Um experimento com Arduino para o estudo da ressonância em um circuito RLC

An Arduino-based experiment for studying resonance in an RLC circuit

Resumo

Neste artigo apresentamos a construção de um experimento utilizando a plataforma Arduino para demonstrar, de forma qualitativa e quantitativa, o efeito da ressonância em um circuito RLC. A proposta de construção foca no baixo custo e na simplicidade, empregando um sensor alternativo para lidar com correntes variáveis em frequências da ordem de quilohertz. Programamos um Arduino Nano para gerar pulsos PWM em uma ampla faixa de frequências, excitando um circuito RLC, cujo comportamento é de filtro rejeita-banda. Na parte resistiva do circuito, uma lâmpada incandescente e um sensor LDR são utilizados para medir a corrente RMS e assim determinar a frequência de ressonância a partir do brilho do filamento. Os dados das medições são obtidos via saída serial e a observação do brilho da lâmpada em função da frequência apresenta o comportamento qualitativo do sistema.

Palavras-chave:
Arduino; circuito RLC; ressonância

Abstract

In this paper, we present the construction of an experiment using the Arduino platform to demonstrate, both qualitatively and quantitatively, the effect of resonance in an RLC circuit. The construction proposal focuses on low cost and simplicity, employing an alternative sensor to handle alternating currents at frequencies in the kilohertz range. We programmed an Arduino Nano to generate PWM pulses over a wide range of frequencies, exciting an RLC circuit that functions as a notch filter. In the resistive part of the circuit, an incandescent lamp and an LDR sensor are used to measure the RMS current and thus determine the resonant frequency based on the filament’s brightness. Measurement data are obtained via serial output, and the observation of the lamp’s brightness as a function of frequency presents the qualitative behavior of the system.

Keywords:
Arduino; RLC circuit; resonance

1. Introdução

A consolidação da plataforma Arduino como ferramenta educacional tem levado a uma modernização dos laboratórios didáticos de Física com baixo custo. Recentemente, a literatura sobre o tema tem demonstrado a versatilidade dessa tecnologia em diversas áreas da Física. Como alguns exemplos da diversidade de temas abordados de forma inovadora com esta ferramenta, podemos citar o trabalho da ref. [¹], no qual os autores utilizaram o Arduino na instrumentação remota para o experimento de Millikan, permitindo o acesso a conceitos de Física Moderna através da rede mundial de computadores. No campo da óptica, o artigo da ref. [²] explorou a automação da coleta de dados em experimentos de difração luminosa, reduzindo incertezas experimentais e permitindo uma análise gráfica precisa da intensidade do espectro. Complementarmente, na referência [³] os autores propuseram um kit experimental para o estudo de oscilações mecânicas em tempo real, utilizando sensores ultrassônicos para converter grandezas físicas em dados digitais acessíveis.

Em eletromagnetismo, o estudo dos fenômenos transitórios e do regime estacionário em circuitos elétricos é fundamental na formação de estudantes de graduação em física e engenharia [⁴] bem como de alunos em cursos de educação técnica em nível médio [⁵]. A compreensão de conceitos como impedância, constantes de tempo e o fenômeno da ressonância é de grande relevância, mas representa um desafio significativo para os estudantes [⁶]. Para transpor a barreira do formalismo matemático, a experimentação didática é uma ferramenta indispensável. Neste caso, tradicionalmente, ela exige o uso de geradores de funções e osciloscópios, equipamentos de custo elevado e certa complexidade de uso que limitam sua disponibilidade em muitas instituições.

Na busca por soluções de baixo custo e clareza pedagógica, a literatura em ensino de física tem convergido para duas tecnologias principais: a plataforma de prototipagem Arduino e os smartphones. Uma vasta linha de pesquisa dedica-se ao uso do Arduino como um sistema de aquisição de dados acessível para o estudo do regime transitório em circuitos contendo resistores, capacitores e indutores.

