Modelagem atmosférica: desenvolvimento e validação de uma nova expressão barométrica com perfil térmico quadrático

Atmospheric modeling: development and validation of a new barometric expression with a quadratic thermal profile

Resumo

Apresentamos nesse trabalho a modelagem matemática como ferramenta na construção do conhecimento físico no cenário da atmosfera terrestre, particularmente no desenvolvimento de expressões barométricas. O objetivo principal foi avaliar o desempenho de uma nova expressão barométrica derivada de um perfil térmico quadrático e com gravidade variável, comparando-a com a expressão barométrica clássica e expressões com modelos térmicos distintos: temperatura atmosférica constante e variando linearmente com a altitude. Partindo do modelo de atmosfera padrão (gás ideal, seco, em equilíbrio hidrostático), utilizamos dados das reanálises climáticas MERRA-2 e ERA5 para modelar a temperatura como uma função quadrática da altitude. A partir desta modelagem, derivamos uma nova expressão para a pressão atmosférica. O desempenho das formulações foi quantificado usando o erro percentual absoluto, tendo como referência os dados de pressão das reanálises. Os resultados demonstraram que a nova expressão apresenta o melhor desempenho no intervalo de altitudes entre 10 km e 50 km. Conclui-se que a modelagem matemática do perfil de temperatura atmosférica foi o fator decisivo para a superior performance da expressão proposta, validando-a como uma ferramenta mais precisa para o cenário estudado.

Palavras-chave:
Modelagem Matemática; Temperatura Atmosférica; Expressões Barométricas; Reanálises Climáticas

Abstract

In this paper, we present mathematical modeling as a tool for building physical knowledge regarding the Earth's atmosphere, particularly in the development of barometric expressions. The main objective was to evaluate the performance of a new barometric expression derived from a quadratic thermal profile and with variable gravity, comparing it with the classical barometric expression and expressions using different thermal models: constant atmospheric temperature and temperature varying linearly with altitude. Starting from the standard atmosphere model (ideal gas, dry, in hydrostatic equilibrium), we used data from the MERRA-2 and ERA5 climate reanalyses to model temperature as a quadratic function of altitude. From this modeling, we derived a new expression for atmospheric pressure. The performance of the formulations was quantified using the absolute percentage error, with reanalysis pressure data as a reference. The results demonstrated that the new expression performs best in the altitude range between 10 km and 50 km. We conclude that the mathematical modeling of the atmospheric temperature profile was the decisive factor for the superior performance of the proposed expression, validating it as a more accurate tool for the studied scenario.

Keywords:
Mathematical Modeling; Atmospheric Temperature; Barometric Expressions; Climate Reanalyses

1. Introdução

Relacionar conceitos físicos com suas representações matemáticas nem sempre é uma tarefa simples durante os estudos de física, tanto no ensino médio quanto no ensino superior. Por essa razão, a física é comumente reconhecida por sua acentuada matematização [¹, ², ³], essencial para a descrição de fenômenos com o rigor necessário [⁴].

Historicamente, a matematização da natureza evoluiu de modo a estruturar o pensamento físico [⁵]. Um caso notável que ilustra esse avanço é a revolução promovida por Isaac Newton. Newton passou do pensar físico (por que acontece) para o pensar físico-matemático (como acontece) [⁶].

No contexto educacional, a matemática no ensino de física é muitas vezes reduzida a um papel meramente procedimental, quando deveria ser compreendida como estruturante do conhecimento físico [⁷, ⁸]. Nessa perspectiva, a modelagem matemática de fenômenos físicos deve ocupar um importante papel no ensino de física, dado que ela sempre está presente na elaboração das teorias físicas [⁹].

Nesse contexto, a atmosfera da Terra apresenta diferentes fenômenos físicos, como a variação da pressão e da temperatura com relação à variação da altitude. Esses fenômenos são estudados por meio da associação entre modelagem matemática e conceitos físicos. Geralmente, nesses estudos [¹⁰, ¹¹], utilizam a formulação clássica para o cálculo da pressão atmosférica, adotando-se o modelo com a aceleração da gravidade e a temperatura atmosférica constantes conforme a altitude aumenta. No caso de estudos da temperatura com relação à altitude, a modelagem matemática é expressa como uma função afim (linear) [¹⁰, ¹²]. No entanto, essas modelagens configuram parcialmente o comportamento físico da atmosfera, visto que a aceleração da gravidade varia com o inverso do quadrado da distância¹ e a temperatura varia linearmente com a altitude para uma dada camada atmosférica [¹⁴, ¹³].

Diante desse cenário, este trabalho, direcionado a estudantes do ensino superior, realiza um estudo da associação entre conceituação física e modelagem matemática da atmosfera para o desenvolvimento de expressões barométricas.² Com esse estudo, buscamos avaliar o desempenho da expressão barométrica com perfil térmico quadrático e gravidade variável. Essa expressão é resultante da modelagem matemática do perfil térmico da atmosfera. Em comparação, consideramos a expressão barométrica clássica e expressões com modelos térmicos distintos: temperatura atmosférica constante e variando linearmente com a altitude.

Para isso, propõe-se discutir a modelagem matemática do comportamento da temperatura atmosférica como função quadrática da altitude e derivar uma nova expressão barométrica fundamentada nessa abordagem. Usamos dados das reanálises climáticas MERRA-2 e ERA5 e bibliotecas da linguagem de programação Python. As reanálises climáticas integram modelos atmosféricos numéricos com observações históricas mediante assimilação de dados. Este procedimento ajusta previsões meteorológicas através da combinação entre registros existentes e novas observações. Assim, geram-se estimativas consistentes de variáveis atmosféricas, como pressão e temperatura, em diversos níveis de altitude e ao longo de décadas [¹⁵, ¹⁶].

Do ponto de vista didático, este trabalho pode contribuir para o ensino de física em diferentes contextos. Em disciplinas como Física Geral e Física da Atmosfera, pode-se utilizar os modelos aqui apresentados para ilustrar a crescente complexidade na descrição de um fenômeno, a importância da validação com dados reais e os limites de validade de aproximações teóricas. Adicionalmente, o uso de dados de reanálises climáticas de acesso público e de ferramentas computacionais possibilita a implementação por estudantes em atividades práticas. Além disso, este trabalho também pode ser um recurso de interesse para disciplinas de metodologia em ensino de física, pois possibilita discutir a integração entre teoria, modelagem e análise de dados na formação de professores.

Na próxima seção, analisaremos os fundamentos teóricos do modelo de atmosfera padrão e como expressões barométricas derivam dessas bases teóricas. Na Seção 3, apresentaremos as bases de dados de reanálises climáticas MERRA-2 e ERA5 utilizadas para extração dos dados de temperatura e pressão atmosférica. Na Seção 4, abordaremos a modelagem matemática da temperatura atmosférica e proporemos uma nova expressão barométrica. Na seção 5, compararemos a nova formulação barométrica com outras fórmulas existentes frente aos dados das reanálises climáticas. Por fim, na Seção 6, sintetizaremos as conclusões do nosso estudo.

2. O Modelo de Atmosfera Padrão e Expressões Barométricas

Nessa seção, apresentamos uma revisão sobre os fundamentos físicos do Modelo Padrão da Atmosfera e mostramos expressões analíticas da pressão atmosférica variando com a altitude derivadas dessas bases teóricas.

O Modelo Atmosférico Padrão é uma representação teórica idealizada da atmosfera terrestre conforme a documentação oficial da International Civil Aviation Organization (ICAO) e da associação entre National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA), National Aeronautics and Space Administration (NASA) e United States Air Force[¹⁴, ¹³]. Esse modelo é amplamente utilizado como referência para estudos atmosféricos, calibração de instrumentos aeronáuticos e avaliação de desempenho de aeronaves [¹⁴, ¹⁷, ¹⁸].

O Modelo de Atmosfera Padrão é construído a partir de princípios físicos fundamentais, que descrevem o comportamento das principais propriedades atmosféricas, como pressão e temperatura, em função da altitude. A formulação física básica desse modelo fundamenta-se em dois princípios físicos.

O primeiro princípio consiste em considerar a atmosfera como um gás ideal. Nesse modelo teórico, as partículas do gás possuem volumes desprezíveis. As interações intermoleculares são desconsideradas. Não há perdas de energia nas colisões entre moléculas e superfícies. O gás deve estar submetido à baixas pressões e altas temperaturas. Esse modelo é regido pela equação de estado dos gases ideais, que relaciona a pressão total $P$, a temperatura absoluta $T$ e a densidade $\rho$:

(1) $$P=\frac{\rho R^{\ast }T}{M_m},$$

em que $R^{\ast }$ é a constante universal dos gases ideais e $M_m$ é a massa molar média do ar seco, desconsiderando a presença de umidade na atmosfera. Os valores de $R^{\ast }$, $M_m$ e das demais constantes usadas neste trabalho estão reunidas na Tabela 1, com símbolo, nome, valor e unidade de medida.

