Modelagem em Python do trânsito de um planeta em frente a uma estrela com manchas: um estudo aplicado a KEPLER-423

Python Modeling of a Planetary Transit Across a Spotted Star: A Case Study on KEPLER-423

Resumo

Desde a descoberta inicial de exoplanetas (planetas fora do Sistema Solar) nos anos 1990 e da primeira detecção de um trânsito planetário em 2000, a técnica de trânsito tem sido amplamente utilizada para identificar e caracterizar planetas extrassolares. Telescópios espaciais como o Kepler e o TESS permitiram avanços no estudo dos exoplanetas. Um trânsito ocorre quando um planeta passa em frente à sua estrela hospedeira, causando pequenas diminuições periódicas na luminosidade desta. A análise de trânsitos possibilita a determinação de parâmetros fundamentais do planeta, como raio, inclinação orbital e semieixo maior de sua órbita. Caso o planeta oculte também uma região ativa com manchas na superfície da estrela, provocará diminutos sinais adicionais na curva de luz do trânsito. Neste trabalho, foi desenvolvido um conjunto de scripts em Python Notebooks, com o objetivo de modelar as variações nas curvas de luz estelar resultantes da presença de regiões ativas na superfície da estrela. O estudo do presente projeto foi aplicado à Estrela Kepler-423, considerada uma estrela do tipo solar com grande atividade. Este método permite caracterizar manchas e fáculas em termos de seu raio, intensidade e localização na superfície estelar, fornecendo uma descrição detalhada da atividade estelar. Além disso, aprimora significativamente a precisão dos parâmetros planetários e orbitais, refinando nosso entendimento das interações entre o planeta e sua estrela hospedeira.

Palavras-chave:
Exoplanetas; Curvas de luz; Python; Atividade estelar; Manchas estelares

Abstract

Since the initial discovery of exoplanets (planets outside the Solar System) in the 1990s and the first detection of a planetary transit in 2000, the transit technique has been widely used to identify and characterize extrasolar planets. Space telescopes such as Kepler and TESS have enabled advances in the study of exoplanets. A transit occurs when a planet passes in front of its host star, causing a small, temporary dip in its brightness; these events occur periodically. Transit analysis allows for the determination of fundamental planetary parameters, such as radius, orbital inclination, and the semi-major axis of its orbit. If the planet also occults an active region with spots on the star’s surface, it causes minute additional signals in the transit light curve. In this work, a set of scripts in Python notebooks was developed with the objective of modeling the variations in stellar light curves resulting from the presence of active regions on the star’s surface. This study was applied to the star Kepler-423, considered a highly active solar-type star. This method allows for the characterization of spots and faculae in terms of their radii, intensity, and location on the stellar surface, providing a detailed description of the stellar activity. Furthermore, it improves significantly the precision of planetary and orbital parameters, refining our understanding of the interactions between the planet and its host star.

Keywords:
Exoplanets; Light curves; Python; Stellar activity; Starspots

1. Introdução

Um trânsito planetário ocorre quando um planeta passa diretamente em frente à sua estrela hospedeira, visto da perspectiva de um observador, bloqueando uma pequena fração da luz estelar, que pode ser detectada na sua curva de luz. Ao analisar os trânsitos na curva de luz de uma estrela hospedeira de um exoplaneta, é possível inferir diversos parâmetros fundamentais do planeta com alta precisão.

Este trabalho dá continuidade a esforços anteriores de modelagem de manchas estelares com base em trânsitos planetários, como o realizado por [¹] com a estrela Kepler-289. Em [¹], as curvas de luz foram analisadas com o objetivo de identificar sinais de manchas estelares ocultadas durante o trânsito do planeta Kepler-289 d, com estimativas dos parâmetros físicos das manchas (tamanho, intensidade, temperatura e localização) e determinação da rotação estelar média. No presente trabalho, ampliamos a abordagem anterior com o uso de um novo conjunto de códigos desenvolvidos em Python, denominado ECLIPSE, que além de reproduzir o modelo das manchas, incorpora um algoritmo de amostragem MCMC para o ajuste simultâneo dos parâmetros do sistema estelar, planetário e das regiões ativas. Essa nova ferramenta permite uma modelagem mais robusta e estatisticamente fundamentada das curvas de luz, incluindo a caracterização de manchas e fáculas, além de considerar variações induzidas por exoluas. Com isso, o presente estudo aprimora a precisão dos parâmetros extraídos e oferece uma plataforma mais flexível para aplicações futuras em diferentes sistemas planetários.

1.1. Atividade solar e regiões ativas

Assim como o Sol [²], a estrela hospedeira pode apresentar regiões ativas em sua superfície, como manchas estelares e fáculas, que afetam a luminosidade registrada durante o trânsito do exoplaneta. Quando o planeta transita em frente a uma região ativa, ocorre uma alteração no perfil da curva de luz, que pode ser interpretada erroneamente como uma variação no tamanho do planeta [³].

As manchas estelares, assim como suas contrapartidas solares, como visto no painel direito da Figura 1, são regiões escuras, enquanto as fáculas, representadas pelo painel esquerdo da Figura 1 são áreas mais quentes e brilhantes ao redor das manchas [⁴]. Manchas escuras na superfície do Sol são causadas por campos magnéticos intensos que inibem o movimento convectivo do plasma solar e resultam em áreas de menor temperatura. Como a temperatura da região da mancha é menor que a temperatura da fotosfera solar, sua aparência é vista de forma mais escura em comparação ao restante da estrela [²].

Figura 1
Painel esquerdo: Imagem do Sol com manchas escuras em sua superfície [⁵]. Painel direito: Imagem do Sol com manchas escuras e as fáculas (ou plages) que são as regiões brilhantes em sua superfície [⁶]. Os dois painéis são coloridos artificialmente para melhor compreensão e visualização das regiões.

No caso do Sol, as fáculas são mais facilmente visíveis nas proximidades do limbo, onde o contraste com o restante da superfície solar é mais acentuado. As fáculas aparecem em conjunto com manchas solares e, ao contrário destas, são mais quentes do que as áreas circundantes, contribuindo para um aumento no brilho total da estrela [²].

Se o planeta oculta uma mancha escura, a diminuição da luminosidade durante o trânsito será menor do que o esperado, pois a região já é intrinsecamente menos brilhante. Por outro lado, se o trânsito ocorre sobre uma fácula, o oposto acontece, resultando em uma diminuição aparente maior da luz estelar [⁷].

Essas variações podem levar a erros na determinação de parâmetros planetários, como o raio planetário, o semieixo e a inclinação orbital, além de introduzir incertezas na caracterização da atmosfera do exoplaneta em estudos espectroscópicos [⁸]. Portanto, é essencial utilizar técnicas de análise e modelagem dessas manchas estelares para estimar com maior precisão as características dos exoplanetas, levando-se em conta as alterações na curva de luz provocadas pela atividade da estrela.

1.2. Exoplanetas

Desde a década de 1990, a busca por exoplanetas revelou a existência de mais de 6.200 planetas confirmados, dos quais cerca de 4623 (aproximadamente 74%) foram detectados pelo método de trânsito¹. Missões como a do satélite Kepler [⁹], lançado pela NASA em 2009, foram revolucionárias, confirmando milhares de exoplanetas e deixando um legado de milhares de outros candidatos a serem investigados².

A descoberta de exoplanetas impulsiona áreas fundamentais da astrofísica, como a busca por análogos da Terra e a investigação sobre a possibilidade de vida no Universo. Embora os métodos observacionais estejam em constante aprimoramento, a melhoria contínua das técnicas de análise de dados é necessária. Um tratamento mais apurado dos resultados observacionais permite que os parâmetros do planeta e de seu sistema sejam determinados com precisão cada vez maior.