O trabalho da referência [⁷] demonstrou o uso do Arduino para gerar pulsos de tensão e, simultaneamente, registrar os dados da diferença de potencial em um capacitor durante a carga e descarga em um circuito RC. Os resultados permitiram a determinação da constante de tempo τ com boa precisão, validando o Arduino como um substituto viável para um osciloscópio digital em experimentos de baixa frequência. Esta abordagem foi posteriormente aprimorada, combinando o Arduino com a plataforma de programação gráfica LabVIEW para criar um chamado “aparato de fenômenos transitórios” que permite aos alunos uma interação de “mãos à obra” (hands-on), visualizando as curvas em uma interface de instrumento virtual [⁸].

Mais recentemente, o estudo do regime transitório foi estendido para circuitos RLC, focando nas oscilações amortecidas. No artigo da referência [⁹] os autores apresentam um circuito em que o Arduino foi usado para controlar o experimento enquanto um sensor de Efeito Hall media a corrente no circuito RLC. Os dados das oscilações amortecidas eram então enviados a um smartphone e analisados no aplicativo Phyphox [¹⁰], consolidando os smartphones como laboratórios portáteis.

Trabalhos recentes [¹¹, ¹²] demonstram o uso de aplicativos que transformam a saída de áudio do celular em um gerador de sinais (ondas senoidais e quadradas) e a entrada do microfone em um osciloscópio. Esta metodologia foi aplicada para determinar as constantes de tempo em circuitos RC e RL série, analisando a resposta a uma onda quadrada [¹²]. A mesma abordagem foi usada para o regime estacionário, onde os autores [¹¹] realizaram uma varredura em frequência e mediram a tensão no resistor de um circuito RLC série, traçando com sucesso a curva de ressonância (amplitude versus frequência) e demonstrando o comportamento de um filtro passa-faixa. Embora eficazes, essas abordagens de ponta ainda dependem de softwares externos e não trazem uma visão qualitativa concreta. A combinação do Arduino com LabVIEW também já foi sugerida para a análise geral de circuitos RLC [¹³], mas faltam na literatura recente propostas que usem apenas o Arduino para caracterizar configurações alternativas de ressonância.

O presente trabalho busca inovar e complementar as abordagens anteriores. Primeiramente, focamos na configuração de filtro rejeita-banda, composto por um tanque LC paralelo em série com a carga, o que oferece um contraponto didático ao filtro RLC série, já que sua impedância é máxima na ressonância, causando uma mínima corrente no circuito. Em segundo lugar, introduzimos um método alternativo de medição de corrente RMS. Ao invés de interfaces de software ou sensores de corrente sofisticados, utilizamos um transdutor óptico composto por uma lâmpada incandescente e um LDR (Resistor Dependente de Luz). A inércia térmica do filamento da lâmpada atua como um conversor rudimentar de RMS para CC (corrente contínua), e seu brilho é quantificado pelo LDR. O Arduino atua simultaneamente como um gerador de frequência e como o sistema de aquisição que lê a tensão no LDR. Este artigo detalha a construção, a fundamentação teórica e os resultados deste aparato, que permite a determinação experimental da frequência de ressonância (f_r) e da largura de banda (Δf) com boa precisão, utilizando componentes de custo mínimo e fácil acesso, proporcionando uma visualização concreta do fenômeno.