Tabela 1
Constantes extraídas do modelo de atmosfera padrão [¹³, ¹⁴, ¹⁸].

Símbolo	Nome	Valor	Unidade de medida
$R^{\ast }$	Constante universal dos gases ideais	$\mathrm{8,314}$	$\text{J}\text{/}\text{(}\mathrm{mol}\cdot \text{K}\text{)}$
$M_m$	Massa molar média do ar seco	$\mathrm{0,0289644}$	$\mathrm{kg}\text{/}\mathrm{mol}$
$T_0$	Temperatura ao nível do mar	$\mathrm{288,15}$	$\text{K}$
$P_0$	Pressão atmosférica ao nível do mar	$\mathrm{1013,25}$	$\mathrm{hPa}$
$g_0$	Aceleração da gravidade ao nível do mar	$\mathrm{0,009806}$	$\mathrm{km}\text{/}{\text{s}}^2$
$R$	Raio médio da Terra	$\mathrm{6,371}\times {10}^3$	$\mathrm{km}$
$L_t$	Taxa de variação da temperatura com a altitude na troposfera	$-\mathrm{6,5}$	$\text{K}\text{/}\mathrm{km}$

O segundo princípio é o equilíbrio hidrostático do ar. Nessa condição, uma porção do ar com densidade $\rho$ mantém-se estática. Ou seja, na direção horizontal, as forças de pressão exercidas pelas porções de ar adjacentes anulam-se. Por sua vez, na direção vertical, a força peso tem magnitude igual e sentido oposto à força do gradiente de pressão. A força peso é causada pela influência da aceleração da gravidade $g$. Enquanto a força do gradiente de pressão é ocasionada pela diferença de pressão $\text{d}P$ entre dois pontos com distância vertical $\text{d}h$ da porção de ar analisada. Portanto, a soma vetorial entre todas as forças atuantes sobre a porção de ar é nula. Assim, aplicando a segunda lei de Newton na direção vertical, chegamos à equação que representa a condição de equilíbrio hidrostático, conforme discussão em [¹⁹], seção 1.3:

(2) $$\frac{\text{d}P}{\text{d}h}=-\rho g.$$

A combinação das condições expressas pelas (equações 1) e (2) resulta na equação diferencial básica, que relaciona a variação infinitesimal da pressão ($\text{d}P$) com a variação infinitesimal da altitude ($\text{d}h$), a aceleração da gravidade $g$ e a temperatura absoluta $T$:

(3) $$\frac{\text{d}P}{P}=\frac{-M_{m}g}{R^{\ast }T}\text{d}h.$$

Nas próximas subseções, a (equação 3) será a base para deduzirmos diferentes expressões barométricas, considerando distintas modelagens matemáticas para o comportamento da aceleração da gravidade e da temperatura absoluta com dependência da altitude.

2.1. Expressão barométrica clássica

À semelhança de muitos materiais da literatura, que abordam expressões barométricas, a exemplo de [²⁰, ¹¹, ¹²], podemos considerar a aceleração da gravidade e a temperatura atmosférica invariantes com a altitude e chegar à expressão barométrica clássica, partindo da (equação 3). Nesse caso, os valores assumidos por essas grandezas são definidos ao nível médio do mar, respectivamente, $g_0$ e $T_0$ (Tabela 1). Isso significa que devemos assumir $g=g_0$ e $T=T_0$ na (equação 3). Assim, por meio da integração dessa equação no intervalo de altitudes de $0$ a $h$, sendo $h$ uma altura definida, temos a expressão barométrica clássica:

(4) $$P\left(h\right)=P_0\exp \left[\frac{-M_m{g}_0}{R^{\ast }{T}_0}h\right],$$

onde $P\left(0\right)=P_0$ representa a pressão atmosférica ao nível médio do mar (Tabela 1).

A (equação 4) descreve o decaimento exponencial da pressão atmosférica em função da altitude. Para melhor visualização desse comportamento, a Fig. 1 apresenta o perfil gráfico obtido a partir dessa expressão.

Figura 1
Perfil vertical da pressão atmosférica de acordo com a expressão barométrica clássica.

Na subseção seguinte, levamos em consideração o modelo da aceleração da gravidade variando com a altitude, contudo, mantemos a condição da temperatura constante. Dessa forma, surge uma expressão barométrica distinta da formulação clássica.

2.2. Expressão barométrica isotérmica comgravidade variável

Modificamos a expressão barométrica clássica, (equação 4), levando em consideração a variação da aceleração da gravidade $g$ com a altitude $h$, conforme a lei da gravitação universal, obtém-se:

(5) $$g=g_0\frac{R^2}{{\left(h+R\right)}^2},$$

onde $R$ é o raio médio da Terra (Tabela 1). Obtemos uma expressão barométrica caracterizada pela temperatura constante e gravidade variável [²⁰, ¹²], substituindo a (equação 5) na (equação 3) e integrando na faixa de altitudes de $0$ a $h$:

(6) $$P\left(h\right)=P_0\exp \left[\frac{-M_m{g}_0}{R^{\ast }{T}_0}\frac{Rh}{\left(h+R\right)}\right].$$

A (equação 6) é a forma explícita da expressão barométrica isotérmica com gravidade variável. Para simplificar a notação e evidenciar o efeito da variação da gravidade com a altitude, definimos uma função auxiliar $H\left(h\right)$:

(7) $$H\left(h\right)\equiv \frac{Rh}{\left(h+R\right)}.$$

Na literatura [¹³, ¹⁴, ¹⁷, ²⁰, ¹⁸], a altitude geopotencial é o equivalente da função $H\left(h\right)$ e pode ser vista como um fator de correção devido à variação da aceleração da gravidade com a altitude. Então, escrevemos a forma compacta da (equação 6):

(8) $$P\left(h\right)=P_0\exp \left[\frac{-M_m{g}_0}{R^{\ast }{T}_0}H\left(h\right)\right].$$

Observa-se que o produto $g_{0}H\left(h\right)$ pode ser interpretado como a definição de geopotencial $\text{Φ}$, grandeza que expressa a energia potencial gravitacional por unidade de massa de ar em relação ao nível médio do mar [²¹]:

(9) $$\text{Φ}=g_0\frac{Rh}{\left(h+R\right)}.$$

O conceito de geopotencial é empregado em meteorologia, visto que permite reescrever a altitude em uma forma que incorpora naturalmente a variação da gravidade com a altura. Esse conhecimento será utilizado na subseção 3.2, que aborda a manipulação dos dados das reanálises climáticas.

A partir da (equação 8), obtém-se o comportamento da pressão atmosférica em função da altitude, considerando a variação da gravidade e a temperatura constante. A Fig. 2 apresenta o gráfico correspondente a essa relação. É notório que a variação da gravidade na (equação 8) não gerou desvios relevantes com relação ao modelo clássico.

Figura 2
Perfil vertical da pressão atmosférica obtido pela expressão barométrica isotérmica e com gravidade variável (linha pontilhada laranja). A linha contínua preta representa a expressão barométrica clássica (apresentada na Figura 1), mostrada aqui como referência.

Temos a expressão barométrica isotérmica e com gravidade variável, (equação 8). Agora, se considerarmos a variação da temperatura com a altitude, resulta em uma nova expressão barométrica, a qual discutiremos na subseção seguinte.

2.3. Expressão barométrica com perfil térmico linear e gravidade variável

No Modelo de Atmosfera Padrão, a separação de camadas da atmosfera é baseada no valor da taxa de variação da temperatura em função da altitude:

(10) $$\frac{\text{d}T}{\text{d}h}\equiv L,$$

conhecida como lapse rate ($L$)[¹³, ¹⁴, ¹⁷]. Para valores de lapse rates aproximadamente constantes, distinguem-se as principais camadas da atmosfera: troposfera, estratosfera, mesosfera e termosfera. Enquanto para as regiões com lapse rate praticamente nulo, estão as camadas de transição como tropopausa, estratopausa e mesopausa.

A relação entre a temperatura $T$ e a altitude $h$, para camadas em que o lapse rate$L$ é considerado constante, pode ser expressa pela equação:

(11) $$T=T_b+Lh,$$

em que $T_b$ é a temperatura na base da camada.

O lapse rate pode assumir valores positivos ou negativos, dependendo da camada analisada. Por exemplo, no caso da troposfera, região que se estende desde a superfície terrestre até cerca de 11 $\text{km}$ de altitude, seu lapse rate$L_t$ é negativo conforme o valor mostrado na Tabela 1. Dessa maneira, a temperatura diminui com a altitude. Por outro lado, na estratosfera, camada de ar acima da tropopausa que tem extensão por volta de $20\text{km}\text{a}50\text{km}$ de altitude, o lapse rate é positivo com valores de $1\text{K}\text{/}\mathrm{km}\text{a}\mathrm{2,8}\text{K}\text{/}\mathrm{km}$ [¹⁴]. Desse modo, a temperatura é crescente com a altitude.