Nesse contexto, muitos telescópios espaciais têm como missão primária a descoberta de exoplanetas com características semelhantes às da Terra: planetas rochosos localizados na zona habitável, onde pode existir água líquida. A identificação desses alvos prioritários impulsiona estudos sobre formação planetária e a busca por bioassinaturas fora do nosso Sistema Solar.

1.2.1. Principais Tipos de Exoplanetas

A vasta população de exoplanetas descobertos revela uma diversidade muito maior do que a encontrada em nosso Sistema Solar. De acordo com Exoplanets Handbook, de Perryman [¹⁰], eles podem ser amplamente classificados em:

Gigantes Gasosos: Planetas com massa comparável ou superior à de Júpiter, compostos primariamente de hidrogênio e hélio. Uma subclasse notável são os Jupíteres Quentes (Hot Jupiters), gigantes gasosos que orbitam extremamente perto de suas estrelas hospedeiras, com períodos orbitais de apenas alguns dias.

Netunianos (ou Gigantes de Gelo): Planetas com tamanho e massa semelhantes a Urano e Netuno. Possuem um núcleo sólido envolto por uma atmosfera densa, rica em água, amônia e metano.

MiniNetunos: Uma classe de planetas que não existe em nosso Sistema Solar, com massa entre 10 vezes a da Terra e a de Netuno. Embora sua composição seja incerta, acredita-se que possuam uma atmosfera gasosa extensa.

Superterras: Também uma classe de planetas que não existe em nosso Sistema Solar, com massa entre 1 a 10 vezes a da Terra. Podem ser mundos rochosos ou cobertos por oceanos, e sua composição exata é um dos grandes focos de pesquisa atual.

Planetas Telúricos (ou Rochosos): Planetas com tamanho e massa comparáveis aos da Terra, compostos principalmente por rochas e metais. A busca se concentra em encontrar planetas telúricos dentro da zona habitável de suas estrelas.

1.3. Método de detecção de trânsito planetário

Um trânsito planetário acontece quando um exoplaneta cruza a linha de visada entre sua estrela hospedeira e o observador, ocultando uma fração da luz estelar. O método consiste em detectar a pequena diminuição temporária no brilho aparente de uma estrela, causada pela passagem de um exoplaneta em frente ao seu disco (Figura 2). A observação periódica dessas quedas de brilho, que na maioria dos casos são menores que 1%, confirma a presença de um corpo em órbita e permite a detecção de exoplanetas de diversos tamanhos, desde gigantes gasosos como Júpiter até planetas menores que a Terra.

Figura 2
Esquema de um trânsito planetário mostrando a queda no brilho da estrela durante o trânsito.

A profundidade e a duração do trânsito dependem de vários fatores, como o tamanho relativo do planeta em comparação com a estrela, a inclinação orbital e a velocidade com que o planeta orbita. A análise dessas curvas de luz permite determinar características importantes do planeta, como seu raio, período orbital, semieixo maior e inclinação da órbita. Em alguns casos, é possível inferir informações adicionais, como a composição da atmosfera do planeta, utilizando espectroscopia durante o trânsito. Essa técnica tem sido amplamente utilizada em missões como Kepler [⁹] e TESS [¹¹], tornando-se uma das ferramentas mais eficazes na descoberta e caracterização de exoplanetas, possibilitando comparações com planetas do Sistema Solar e auxiliando na identificação de mundos potencialmente habitáveis [¹⁰].

A presença de manchas ou fáculas na superfície da estrela pode dificultar a determinação dos parâmetros do planeta por interferirem na forma da curva de luz da estrela [⁸]. Portanto, ao estudar uma estrela, é necessário considerar que sua superfície pode apresentar regiões ativas, compostas por manchas e fáculas.

Neste trabalho, utilizamos a modelagem computacional para estudar a influência da atividade estelar nas curvas de luz de trânsitos exoplanetários, aplicando o método à estrela Kepler-423. A Seção 2 apresenta o script ECLIPSE, desenvolvido em Python para simulação de trânsitos, incluindo a configuração do planeta e da estrela, bem como a inclusão de regiões ativas na superfície estelar. Na Seção 3, discutimos os efeitos da atividade estelar, por meio da inserção de manchas e fáculas, e também consideramos a possível presença de exoluas como fontes adicionais de modulação nas curvas de luz. A Seção 4 introduz a implementação de um algoritmo MCMC (Markov Chain Monte Carlo) como ferramenta de ajuste dos parâmetros do modelo às observações, detalhando sua integração ao código ECLIPSE. Por fim, na Seção 5, apresentamos as principais conclusões do estudo e discutimos suas implicações para a interpretação de trânsitos em estrelas ativas, assim como para o planejamento de futuras observações e modelagens de exoplanetas.

2. Apresentação do Script ECLIPSE

O script³ECLIPSE⁴ foi desenvolvido em Python [¹²] a partir do código original em IDL proposto pela primeira vez por Adriana Valio em [³]. O objetivo do código é modelar curvas de luz estelares durante trânsitos planetários. O script permite que a estrela, o planeta e possíveis luas sejam configurados pelo usuário como entradas (inputs), proporcionando flexibilidade para a modelagem de sistemas variados.

Inicialmente, o ECLIPSE gera um modelo de trânsito que serve como um “chute inicial” para a análise dos dados observacionais fornecidos por satélites como Kepler e TESS. Com base nesse modelo, o script implementa um algoritmo de MCMC (Markov Chain Monte Carlo) [¹³], que ajusta iterativamente os parâmetros do sistema aos trânsitos observados nas curvas de luz. Durante esse processo, são realizadas correções sucessivas nos parâmetros iniciais até que as variações em relação ao modelo gerado sejam minimizadas, garantindo uma correspondência mais precisa entre os dados observados e o modelo final.

O usuário pode usar o arquivo main-mcmc.ipynb para rodar o script em blocos, contendo os seguintes passos:

1. Criação da matriz da estrela:

   • Definição do tamanho da matriz da estrela: Por padrão, a matriz estrela é definida com 856 x 856 pixels. Este valor, no entanto, pode ser alterado pelo usuário a qualquer momento, visando maior precisão ou uma resolução de cálculo diferente.

   • Coeficientes de escurecimento de limbo.

   • Adição de manchas na estrela (não obrigatório).

   • Adição de fáculas na estrela (não obrigatório).

2. Criação do planeta e sua órbita:

   • Raio do planeta;

   • Período orbital;

   • Semieixo maior da órbita;

   • Ângulo de inclinação da órbita;

   • Adição de luas do planeta (não obrigatório).

3. Download da curva de luz da estrela selecionada através da biblioteca Lightkurve[¹⁴] ou através da leitura de dados no formato .csv ⁵ adicionados pelo usuário.

4. Ajuste dos parâmetros usando o algoritmo MCMC.

De acordo com Claret [¹⁵], o escurecimento de limbo (limb darkening) é o efeito que torna as bordas de uma estrela menos brilhantes que seu centro. Para quantificar este fenômeno no modelo, adotou-se a lei de escurecimento quadrática, que depende de dois coeficientes, $u_1$ e $u_2$. Os valores desses coeficientes não são universais; eles dependem fortemente das propriedades físicas da atmosfera da estrela (como sua temperatura, gravidade superficial e metalicidade), que estão diretamente relacionadas ao seu tipo espectral, e também do comprimento de onda em que a observação é feita.

Como este trabalho utiliza dados de luz visível coletados pelo telescópio espacial Kepler [⁹], que possui uma banda larga cobrindo o intervalo de 420 nm a 900 nm, os valores iniciais para os coeficientes ($u_1$ e $u_2$, apresentados na Tabela 1), assim como os outros parâmetros da estrela Kepler-423 e planeta Kepler-423 b, foram extraídos do catálogo Exoplanet.eu [¹⁶]. O catálogo fornece valores teóricos pré-calculados a partir de modelos de atmosferas estelares (como os de [¹⁵]) que são específicos para a banda passante do Kepler e para o tipo espectral da estrela analisada.