2. Circuito RLC como Filtro Rejeita-Banda

Um circuito RLC é definido como um circuito elétrico que envolve um componente resistivo R, um componente capacitivo C e outro indutivo L em série ou em paralelo entre si. Em uma das possíveis configurações, temos L e C em paralelo, com o resistor R em série [¹⁴, ¹⁵, ¹⁶, ¹⁷]. Neste caso, o comportamento do circuito pode ser descrito da seguinte forma: Seja uma fonte de tensão alternada V e frequência ${\omega }_s=2\pi f_s$, e uma carga resistiva $R$. Associando L e C em paralelo (chamado de circuito tanque), e ligando como na Figura 1, o tanque LC se comporta como um filtro passivo rejeita-banda (band-stop). Ou seja, um filtro que bloqueia a transferência de energia da fonte para a carga $R$ em uma determinada faixa de frequências ${\omega }_s$ da tensão alternada, minimizando a corrente elétrica. Este comportamento pode ser obtido analisando-se as impedâncias de LC ($Z_{LC}$), da fonte ($Z_s$) e da carga ($Z_R$). Para LC em paralelo [¹⁴, ¹⁵, ¹⁷, ¹⁶]

(1) $$\begin{array}{ll}{Z}_{LC}\hfill & =\frac{Z_L\cdot Z_C}{Z_L+Z_C}=\frac{\left(R_L+j\omega L\right)\cdot \left(1/\left(j\omega C\right)\right)}{\left(R_L+j\omega L\right)+\left(1/\left(j\omega C\right)\right)}\hfill \\ \hfill & =\frac{R_L+j\omega L}{1-{\omega }^{2}LC+j\omega R_{L}C},\hfill \end{array}$$

Figura 1
Configuração de filtro rejeita-banda, com uma fonte de alternada $V$ e resistência interna $R_s$, o tanque LC e a carga $R$.

onde $R_L$ é a resistência interna do indutor $L$ e $j$ é o número imaginário. O módulo da impedância $\left|Z_{LC}\left(\omega \right)\right|$ é máximo quando $\omega ={\omega }_r=1/\sqrt{LC}$, a frequência de ressonância.

A Equação 1 descreve a impedância complexa da associação em paralelo do capacitor $C$ e do indutor $L$, e carrega a mesma estrutura algébrica da associação de resistores em paralelo. Contudo, enquanto a resistência equivalente em corrente contínua é sempre reduzida pela adição de mais resistores em paralelo, a impedância $Z_{LC}$ exibe um comportamento singular (na ressonância) devido ao seu caráter complexo. Para baixas frequências ($\omega \to 0$), os termos contendo $\omega$ tendem a zero e a impedância é aproximadamente igual à resistência interna do indutor. Para frequências altas ($\omega \to \infty$), o termo ${\omega }^2$ no denominador cresce mais rapidamente que os demais e a impedância vai a zero, enquanto na ressonância ($\omega ={\omega }_r$), a impedância é $Z_{LC}=\left(R_L+j{\omega }_{r}L\right)/\left(j{\omega }_r{R}_{L}C\right)\approx L/\left(R_{L}C\right)$, o seu valor máximo.

A impedância total do sistema é dada por

(2) $$Z_{total}=Z_s+Z_R+Z_{LC}\left(\omega \right)=R_s+R+Z_{LC}\left(\omega \right),$$

onde $R_s$ é a resistência da fonte (supondo as impedâncias da fonte e da carga como puramente resistivas). Assim, temos que a corrente RMS ($I_{RMS}$) deve ser inversamente proporcional ao módulo da impedância total e então $I_{RMS}=\frac{V_{RMS}}{\left|Z_{total}\right|}$. Já a potência RMS dissipada na carga é $P=R\cdot I_{RMS}^2$ que, portanto, é mínima na frequência de ressonância. Vale lembrar que as análises aqui apresentadas consideram $R_L$ pequeno em relação às demais resistências e reatâncias. Para indutores com grandes resistências internas a frequência de ressonância pode ser deslocada [¹⁵, ¹⁴, ¹⁷, ¹⁶].