Portanto, para a troposfera, sendo a temperatura ao nível médio do mar a temperatura base da camada: $T_b=T_0$ [¹⁸], a (equação 11) torna-se:

(12) $$T=T_0+L_{t}h.$$

Essa formulação, combinada com a variação da gravidade, (equação 5), na equação diferencial básica, (equação 3), possibilita a dedução de uma nova expressão barométrica [¹²]. Desse modo, escrevemos:

$$\frac{\text{d}P}{P}=\frac{-M_m}{R^{\ast }}\frac{g_0{R}^2}{{\left(h+R\right)}^2\left(T_0+L_{t}h\right)}\text{d}h.$$

Integrando, usando o método das frações parciais, dentro do intervalo de altitudes compreendido de $0$ a $h$, resulta a expressão que descreve o decrescimento exponencial da pressão, com efeito da variação da gravidade e do perfil térmico linear, em função da altitude, na forma compacta:

(13) $$P\left(h\right)=P_0\exp \left[\frac{-M_m}{R^{\ast }}I\left(h\right)\right].$$

Onde a função auxiliar $I\left(h\right)$, que incorpora os efeitos da aceleração da gravidade e do gradiente linear térmico, é definida explicitamente como:

(14) $$I\left(h\right)\equiv Aln\left(\frac{T_0\left(h+R\right)}{R\left(T_0+L_{t}h\right)}\right)+B\left(\frac{h}{R\left(h+R\right)}\right),$$

com as constantes $A$ e $B$ dadas por:

$$A=-\frac{g_0{R}^2{L}_t}{{\left(T_0-L_{t}R\right)}^2},B=\frac{g_0{R}^2}{\left(T_0-L_{t}R\right)}.$$

A Fig. 3 apresenta o gráfico correspondente ao comportamento da pressão atmosférica de acordo com a (equação 13).

Figura 3
Perfil vertical da pressão atmosférica obtido pela expressão barométrica com o perfil térmico linear e gravidade variável (linha tracejada verde). A linha contínua preta representa a expressão barométrica clássica (apresentada na Figura 1), mostrada aqui como referência.

Como ilustrado na Fig. 3, a partir de determinada altitude em torno de $43\text{km}$, a curva, que representa a (equação 13), apresenta uma descontinuidade. Essa descontinuidade decorre da condição do perfil térmico linear da troposfera, (equação 12), levando a temperatura a atingir valores menores ou iguais a zero. Isso causa duas inconsistências: (i) física, pois a temperatura absoluta não pode ser menor ou igual a zero; (ii) matemática, pois a (equação 14) contém um logaritmo cujo argumento se tornaria negativo. Nessas condições, o modelo de perfil térmico linear é incompatível com o modelo de gás ideal, deixando de ser aplicável em altas altitudes.

Na próxima seção, apresentaremos as bases de dados de reanálises climáticas. Os dados das reanálises servirão de suporte para fundamentar as discussões das seção 4 sobre a modelagem matemática da temperatura atmosférica. Também apoiarão à confrontação dos modelos barométricos com dados de pressão na seção 5.

3. Bases de Dados de Reanálises Climáticas

Nessa seção abordamos as bases de dados de reanálises climáticas, que fornecem os dados de altitude, temperatura e pressão da atmosfera utilizados nesse trabalho. Nesta ordem, descrevemos a origem dos dados, as variáveis analisadas disponíveis, a delimitação espacial e temporal e ferramentas para o processamento dos dados de altitude, temperatura e pressão.

3.1. Descrição dos dados

As principais reanálises climáticas utilizadas neste trabalho foram a Modern Era Retrospective Analysis for Research and Applications, version 2 (MERRA-2) e a ECMWF Reanalysis v5 (ERA5). O MERRA-2 é produzido pelo Global Modeling and Assimilation Office (GMAO) da NASA e o ERA5 produizido pelo Copernicus Climate Change Service (C3S) do European Centre for Medium-Range Weather Forecasts (ECMWF).

Em relação à base de dados MERRA-2 [²²], usamos o conjunto de dados MERRA-2 tavg3_3d_asm_Nv: 3d, 3-Hourly, Time Averaged, Model-Level, Assimilation, Assimilated Meteorological Fields V5.12.4 (M2T3NVASM), que possui dados de várias grandezas atmosféricas em determinados locais e intervalos de tempo. Esse conjunto de dados possui quatro dimensões: longitude, latitude, nível vertical e tempo, que permitem localizar no espaço e no tempo os dados das variáveis atmosféricas (dados meteorológicos). Nesse conjunto de dados, a resolução horizontal é de $\mathrm{0,625}°$ de longitude por $\mathrm{0,5}°$ de latitude. Isso define a menor unidade superficial do globo terrestre que pode servir para localizar os dados atmosféricos. A resolução vertical é composta por 72 níveis. Esses níveis são divididos em valores de pressão. O nível correspondente à altitude mais próxima da superfície terrestre assume valor perto de $985\mathrm{hPa}$ e o nível correspondente à altitude mais elevada atinge o valor de $\mathrm{0,01}\mathrm{hPa}$. A resolução temporal, dados disponíveis por tempo, é dividida em intervalo de $3\text{h}$.

De forma semelhante, o conjunto de dados ERA5 hourly data on pressure levels from 1940 to present disponibiliza dados meteorológicos para diversas variáveis atmosféricas. As dimensões que situam os dados meteorológicos são: longitude, latitude, nível vertical e tempo. A resolução horizontal é de $\mathrm{0,25}°$ longitude por $\mathrm{0,25}°$ latitude; a resolução vertical é de 37 níveis, que se estendem de $1000\mathrm{hPa}$, próximo à superfície da Terra, até $\mathrm{0,01}\mathrm{hPa}$ na camada de ar de maior altitude; e a resolução temporal é de $1\text{h}$ [¹⁶].

Na subseção seguinte, mostramos as variáveis extraídas desse conjunto de dados e a delimitação espacial e temporal dos dados.

3.2. Variáveis, recorte espacial e temporal

Os conjuntos de dados do MERRA-2 e do ERA5 disponibilizam dados de vários parâmetros da atmosfera em diversas latitudes, longitudes, níveis verticais e horas ao longo do dia. Neste trabalho, consideramos apenas os parâmetros relevantes para nossos estudos: altitude, pressão e temperatura.

Os três parâmetros atmosféricos analisados do conjunto de dados do MERRA-2 foram DELP, espessura de pressão; H, alturas da camada intermediária; e T, temperatura do ar.

A variável DELP mede, em pascal ($\mathrm{Pa}$), a diferença de pressão, $\text{Δ}{P}_i$, entre a base e o topo da i-ésima camada atmosférica (nível vertical). De acordo com a metodologia oficial da base de dados [²³], para obtermos os valores médios de pressão a partir da variável DELP, devemos calcular a pressão no topo da n-ésima camada ($P_{sup,n}$) através da soma cumulativa dos valores de DELP ao valor da pressão no topo da atmosfera ($P_{top}$) definido como $1\mathrm{Pa}$. Em seguida, obtemos a pressão média do n-ésimo nível ($P_{med,n}$) calculando a média aritmética entre os valores de pressão do topo de duas camadas de ar consecutivas. As equações a seguir representam esse método:

(15) $$P_{top}=1\mathrm{Pa}$$

(16) $$P_{sup,n}=P_{top}+\sum _{i=1}^n\text{Δ}{P}_i,$$

(17) $$P_{med,n}=\frac{P_{sup,n}+P_{sup,n-1}}{2}.$$

A variável H configura a altitude do ponto central da camada de ar em relação à superfície terrestre. Com esse parâmetro, podemos localizar verticalmente os dados de outras grandezas atmosféricas através da altura física real [²³].

Para o conjunto de dados do ERA5, consideramos duas variáveis: Temperatura, que representa a temperatura do ar, e Geopotencial. Os dados de pressão do ERA5 estão contidos na dimensão nível vertical associada a cada variável.

A variável Geopotencial corresponde à grandeza geopotencial apresentada na subseção 2.2[¹⁶]. Em razão do conjunto de dados de ERA5 não disponibilizar um parâmetro específico para a altitude, podemos determinar esses dados a partir dos dados da variável Geopotencial. Para isso, manipulamos a expressão que define a grandeza geopotencial ($\text{Φ}$), (equação 9), e chegamos a:

(18) $$h=\frac{\text{Φ}R}{g_{0}R-\text{Φ}}.$$

Essa equação fornece o valor da altitude em função do valor da variável Geopotencial. A função geopotential_to_height da biblioteca MetPy realiza essa conversão conforme (equação 18) [²⁴].