Tabela 1
Parâmetros da estrela Kepler-423 e do planeta Kepler-423 b [¹⁶].

Estrela Kepler-423
Raio (R⊙)	0,95
$u_1$	0,4650
$u_2$	0,1518
Planeta Kepler-423 b
Raio (RJup)	1,192
Período orbital (dias)	2,6843285
semieixo maior (UA)	0,03585
Inclinação (∘)	88,97

Os coeficientes de escurecimento de limbo descrevem como o brilho de uma estrela diminui gradualmente de seu centro em direção às bordas (o limbo). Esse efeito ocorre porque, ao observar o centro do disco estelar, estamos vendo camadas mais profundas e quentes da fotosfera estelar, enquanto no limbo vemos camadas mais externas e frias da fotosfera.

Para modelar essa variação no brilho estelar, emprega-se a lei de escurecimento de limbo [¹⁵], que descreve a dependência da intensidade do brilho, $I\left(\mu \right)$, em função da posição na superfície da estrela. O parâmetro $\mu$ é definido como $\mu =\cos \left(\theta \right)$, onde $\theta$ representa o ângulo entre a normal à superfície estelar em um determinado ponto e a linha de visada do observador. Esse formalismo permite caracterizar como a intensidade da radiação varia do centro do disco estelar até sua borda aparente.

A equação quadrática para o escurecimento de limbo é escrita como na Equação (1), introduzida por Kopal [¹⁷]:

(1) $$I\left(\mu \right)=I_0\left[1-u_1\left(1-\mu \right)-u_2{\left(1-\mu \right)}^2\right],$$

onde $I\left(\mu \right)$ é a intensidade da luz em função do ângulo de visão, $I_0$ a intensidade no centro do disco estelar, e $u_1$ e $u_2$ são os coeficientes de escurecimento de limbo. Essa forma quadrática permite uma melhor descrição do gradiente de intensidade para diferentes tipos de estrelas. Ela é amplamente usada em modelagem de trânsitos planetários e estudos de atmosferas estelares. O método de trânsito e seus parâmetros, incluindo o escurecimento de limbo, são detalhadamente descritos em manuais de referência como o The Exoplanets Handbook [¹⁰].

Para que a lei quadrática de escurecimento de limbo seja fisicamente válida, a intensidade $I\left(\mu \right)$ deve ser positiva e decrescer monotonicamente do centro da estrela ($\mu =1$) para a borda ($\mu =0$). Conforme demonstrado por Kopal [¹⁷] e Claret [¹⁵], essas condições físicas impõem um conjunto de restrições, ou “condições de contorno”, sobre os coeficientes $u_1$ e $u_2$.

No total, temos três condições que os coeficientes devem satisfazer simultaneamente para evitar resultados não-físicos, como intensidades negativas ou abrilhantamento de limbo (para observações no visível) conforme as condições demonstradas a seguir: [¹⁸]

(2) $$\begin{array}{c}{u}_1+u_2<1,\\ u_1>0,\\ u_1+2u_2>0.\end{array}$$

Dessa forma, a preocupação sobre a equação resultar em valores negativos é tratada garantindo que os coeficientes utilizados no modelo (e explorados durante o ajuste com MCMC) operem dentro desses limites físicos estabelecidos.

O algoritmo Markov Chain Monte Carlo (MCMC) é utilizado no script ECLIPSE para realizar cálculos estatísticos (Estatística Bayesiana) com base em uma curva de luz de trânsito, ajustando assim um determinado modelo ao definir o intervalo de valores mais prováveis para cada parâmetro de construção. Usando o modelo como base, o algoritmo realiza diversas combinações de parâmetros no modelo inicial gerado, até encontrar aquele com o menor erro em relação à curva de luz observada. O objetivo é analisar os pontos da curva de luz pela regra da marginalização e obter uma distribuição normal ou Gaussiana. Ao encontrar a curva de luz que apresenta o melhor ajuste, os parâmetros do planeta, manchas, fáculas, ou luas são estimados com maior precisão.

Na Seção 3, será exemplificado um passo a passo, utilizando a estrela Kepler-423 como base para a criação de um modelo com manchas, planeta e, por fim, a análise de sua curva de luz e ajuste de dados utilizando o algoritmo MCMC. Kepler-423 é uma estrela análoga ao Sol, localizada na constelação de Lyra, e foi identificada como hospedeira de um exoplaneta em trânsito pelo telescópio espacial Kepler. O sistema abriga Kepler-423 b, um planeta do tipo Júpiter quente, que orbita sua estrela com um período de aproximadamente 2,7 dias [¹⁹].

2.1. O script ECLIPSE como ferramenta de suporte ao ensino

O código ECLIPSE foi desenvolvido não apenas como uma ferramenta de pesquisa, mas também com um forte potencial de apoio ao ensino de astrofísica e computação científica. Por ser uma ferramenta gratuita, de livre acesso e com tutoriais integrados, O código serve como uma ponte acessível para que estudantes de graduação e pesquisadores iniciantes possam aprofundar seus conhecimentos em ciência planetária. O script permite uma exploração interativa do método de trânsito, conectando a teoria à prática. Para ilustrar seu potencial, propõe-se a seguinte atividade didática que pode ser aplicada em sala de aula ou em projetos de iniciação científica.

2.1.1. Objetivos Pedagógicos

• Compreender visualmente o método de trânsito planetário, conectando o evento físico (passagem do planeta) com sua representação gráfica (a curva de luz).

• Investigar qualitativamente como os parâmetros de um exoplaneta (raio, inclinação orbital) e de uma estrela (manchas) alteram o formato da curva de luz.

• Introduzir os estudantes à modelagem computacional e à análise de dados em astrofísica, utilizando uma ferramenta em Python.

2.1.2. Público-Alvo

Estudantes de graduação em cursos de Física, Astronomia, Engenharia Física ou áreas afins.

2.1.3. Passo a Passo da Atividade

1. Primeiro Contato e Geração do Modelo Base: Os alunos instalam o ambiente e executam o notebook principal (first-steps.ipynb). Seguindo os tutoriais, utilizam os parâmetros de um sistema real (ex: Kepler-423) para gerar o primeiro modelo visual da estrela e do planeta, junto com a curva de luz de um trânsito ideal (sem manchas).

2. Explorando o Impacto dos Parâmetros Planetários: De forma interativa, os alunos são instruídos a modificar parâmetros-chave do planeta, como o raio, semieixo e o ângulo de inclinação orbital. A cada alteração, eles geram um novo gráfico e observam diretamente como a profundidade e a duração do trânsito na curva de luz são afetadas.

3. Investigando a Atividade Estelar: Os alunos adicionam uma mancha estelar ao modelo. Podem variar seu tamanho e posição para observar o “bump” característico que aparece na curva de luz quando o planeta transita sobre a região mais escura.

4. Análise de Dados Reais (Avançado): Como passo avançado, os alunos podem tentar ajustar manualmente os parâmetros do seu modelo para que a curva de luz simulada se aproxime de uma curva de luz real (ex: do TESS), desenvolvendo uma intuição sobre o processo de ajuste de dados (fitting).

2.1.4. Vantagens da Ferramenta no Ensino

• Visual e Intuitivo: Conecta o gráfico abstrato da curva de luz ao fenômeno físico através de modelos visuais e animações.

• Acessibilidade: Sendo de código aberto e gratuito (Python/Jupyter), remove barreiras financeiras, enquanto os tutoriais integrados facilitam o primeiro contato.

• Metodologia Hands-on: Transforma o aluno em um agente ativo que cria e testa seus próprios sistemas planetários, estimulando o pensamento científico.