Outra forma de verificarmos que a potência deve ter um ponto extremo é analisando os limites em que $\omega$ assume o valor nulo (tensão contínua na fonte) e valores muito altos. Para tensão contínua ($\omega =0$), após um transiente, o indutor se comporta como um resistor de resistência $R_L$ enquanto o capacitor não conduz. A resistência total é $R_t=R_s+R_L+R$ e a corrente $I=V/R_t$. Para frequências altas, a impedância do indutor (que cresce com a frequências) é alta, enquanto que a impedância do capacitor (que decresce com o inverso de $\omega$) vai a zero. A corrente então tende a $I=V/\left(R_s+R\right)$. Para $\omega ={\omega }_r$, $\left|Z_{LC}\right|\left({\omega }_r\right)\approx 1/R_L>>R_L$ para $R_L$ é pequeno ($R_L<<1$). Dessa forma, como $\left|R_s+Z_{LC}+R\right|>>R_s+R_L+R$, a corrente é mínima.

Na Figura 2 temos uma simulação para o circuito da Figura 1 em que $R_s=R=50\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{2,65}mH$ e $C=\mathrm{1,6}\mu F$ onde são apresentadas as perdas de inserção (insertion loss) $S_{21}$ e de retorno (return loss) $S_{11}$ realizada pelo site da referência [¹⁸]. $S_{21}$ e $S_{11}$ são definidas como

(3) $$\begin{array}{c}\hfill S_{21}\left(dB\right)=10lo{g}_{10}\left(\frac{P_T}{P_I}\right),\\ \hfill S_{11}\left(dB\right)=10lo{g}_{10}\left(\frac{P_R}{P_I}\right),\end{array}$$

Figura 2
Gráfico das perdas de inserção $S_{21}$ e retorno $S_{11}$ em função da frequência da fonte (onda senoidal) para o circuito da Figura 1 em que $R_s=R=50\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{2,65}mH$ e $C=\mathrm{1,6}\mu F$. Figura obtida via simulação realizada na página da Ref. [¹⁸] com a ferramenta LC Filter Design Tool.

onde $P_I$ é a intensidade do sinal que chega no filtro LC, $P_T$ é a intensidade do sinal que atravessa o filtro e $P_R$ é a intensidade refletida.

A frequência do mínimo de transmissão ($S_{21}$) e máximo de reflexão ($S_{11}$) é dada em $f=f_r=1/\left(2\pi \sqrt{LC}\right)=2444Hz$.

Outra característica interessante deste filtro é a chamada largura de banda $\Delta f$ (bandwidth). Ela é definida, neste caso, como a diferença entre as frequências onde a intensidade cai em $-3dB$. Na Figura 2 isto ocorre em $f_1=2kHz$ e $f_2=3kHz$, ou seja, $\Delta f=1kHz$. Pode-se demonstrar que [¹⁵]

(4) $$\Delta f\approx \frac{1}{2\pi C\left(R_s+R\right)}.$$

Isto implica que a curva da corrente RMS em função da frequência da fonte deve apresentar uma região em torno do mínimo cuja largura varia com $1/C$, o que pode ser explorado neste sistema.

3. Aparato Experimental

Na Figura 3 apresentamos o diagrama esquemático do circuito utilizado neste estudo. Aqui o Arduino Nano gera pulsos PWM (sigla em inglês para Modulação por Largura de Pulso) via porta digital D9 para o pino gate de um mosfet IRLZ44N. Isto faz com que ele funcione como uma chave liga-desliga permitindo que a corrente circule de forma pulsada no ramo com o circuito RLC com a mesma frequência do PWM. Note que não temos uma fonte senoidal mas sim como onda quadrada. Dessa forma há forte geração de harmônicos (ímpares, no caso da onda quadrada) que, como veremos mais adiante, também levam à ressonância.

Figura 3
Diagrama esquemático do circuito com valores sugeridos dos componentes.