O recorte espacial e temporal associado às variáveis descritas anteriormente foi selecionado de forma arbitrária, visando diversidade dos dados e amenizar a possibilidade de resultados enviesados. Em ambos os conjuntos de dados, MERRA-2 e ERA5, foram selecionados três pontos geográficos localizados em diferentes regiões do Brasil: Norte, Nordeste e Sul. As áreas delimitadas (latitude mínima, longitude mínima, latitude máxima, longitude máxima) para cada região são, respectivamente: a) Norte ($-\mathrm{5,072}°$, $-\mathrm{65,457}°$, $-\mathrm{1,425}°$, $-\mathrm{61,414}°$); b) Nordeste ($-\mathrm{5,788}°$, $-\mathrm{42,286}°$, $-\mathrm{3,02}°$, $-\mathrm{37,189}°$); c) Sul ($-\mathrm{30,244}°$, $-\mathrm{54,36}°$, $-\mathrm{28,266}°$, $-\mathrm{51,921}°$). Dentro dessas áreas, selecionamos os pontos de grade cujas coordenadas estão listadas na Tabela 2.

Tabela 2
Coordenadas e horários de 1^∘ de maio de 2025 avaliados no conjunto de dados do MERRA-2 e do ERA5.

Base de Dados	Região	Latitude, Longitude	Intervalo de altitudes	Hora 1	Hora 2
	Norte	$-\mathrm{3,50}°$, $-\mathrm{61,88}°$
MERRA-2	Nordeste	$-\mathrm{3,50}°$, $-\mathrm{40,62}°$	$0\mathrm{km}\text{a}50\mathrm{km}$	$10\text{h}30\min$	$22\text{h}$ $30\min$
	Sul	$-\mathrm{28,50}°$, $-\mathrm{53,75}°$
	Norte	$-\mathrm{3,57}°$, $-\mathrm{61,95}°$
ERA5	Nordeste	$-\mathrm{3,58}°$, $-\mathrm{40,62}°$	$0\mathrm{km}\text{a}50\mathrm{km}$	$11\text{h}$	$23\text{h}$
	Sul	$-\mathrm{28,74}°$, $-\mathrm{53,86}°$

Para garantir uma comparação igualitária entre as formulações, consideramos o intervalo de altitude de $0\text{km}\text{a}50\text{km}$, correspondendo à máxima altitude disponível no ERA5. Embora o MERRA-2 disponibilize dados em altitudes superiores, esta limitação assegura que todos os modelos sejam avaliados sob as mesmas condições observacionais, eliminando possíveis vieses decorrentes de diferenças na extensão vertical dos dados.

Para cada um dos pontos geográficos, analisamos os dados do dia 1^∘ de maio de 2025, considerando dois horários ao longo desse dia com um intervalo de $12\text{h}$ entre eles conforme Tabela 2.

Em resumo, a Tabela 2 exibe as coordenadas geográficas, a extensão vertical e os horários ligados aos parâmetros atmosféricos para cada conjunto de dados.

Na próxima seção, serão apresentados os dados processados da temperatura com relação à altitude, realizados para todo o recorte espacial e temporal definido na Tabela 2, e os fundamentos de uma nova expressão barométrica, resultante das análises desses dados.

4. Expressão Barométrica com Perfil Térmico Quadrático e Gravidade Variável

Nessa seção, apresentamos e analisamos os dados processados de temperatura das reanálises climáticas MERRA-2 e ERA5. Inicialmente, mostramos os dados de temperatura através de gráficos e, baseados nesses dados, analisamos os fundamentos de um modelo com perfil quadrático para a temperatura atmosférica com relação à altitude. Em decorrência dessa nova consideração, abordamos uma nova expressão barométrica.

4.1. Modelo quadrático da temperaturaatmosférica

Na subseção 2.3, vimos que, no Modelo de Atmosfera Padrão, a temperatura atmosférica assume perfil linear e as camadas atmosféricas apresentam valores distintos de lapse rate, assim, modificando o perfil vertical da temperatura entre crescente ou decrescente. Inclusive, observamos, na Fig. 3, que a expressão barométrica com temperatura linear e com gravidade variável, apresenta incompatibilidade com o modelo de gás ideal a partir de determinada altitude, em torno de $43\text{km}$.

Partindo dessas limitações, podemos pensar em um modelo de temperatura compatível com o modelo de gás ideal para valores elevados de altitude e que unifique os comportamentos térmicos das diferentes camadas atmosféricas em uma única formulação matemática.

Analisemos, em vista disso, os dados processados de temperatura dos conjuntos de dados do MERRA-2 e do ERA5 para o recorte espacial e temporal delimitado de acordo com a Tabela 2, que estão exibidos nas Figs. 4 e 5.

Figura 4
Dados MERRA-2: Temperatura em função da altitude para os pontos das regiões Norte ($-\mathrm{3,50}°$, $-\mathrm{61,88}°$ ), Nordeste ($-\mathrm{3,50}°$, $-\mathrm{40,62}°$) e Sul ($-\mathrm{28,50}°$, $-\mathrm{53,75}°$): (a)$10\text{h}$ $30\min$; (b)$22\text{h}$ $30\min$. A linha tracejada vertical, em torno de $17\text{km}$, marca a altitude em que ocorre a transição do perfil térmico decrescente para o crescente.

Figura 5
Dados ERA5: Temperatura em função da altitude para os pontos das regiões Norte ($-\mathrm{3,57}°$, $-\mathrm{61,95}°$), Nordeste ($-\mathrm{3,58}°$, $-\mathrm{40,62}°$) e Sul ($-\mathrm{28,74}°$, $-\mathrm{53,86}°$): (a)$11\text{h}$; (b)$23\text{h}$. A linha tracejada vertical, em torno de $17\text{km}$, marca a altitude que ocorre a transição do perfil térmico decrescente para o crescente.

Observa-se que, em todos os casos mostrados nas Figs. 4 e 5, a temperatura decresce até cerca de $17\text{km}$ de altitude (linha vertical tracejada) e retorna a aumentar. Esse comportamento indica a variação do lapse rate à medida que a altitude aumenta e alterna-se a camada atmosférica assim como apresentamos na subseção 2.3.

Tendo em vista a determinação de uma expressão matemática que modele esse comportamento térmico da atmosfera, definimos a grandeza física que mede a taxa de variação do lapse rate em relação à altitude ($\kappa$):

(19) $$\frac{\text{d}L}{\text{d}h}\equiv \kappa .$$

A partir da integração dessa equação diferencial em relação à altitude ($h$), chegamos a:

(20) $$L=L_t+\kappa h,$$

em que $L_t$ é a constante de integração e assumimos o valor do lapse rate quando a altitude $h$ é nula, ou seja, ao nível médio do mar. Nesse caso, $L_t$ é o valor do lapse rate da troposfera. Contudo, em conformidade com a definição do lapse rate na (equação 10), conseguimos relacionar a taxa de variação do lapse rate em função da altitude ($\kappa$) com a temperatura atmosférica ($T$):

(21) $$\frac{\text{d}T}{\text{d}h}=L_t+\kappa h.$$

Integrando essa equação, temos como resultado o modelo matemático da temperatura atmosférica, levando em consideração a taxa de variação do lapse rate com a altitude ($\kappa$):

(22) $$T\left(h\right)=\frac{\kappa }{2}{h}^2+L_{t}h+T_0.$$

Onde $T_0$ é o valor da temperatura atmosférica quando a altitude ($h$) é zero ($0$).

A escolha por uma taxa de variação constante do lapse rate, (equação 19), resulta no perfil térmico quadrático, (equação 22). Essa opção prioriza a interpretabilidade física, pois a taxa constante é uma única grandeza adicional, cujo significado físico é simples. Outras possibilidades poderiam levar a expressões muito abstratas. Por exemplo, se a taxa variasse segundo um polinômio de grau superior na altitude, a expressão final da temperatura resultaria em um polinômio de grau mais elevado, o que dificultaria a interpretação física de cada novo coeficiente.

Para estimar essa taxa ($\kappa$), utilizamos um ajuste polinomial de segunda ordem³ ((equação 23)) aos dados disponíveis das reanálises no intervalo de altitudes de $0\text{km}\text{a}50\text{km}$.

(23) $$T\left(h\right)=a{h}^2+bh+c.$$

Onde $a$, $b$ e $c$ são os coeficientes do ajuste correspondentes a, respectivamente, $\frac{\kappa }{2}$, $L_t$ e $T_0$ da (equação 22). Esse procedimento consiste em determinar um polinômio de segundo grau que melhor se ajusta aos dados observados dispersos, usando o método dos mínimos quadrados. Esse método descreve o menor desvio entre os valores observados e os valores estimados para dada quantidade de dados[²⁵, ²⁶].

