturas e, em seguida, reconstruir o estado do fóton no interior da cavidade, a interpretação clássica do resultado obtido foi a de que a cavidade estava acesa e apagada ao mesmo tempo. Essa expressão é apenas uma metáfora para o fato de que o campo na cavidade encontrava-se em uma superposição coerente entre estados com e sem fótons; a tentativa de descrever esse fenômeno quântico com termos do nosso vocabulário cotidiano é justamente o que produz tal sensação de estranhamento. Nesse aparato foram realizadas a contagem não destrutiva de fótons, a preparação e a reconstrução de estados de radiação do tipo gato de Schrödinger e o estudo de sua decoerência, fornecendo uma ilustração da transição quântico-clássica.

Haroche dividiu o Prêmio Nobel de Física de 2012 com David Wineland, reconhecido por seus trabalhos com aprisionamento de íons em campos eletromagnéticos. Nesses experimentos, poucos íons (cerca de sete) podem ser visualizados devido ao espalhamento da luz laser incidente, permitindo observar seus modos normais de oscilação [⁸⁰]. O estudo da decoerência e a manipulação de sistemas quânticos com poucos íons integram o campo da ótica quântica, cujas aplicações em informação e computação quânticas são bastante promissoras [⁸¹]. A tarefa mais delicada continua sendo manter coerente um sistema com um número razoável de qubits.

Por outro lado, em ciência é comum que um fenômeno represente um problema sob determinada perspectiva ou aplicação, mas que, em outro contexto, esse mesmo fenômeno se torne uma solução. A resistência elétrica, por exemplo, pode ser indesejada em certas situações, embora seja essencial em inúmeros dispositivos cotidianos. De modo análogo, o desafio de manter a coerência quântica em sistemas com uma quantidade razoável de qubits – e, portanto, evitar a perda de informação – passou a ser explorado como uma oportunidade para aumentar a segurança na transmissão de dados. Assim, em 2007, Genebra (Suíça) realizou a transmissão dos resultados eleitorais utilizando protocolos de criptografia quântica [⁸², ⁸³], nos quais qualquer tentativa de interceptação não autorizada destruiria as informações.

6. Considerações Finais

Frente à riqueza singular dos temas discutidos, torna-se claro que a trajetória da mecânica quântica envolve tanto avanços conceituais quanto revoluções experimentais. Em perspectiva histórica, vale recordar a célebre crítica de W. Pauli – you are not even wrong (em português, você não está nem errado) – frequentemente associada às tentativas iniciais de responder ao desafio imposto pelo artigo seminal de Einstein, Podolsky e Rosen. A partir dessa tensão entre interpretações e expectativas, emergiu um campo fértil que evoluiu de debates filosóficos para resultados experimentais precisos.

A violação das desigualdades de Bell, o controle de estados superpostos e o estudo da decoerência abriram caminho para a manipulação de sistemas cada vez mais complexos, aproximando fundamentos e aplicações. Nesse percurso, limitações quânticas transformaram-se em possibilidades tecnológicas, impulsionando áreas como computação e criptografia quânticas. O cenário atual evidencia que a mecânica quântica não apenas desafia nossa intuição clássica, mas continua a servir como base de uma nova geração de tecnologias apoiadas em coerência, correlação e controle quântico.

Agradecimentos

Este trabalho contou com o apoio financeiro do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e da Secretaria de Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará (SECITEC), por meio da Fundação Cearense de Apoio ao Desenvolvimento Científico e Tecnológico (FUNCAP). Agradecemos também os revisores anônimos pelos comentários e sugestões que muito contribuíram para o aprimoramento do texto.

Disponibilidade de Dados

Como se trata de um artigo de revisão e de natureza puramente didática e teórica, todos os dados e informações analisados durante este estudo estão integralmente contidos nas referências bibliográficas citadas ao longo do texto. Não foram gerados ou analisados outros conjuntos de dados externos para o presente trabalho.

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Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  05 Jun 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  05 Jan 2026
• Revisado
  09 Maio 2026
• Aceito
  15 Maio 2026