• Divulgação Científica: Simplifica um tópico complexo, tornando a pesquisa em exoplanetas mais palpável e acessível, cumprindo um papel de disseminação do conhecimento.

3. Modelando Interferências na Curva de Luz

A ocorrência de possíveis eventos durante um trânsito planetário são modelados com o objetivo de analisar seus efeitos na forma da curva de luz. Inicialmente, são introduzidas manchas ou fáculas estelares para investigar como a presença dessas regiões ativas na superfície da estrela influencia a curva de luz ao longo do trânsito do planeta. Em seguida, o efeito da presença de uma lua em órbita ao redor do planeta é explorado, avaliando possíveis assinaturas observáveis na curva de luz resultante. Para fins educacionais, as simulações serão conduzidas utilizando o script first-steps.ipypnb, que foi desenvolvido para ilustrar, de forma modular e segmentada, a construção da curva de luz, permitindo uma análise detalhada de cada componente envolvido no modelo.

3.1. Kepler-423

Kepler-423 é uma estrela do tipo espectral G5, o que a classifica como uma estrela análoga ao Sol (tipo solar). Esta estrela possui massa muito parecida com a do Sol (aproximadamente 1,03 $M_{\odot }$), mas é consideravelmente maior, com um raio cerca de 1,64 vezes o raio solar. Uma de suas características mais notáveis é sua idade avançada, estimada em cerca de 10,4 bilhões de anos (mais do que o dobro da idade do nosso Sol). Com uma temperatura superficial de aproximadamente 5.550 K, ela é um pouco mais fria que o Sol e está localizada a uma grande distância, a cerca de 2.635 anos-luz da Terra [²⁰].

A estrela Kepler-423 foi escolhida para demonstrar o funcionamento do script ECLIPSE e seus dados, listados na Tabela 1, foram utilizados como entrada no script. A escolha se justifica pela presença do planeta Kepler-423 b, que apresenta uma curta periodicidade orbital de aproximadamente 2,6843285 dias. Isso resulta em uma grande quantidade de trânsitos observáveis em um curto intervalo de tempo, o que é extremamente vantajoso para testar e validar simulações de trânsitos planetários. A alta frequência de trânsitos permite uma análise estatística mais robusta e facilita a verificação do desempenho do modelo computacional desenvolvido.

3.2. Adicionando manchas e fáculas

Ao se adicionar manchas na estrela do modelo, é necessário escolher seus parâmetros iniciais, como: localização (latitude e longitude), raio (em relação ao raio da estrela) e intensidade. Note que a intensidade da mancha deve ser sempre menor que 1 (já que é sempre mais escura que a intensidade máxima da estrela, como visto na Seção 1.1). Para este exemplo, adicionamos manchas cujos parâmetros físicos são listados na Tabela 2. Nota-se que a latitude da mancha (e posteriormente da fácula) é calculada de modo que esteja alinhada com a projeção do trânsito do planeta na estrela [²¹], cuja latitude, $la{t}_{\text{tran}}$, depende dos parâmetros orbitais do sistema, de acordo com a Equação (3):

Tabela 2
Parâmetros de uma mancha genérica.

Mancha genérica	Valores
Raio ($R_{\ast }$)	0,05
Intensidade ($I_0$)	0,5
Latitude (∘)	−8,227
Longitude (∘)	10

(3) $$la{t}_{\text{tran}}=-\arcsin \left(\frac{a\cdot \cos \left(i\right)}{R_{\ast }}\right),$$

onde $a$ é o semieixo e $i$ o ângulo de inclinação da órbita do planeta, e $R_{\ast }$ o raio da estrela. O sinal negativo atribuído à latitude é uma convenção arbitrária adotada para representar o trânsito no hemisfério sul da estrela, uma vez que, a partir das observações fotométricas, não é possível distinguir se o trânsito ocorre no hemisfério norte ou sul da superfície estelar.

Já a longitude, long, da mancha cria um sinal no trânsito no tempo $t_{\text{s}}$ (em horas) em relação ao centro do trânsito [²²], e pode ser calculada pela Equação (4):

(4) $$long=\arcsin \left[\frac{a\cdot \cos \left({90}^{\circ }-\frac{{360}^{\circ }{t}_{\text{s}}}{24P_{\text{orb}}}\right)}{R_{\ast }\cdot \cos \left(la{t}_{\text{tran}}\right)}\right],$$

onde $P_{\text{orb}}$ é o período orbital em dias.

Como representado na Figura 3, a matriz da estrela agora conta com uma região circular mais escura na posição determinada, representando a mancha (em laranja). Quando o planeta (disco preto) transita em frente à mancha, observamos uma leve “subida” no fluxo, já que o planeta está cobrindo uma região mais escura que o resto da superfície.

Figura 3
Painel superior: Representação visual da matriz 2D da estrela sendo transitada por seu planeta (círculo preto) e possuindo uma mancha em sua superfície (círculo alaranjado). Painel inferior: Curva de luz da estrela Kepler-423 com o trânsito do planeta Kepler-423 b. A variação da curva de luz observada no tempo de +0,3 h foi causada pela passagem do planeta em frente à mancha. Gerado através do script main-first-steps.ipynb.

Além das manchas, a superfície estelar também pode apresentar fáculas, regiões brilhantes na fotosfera de uma estrela. Para configurar fáculas no código ECLIPSE, podem-se utilizar parâmetros semelhantes aos das manchas, entretanto, com a configuração de intensidade de valor maior que 1, já que seu brilho ultrapassa a intensidade máxima da estrela (como visto na Seção 1.1). A Tabela 3 apresenta um exemplo dos parâmetros utilizados para a modelagem de uma fácula, enquanto a Figura 4 representa a matriz da estrela, onde a fácula é adicionada e representada de forma mais “brilhante”, já que seu brilho é maior que o brilho da estrela. Dessa forma, para efeito de apresentação visual, temos a matriz da estrela com a coloração mais escura, a fim de facilitar a visualização da fácula adicionada.

Tabela 3
Parâmetros de uma fácula genérica.

Fácula genérica	Valores
Raio ($R_{\ast }$)	0,07
Intensidade ($I_0$)	1,5
Latitude (∘)	−8,227
Longitude (∘)	10

Figura 4
Painel superior: Representação visual da matriz 2D da estrela sendo transitada por seu planeta (círculo preto), possuindo uma fácula (círculo branco) em sua superfície. Painel inferior: Curva de luz da estrela Kepler-423 com o trânsito do planeta Kepler-423 b. A depressão na curva de luz no tempo +0,5 h representa o efeito da ocultação da fácula pelo planeta. Gerado através do script main-first-steps.ipynb.

Podemos ainda combinar ambos elementos para uma mesma modelagem da curva de luz. A curva de luz da Figura 5 mostra o resultado da adição de uma mancha e uma fácula. A forma da curva de luz sofre diversas variações de acordo com os sinais que adicionamos à estrela. Pode-se notar que a fácula causa uma queda na curva de luz, resultando em um menor brilho na curva de luz (como indicado pela seta número 3). Por outro lado, a mancha (seta número 2), por representar uma região mais escura, faz com que o brilho na curva de luz aumente ligeiramente, pois o planeta (seta número 1) ao bloquear uma região mais escura, causa um aumento do brilho da curva de luz. Dessa forma, sabemos que esses dois tipos de eventos podem alterar o formato final da curva de luz, gerando alterações na profundidade do trânsito.

Figura 5
Painel superior: Representação 2D da estrela com uma fácula (círculo branco) e uma mancha (círculo laranja) sendo transitada por seu planeta (círculo preto). Painel inferior: Curva de luz da estrela Kepler-423 com o trânsito do planeta Kepler-423 b. As setas 1, 2 e 3 representam planeta, mancha e fácula respectivamente. Gerado através do script main-first-steps.ipynb.