O ajuste polinomial é aqui empregado como ferramenta numérica para obter o valor da constante $\kappa$. Fixamos os valores do lapse rate da troposfera ($L_t$) e da temperatura ao nível médio do mar ($T_0$) para manter o ajuste polinomial consistente com as constantes do Modelo de Atmosfera Padrão (Tabela 1). Isso evita que as comparações da seção 5 estejam sob condições diferentes.

Dessa maneira, obtivemos o plot da curva ajustada aos dados de temperatura em função da altitude do MERRA-2 para o ponto da região Norte ($-\mathrm{3,50}°$, $-\mathrm{61,88}°$) na hora $10\text{h}$ $30\min$ que está apresentado na Fig. 6.

Figura 6
Ajuste polinomial (em laranja) aos dados do MERRA-2 do ponto da região Norte ($-\mathrm{3,50}°$, $-\mathrm{61,88}°$) às $10\text{h}$ $30\min$ (em azul).

Perceba que, na Fig. 6, a curva ajustada é decrescente para altitudes baixas e crescente para altitudes elevadas, portanto, unificando os comportamentos térmicos da troposfera e da estratosfera.

Repare igualmente que a curva não atinge pequenos valores de temperatura em qualquer valor de altitude, assim, sendo adequada ao modelo de gás ideal seja qual for a altitude.

Esse último comportamento da função pode ser explicado, analisando, do ponto de vista físico, o discriminante (${\text{Δ}}_T$) associado à (equação 22):

(24) $${\text{Δ}}_T=4\left(\frac{\kappa }{2}\right)T_0-L_t^2.$$

Em concordância com a discussão acerca do valor do discriminante de uma função quadrática, a curva da função (parábola) intercepta ou não o eixo da variável dependendo do valor de ${\text{Δ}}_T$.

Como vimos na Fig. 6, a parábola não toca o eixo horizontal do gráfico. Isso significa que o discriminante é positivo, de acordo com a (equação 24). Fisicamente, no caso da (equação 22), podemos interpretar o discriminante como o valor que indica se a temperatura atinge valor nulo em alguma altitude. Assim, ${\text{Δ}}_T$ positivo mostra que a temperatura não se anula para nenhum valor de altitude.

Analisando as outras possibilidades para o discriminante, temos que se ${\text{Δ}}_T=0$, então, a temperatura atinge valor nulo em um único valor de altitude. Se ${\text{Δ}}_T<0$, então a temperatura atinge o valor nulo em duas altitudes distintas, significando que a temperatura absoluta pode assumir valores negativos. Desse modo, ambas as possibilidades não apresentam sentido físico.

Embora tenhamos feito ajustes polinomiais para cada fonte de dados, região e hora, optamos por exibir somente o plot da curva ajustada aos dados do MERRA-2 para o ponto da região Norte ($-\mathrm{3,50}°$, $-\mathrm{61,88}°$) às $10\text{h}$ $30\min$, pois os gráficos dos demais conjuntos de dados são similares à Fig. 6 e apresentam pequenas variações visuais. No entanto, os resultados numéricos dos valores de $\kappa$ resultantes dos ajustes polinomiais estão exibidos na Tabela 3.

Tabela 3
Valores de $\kappa$ resultantes das curvas ajustadas aos dados de temperaturas e altitudes. Na tabela, estão expostos os valores de $\kappa$ ($\times {10}^{-1}$ $\text{K}\text{/}{\mathrm{km}}^2$) resultantes do ajuste polinomial ao número de amostras analisadas do MERRA-2 e do ERA5 para diferentes locais e horários e os valores fixados de $L_t$ ($\text{K}\text{/}\text{m}$) e $T_0$ ($\text{K}$).

Base de Dados	Ponto geográfico	Hora	Número de amostras	$\kappa$ ($\times {10}^{-1}$ $\text{K}\text{/}{\text{km}}^2$)	$L_t$ ($\text{K}\text{/}\mathrm{km}$)	$T_0$ (K)
	Norte	10 h 30 min	59	2,72
	(-3,50°, -61,88°)	22 h 30 min	59	2,72
MERRA-2	Nordeste	10 h 30 min	59	2,74	-6,5	288,15
	(-3,50°, -40,62°)	22 h 30 min	59	2,72
	Sul	10 h 30 min	60	2,60
	(-28,50°, -53,75°)	22 h 30 min	59	2,66
	Norte	11 h	37	2,72
	(-3,57°, -61,95°)	23h	37	2,72
ERA5	Nordeste	11 h	37	2,72	-6,5	288,15
	(-3,58°, -40,62°)	23h	37	2,70
	Sul	11 h	37	2,62
	(-28,74°, -53,86°)	23h	37	2,62
Ajuste Medio				2,68	-6,5	288,15

Observe que, na Tabela 3, os valores de $\kappa$ apresentam pequenas diferenças entre si. Com a finalidade de definir um valor fixo para $\kappa$ que melhor se adapta a todos os dados analisados, calculamos a média aritmética desses valores obtidos dos ajustes individuais. Veja o valor de $\kappa$ do ajuste médio na última linha da Tab.3.

Aplicamos esses valores médios na (equação 22) e representamos o plot do ajuste médio na Fig. 7, onde também há a sobreposição de todos os dados observados de temperatura em relação à altitude.

Figura 7
Ajuste polinomial de segunda ordem com os coeficiente médios (em roxo) e todos os dados de temperatura em função da altitude do MERRA-2 (em azul) e do ERA5 (em vermelho) sobrepostos.

Os indicadores de qualidade $R^2$ (coeficiente de determinação) e o erro médio absoluto (EMA) medem o quão bom é o ajuste da curva aos dados. Para o $R^2$, quanto mais próximo de $1$, melhor o ajuste. Para o EMA, quanto menor o valor (mais próximo de $0\text{K}$), melhor o ajuste. O ajuste quadrático médio resultou em $R^2=\mathrm{0,84}$ e EMA $=$ $\mathrm{11,84}\text{K}$. O valor do $R^2$ indica que o modelo quadrático explica $84\%$ da variância total dos dados de temperatura. O valor do EMA mostra que, embora haja desvios pontuais significativos, a expressão quadrática é capaz de representar o comportamento térmico da atmosfera em larga escala. Esses valores refletem as condições adotadas: fixar os parâmetros $L_t$ e $T_0$ conforme o modelo de atmosfera padrão e ajustar apenas a constante $\kappa$. Como resultado, a precisão numérica é afetada, mas a interpretabilidade física e a simplicidade são preservadas.

Com base nessa análise, podemos chegar a uma expressão barométrica, a qual discutiremos na subseção seguinte, que incorpora o modelo matemático da temperatura atmosférica como função quadrática da altitude.

4.2. Desenvolvimento da expressão barométricacom perfil térmico quadráticoe gravidade variável

Em posse da variação quadrática da temperatura atmosférica, discutiremos o desenvolvimento de uma nova expressão barométrica.

Unindo a equação diferencial (3), que mostramos na seção 2, com as condições da gravidade variando com a altitude, (equação 5), e da temperatura variando quadraticamente com a altitude, (equação 22), temos:

(25) $$\frac{\text{d}P}{P}=\frac{-M_m}{R^{\ast }}\frac{g_0{R}^2}{{\left(h+R\right)}^2\left(\frac{\kappa }{2}{h}^2+L_{t}h+T_0\right)}\text{d}h.$$

Integrando de $0$ à $h$, através do método das frações parciais [²⁷]⁴ e agrupando os termos, a pressão pode ser escrita na forma compacta:

(26) $$P\left(h\right)=P_0\exp \left[\frac{-M_m}{R^{\ast }}J\left(h\right)\right].$$

Onde definimos explicitamente a função auxiliar $J\left(h\right)$, que simboliza os efeitos do perfil térmico quadrático e da gravidade variável com a altitude como:

(27) $$J\left(h\right)\equiv C\ln \left(\frac{h+R}{\sqrt{T\left(h\right)}}\right)-\frac{D}{h+R}+\frac{2E-T_{0}C}{\sqrt{{\text{Δ}}_T}}\arctan \left(\frac{L_t+\kappa h}{\sqrt{{\text{Δ}}_T}}\right),$$

sendo as constantes $C$, $D$ e $E$ dadas por:

(28) $$\begin{array}{c}C=g_0{R}^2\left(\frac{R\kappa -L_t}{{\left(\frac{\kappa }{2}{R}^2-L_{t}R+T_0\right)}^2}\right),\\ D=\frac{g_0{R}^2}{\frac{\kappa }{2}{R}^2-L_{t}R+T_0},\\ E=g_0{R}^2\left(\frac{R^2{\left(\frac{\kappa }{2}\right)}^2-R\kappa L_t-\frac{\kappa T_0}{2}+L_t^2}{{\left(\frac{\kappa }{2}{R}^2-L_{t}R+T_0\right)}^2}\right).\end{array}$$

Note que, com base na discussão sobre o ${\text{Δ}}_T$ da subseção 4.1, a função $J\left(h\right)$ não está definida para ${\text{Δ}}_T=0$. Dessa maneira, a (equação 27) apresenta sentido físico apenas para os casos em que a temperatura absoluta em função da altitude ($T\left(h\right)$) não atinge o valor $0\text{K}\text{/}$, seja qual for o valor da altitude.

