Comportamento do campo magnético em um fio condutor com densidade de corrente não uniforme: uma análise teórica e gráfica

Magnetic field behavioir in a conducting wire with non-uniform current density: a theoretical and graphical analysis

Resumo

Neste trabalho, analisamos o campo magnético produzido por um fio retilíneo longo com densidade de corrente não uniforme, no contexto do ensino de Eletromagnetismo em cursos introdutórios. Consideram-se duas distribuições funcionais para a densidade de corrente: uma exponencial do tipo gaussiana e uma logarítmica. A partir da lei de Ampère, obtém-se expressões analíticas do campo magnético tanto no interior quanto no exterior do condutor, explorando os efeitos da não uniformidade da corrente sob simetria cilíndrica. Os resultados mostram que, embora o campo magnético externo apresente o comportamento universal proporcional a $1/r$, o campo no interior do fio depende fortemente da forma funcional da densidade de corrente e dos parâmetros associados a cada distribuição. A análise gráfica e o estudo dos limites permitem discutir, de maneira acessível aos estudantes, aspectos matemáticos e conceituais relevantes, como a influência do parâmetro de controle, a interpretação de sinais algébricos e a aplicação da lei de Ampère em situações que vão além dos modelos usualmente tratados. O problema proposto mantém tratabilidade analítica e apresenta potencial como material complementar para o ensino do Eletromagnetismo.

Palalvras-chave:
Campo Magnético; Distribuição de Corrente Não Uniforme; Fio Condutor.

Abstract

This work presents an analysis of the magnetic field generated by a long straight wire with a non-uniform current density, within the context of Electromagnetism teaching in introductory courses. Two functional forms for the current density are considered: an exponential Gaussian-type distribution and a logarithmic distribution. By means of Ampère’s law, analytical expressions for the magnetic field are derived for both the interior and exterior regions of the conductor, highlighting the effects of current non-uniformity under cylindrical symmetry. The results indicate that, while the external magnetic field exhibits the universal $1/r$ behavior, the magnetic field inside the wire depends strongly on the functional form of the current density and on the parameters associated with each distribution. Graphical analysis and the evaluation of limits enable a clear discussion of relevant mathematical and conceptual aspects, including the role of the control parameter and the application of Ampère’s law beyond the models commonly addressed in introductory courses. The proposed problem remains analytically tractable and constitutes a suitable complementary resource for teaching Electromagnetism.

Keywords:
Magnetic Field; Non-Uniform Current Density; Conducting Wire.

1. Introdução

Nos cursos introdutórios de Eletromagnetismo, a lei de Ampère costuma ser apresentada a partir de exemplos altamente idealizados, em que a densidade de corrente é assumida uniforme ao longo da seção transversal de condutores cilíndricos retilíneos [¹, ², ³]. Em algumas abordagens, pouco mais elaboradas, considera-se uma dependência linear ou polinomial simples da densidade de corrente em função da coordenada radial. Embora tais escolhas sejam adequadas para uma primeira aproximação conceitual, elas limitam a compreensão dos estudantes quanto à diversidade de comportamentos físicos possíveis quando distribuições de correntes mais gerais são consideradas e, ainda, quanto à versatilidade do uso da lei de Ampère.

Diversos trabalhos em Ensino de Física têm destacado a importância de explorar modelos idealizados, porém matematicamente mais ricos, como forma de ampliar a compreensão conceitual dos estudantes e desenvolver habilidades analíticas mais robustas [⁴, ⁵, ⁶]. Nesse contexto, o estudo de distribuições de corrente não uniformes, especialmente as descritas por funções não polinomiais, apresenta-se como uma oportunidade didática relevante, pois permite explorar simultaneamente aspectos físicos, matemáticos e interpretativos do comportamento do campo magnético.

Neste trabalho, propomos o estudo do campo magnético produzido por um fio retilíneo longo com densidade de corrente não uniforme, considerando duas funções específicas: uma distribuição exponencial do tipo gaussiana, e uma distribuição logarítmica. A escolha da função exponencial justifica-se por sua ampla relevância em diferentes áreas na Física, na Estatística e em aplicações modernas [⁷, ⁸, ⁹, ¹⁰, ¹¹]. Por sua vez, a função logarítmica, embora menos explorada em abordagens didáticas tradicionais, emerge como termo dominante em diversos contextos físicos, incluindo entropia, sistemas críticos e turbulência [¹², ¹³, ¹⁴, ¹⁵].