É importante salientar também que o script permite a modelagem de diversas manchas e fáculas de forma simultânea na superfície da estrela.

3.3. Adicionando luas

O script ECLIPSE também permite a adição de exoluas orbitando o exoplaneta. Assim como o planeta, a lua que orbita o planeta pode ocultar manchas ou fáculas no disco da estrela, que alteram a curva de luz [²³]. Dessa forma, podem-se observar diminutas alterações na curva de luz do trânsito quando uma lua está orbitando o planeta. A lua exemplo foi construída utilizando os parâmetros listados na Tabela 4 e a curva de luz resultante é mostrada no painel inferior da Figura 6. Pequenas variações na curva de luz podem ser observadas, como a queda de intensidade no tempo -0,5 h quando a lua inicia o trânsito em frente à estrela e entre 1,0 e 1,5 h associada ao trânsito da lua isoladamente, uma vez que o planeta já concluiu seu trânsito.

Tabela 4
Parâmetros de uma lua genérica.

Lua genérica	Valores
Raio (RTerra)	3,0
Massa (MTerra)	0,5
Período (dias)	0,05

Figura 6
Painel superior: Representação da matriz 2D da estrela orbitada por seu planeta (círculo preto maior) que possui uma lua (círculo preto menor). Painel inferior: Curva de luz da estrela Kepler-423 com o trânsito do planeta Kepler-423 b com uma lua, gerado através do script main-first-steps.ipynb.

O parâmetro da massa da lua (massM) é utilizado no modelo para o propósito condicional de determinar o semi-eixo maior da órbita da lua, caso este não seja fornecido diretamente pelo usuário (através do parâmetro dMoon).

Se dMoon não é especificado, o programa recorre à Terceira Lei de Kepler para calcular esta distância. A lei utiliza o período orbital, a massa do planeta e a massa da lua (massM) para essa finalidade. Portanto, massM atua como um parâmetro físico que permite ao código estabelecer a geometria correta do sistema, essencial para simular a posição da lua durante o trânsito.

4. Ajustando Uma Curva de Luz Com o Script ECLIPSE

O script ECLIPSE inicialmente gera um modelo de trânsito que serve como uma estimativa inicial para o ajuste das curvas de luz observadas pelos satélites Kepler e TESS. Para refinar esses ajustes, o algoritmo Markov Chain Monte Carlo (MCMC) é empregado [²⁴], explorando o espaço de parâmetros de forma estatística. O MCMC gera sucessivas amostras dos parâmetros do modelo, ajustando-os iterativamente por meio de pequenas variações controladas, conhecidas como steps, e avaliando a probabilidade de cada nova configuração com base nos dados observados. Esse processo continua até que a distribuição dos parâmetros atinja um estado estacionário, indicando que as incertezas foram adequadamente quantificadas e os melhores valores ajustados convergiram para uma solução estatisticamente robusta em relação ao modelo inicial.

O usuário pode executar o arquivo main-mcmc.ipynb para rodar o script em blocos, que segue as etapas listadas abaixo utilizando como exemplo a estrela Kepler-423:

1. Criação do modelo da estrela Kepler-423.

2. Criação do modelo do planeta Kepler-423 b.

3. Comparação entre o modelo e as curvas de luz de trânsito observadas pela missão Kepler (total de 333 trânsitos).

4. Cálculo dos parâmetros da estrela (coeficientes de limbo) e do planeta (raio, semieixo e ângulo de inclinação orbitais) utilizando o algoritmo MCMC.

5. Criação de um novo modelo ajustado aos parâmetros corrigidos, adicionando uma ou mais manchas ou fáculas na superfície da estrela.

6. Comparação entre o modelo ajustado e uma curva de luz observada com assinaturas de manchas ou fáculas.

7. Cálculo dos parâmetros das manchas ou fáculas (raio, intensidade, latitude e longitude) utilizando o algoritmo MCMC.

Em seguida, será fornecido um exemplo passo a passo, utilizando a estrela Kepler-423 como base para a criação de um modelo com manchas e planeta. Por fim, será realizada a análise de sua curva de luz observada e o ajuste dos parâmetros utilizando o algoritmo MCMC.

4.1. Curva de luz e ajuste de parâmetros planetários utilizando o MCMC

Para criar o modelo da estrela e do planeta, podem ser utilizados os dados disponíveis no catálogo exoplanet.eu para raio da estrela, raio do planeta e seus parâmetros orbitais (período, semieixo e ângulo de inclinação). O catálogo contempla os valores modelados também por Gandolfi [¹⁹]. Esse modelo inicial serve como base para a execução do algoritmo MCMC, que devolverá os melhores valores para os parâmetros com suas incertezas.

A representação visual do sistema estrela-planeta é apresentada através de diversos quadros exibidos de forma contínua (GIF) utilizando uma matriz, conforme mostrado na Figura 7, com base nos dados do trânsito número 68 da Kepler-423. O trânsito 68 foi escolhido individualmente por não apresentar nenhuma interferência em sua curva de luz produzida por manchas ou fáculas. Através desse trânsito selecionado, o algoritmo MCMC realiza o ajuste dos parâmetros do sistema estrela-planeta.

Figura 7
Painel superior: Representação da matriz 2D da estrela sendo transitada por seu planeta (círculo preto). Painel inferior: Curva de luz da estrela Kepler-423 com o trânsito de número 68 do planeta Kepler-423 b. A curva de luz em vermelho corresponde aos dados do telescópio Kepler, enquanto a curva de luz azul representa a curva de luz inicial gerada pelo modelo com base nos dados do catálogo exoplanet.eu. Gerado através do script main-mcmc.ipynb.

4.2. As etapas do algoritmo MCMC

Para a aplicação do MCMC, primeiro é necessária a adição da curva de luz observada, que é coletada utilizando a biblioteca Lightkurve [¹⁴].

Os dados da curva de luz contendo os trânsitos são processados a partir de parâmetros definidos pelo usuário no Lightkurve. Esse procedimento permite ajustar a curva de luz original, que geralmente apresenta ruído instrumental e variações sistemáticas, resultando em uma série temporal suavizada e mais adequada à análise.

Para a aplicação do MCMC, o usuário pode definir parâmetros como o número de walkers e de iterações, assim como o número de recursões a serem descartadas inicialmente (burn in). Com estes valores definidos, o algoritmo MCMC é executado, calculando curvas de luz utilizando o modelo gerado pelo ECLIPSE com diversos parâmetros a fim de descobrir qual a curva ideal do modelo para aquele trânsito observado.

É necessário definir a posição inicial de cada walker (na variável p0). Para isso, partimos de um “chute inicial” e aplicamos uma pequena variação aleatória (definida em variations) aos parâmetros de cada walker. O objetivo é que cada um comece de um ponto ligeiramente diferente, minimizando o risco de que todo o conjunto fique preso em um mínimo local em vez de encontrar a solução global.

Para ambos os ajustes apresentados a seguir (parâmetros planetários, Figura 8, e parâmetros da mancha, Figura 12), os seguintes valores foram utilizados:

Figura 8
Curva de luz do trânsito 68 de Kepler-423 observada pelo telescópio espacial Kepler (vermelha) e o resultado do ajuste do modelo ECLIPSE por MCMC (azul). Gerado através do script main-mcmc.ipynb.

Figura 9
Painel superior: Modelo da estrela Kepler-423 com uma mancha em sua superfície sendo transitada pelo planeta Kepler-423 b. Painel inferior: Curva de luz do trânsito 2 de Kepler-423 b observada pelo telescópio espacial Kepler (vermelha) e o modelo ECLIPSE inicial (azul). Gerado através do script main-mcmc.ipynb.