A escolha do mosfet é importante, pois a tensão de limiar no gate ($V_{GS}<2V$) deve ser baixa para que ele seja acionado corretamente. O resistor de $100\mathrm{\Omega }$ serve para proteger a porta do Arduino (limitando a corrente) e não deve ter valor muito elevado para não atrasar o acionamento do mosfet. Na porta A1 do Arduino ligamos o LDR via divisor de tensão. Neste caso, sem iluminação, o LDR assume valores elevados de resistência ($\approx 3M\mathrm{\Omega }$) e a tensão no pino A1 é aproximadamente zero. Com o LDR iluminado, sua resistência cai para centenas ou dezenas de ohms, e a tensão no pino A1 sobe para valores próximos a $5V$. A porta A1 serve como conversor analógico-digital, convertendo as tensões entre 0 e $5V$ para valores digitais entre 0 e 1023 (e depois novamente em tensão) que serão exibidos na saída serial, via cabo USB ligado ao Arduino, por exemplo.

Já no ramo do mosfet, temos um tanque LC em paralelo ligado em série com uma fonte de $6V$ (4 pilhas AA, por exemplo), um resistor $R$ e duas lâmpadas tipo pingo (cujas resistências variam de $10\mathrm{\Omega }$ (desligada) a $93\mathrm{\Omega }$ (corrente máxima). Nenhum dos valores dos componentes é crítico e servem apenas como referência. Para os componentes selecionados temos uma frequência de ressonância de $f_r=2444Hz$ e um brilho variando de alto (longe da ressonância) a quase nulo em $f_r$. O brilho variável representa o comportamento qualitativo do sistema.

O ponto chave nesta construção é o transdutor formado por uma das lâmpadas e o LDR. Na Figura 4 mostramos uma alternativa para montagem do sensor no qual a lâmpada e o LDR são colocados frente a frente e fixados juntos com espaguetes termo retráteis. Além da rigidez mecânica, a ideia é impedir que haja iluminação externa que perturbe as leituras da tensão no LDR. Assim, devido à inércia térmica do filamento da lâmpada temos um simples conversor RMS-CC, e seu brilho, que é proporcional à potência média, é lido pelo LDR e convertido para um sinal digital no Arduino. Uma visão geral do circuito montado em uma protoboard pode ser visto na Figura 5

Figura 4
Transdutor de corrente alternada, formado por uma lâmpada de filamento tipo pingo e um sensor LDR, unidos por espaguete termo retrátil.

Figura 5
Aparato experimental montado em protoboard. A fonte de alimentação não foi incluída para uma melhor visualização do restante do circuito.

Voltando a atenção para a programação do Arduino, temos duas partes principais no código (disponível como Material Suplementar). A primeira parte envolve a geração dos pulsos PWM com frequência variável. Neste caso, o timer1 do Arduino Nano [¹⁹] é configurado manualmente para o modo fast PWM mode que permite pulsos de frequência variável com ciclo de trabalho de $50\%$. Em suma, o método liga e desliga o pino D9 alternadamente, em intervalos de tempo iguais para a frequência estabelecida, gerando uma onda quadrada. Um laço faz a frequência do PWM variar em um intervalo e passo pré-definidos, a cada $\mathrm{0,5}s$. Este tempo de espera entre leituras é importante e pode depender do LDR utilizado. Isto ocorre pois o LDR tem um tempo de resposta para variações de luminosidade que depende do modelo e fabricante. A segunda parte do código envolve a leitura da tensão no LDR, com impressão do valor na saída serial, bem como a procura pelo menor valor de tensão (valor na ressonância). Outros detalhes e comentários podem ser vistos no próprio código.