Do ponto de vista pedagógico, a análise dessas duas distribuições permite aos estudantes explorar casos que vão além do que é tipicamente discutido nos cursos básicos, ao mesmo tempo em que permanecem dentro de um regime analiticamente tratável e viável dentro dos conhecimentos adquiridos nos cursos típicos de Cálculo Diferencial e Integral. Além disso, o contraste entre funções exponenciais e logarítmicas possibilita discussões qualitativas sobre limites, divergências, interpretação gráfica e continuidade do campo magnético no interior e no exterior do condutor. Dessa forma, o presente estudo busca contribuir para o ensino do Eletromagnetismo ao oferecer uma abordagem conceitualmente acessível, matematicamente consistente e alinhada a fenômenos relevantes da física.

O trabalho está estruturado da seguinte forma: a Seção II aborda a descrição do problema e a metodologia utilizada para obter as expressões analíticas do campo magnético, a Seção III apresenta os resultados obtidos e, por fim, a Seção IV discute as conclusões e considerações finais.

2. Descrição do Problema

Consideremos um fio condutor retilíneo longo de raio $R$, com densidade de corrente não uniforme. Enquanto a corrente elétrica é uma grandeza escalar, definida como a quantidade de portadores de carga que atravessam uma secção reta por unidade de tempo, a densidade de corrente é uma grandeza vetorial, cujo sentido coincide com o do movimento dos portadores de carga. Como os portadores de carga possuem carga negativa, a direção é, então, oposta à direção dos elétrons no fio. Assim, propomos que $\overrightarrow{J}\left(r\right)=J\left(r\right){\widehat{e}}_z$, conforme ilustrado na Fig.1(a). Neste trabalho, serão analisadas duas funções distintas que determinam o comportamento da densidade de corrente. A primeira função será do tipo exponencial, $J\left(r\right)=J_0{e}^{-{\beta }_e{r}^2}$, e a segunda, do tipo logarítmica, $J\left(r\right)=J_0\ln \left({\beta }_{l}r\right)$. Em ambos os casos, $J\left(r\right)$ representa a intensidade da densidade de corrente em função de $r$ (com $r$ sendo a distância a partir do centro do fio), $J_0$ uma constante com dimensões de $A/m^2$, ${\beta }_i$ são parâmetros constantes de controle, sendo que ${\beta }_e$ tem unidade de $m^{-2}$ e ${\beta }_l$ tem unidade de $m^{-1}$.

Figura 1
Representação ilustrativa (a) de um sistema de coordenadas cilíndricas ao longo do corte transversal de um fio condutor de raio $R$ e (b) entre os elementos de área e comprimento presentes na Eq. (2) sobre o mesmo corte transversal.

Embora tais escolhas para as funções de densidade de corrente possam não corresponder necessariamente a sistemas físicos reais, a justificativa para sua adoção para além da abordagem matemática apresentada aqui, reside na representatividade dessas funções em uma ampla gama de fenômenos físicos ao longo da história da ciência. A função exponencial escolhida para a densidade de corrente destaca-se nesse contexto, pois corresponde à conhecida distribuição gaussiana, cuja importância teórica e prática já foi amplamente reconhecida na teoria das probabilidades e na estatística, com ampla utilização na modelagem de dados e fenômenos naturais [⁷, ⁸]. Essa distribuição possui diversas aplicações, por exemplo, em métodos de aprendizagem de máquinas [⁹], estratégias de otimização e amostragem em IA aplicada a Física e Engenharia [¹⁰], bem como em redes neurais quânticas [¹¹].