Figura 10
Resíduo da curva de luz do trânsito 2 da Kepler-423 após a subtração do modelo de uma estrela sem manchas, executado pelo script find-spots.ipynb. As retas horizontais representam um desvio padrão (std, em rosa) e duas vezes o desvio padrão (2*std, em amarelo). Apenas a mancha no tempo 1 h após o centro do trânsito será analisada, pois seu brilho é superior a 2 vezes o desvio padrão.

Figura 11
Imagem da execução do script “visualizer” utilizado para a visualização de adições e alterações de parâmetros iniciais da estrela, planeta ou manchas diretamente na curva de luz.

Figura 12
Curva de luz do trânsito 2 de Kepler-423 observada pelo telescópio espacial Kepler (vermelha) e o resultado do ajuste do modelo ECLIPSE com uma mancha por MCMC (azul). Gerado através do script main-mcmc.ipynb.

• Nwalkers = 30;

  Representa o número de “caminhantes” (walkers) no conjunto (ensemble). No algoritmo MCMC do emcee, cada walker corresponde a uma cadeia que explora o espaço de parâmetros de forma semi-independente, mas sendo influenciada pela posição dos outros walkers. Um número de walkers significativamente maior que o número de parâmetros a serem ajustados é importante para uma exploração eficiente e robusta da distribuição de probabilidade posterior.

• Burnin = 15;

  Refere-se ao número de passos iniciais de cada walker que são descartados antes da análise estatística. Esta etapa, conhecida como “burn-in” ou “fase de aquecimento”, é fundamental para garantir que a amostragem final represente a distribuição de probabilidade estacionária. Os passos iniciais são removidos porque os walkers começam em posições aleatórias e precisam de um tempo para “esquecer” seus pontos de partida e convergir para a região de maior probabilidade. O descarte dessa fase não estacionária assegura que as incertezas e os valores dos parâmetros reflitam a real distribuição posterior.

• Niter = 30;

  Corresponde ao número de iterações ou “passos” que cada um dos 30 walkers executa. O comprimento total da cadeia para cada walker é definido por este valor, e o número total de amostras geradas pelo processo é o produto de Nwalkers por Niter. Um número maior de iterações permite que as cadeias explorem o espaço de parâmetros de forma mais completa, resultando em uma amostragem mais densa da distribuição posterior e, consequentemente, em estatísticas mais confiáveis.

4.2.1. Significância estatística do ajuste

Para explorar o espaço de parâmetros e encontrar a distribuição de probabilidade posterior, utilizamos o algoritmo de MCMC implementado no pacote emcee [²⁴]. O ajuste realizado pelo MCMC fornece distribuições posteriores para cada parâmetro, indicando os valores mais prováveis para os dados observados. A significância estatística do ajuste é refletida na largura dessas distribuições: parâmetros com distribuições estreitas são bem determinados pelos dados, enquanto parâmetros com distribuições largas são menos restritos.

Opcionalmente, a consistência do modelo com os dados pode ser avaliada pelo chi-quadrado reduzido, que compara a soma dos quadrados dos desvios entre os dados observados e os valores do modelo ajustado com o nível esperado para erros estatísticos. Um valor de chi-quadrado reduzido próximo de 1 indica um bom ajuste do modelo aos dados.

Supondo que os erros dos dados observacionais são independentes e seguem uma distribuição Gaussiana, a função de verossimilhança ($ℒ$) é proporcional a $e^{-{\chi }^2/2}$. Portanto, maximizar a verossimilhança ($ℒ$) é equivalente a minimizar a estatística qui-quadrado (${\chi }^2$), definida na Equação 5[²⁵, ²⁶]

(5) $${\chi }^2=\sum _{i=1}^N{\left(\frac{y_i-f(x_i,\theta )}{{\sigma }_i}\right)}^2.$$

4.2.2. Resultados do ajuste

O ajuste dos dados do escurecimento de limbo e do planeta utilizando o algoritmo MCMC resultaram nos valores listados na Tabela 5, assim como os valores iniciais. Esses resultados são ilustrados na Figura 8, onde a curva de luz do modelo ajustado (azul) está em concordância muito melhor com a curva de luz observada pelo telescópio Kepler (vermelha), do que em comparação com a Figura 7, onde vemos a curva de luz observada (vermelha) mais profunda que o modelo inicialmente criado (azul) a partir dos dados apresentados em exoplanet.eu.

Tabela 5
Valores iniciais e os ajustados por MCMC para os parâmetros do sistema Kepler-423. As incertezas na coluna “Valor ajustado” representam o intervalo de credibilidade da distribuição posterior. Os intervalos definidos determinam a variação de cada parâmetro que o algoritmo MCMC realiza em cada iteração.

Parâmetro	Chute inicial	Valor ajustado (com incerteza)	variações
Coef. de limbo $u_1$	0,4650	0,${47}_{-\mathrm{0,14}}^{+\mathrm{0,09}}$	0,001
Coef. de limbo $u_2$	0,1518	0,${13}_{-\mathrm{0,04}}^{+\mathrm{0,03}}$	0,001
semieixo maior (UA)	0,03585	0,${034}_{-\mathrm{0,01}}^{+\mathrm{0,01}}$	0,001
Ângulo de inclinação (∘)	88,97	86,${11}_{-\mathrm{0,05}}^{+\mathrm{0,03}}$	0,5
Raio do planeta ($R_{\text{Jup}}$)	1,192	1,$2_{-\mathrm{0,05}}^{+\mathrm{0,06}}$	0,01

Uma das vantagens do algoritmo MCMC é o cálculo da incerteza de cada parâmetro ajustado, mostrado na Tabela 5. O algoritmo gera cadeias de amostras para os parâmetros de entrada, variando aleatoriamente os valores de amostra para amostra. Enquanto roda, o MCMC aceita pares de valores que melhoram o ajuste, mas ainda permitindo que sejam aceitos uma pequena parcela de pares de valores para evitar ficar preso em mínimos locais. Ao final, o MCMC gera para cada parâmetro uma lista de valores, onde a média/mediana é o valor considerado ótimo e a incerteza é determinada pela dispersão dos valores a partir do desvio padrão das amostras.

Cabe destacar que, ao comparar os resultados dos ajustes aqui apresentados (Tabela 5), com valores da literatura ou de catálogos, como exoplanet.eu que contempla os dados publicados por Gandolfi [¹⁹], deve-se considerar que o ajuste realizado pelo script ECLIPSE se refere a um trânsito único, enquanto valores de catálogo tipicamente resultam da média de múltiplas observações, o que pode explicar eventuais divergências.

Para obter uma estimativa mais realista das incertezas dos dados, calculamos os resíduos entre o fluxo observado e o modelo ajustado com os melhores parâmetros obtidos via MCMC. O desvio-padrão desses resíduos é adotado como uma nova incerteza uniforme para todos os pontos experimentais. Com esse valor de $\sigma$, recalculamos o ${\chi }^2$ (qui-quadrado) e o ${\chi }_{\nu }^2$(qui-quadrado reduzido), definido pela razão ${\chi }_{\nu }^2={\chi }^2/\nu$, onde $\nu$ representa o número de graus de liberdade do ajuste. Esse procedimento corrige possíveis subestimações nos erros originais que poderiam inflar artificialmente o valor do ${\chi }^2$. Para este ajuste específico, obteve-se um ${\chi }_{\nu }^2=\mathrm{1,1214}$, valor que, por estar próximo da unidade, indica qualidade do ajuste e consistência entre o modelo e as incertezas estimadas.

4.2.3. Espaços de fase

O espaço de fase explorado é definido pelos valores iniciais dos parâmetros, que são gerados a partir de variações aleatórias com amplitude máxima pré-definida em torno de um chute inicial, e é limitado pelos priors⁶, que determinam as faixas permitidas de variação para cada parâmetro. O espaço de fase para o primeiro ajuste está descrito na Tabela 5 indicado na coluna “Variações” e também na Tabela 6 para o ajuste realizado a seguir.