Antes de analisarmos os resultados obtidos do experimento, alguns pontos sobre as não-linearidade envolvidas neste sistema precisam ser abordados. Observando a Figura 2, vemos a resposta do filtro $LC$ sob excitação senoidal ideal. Entretanto, o dispositivo aqui apresentado não gera ondas senoidais, o que precisa ser considerado na análise dos resultados. Primeiramente, a excitação via PWM e chaveamento por mosfet gera uma onda quadrada, a qual, pela análise de Fourier, contém o termo fundamental e uma série de harmônicos ímpares ($3f\mathrm{,5}f,\dots$). Isso leva à geração de mínimos secundários em submúltiplos da frequência de ressonância ($f_r/3$, por exemplo), onde o componente harmônico do sinal é filtrado pelo tanque $LC$. Além disso, a carga resistiva composta por lâmpadas incandescentes não é puramente ôhmica. Sua resistência aumenta com a temperatura do filamento, que por sua vez depende da corrente RMS. Essa característica altera o amortecimento do circuito em diferentes frequências, podendo causar um leve aumento da largura de banda ($\Delta f$) em comparação ao modelo linear. Por fim, a própria resposta do sensor LDR à luminosidade segue uma lei de potência [²⁰]. Contudo, como veremos a seguir, essas discrepâncias não descaracterizam o fenômeno da ressonância.

4. Resultados

Na Figura 6 temos a tensão no LDR em função da frequência do PWM para diferentes valores da capacitância $C$. As curvas foram obtidas das associações em série e paralelo de três capacitores de capacitâncias $C_1=C_2=\mathrm{1,6}\mu F$ e $C_3=\mathrm{0,9}\mu F$. Neste caso, $L=\mathrm{2,65}mH$ e $R=47\mathrm{\Omega }$, exceto para uma curva em que $R=22\mathrm{\Omega }$.

Figura 6
Tensão $V$ no LDR versus frequência $f$ para diferentes valores da capacitância $C$ para $L=\mathrm{2,65}mH$ e $R=47\mathrm{\Omega }$. Da esquerda para direita: $C=\mathrm{4,1}\mu F$ (linha contínua), $C=\mathrm{3,2}\mu F$ (linha tracejada), $C=\mathrm{2,7}\mu F$ (linha pontilhada), $C=\mathrm{1,6}\mu F$ (linha ponto-traço), $C=\mathrm{0,8}\mu F$ (círculos conectados) e $C=\mathrm{0,8}\mu F$ com $R=22\mathrm{\Omega }$ (cruzes conectadas).

Como havíamos previsto a partir da Equação 1, para altas e baixas frequências, a impedância deve ser baixa. Nas curvas da Figura 6 isto se reflete em valores mais altos da tensão no LDR. Temos este comportamento pois, em baixas impedâncias, o brilho da lâmpada no sensor é mais alto, a resistência do LDR cai e, na divisão de tensão com o resistor em série, a tensão aumenta. Ao mesmo tempo, as curvas apresentam um mínimo pronunciado na frequência de ressonância. A largura da concavidade das curvas varia com os diferentes valores da capacitância $C$ (como predito pela equação 4).

Ainda na Figura 6 podemos observar o aumento da frequência de ressonância (deslocamento do mínimo para direita) com a diminuição da capacitância, bem como o aumento da largura de banda. Para a capacitância $C=\mathrm{0,8}\mu F$, quando $R=47\mathrm{\Omega }$ a lâmpada fica com brilho muito fraco para uma faixa larga de frequências, dificultando a obtenção de $f_r$. Neste caso, a diminuição de $R$ aumenta o brilho e desloca a curva para tensões mais altas e a frequência de ressonância se torna mais evidente. Assim, dependendo das características dos componentes utilizados no circuito pode ser necessário testar um valor de $R$ mais conveniente, ou mesmo substituí-lo por um potenciômetro. Fazendo-se esta substituição pode-se também estudar o circuito com diferentes carga, explorando outras propriedades do sistema. Ainda sobre as curvas para $C=\mathrm{0,8}\mu F$, verifica-se um pequeno mínimo na frequência $f\approx 1139Hz$, que corresponde a aproximadamente $f_r/3$. Ou seja, para pulso PWM (onda quadrada) os harmônios ímpares são significativos e o tanque LC reage diminuindo a corrente. Portanto, em uma varredura extensa de frequências, ressonâncias (pequenos mínimos) em $f_r/3$, $f_r/5$ $f_r/7$ … podem ocorrer.