O perfil vertical da pressão atmosférica, caracterizado pela (equação 26), está mostrado na Fig. 8.

Figura 8
Perfil vertical da pressão atmosférica obtido pela expressão barométrica com o perfil térmico quadrático e gravidade variável (linha traço-ponto vermelha). A linha contínua preta representa a expressão barométrica clássica (apresentada na Figura 1), mostrada aqui como referência.

Com o desenvolvimento da expressão barométrica com perfil térmico quadrático e com gravidade variável, na próxima seção, vamos compará-la com os dados processados de pressão das bases de reanálises climáticas e com as demais expressões barométricas.

5. Resultados e Discussões

Nessa seção, discutiremos os produtos obtidos através dos dados de pressão atmosférica em função da altitude das bases de reanálises climáticas MERRA-2 e ERA5. Foram comparados esses dados com as estimativas dos modelos barométricos apresentados nas subseções 2.1, 2.2, 2.3 e 4.2. A finalidade é avaliar o desempenho da expressão barométrica com perfil térmico quadrático e gravidade variável, (equação 26), em relação às demais formulações. Os resultados das comparações estão apresentados através de figuras e tabelas, conforme veremos a seguir.

Inicialmente, vamos visualizar os dados processados de pressão das reanálises climáticas MERRA-2 e ERA5, respectivamente, nas Figs. 9 e 10.

Figura 9
Dados processados de pressão do MERRA-2 nos pontos, da esquerda à direita, Norte ($-\mathrm{3,50}°$, $-\mathrm{61,88}°$), Nordeste ($-\mathrm{3,50}°$, $-\mathrm{40,62}°$) e Sul ($-\mathrm{28,50}°$, $-\mathrm{53,75}°$) nos horários $10\text{h}$ $30\min$ (quadrados na cor azul claro) e $22\text{h}$ $30\min$ (triângulos na cor azul escuro).

Figura 10
Dados processados de pressão do ERA5 nos pontos, da esquerda à direita, Norte ($-\mathrm{3,57}°$, $-\mathrm{61,95}°$), Nordeste ($-\mathrm{3,58}°$, $-\mathrm{40,62}°$) e Sul ($-\mathrm{28,74}°$, $-\mathrm{53,86}°$) nos horários $11\text{h}$(quadrados na cor verde claro) e $23\text{h}$ (triângulos na cor verde escuro).

Observe nas Figs 9 e 10 que todas as curvas descritas pelos pontos dos dados têm perfil exponencial. Note também que as variações nos valores de pressão com a mudança do horário são pequenas e imperceptíveis de tal modo que as curvas de pressão dos horários estão sobrepostas. Isso pode ser observado em todos os pontos geográficos analisados.

Nas Figs. 11 e 12, comparamos as curvas de pressão das reanálises climáticas MERRA-2 e ERA5 com as curvas dos seguintes modelos teóricos: expressão barométrica clássica (expressão Clássica), (equação 4); expressão barométrica isotérmica com gravidade variável (expressão Isotérmica), (equação 8); expressão barométrica com perfil térmico linear e gravidade variável (expressão Linear), (equação 13); expressão barométrica com perfil térmico quadrático e gravidade variável (expressão Quadrática), (equação 26). Nos gráficos, os valores de pressão estão apresentados em escala logarítmica para evidenciar visualmente os desvios das curvas descritas pelas formulações teóricas em relação à curva de pressão das reanálises climáticas. As Figuras 11 a) e 12 a) encontram-se em destaque para facilitar as análises visuais.

Figura 11
Comparação entre os dados do MERRA-2: nos horários $10\text{h}$ $30\min$ (quadrados azul-claros) e $22\text{h}$ $30\min$ (triângulos azul-escuros) e as curvas dos modelos Clássico (linha contínua preta), Isotérmico (linha pontilhada laranja), Linear (linha tracejada verde) e Quadrático (linha traço-ponto vermelha). (a) Ponto da região Norte ($-\mathrm{3,50}°$, $-\mathrm{61,88}°$). (b) Pontos das regiões Nordeste ($-\mathrm{3,50}°$, $-\mathrm{40,62}°$) e Sul ($-\mathrm{28,50}°$, $-\mathrm{53,75}°$). Os valores de pressão estão em escala logarítmica. A região sombreada (entre $10\text{km}$ e $50\text{km}$) indica a faixa de altitude em que o modelo Quadrático apresenta melhor desempenho.

Figura 12
Comparação entre os dados do ERA5: nos horários $11\text{h}$ (quadrados verde-claros) e $23\text{h}$ (triângulos verde-escuros) e as curvas dos modelos Clássico (linha contínua preta), Isotérmico (linha pontilhada laranja), Linear (linha tracejada verde) e Quadrático (linha traço-ponto vermelha). (a) Ponto da região Norte ($-\mathrm{3,57}°$, $-\mathrm{61,95}°$). (b) Pontos das regiões Nordeste ($-\mathrm{3,58}°$, $-\mathrm{40,62}°$) e Sul ($-\mathrm{28,74}°$, $-\mathrm{53,86}°$). Os valores de pressão estão em escala logarítmica. A região sombreada (entre $10\text{km}$ e $50\text{km}$) indica a faixa de altitude em que o modelo Quadrático apresenta melhor desempenho.

Notavelmente na Fig. 11, na faixa de altitudes de $0\text{km}\text{a}10\text{km}$, as curvas dos modelos teóricos estão próximas aos dados do MERRA-2, triângulos em azul escuro ($22\text{h}$ $30\min$) e quadrados em azul claro ($10\text{h}$ $30\min$). Esse mesmo comportamento é visto na Fig. 12 para os dados do ERA5, triângulos em verde escuro ($23\text{h}$) e quadrados em verde claro ($11\text{h}$). No entanto, em ambas as figuras, a partir de $10\text{km}$, região sombreada nos gráficos, a expressão Clássica (linha contínua em preto) diverge dos dados à medida que os valores de altitudes aumentam; a expressão Isotérmica (linha pontilhada em laranja) segue, com pequenas variações, esse mesmo comportamento praticamente coincidindo com a expressão clássica; e a expressão Linear (linha tracejada em verde) mostra um desvio acentuado a partir de $20\text{km}$ e decai até ${10}^{-1}$ $\mathrm{hPa}$ antes dos $40\text{km}$. Enquanto em todo intervalo de altitudes de $0\text{km}\text{a}50\text{km}$, a expressão Quadrática (linha traço-ponto em vermelho) não apresenta afastamento destacado dos dados.

Embora tenhamos uma noção qualitativa do desempenho de cada modelo teórico frente aos dados das reanálises climáticas com base nos gráficos, o comparativo fica ainda mais evidente de forma numérica como representado pelas Tabelas 4 e 5.

Tabela 4
Comparação de modelos de pressão atmosférica usando dados MERRA-2 para o ponto da região Norte ($-\mathrm{3,50}°$, $-\mathrm{61,88}°$) às $22\text{h}$ $30\min$. Na tabela, temos as abreviações: $h$ - Altitude (km); P - Pressão (hPa); EPA - Erro Percentual Absoluto (%). Os modelos comparados são: Clássico ((equação 4)), Isotérmico ((equação 8)), Linear ((equação 13)) e Quadrático ((equação 26)). Valores inexistentes são indicados por X.