Tabela 6
Valores iniciais e os ajustados por MCMC para os parâmetros da mancha. As incertezas na coluna “Valor ajustado” representam o intervalo de credibilidade da distribuição posterior. Os intervalos definidos determinam a variação de cada parâmetro que o algoritmo MCMC realiza em cada iteração.

Parâmetro	Chute inicial	Valor ajustado (com incerteza)	variações
Raio ($R_{\text{Estrela}}$)	0,07	0,${08}_{-\mathrm{0,01}}^{+\mathrm{0,01}}$	0,8
Intensidade ($I_{\text{Estrela}}$)	0,5	0,${52}_{-\mathrm{0,05}}^{+\mathrm{0,12}}$	0,8
Latitude (∘)	30,86	30,${28}_{-\mathrm{0,7}}^{+\mathrm{0,8}}$	0,001
Longitude (∘)	15,29	7,${56}_{-\mathrm{0,26}}^{+\mathrm{0,5}}$	0,01

4.3. Ajuste de parâmetros de manchas utilizando o MCMC

Além de ajustar parâmetros planetários e estelares, o script é capaz de ajustar parâmetros de possíveis atividades estelares (como manchas ou fáculas) presentes na superfície da estrela. Para o exemplo do presente projeto, realizaremos o ajuste de parâmetros de uma mancha encontrada no trânsito de número 2 dos dados do telescópio Kepler. Utilizando os parâmetros do sistema ajustados previamente, o passo a seguir consiste em adicionar uma mancha estelar ao modelo e ajustar os parâmetros desta mancha.

Como pode ser visto na Figura 9 do trânsito 2 da Kepler-423, há um claro sinal de mancha próximo ao centro do trânsito, e por isso, ele foi selecionado para o ajuste pelo algoritmo MCMC. Portanto, agora será ajustado um modelo com mancha, onde o MCMC será novamente empregado para refinar os parâmetros relacionados à mancha. A Figura 9 ilustra o modelo inicial da estrela com uma mancha (curva azul), em comparação com o trânsito 2 capturado pelo Kepler (curva vermelha), onde é possível observar a presença de uma mancha.

A fim de selecionar a mancha a ser analisada, primeiro é necessário deixar o sinal desta mais evidente. Para tanto, primeiro subtrai-se o modelo de uma estrela sem manchas (curva azul da Figura 8) da curva de luz observada. O resultado é o resíduo, mostrado na Figura 10, onde pode-se ver claramente o sinal da mancha como o pico centrado em torno de 1h. Para uma análise mais confiável, são selecionadas apenas as manchas cujo pico de intensidade do resíduo é igual ou superior ao dobro do desvio padrão (2*std, linha amarela horizontal), conforme mostrado na Figura 10.

A seleção da mancha e a estimativa inicial de seus parâmetros são definidas pela análise do resíduo e pela comparação visual entre o modelo e os dados. Em seguida, o algoritmo MCMC é utilizado para realizar o ajuste fino do modelo à curva de luz do trânsito. Para o ajuste da mancha, seleciona-se um trânsito diferente do utilizado na análise inicial, buscando-se um que apresente indícios de atividade estelar em sua curva de luz, e por esse motivo, selecionamos o trânsito 2. Utilizamos como chute inicial os parâmetros listados na primeira coluna da Tabela 6, deduzidos através do script eclipse visualizer⁷, utilizado para visualizar de forma interativa e em tempo execução cada alteração realizada nos parâmetros de criação da estrela, planeta e mancha. A Figura 11 mostra a interface do script como exemplo para a visualização da mancha adicionada. Os valores iniciais (o “chute inicial”) são definidos por aproximação visual da curva de luz observada, a fim de otimizar e acelerar a convergência do algoritmo MCMC. É importante notar que os parâmetros da mancha, como intensidade e raio, são definidos de forma relativa à estrela. Por exemplo, uma intensidade de 0,5 indica que a mancha possui 50% do brilho máximo da fotosfera estelar, enquanto um raio de 0,07 corresponde a 7% do raio da estrela.

O resultado dos melhores parâmetros para a mancha (raio, intensidade, latitude e longitude) obtidos pelo MCMC, representando o melhor ajuste para este evento de trânsito específico, é apresentado na penúltima coluna da Tabela 6 (entitulada, “Valor ajustado (com incertezas”). A Figura 12 compara a curva de luz observada (vermelha) com o modelo ajustado (azul), onde temos o valor de ${\chi }^2$ de 1,29 para o ajuste, que demonstra um bom resultado, já que o valor está próximo de 1.

A posição das manchas na superfície da estrela é considerada pelo script através da técnica de conversão da longitude topocêntrica da mancha, observada em cada trânsito conforme visto da Terra, para um sistema de coordenadas que rotaciona com a estrela [²⁷]. A análise de múltiplos trânsitos permite rastrear o movimento de regiões ativas na superfície da estrela. Ao agregar dados de uma mesma mancha observada em diferentes longitudes em uma série de trânsitos, é possível não apenas montar um mapa da superfície estelar, mas também medir efeitos como a rotação diferencial da estrela [²¹].

No entanto, tal análise complexa está além do escopo do presente trabalho. O objetivo aqui delineado é apresentar e validar a metodologia para o ajuste de parâmetros de uma mancha contida em um evento de trânsito individual.

4.4. Discussão

Com base nos estudos e análises de curvas de luz apresentados, conclui-se que os ruídos presentes em uma curva de luz, causados por fáculas, manchas estelares, planetas e luas, podem ser identificados por meio do método de detecção de trânsitos planetários. Esses ruídos influenciam diretamente parâmetros como a profundidade e a largura do trânsito, podendo introduzir erros na determinação das propriedades do planeta [⁸]. Por exemplo, alterações na profundidade do trânsito devido a ruídos podem resultar em estimativas incorretas do raio planetário, enquanto variações na largura do trânsito podem afetar a determinação do semieixo orbital. A comparação entre o modelo antes (Figura 7) e depois do ajuste (Figura 8) evidencia o sucesso do processo. Na segunda figura, a concordância entre o modelo e os dados é significativamente maior. Portanto, é essencial considerar os efeitos da atividade estelar para garantir maior precisão na extração e interpretação dos dados planetários.

Conclui-se, portanto, que o código ECLIPSE é um script eficaz para a análise de sistemas planetários e o ajuste de seus parâmetros. Sua vantagem se destaca na eficiência computacional para análises via MCMC, onde a implementação com código paralelo, conforme demonstrado em [²⁸], resulta em uma performance de 50 a 80 vezes superior à de scripts não paralelizados, viabilizando análises mais rápidas e complexas.

5. Conclusões

Os resultados deste estudo destacam a importância da modelagem computacional para compreender a influência da atividade estelar nas curvas de luz de trânsitos exoplanetários. A presença de manchas e fáculas na superfície estelar pode introduzir variações significativas na forma da curva de luz. Como demonstrado na Figura 9, o sinal de mancha observado no trânsito 2 pode impactar diretamente a estimativa de parâmetros planetários, como o raio.

A utilização do script ECLIPSE, desenvolvido em Python, permitiu a construção de um modelo do sistema Kepler-423, incorporando manchas estelares e avaliando como essas estruturas interferem na curva de luz durante um trânsito planetário. O ajuste dos parâmetros por meio do algoritmo MCMC demonstrou ser uma ferramenta poderosa para refinar os valores de entrada, reduzindo incertezas e fornecendo estimativas mais robustas para os parâmetros do sistema.