Já a escolha da função logarítmica, embora não apresente uma representatividade comparável à da distribuição gaussiana, aparece como termo físico relevante e dominante em algumas propriedades mensuráveis, tais como a entropia em buracos negros [¹²], o espectro de correlações de sistemas críticos [¹³, ¹⁴] e as funções de estrutura em turbulência [¹⁵]. Cabe ressaltar que a distribuição logarítmica adotada neste trabalho não tem como objetivo representar o comportamento de um condutor ôhmico homogêneo real. Sua escolha possui motivação predominantemente matemática e didática, permitindo explorar, em um contexto analiticamente tratável, propriedades como mudanças de sinal da densidade de corrente, singularidades integráveis e seus efeitos sobre o campo magnético. Desta forma, o interesse da distribuição está menos em sua representatividade física direta e mais em seu potencial para ampliar as possibilidades de discussão conceitual e matemática em cursos introdutórios de Eletromagnetismo. Mesmo tratando-se de uma distribuição de corrente com tais complexidades idealizadas e que não corresponde exatamente a modelos de condução elétrica realistas, é possível obter soluções analíticas para o comportamento do campo magnético e explorar uma série de análises e observações pertinentes a esse comportamento, o que enriquece a experiência de aprendizado dos estudantes, em tópicos com os quais eles estão familiarizados em cursos de Cálculo. A função exponencial, na forma como é definida, é positiva para todo valor de $r$ e tem valor bem definido na origem. A função logarítmica, por outro lado, apresenta algumas peculiaridades. O intervalo $r<1/{\beta }_l$ possui valores de $J\left(r\right)<0$, enquanto que $J\left(r\right)>0$ se $r>1/{\beta }_l$. Isso implica, como será visto adiante, na possibilidade da inversão na direção da corrente e do campo magnético ao longo do fio. Além disso, $J\left(r\right)$ apresenta uma singularidade na origem, com $J\left(r\right)\to -\infty$ para $r\to 0$. Trata-se, porém, de uma singularidade integrável[¹⁶]. Em coordenadas cilíndricas, a corrente elétrica é obtida pela integração de $J\left(r\right)$ sobre um elemento de área $dA=2\pi rdr$. Dessa forma, embora $J\left(r\right)$ divirja quando $r\to 0$, a corrente elétrica não depende apenas do valor local de $J\left(r\right)$, mas da sua integral sobre uma região finita da seção transversal do fio. Nesse caso, a integral da função logarítmica permanece convergente quando $r\to 0$, de modo que a corrente englobada continua finita. Consequentemente, o campo magnético calculado pela lei de Ampère também permanece finito na origem.

Como nossa proposta é usar esse problema para auxiliar os estudantes do núcleo básico dos cursos de exatas a avançar na compreensão do comportamento do campo magnético e no uso da lei de Ampère, vamos começar enunciando a lei na notação dos livros-texto mais conhecidos [¹, ², ³], na forma integral:

(1) $$\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overleftarrow{l}={\mu }_0\left(i+\underset{\text{Não há}}{\underbrace{{\epsilon }_0\frac{d{\mathrm{\Phi }}_E}{dt}}}\right)\to \oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_{0}i,$$

em que ${\mu }_0$ é a constante de permeabilidade magnética do vácuo, ${ϵ}_0$ a permissividade elétrica do vácuo, ${\mathrm{\Phi }}_E$ o fluxo de campo elétrico e $\overrightarrow{B}$ é o campo magnético, $d\overrightarrow{l}$ é o elemento diferencial de linha e $i$ é a corrente elétrica englobada pela curva amperiana. Neste trabalho, assim como usualmente adotado em livros didáticos introdutórios, a grandeza $\overrightarrow{B}$ será referida como campo magnético, embora, em um tratamento mais rigoroso, corresponda à indução magnética (ou densidade de fluxo magnético) [¹⁶]. A Eq. (1) mostra que, no presente caso, como não há corrente de deslocamento (dada pelo termo em destaque na Eq. (1)), a lei de Ampère-Maxwell se reduz à lei de Ampère convencional.

Nosso principal objetivo é analisar o comportamento do campo magnético em um fio retilíneo longo, em função de uma densidade de corrente não uniforme descrita por funções exponencial e logarítmica. Além disso, como nossa análise abrange pontos tanto no interior do fio condutor ($r<R$) quanto em sua região externa ($r>R$), a estratégia adotada consiste em realizar um estudo separado de cada uma dessas regiões. Inicialmente, para a região interna do fio ($r<R$), considerou-se a definição da densidade de corrente na forma diferencial, o que permite a separação de variáveis e a integração de ambos os lados da equação, conforme descrito a seguir:

(2) $$J\left(r\right)=\frac{di}{dA}\to {\int }_{i_0}^{i\left(r\right)}\mathit{d}i={\int }_{A_0}^{A\left(r\right)}J\left(r\right)\mathit{d}A\to \{\begin{array}{cc}i\left(r\right)=J_0{\int }_{A_0}^{A\left(r\right)}{e}^{-{\beta }_e{r}^2}\mathit{d}A,\hfill & \\ i\left(r\right)=J_0{\int }_{A_0}^{A\left(r\right)}\ln \left({\beta }_{l}r\right)\mathit{d}A,\hfill & \end{array}$$

em que $dA$ é o elemento diferencial da área $A$ da curva amperiana, $i_0$ e $A_0$ são, respectivamente, valores de corrente e área de referência quando o $r\to 0$, que deve ser tomado, neste caso, como zero e $i\left(r\right)$ é a quantidade de corrente entre 0 e $r$. Também é possível observar, na Eq. (2), que as funções $J\left(r\right)=J_0{e}^{-{\beta }_e{r}^2}$ e $J\left(r\right)=J_0\ln \left({\beta }_{l}r\right)$ já foram substituídas. Há duas variáveis no integrando da Eq. (2). Assim, será preciso fazer uma mudança de variáveis para relacioná-las. Neste ponto, surge uma oportunidade de apresentar aos estudantes uma representação ilustrativa de como essa mudança de variável se relaciona com os elementos de área e de comprimento do fio condutor de raio $R$, presentes na Eq. (2) e ilustrados na Fig. 1(b).

A utilização de recursos didáticos simples, como a diferenciação de cores, facilita a compreensão dos estudantes sobre a relação entre os conceitos matemáticos de elementos de comprimento, área e volume e suas representações gráficas em cortes transversais de objetos de estudo. Estratégia que tem se mostrado útil, especialmente na identificação e distinção de variáveis e informações correlatas em representações visuais de Física e Matemática [¹⁷]. No presente estudo, a relação que buscamos enfatizar é a entre elementos de comprimento e de área e sua representação gráfica no corte transversal de um fio condutor de raio $R$. Neste contexto, o raio $r$ (representado em vermelho) corresponde ao raio da curva amperiana circular, enquanto a área contida dentro dessa curva circular é destacada em vermelho, tanto na equação quanto na ilustração. Por outro lado, o elemento de área $dA$ é destacado em azul, tanto na equação quanto na ilustração, proporcionando uma clara distinção entre os elementos matemáticos relevantes e apoiando a visualização de seus papéis específicos na integral utilizada.

Após reconhecer que o elemento de área $dA$ do anel circular de espessura $dr$ pode ser escrito como $dA=2\pi rdr$ e substituir esse elemento na Eq. (2), as expressões para a corrente elétrica parcial, nos dois casos considerados (exponencial e logarítmico), englobadas pela curva amperiana, podem ser reescritas como:

(3) $$\begin{array}{l}\text{Caso exponencial:}i\left(r\right)=2\pi J_0{\int }_0^r\rho e^{-{\beta }_e{\rho }^2}\mathit{d}\rho ,\\ \text{Caso logarítmico:}i\left(r\right)=2\pi J_0{\int }_0^r\rho \ln \left({\beta }_l\rho \right)\mathit{d}\rho ,\end{array}$$

em que a variável $r$ foi alterada para $\rho$ para ser integrada adequadamente e não fosse confundida com a variável de posição $r$, que está no limite da integração.

As integrais presentes na Eq. (3) podem ser resolvidas utilizando o método de substituição convencional no caso exponencial e integração por partes no caso logarítmico:

(4) $$\begin{array}{l}\text{Caso exponencial:}u={\beta }_e{\rho }^2\to du=2{\beta }_e\rho d\rho \to \rho d\rho =\frac{du}{2{\beta }_e},\\ \text{Caso logarítmico:}\int u\mathit{d}v=uv-\int v\mathit{d}u\to \{\begin{array}{cc}u=\ln \left({\beta }_l\rho \right)\text{e}du=\frac{1}{\rho }d\rho ,\hfill & \\ dv=\rho d\rho \text{e}v=\frac{{\rho }^2}{2}.\hfill & \end{array}\end{array}$$

A solução da Eq. (3) pode ser escrita, mediante a utilização dos métodos descritos na Eq. (4), da seguinte forma:

(5) $$\begin{array}{l}\text{Caso exponencial:}i\left(r\right)=J_0\frac{\pi }{{\beta }_e}\left(1-e^{-{\beta }_e{r}^2}\right),\\ \text{Caso logarítmico:}i\left(r\right)=2\pi J_0\left[\frac{r^2}{2}\left(\ln \left({\beta }_{l}r\right)-\frac{1}{2}\right)\right],\end{array}$$

que correspondem aos comportamentos da corrente elétrica no interior do fio condutor em função de $r$, para ambos os casos. A Eq. (5), no caso exponencial, é apresentada de forma mais clara na Fig. (2). Para o caso logarítmico, temos a Fig. (3). É possível perceber que, nesse caso, há uma inversão de sinal na corrente em $r=e^{1/2}/{\beta }_l\approx 1.649/{\beta }_l$. Isso significa que para a região de $r$ próxima da origem, a corrente é negativa, ou seja, flui na direção $-{\widehat{e}}_z$ enquanto que em regiões mais distantes flui na direção oposta. Note que, para o caso $R=1.5$, a corrente possui apenas valores negativos.

Figura 2
Comportamento da corrente elétrica dentro do fio condutor (caso exponencial) $i\left(r\right)\times r$(a) e da parametrização de $i\left(r\right)/i\left(R\right)\times r/R$ (b). Foram considerados ${\beta }_e=1$, $R=0.5$ (círculo azul), $R=1.2$ (linha vermelha) e $R=2.5$ (tracejado preto), em unidades apropriadas.

Figura 3
Comportamento da corrente elétrica dentro do fio condutor (caso logarítmico) $i\left(r\right)\times r$ (a) e da parametrização de $i\left(r\right)/i\left(R\right)\times r/R$ (b). Foram considerados ${\beta }_l=1$, $R=1.5$ (círculo azul), $R=2.5$ (linha vermelha) e $R=3.5$ (tracejado preto), em unidades apropriadas, e $J_0=1A/m^2$.

Tanto na Fig. 2(a) quanto na Fig.3(a), observa-se como o tamanho da área da seção transversal do fio, em conjunto com as respectivas funções relativas à densidade de corrente, influencia a maneira como a corrente elétrica se distribui em relação ao eixo central do fio retilíneo condutor. Para os três valores de $R$ apresentados, é possível notar diferenças significativas na distribuição de corrente dentro do fio em relação a seu eixo central, bem como os efeitos dessa distribuição no campo magnético, no interior, na superfície e, subsequentemente, nas regiões externas ao fio condutor, os quais serão discutidos adiante. Quanto às Figs. 2(b) e 3(b), foi construído o perfil de $i\left(r\right)$ escalado pelo valor na superfície, $i\left(R\right)$, em função de $r/R$, a fim de ilustrar o comportamento no interior do fio condutor e destacar como a dimensão da área de seção transversal, essencialmente $R$, afeta fortemente a distribuição de corrente em seu interior. Em ambos os casos apresentados, é importante observar que o parâmetro $R$ atua como um limitador para a quantidade de corrente que flui no cilindro, como pode ser observado na Fig. 2 (a) e Fig. 3(a), onde a mesma expressão funcional para $i\left(r\right)$ é interrompida em diferentes valores de $R$. Desse modo, quanto maior o valor de $R$, dado o conjunto de parâmetros que adotamos, maior a corrente que flui, o que vai ter impacto na intensidade do campo magnético externo ao fio.

Ao substituir a Eq. (5) na Eq. (1), é possível resolver a integração fechada e isolar o termo associado ao campo magnético. Nesta etapa do estudo, surge a oportunidade de justificar por que o campo magnético pode ser retirado da integração fechada. Como a função da densidade de corrente é dependente de $r$, ela varia radialmente em todas as direções ao longo do plano de corte da seção transversal do fio (do centro até a superfície). NaFig. (4), observa-se que a linha amperiana, concêntrica ao eixo central do fio condutor, passa pelo mesmo ponto da representação da função da densidade de corrente em qualquer direção, tanto no caso exponencial (Fig. 4(a) quanto no caso logarítmico Fig. 4(b)).

Figura 4
Representação ilustrativa de como a curva amperiana de raio $r$ (linha tracejada) passa pelo mesmo ponto da representação da função densidade de corrente $J\left(r\right)$ (a) Caso exponencial e (b) Caso logarítmico.