MERRA-2		Clássica		Isotérmica		Linear		Quadrática
$h$ (km)	P (hPa)	P (hPa)	EPA (%)	P (hPa)	EPA (%)	P (hPa)	EPA (%)	P (hPa)	EPA (%)
$0\mathrm{km}\le h\le 10\mathrm{km}$
0,11	996,72	1000,33	0,36	1000,33	0,36	1000,32	0,36	1000,32	0,36
0,80	921,29	921,37	0,01	921,38	0,01	920,58	0,08	920,59	0,08
1,70	830,74	828,51	0,27	828,55	0,26	825,28	0,66	825,36	0,65
3,65	658,47	657,15	0,20	657,32	0,18	645,03	2,04	645,69	1,94
5,18	545,32	548,20	0,53	548,47	0,58	527,53	3,26	529,14	2,97
7,01	432,20	441,44	2,14	441,84	2,23	410,56	5,01	413,87	4,24
9,43	313,17	331,25	5,77	331,80	5,95	288,82	7,78	295,02	5,80
$10\mathrm{km}<h\le 30\mathrm{km}$
10,57	266,67	289,29	8,48	289,89	8,71	242,59	9,03	250,27	6,15
12,75	192,56	223,40	16,02	224,08	16,37	171,03	11,18	181,42	5,78
15,68	118,25	157,83	33,47	158,55	34,08	102,74	13,12	116,00	1,90
18,47	72,56	113,38	56,27	114,10	57,26	60,14	17,12	74,84	3,15
21,44	43,91	79,80	81,74	80,48	83,29	31,85	27,47	46,56	6,03
24,71	26,05	54,15	107,88	54,77	110,24	14,25	45,30	27,43	5,29
27,04	18,12	41,08	126,68	41,64	129,77	7,37	59,31	18,83	3,87
$30\mathrm{km}<h\le 50\mathrm{km}$
30,78	10,28	26,35	156,2	26,82	160,73	2,07	79,89	10,36	0,73
32,10	8,46	22,53	166,40	22,96	171,54	1,21	85,67	8,43	0,37
34,94	5,63	16,09	185,61	16,45	192,14	0,31	94,56	5,45	3,15
38,08	3,68	11,09	201,75	11,40	209,96	0,04	98,99	3,44	6,44
41,44	2,35	7,45	216,54	7,69	226,75	0,00	99,97	2,15	8,58
45,00	1,48	4,88	231,04	5,07	243,66	X	X	1,35	8,48
48,75	0,91	3,13	244,87	3,27	260,34	X	X	0,86	5,58

Tabela 5
Comparação de modelos de pressão atmosférica usando dados ERA5 para o ponto da região Norte ($-\mathrm{3,57}°$, $-\mathrm{61,95}°$) às $23\text{h}$. Na tabela temos as abreviações: $h$ - Altitude (km); P - Pressão (hPa); EPA - Erro Percentual Absoluto (%). Os modelos comparados são: Clássico ((equação 4)), Isotérmico ((equação 8)), Linear ((equação 13)) e Quadrático ((equação 26)). Valores inexistentes são indicados por X.

ERA5		Clássica		Isotérmica		Linear		Quadrática
$h$ (km)	P (hPa)	P (hPa)	EPA (%)	P (hPa)	EPA (%)	P (hPa)	EPA (%)	P (hPa)	EPA (%)
$0\mathrm{km}\le h\le 10\mathrm{km}$
0,07	1000	1004,60	0,46	1004,60	0,46	1004,60	0,46	1004,60	0,46
1,00	900	900,04	0,00	900,06	0,01	898,84	0,13	898,86	0,13
1,75	825	823,35	0,20	823,40	0,19	819,94	0,61	820,03	0,60
3,76	650	649,10	0,14	649,27	0,11	636,42	2,09	637,13	1,98
5,88	500	504,87	0,97	505,20	1,04	480,25	3,95	482,44	3,51
8,61	350	365,02	4,29	365,52	4,44	326,14	6,82	331,31	5,34
9,73	300	319,61	6,54	320,17	6,72	275,97	8,01	282,56	5,81
$10\mathrm{km}<h\le 30\mathrm{km}$
11,01	250	274,75	9,90	275,37	10,15	226,67	9,33	234,91	6,04
12,50	200	230,22	15,11	230,89	15,45	178,34	10,83	188,43	5,79
14,30	150	185,94	23,96	186,65	24,43	131,47	12,35	143,52	4,32
16,67	100	140,49	40,49	141,21	41,21	85,61	14,39	99,54	0,46
18,70	70	110,37	57,68	111,09	58,70	57,43	17,96	72,19	3,13
20,67	50	87,40	74,81	88,10	76,20	37,83	24,33	52,68	5,37
23,86	30	59,86	99,53	60,49	101,65	17,76	40,81	31,45	4,84
26,46	20	43,98	119,90	44,55	122,77	8,74	56,28	20,65	3,26
$30\mathrm{km}<h\le 50\mathrm{km}$
31,10	10	25,37	153,74	25,83	158,32	1,83	81,73	9,85	1,45
33,54	7	19,00	171,48	19,40	177,20	0,63	90,95	6,75	3,54
35,95	5	14,28	185,70	14,63	192,61	0,17	96,59	4,70	6,07
39,85	3	8,99	199,76	9,26	208,70	0,01	99,78	2,68	10,77
42,98	2	6,21	210,27	6,42	221,05	0,00	100,00	1,75	12,42
48,41	1	3,26	225,85	3,40	240,27	X	X	0,89	10,85

Na Tabela 4, podemos observar os resultados numéricos das comparações para os dados do MERRA-2 no ponto da região Norte ($-\mathrm{3,50}°$, $-\mathrm{61,88}°$) às $22\text{h}$ $30\min$ e, na Tabela 5, estão expostos os resultados das comparações para os dados do ERA5 no ponto da região Norte ($-\mathrm{3,57}°$, $-\mathrm{61,95}°$) às $23\text{h}$. Em ambas as tabelas, temos parte representativa das altitudes disponíveis nos respectivos conjuntos de dados, que estão agrupadas por intervalos de altitudes. A versão completa dessas tabelas pode ser acessada através do link na seção “Disponibilidade de Dados”.

Veja nas Tabela 4 e 5 que, na faixa de altitudes de $0\text{km}\text{a}10\text{km}$, assim como visto nas Figs. 11 e 12, os valores de pressão dos modelos teóricos são aproximados aos valores dos dados. Por exemplo, na altitude $h=\mathrm{1,70}\text{km}$ da Tabela 4, o valor de pressão do MERRA-2 é $830\mathrm{hPa}$, enquanto o valor de pressão do modelo Clássico é $\mathrm{828,51}\mathrm{hPa}$, do modelo Isotérmico é $\mathrm{828,55}\mathrm{hPa}$, do modelo Linear é $\mathrm{825,28}\mathrm{hPa}$ e do modelo Quadrático é $\mathrm{825,36}\mathrm{hPa}$.

Contudo, para medir essa proximidade dos valores estimados das curvas teóricas aos valores dos dados das reanálises climáticas, uma forma alternativa, além da comparação direta entre os valores, é através do Erro Percentual Absoluto (EPA):

(29) $$EPA=\frac{\left|P_{estima\text{d}o}-P_{\text{observado}}\right|}{P_{\text{observado}}}\times 100.$$

Essa métrica expressa a distância ($\left|P_{estima\text{d}o}-P_{\text{observado}}\right|$) entre o valor de pressão estimado ($P_{estima\text{d}o}$), o modelo teórico nesse caso, e o valor de pressão observado ($P_{observa\text{d}o}$), os dados das reanálises climáticas. Esse valor é dado em porcentagem do valor de pressão observado ($\frac{100}{P_{observa\text{d}o}}$). Desse modo, quanto maior a porcentagem do EPA, mais discrepante é o valor de pressão do modelo teórico em relação ao valor de pressão dos dados. O EPA foi escolhido porque apresenta interpretação clara e mostra o desempenho do valor estimado em cada altitude⁵. Para exemplificar, na altitude $h=\mathrm{9,73}\text{km}$ da Tabela 5, onde temos a pressão do ERA5 medindo $300\mathrm{hPa}$, o EPA do modelo Clássico mede $\mathrm{6,54}\%$, do modelo Isotérmico mede $\mathrm{6,72}\%$, do modelo Linear mede $\mathrm{8,01}\%$ e do modelo Quadrático mede $\mathrm{5,81}\%$. Nessa altitude, assim, a expressão Quadrática apresenta desempenho ligeiramente melhor do que as expressões Clássica, Isotérmica e Linear.

No intervalo de altitudes de $10\text{km}\text{a}30\text{km}$, por outro lado, as expressões Clássica e Isotérmica possuem EPA acentuado, variando de $\mathrm{8,48}\%\text{a}126\%$ para a expressão Clássica; e de $\mathrm{8,71}\%\text{a}\mathrm{129,77}\%$ para a expressão Isotérmica. Nesses níveis de altitudes, a expressão Linear mantém uma menor variação, ainda assim, valores elevados de EPA, de $\mathrm{9,03}\%\text{a}\mathrm{59,31}\%$; e a expressão Quadrática mostra as menores porcentagens de EPA em relação às demais formulações, sendo os valores extremos $\mathrm{1,90}\%$ e $\mathrm{6,15}\%$ para o MERRA-2 (Tabela 4) e $\mathrm{0,46}\%$ e $\mathrm{6,04}\%$ para o ERA5 (Tabela 5).

Esse mesmo resultado pode ser visto na faixa de altitudes de $30\text{km}\text{a}50\text{km}$. Os modelos Clássico e Isotérmico apresentam EPA no intervalo de $150\%\text{a}250\%$ para ambos os conjuntos de dados; o modelo Linear atinge valores de EPA na faixa de $80\%\text{a}100\%$, além de ser inválido para valores a partir de aproximadamente $43\text{km}$; e o modelo Quadrático possui os menores valores de EPA, que estão no intervalo de $\mathrm{0,73}\%\text{a}\mathrm{8,58}\%$ para o MERRA-2 (Tabela 4) e no intervalo de $\mathrm{1,45}\%\text{a}\mathrm{10,85}\%$ para o ERA5 (Tabela 5).