Além disso, mostramos que a presença de exoluas pode introduzir assinaturas sutis, mas detectáveis, nas curvas de luz, um aspecto que pode ser explorado em futuras observações de alta precisão. A modelagem computacional desses eventos pode contribuir significativamente para a detecção de luas em sistemas exoplanetários, um campo ainda pouco explorado.

Um aspecto que merece destaque é o impacto da incerteza na determinação do raio planetário sobre o espectro de transmissão de exoplanetas. Como o espectro de transmissão é utilizado para inferir a composição das atmosferas planetárias, qualquer erro na estimativa do raio do planeta, por exemplo, causado pela presença de manchas na superfície da estrela, pode introduzir desvios sistemáticos nas abundâncias inferidas de diferentes espécies químicas. Isso reforça a necessidade de uma caracterização precisa tanto da estrela hospedeira quanto dos efeitos associados à atividade estelar para garantir medições confiáveis da composição atmosférica de exoplanetas.

Como resultado final deste trabalho, desenvolvemos um script de software que fornece uma ferramenta acessível e prática para o avanço dos estudos em ciência planetária. Além disso, a ferramenta apoia investigações sobre a influência da atividade estelar nas curvas de luz, facilitando uma compreensão mais profunda de seu impacto.

Por fim, este trabalho reforça a necessidade de considerar a atividade estelar na análise de trânsitos exoplanetários, principalmente em estrelas ativas. A implementação e aprimoramento de códigos como o ECLIPSE são fundamentais para avançar na caracterização dos sistemas planetários e na busca por planetas potencialmente habitáveis.

Disponibilidade de dados

Todo o conjunto de dados que dá suporte aos resultados deste estudo foi publicado no próprio artigo.

Referências

• ^[1] A.A. Souza e A. Valio, Rev. Bras. Ensino Fís. 41, e20180323 (2019).
• ^[2] A.V.R. Silva, Nossa Estrela: o Sol (Editora Livraria da Física, São Paulo, 2006).
• ^[3] A.V.R. Silva, The Astrophysical Journal Letters 585, L147 (2003).
• ^[4] S.K. Solanki, Astronomy and Astrophysics Review 11, 153 (2003).
• ^[5] NASA Science, Sunspots, disponível em: https://science.nasa.gov/sun/sunspots/, acessado em: 01/10/2025.
  » https://science.nasa.gov/sun/sunspots/
• ^[6] NASA Scientific Visualization Studio, Faculae and Sunspots at Solar Maximum and Solar Minimum, disponível em: https://svs.gsfc.nasa.gov/4892/, acessado em 01/10/2025.
  » https://svs.gsfc.nasa.gov/4892/
• ^[7] S.M. Zaleski, A. Valio, S.C. Marsden e B.D. Carter, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 484, 618 (2019).
• ^[8] M. Oshagh, N.C. Santos, I. Boisse, G. Boué, M. Montalto, X. Dumusque e N. Haghighipour, Astronomy & Astrophysics 556, A19 (2013).
• ^[9] W.J. Borucki, D. Koch, G. Basri, N. Batalha, T. Brown, D. Caldwell, J. Caldwell, J. Christensen-Dalsgaard, W.D. Cochran, E. DeVore et al., Science 327, 977 (2010).
• ^[10] M. Perryman, The Exoplanets Handbook (Cambridge University Press, Cambridge, 2011).
• ^[11] G.R. Ricker, J.N. Winn, R. Vanderspek, D.W. Latham, G.Á. Bakos, J.L. Bean, Z.K. Berta-Thompson, T.M. Brown, L. Buchhave, N.R. Butler et al., Journal of Astronomical Telescopes, Instruments, and Systems 1, 014003 (2014).
• ^[12] B. Duque Estrada e A. Valio, em: XVI Jornada de Iniciação Científica e X Mostra de Iniciação Tecnológica (São Paulo, 2020).
• ^[13] A. Gelman, J.B. Carlin, H.S. Stern, D.B. Dunson, A. Vehtari e D.B. Rubin, Bayesian Data Analysis (CRC Press, Boca Raton, 2014), 3 ed.
• ^[14] Lightkurve Collaboration, J.V.M. Cardoso, C.L. Hedges, M.A. Gully-Santiago, N. Saunders, A.M. Cody, T. Barclay, O. Hall, S. Sagear, E.V. Turtelboom, J. Zhang et al., Lightkurve: Kepler and TESS time series analysis in Python (2018), disponível em: http://adsabs.harvard.edu/abs/2018ascl.soft12013L, acessado em: 13/03/2026.
  » http://adsabs.harvard.edu/abs/2018ascl.soft12013L
• ^[15] A. Claret, Astronomy and Astrophysics 363, 1081 (2000).
• ^[16] ENCYCLOPAEDIA OF EXOPLANETARY SYSTEMS, Planet Kepler-423 b, disponível em: https://exoplanet.eu/catalog/kepler_423_b--2311/, acessado em 01/10/2025.
  » https://exoplanet.eu/catalog/kepler_423_b--2311/
• ^[17] Z. Kopal, Harvard College Observatory Circular 454, 1 (1950).
• ^[18] D.M. Kipping, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 435, 2152 (2013). DOI: 10.1093/mnras/stt1435
  » https://doi.org/10.1093/mnras/stt1435
• ^[19] D. Gandolfi, H. Parviainen, H.J. Deeg, A.F. Lanza, M. Fridlund, P.G. Prada Moroni, R. Alonso, T. Augusteijn, J. Cabrera, T. Evans et al., Astronomy & Astrophysics 576, A11 (2015).
• ^[20] NASA, Kepler-423 b, disponível em: href="https://science.nasa.gov/exoplanet-catalog/kepler-423-b/, acessado em 01/10/2025.
  » https://science.nasa.gov/exoplanet-catalog/kepler-423-b/
• ^[21] A. Valio, A. Araújo e F. Menezes, Astrophysical Journal 972, 81 (2024).
• ^[22] A. Valio, R. Estrela, Y. Netto, J.P. Bravo e J.R. de Medeiros, The Astrophysical Journal 835, 294 (2017).
• ^[23] L.R.M. Tusnski e A. Valio, The Astrophysical Journal 743, 97 (2011).
• ^[24] D. Foreman-Mackey, D.W. Hogg, D. Lang, e J. Goodman, Publications of the Astronomical Society of the Pacific 125, 306 (2013).
• ^[25] P.R. Bevington e D.K. Robinson, Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences (McGraw-Hill, New York, 2003), 3 ed.
• ^[26] D.W. Hogg, J. Bovy e D. Lang, arXiv preprint arXiv:1008.4686 (2010).
• ^[27] A. Silva-Valio, The Astrophysical Journal 683, L179 (2008).
• ^[28] F.P. Pinho, B. Duque Estrada e A. Valio, em: XVIII Jornada de Iniciação Científica (São Paulo, 2022).

• 1
  http://exoplanet.eu
• 2
  https://exoplanetarchive.ipac.caltech.edu
• 3
  Neste trabalho, adota-se o termo script para se referir ao conjunto de ferramentas computacionais desenvolvidas em Python, implementadas como Jupyter Notebooks. Opta-se por esta terminologia em vez de programa para refletir a natureza interativa e interpretada da ferramenta, focada na análise de dados e modelagem.
• 4
  GitHub:https://github.com/Transit-Model-CRAAM/pipelineMCMC.
• 5
  Arquivo de texto simples usado para armazenar dados em formato de tabela.
• 6
  Em estatística Bayesiana, priors (ou “distribuições a priori”) representam o conhecimento prévio ou suposições iniciais sobre os parâmetros do modelo, antes da análise dos dados observacionais [¹³].
• 7
  GitHub:https://github.com/Transit-Model-CRAAM/eclipse-model-visualizer

Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  20 Abr 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  29 Jul 2025
• Revisado
  18 Jan 2026
• Aceito
  27 Fev 2026