É importante indicarmos que para a obtenção dos dados de cada uma das curvas foram necessários 150 segundos de experimentação em um total de 15 minutos (6 curvas). Já no caso de um par aleatório de capacitor e indutor, para o qual o intervalo de frequências de interesse é desconhecido, o tempo pode ser maior. Em uma aula prática roteirizada, pode-se controlar o tempo de execução deste experimento com coletas de dados otimizadas.

Na Figura 7 exibimos a frequência de ressonância em função da capacitância e um ajuste pela curva $f_r=\left(\mathrm{2,941}\right)\cdot C^{\left(-\mathrm{0,504}\right)}$ (utilizando-se a ferramenta Grace no sistema operacional Linux). Lembrando que a dependência de $f_r$ com $C$ é dada por $f_r=1/\left(2\pi \sqrt{LC}\right)=\left(1/2\pi \sqrt{L}\right)\cdot C^{-1/2}$, temos uma boa concordância do expoente e da constante de proporcionalidade.

Figura 7
Frequência de ressonância $f_r$ em função da capacitância $C$. Dados experimentais (círculos) e ajuste (linha tracejada) com a função $f_r=\left(\mathrm{2,941}\right)\cdot C^{\left(-\mathrm{0,504}\right)}$. Aqui $L=\mathrm{2,65}mH$ e $R=47\mathrm{\Omega }$.

Já a Figura 8 mostra a largura de banda $\Delta f$ em função da capacitância $C$ e um ajuste pela curva $\Delta f=\left(\mathrm{9,57}\times {10}^{-4}\right)/C$ que, comparada com a equação 4, implica em uma resistência total de $166\mathrm{\Omega }$. Ou seja, uma resistência de aproximadamente $60\mathrm{\Omega }$ para cada lâmpada, o que é compatível com um filamento parcialmente aquecido. Todavia, percebe-se pelo gráfico que existe um desvio significativo da curva em relação aos dados experimentais. Isto ocorre pois a resistência da lâmpada não é constante.

Figura 8
Largura de banda $\Delta f$ em função da capacitância $C$. Dados experimentais (círculos) e ajuste (linha tracejada) com a curva $\Delta f=\left(\mathrm{9,57}\times {10}^{-4}\right)/C$. Aqui $L=\mathrm{2,65}mH$ e $R=47\mathrm{\Omega }$.

Por fim, faz-se necessário discutir brevemente as possíveis fontes de erro experimental na obtenção das grandezas de interesse. Além da resistência variável da lâmpada que impacta na obtenção da largura de banda temos ainda: a) Tempo de resposta do LDR, que varia de acordo com fabricante e modelo. Utilizamos 0,5 s entre medidas, o que foi suficiente para obter um valor estável de sua resistência. Outros LDRs podem necessitar de um ajuste neste tempo para melhores resultados. b) Inércia térmica da lâmpada, que também impacta no tempo de leitura. Em ambos os casos, um incremento no intervalo entre medidas mitiga os erros, mas pode aumentar o tempo de execução do experimento. c) Harmônicos na onda quadrada gerada pelo PWM interferem na profundidade do mínimo na ressonância, afetando a medida da largura de banda. d) No tanque $LC$, a resistência do indutor $R_L$ deve ser a menor possível. Como visto na seção 2, esta é condição para os cálculos apresentado. Resistências altas podem alargar a curva de ressonância. e) A tolerância dos componentes impacta nos resultados. Frequentemente vemos variações entre $5\%$ e $20\%$ em relação aos valores estampados nos componentes comerciais. Medir as resistências, capacitâncias e indutâncias ou adquirir componentes com tolerâncias menores reduz significativamente os erros nas medidas. f) É importante indicar que a tensão medida no LDR funciona como um indicador indireto do comportamento da corrente elétrica. Embora a concordância entre os dados experimentais e as previsões teóricas indique a coerência física do sistema, não foi realizada uma relação calibrada entre a tensão no LDR e a corrente RMS no circuito. Portanto, o método é adequado para a identificação da ressonância e análise de tendências funcionais, mas não deve ser caracterizado como metrológico, uma vez que não houve validação com instrumentos padrão de medição de corrente.