Note que, para as mesmas faixas de altitudes e expressão, os erros percentuais são diferentes dependendo da base de dados. Isso ocorre devido à natureza distinta dos dados, uma vez que as duas reanálises climáticas possuem resolução de altitudes e tempos diferentes, conforme descrevemos na seção 3

Os resultados das comparações para os demais pontos geográficos e horários do recorte espacial e temporal (Tabela 2) são similares aos resultados exibidos nas Tabelas 4 e 5, mostrando pequenas variações numéricas. Dessa forma, optamos por disponibilizar os dados completos das tabelas em um repositório online (Zenodo). Verifique a seção “Disponibilidade de Dados” ao final deste artigo.

Entretanto, para sintetizar todos os resultados das comparações, tanto os resultados das Tabs. 4 e 5 quanto os resultados dos outros horários e pontos geográficos, temos a Tabela 6. Na Tabela 6, apresentamos as médias do Erro Percentual Absoluto de todos os dados disponíveis de pressão do MERRA-2 e do ERA5 por intervalos de altitudes.

Tabela 6
Síntese dos Erros Percentuais Absolutos (EPA) médios dos modelos teóricos de pressão por faixa de altitude para os dados MERRA-2 e ERA5 (todos os pontos geográficos e horários). Valores com asterisco (*) para o modelo Linear na faixa de $30\text{km}\text{a}50\text{km}$ representam a média até aproximadamente $43\text{km}$, altitude a partir da qual o modelo linear se torna inválido (valores de pressão inexistentes nas tabelas originais).

	MERRA-2				ERA5
Intervalo de Altitude (%)	Clássica (%)	Isotérmica (%)	Linear* (%)	Quadrática (%)	Clássica (%)	Isotérmica (%)	Linear* (%)	Quadrática (%)
0 km a 10 km	0,95	0,97	2,07	1,81	1,15	1,18	2,28	1,95
10 km a 30 km	68,71	70,21	28,94	3,80	46,13	47,08	19,62	3,68
30 km a 50 km	207,93	217,33	93,76*	4,47	193,37	201,99	93,99*	7,01

Podemos observar na Tabela 6 que a expressão clássica tem a menor média de EPA da faixa de altitudes de $0\text{km}\text{a}10\text{km}$, assim, o melhor desempenho. A expressão Quadrática, no entanto, possui as menores médias de EPA para os intervalos de altitudes de $10\text{km}\text{a}30\text{km}$ e $30\text{km}\text{a}50\text{km}$, portanto, o melhor desempenho para as altitudes acima de $10\text{km}$.

A similaridade de valores de EPA entre as expressões Clássica e Isotérmica em todas as faixas de altitudes indica que a variação da aceleração da gravidade contribui pouco para a variação da pressão atmosférica. Esse resultado reforça o achado de [¹²], obtido a partir de um conjunto de dados distinto. Dessa forma, a contribuição principal para o perfil vertical da pressão atmosférica vem da modelagem do comportamento térmico da atmosfera. Nesse sentido, o modelo com perfil térmico quadrático e com gravidade variável mostrou-se com o melhor desempenho para altas altitudes. Esse bom desempenho pode ser justificado pela capacidade do modelo quadrático de representar a variação do lapse rate com a altitude. Assim, esse modelo descreve qualitativamente a transição entre a troposfera (onde a temperatura decresce) e a estratosfera (onde a temperatura aumenta). Isso não é possível nos outros modelos analisados.

6. Considerações Finais

Neste trabalho, mostramos os resultados das comparações entre os desempenhos de diferentes expressões barométricas frente aos dados de pressão das reanálises climáticas MERRA-2 e ERA5, analisados por intervalos de altitudes. Obtivemos que a expressão barométrica clássica apresenta o melhor desempenho para altitudes de $0\text{km}\text{a}10\text{km}$. Acima de $10\text{km}$ até $50\text{km}$ de altitude (máxima observada), a expressão barométrica com perfil térmico quadrático e gravidade variável exibiu uma performance melhor. Esses resultados sugerem que a modelagem matemática do perfil térmico quadrático da atmosfera realizada nesse trabalho foi o principal fator que contribuiu para o desempenho dessa expressão. Assim, a expressão barométrica com perfil térmico quadrático e gravidade variável é uma excelente fórmula analítica fechada para estimar valores de pressão em uma atmosfera seca, que comporta-se como gás ideal em equilíbrio hidrostático.

É importante destacar que o modelo quadrático foi desenvolvido e validado para o intervalo de $0\text{km}\text{a}50\text{km}$. Acima dessa altitude, outras camadas atmosféricas (mesosfera, termosfera) apresentam perfis térmicos que não são adequadamente representados por uma única função quadrática com taxa de variação constante do lapse rate. A análise para taxas não constantes de variação do lapse rate em função da altitude ($\kappa$), será proposta em estudos futuros.

Uma possível expansão desse trabalho é medir a taxa de variação do lapse rate da temperatura atmosférica com relação à variação da altitude ($\kappa$) por outros meios, além do ajuste polinomial. Além disso, dados alternativos às reanálises climáticas, como perfis de radiossondagem, podem ser utilizados para validar o desempenho da expressão barométrica com perfil térmico quadrático e gravidade variável.

Do ponto de vista didático, este trabalho pode ser utilizado como base em disciplinas como Física Geral, Física da Atmosfera ou Modelagem matemática. Para atividades computacionais, um possível roteiro inclui quatro etapas: (i) estudo das bases de dados (reanálises climáticas MERRA-2 e ERA5, além de dados de radiossondagem como sugestão adicional), destacando suas características e acessibilidade; (ii) escolha de uma fonte de dados para investigação; (iii) implementação computacional com Python e suas bibliotecas para extração de perfis verticais e ajuste dos modelos térmicos; (iv) avaliação dos modelos por meio de métricas de desempenho (erro percentual absoluto, RMSE, $R^2$, entre outras) e interpretação dos resultados. Questões reflexivas podem orientar a discussão, tais como: “Quais hipóteses simplificadoras foram adotadas (ausência de umidade, variação horizontal desprezada)? Como elas afetam os resultados?”; “Em que faixa de altitude cada modelo apresenta melhor desempenho? Por quê?”; “Que diferenças você observa ao usar dados de reanálise versus dados de radiossondagem?”. Além disso, este trabalho também se mostra adequado para disciplinas de metodologia do ensino de física, que podem abordar o estudo de metodologias ativas (aprendizagem baseada em problemas ou projetos), nas quais pode ser utilizado como exemplo prático para ilustrar a integração entre teoria, modelagem e análise de dados.

Por fim, acreditamos que o estudo feito nesse trabalho, abordando a associação entre modelagem matemática e conceituação física no cenário da atmosfera terrestre, tem potencial para ajudar no esclarecimento da relevância didática da modelagem matemática na construção do conhecimento físico. Esperamos que essa abordagem seja empregada em outras áreas de estudos, além da que foi vista nesse artigo.

Agradecimentos

Os autores agradecem aos avaliadores pelas valiosas recomendações, que contribuíram significativamente para a melhoria deste trabalho. Expressam também seus sinceros agradecimentos ao Programa de Educação Tutorial (PET) e ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará (IFCE) pelo apoio essencial à realização deste trabalho.

Disponibilidade de Dados

A versão completa das tabelas para todo o recorte espacial e temporal, bem como as imagens dos ajustes polinomiais e os arquivos netCDF do MERRA-2 e do ERA5 utilizados nesse trabalho, está disponível em um repositório online (Zenodo). O acesso pode ser feito pelo link: https://doi.org/10.5281/zenodo.19440349.

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• 1
  Nesse caso, a distância é a soma entre o raio médio da Terra e a altitude partindo do nível médio do mar.
• 2
  Fórmulas para o cálculo do valor da pressão atmosférica em determinada altitude.
• 3
  Modelos de ordem superior poderiam ajustar os dados com maior precisão numérica, mas introduziriam coeficientes sem correspondência física direta, o que dificultaria a interpretação didática.
• 4
  A integral do inverso de uma função quadrática pode ser encontrada em[²⁷], página 79.
• 5
  RMSE (Root Mean Square Error) é uma métrica alternativa ao EPA. Essa métrica indica um valor global de desempenho para toda a faixa de altitudes analisada, sendo menos adequada para avaliar os modelos por intervalos específicos.

Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  03 Jul 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  28 Jan 2026
• Revisado
  17 Abr 2026
• Aceito
  07 Jun 2026