5. Conclusões e Considerações Finais

Este artigo apresentou o desenvolvimento, a construção e a validação de um aparato experimental de baixo custo, baseado na plataforma Arduino, para o estudo quantitativo e qualitativo da ressonância em circuitos RLC. A proposta inova ao dar foco didático (a) na configuração de filtro rejeita-banda (LC paralelo), que oferece um contraponto pedagógico ao RLC série por apresentar corrente mínima na ressonância, e (b) na implementação de um transdutor óptico (Lâmpada/LDR) para a medição da corrente RMS. Esta abordagem de medição oferece uma visualização qualitativa, concreta e imediata do fenômeno: o brilho da lâmpada, que é máximo longe da ressonância e diminui visivelmente até quase se apagar na frequência de ressonância $f_r$. Além disso, a inércia térmica do filamento atua como um conversor RMS-CC rudimentar, permitindo que a leitura da tensão no LDR forneça dados quantitativos. O sistema, que utiliza o Arduino simultaneamente como gerador de frequências e como sistema de aquisição, permitiu a obtenção das curvas de ressonância, nas quais a dependência da frequência de ressonância com a capacitância foi verificada. Além disso foi possível calcular a largura de banda ($\Delta f$) cujo comportamento é, qualitativamente, o esperado, caindo aproximadamente com inverso da capacitância.

Tratando-se do contexto educacional, dada a natureza qualitativa e quantitativa do experimento, sua aplicação é pertinente em disciplinas práticas em Eletromagnetismo no ensino superior ou em cursos técnicos de eletrônica e automação. Em sua utilização, pode-se propor a condução em duas etapas: primeiramente, uma abordagem qualitativa tipo hands-on, onde o estudante monta o experimento um uma protoboard e observa o comportamento do brilho da lâmpada para diferentes frequências. O apagar da lâmpada na ressonância serve como uma evidência fenomenológica de que o circuito tanque está bloqueando a passagem de corrente, tornando concretos os conceitos estudados. Esta pode ser uma etapa desafiadora, caso os alunos não possuam prática na montagem de circuitos. Como alternativa, para o circuito já parcialmente montado, pode-se focar na parte computacional, na conexão do Arduino, na programação e na aquisição de dados. Em uma segunda etapa, o foco desloca-se para a análise de dados, onde os alunos devem obter a curva de ressonância e investigar como a variação da capacitância desloca o mínimo de corrente. Essa prática desenvolve a capacidade de modelagem matemática de fenômenos físicos, o entendimento das limitações do experimento e a compreensão acerca de sinais não-senoidais (presença de harmônicos no PWM). Particularmente os dados da Figura 7 podem ser tratados pelos métodos usuais de linearização e regressão linear, típicos das aulas de Laboratório de Física. Além disso, a discussão sobre a largura de banda ($\Delta f$) e a seletividade do filtro pode ser conectada com aplicações tecnológicas reais, como a sintonia de rádio e sistemas de filtragem de sinais, integrando teoria e experimentação de forma contextualizada.

Agradecimentos

O autor agradece à Universidade Federal de Santa Catarina e ao Mestrado Profissional em Ensino de Física – Sociedade Brasileira de Física pelo apoio para realização deste trabalho.

Material Suplementar

O seguinte material suplementar está disponível online:

Programa para Arduino.

Disponibilidade de Dados

Todo o conjunto de dados que dá suporte aos resultados deste estudo foi publicado no próprio artigo.

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Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  06 Mar 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  06 Nov 2025
• Revisado
  05 Fev 2026
• Aceito
  06 Fev 2026