Embora a corrente tenha valores diferentes em diferentes posições do fio, a corrente flui na mesma direção (embora, eventualmente, em sentidos opostos) ao longo do eixo do fio. Dessa forma, o campo magnético produzido possui apenas a direção azimutal, ou seja, $\overrightarrow{B}=B\left(r\right){\widehat{e}}_{\varphi }$ (veja Fig.1(a)), pois é invariante sob rotações em torno do fio. Ao aplicar a lei de Ampère, a escolha da linha amperiana é arbitrária. No entanto, escolher uma linha circular de raio $r$, em que o módulo do campo magnético também é uniforme, é mais conveniente. Ao longo dessa linha, o elemento de linha $d\overrightarrow{l}$ também é azimutal, podendo ser escrito como $d\overrightarrow{l}=dl{\widehat{e}}_{\varphi }$. Isso indica que, ao longo da linha amperiana, o campo magnético mantém sempre o mesmo valor, e, por ser constante, pode ser retirado da integração fechada e isolado.

Dessa forma, a intensidade do campo magnético, para pontos no interior do fio retilíneo condutor ($r<R$), tanto no caso exponencial quanto no caso logarítmico, é expresso como:

(6) $$\begin{array}{l}\text{Caso exponencial:}B\left(r\right)=J_0\frac{{\mu }_0}{2{\beta }_e}\left(\frac{1-e^{-{\beta }_e{r}^2}}{r}\right),\\ \text{Caso logarítmico:}B\left(r\right)=J_0\frac{{\mu }_{0}r}{2}\left(\ln \left({\beta }_{l}r\right)-\frac{1}{2}\right).\end{array}$$

O cálculo para determinar o campo magnético na região externa do fio condutor, isto é, ($r>R$), é parecido. Contudo, é preciso fazer uma mudança no limite de integração superior da Eq. (3): substituir $r\to R$. Isso se deve ao fato da corrente elétrica apenas variar até a superfície do fio condutor, e, desse modo, a corrente não depende mais de $r$, o que permite obter:

(7) $$\begin{array}{l}\text{Caso exponencial:}i(R)=J_0\frac{\pi }{{\beta }_e}\left(1-e^{-{\beta }_e{R}^2}\right),\\ \text{Caso logarítmico:}i(R)=2\pi J_0\left[\frac{R^2}{2}\left(\ln \left({\beta }_{l}R\right)-\frac{1}{2}\right)\right],\end{array}$$

em que $i\left(R\right)$ é a corrente total que atravessa o plano de corte da seção transversal do fio condutor. Substituindo a Eq. (7) na Eq. (1), e realizando o mesmo procedimento matemático descrito para o caso ($r<R$), é possível encontrar:

(8) $$\begin{array}{l}\text{Caso exponencial:}B(r)=J_0\frac{{\mu }_0}{2{\beta }_e}\left(\frac{1-e^{-{\beta }_e{R}^2}}{r}\right),\\ \text{Caso logarítmico:}B(r)=J_0\frac{{\mu }_0{R}^2}{2r}\left(\ln \left({\beta }_{l}R\right)-\frac{1}{2}\right).\end{array}$$

A Eq. (8) representa a intensidade do campo magnético em pontos externos ao fio retilíneo condutor de raio $R$, tanto no caso exponencial quanto no caso logarítmico. Como esperado, o campo magnético nessa região decresce proporcionalmente a $1/r$.

3. Resultados

Na seção anterior, foram obtidas expressões algébricas para o módulo do campo magnético gerado por um fio condutor cilíndrico de raio $R$, válidas tanto no interior quanto no exterior do condutor. Essas expressões correspondem a duas distribuições não uniformes de corrente: $J\left(r\right)=J_0{e}^{-{\beta }_e{r}^2}$ e $J\left(r\right)=J_0\ln \left({\beta }_{l}r\right)$.

Tendo em mente que o público-alvo é composto por estudantes iniciantes nos cursos de Exatas, procurar compreender o real comportamento do campo magnético a partir das equações (6) e (8) pode revelar-se desafiador. Uma maneira eficaz de contornar essa dificuldade consiste em interpretar os resultados por meio de representações gráficas, as quais possibilitam ilustrar o comportamento das funções de modo claro e acessível. É fundamental que cada termo que compõe a função que descreve o comportamento do campo magnético seja devidamente compreendido. Neste contexto, realizaremos uma análise separada para pontos internos e externos ao fio condutor, considerando ambas as distribuições de corrente: exponencial e logarítmica.

3.1. Caso Exponencial

Para o caso exponencial, considerando-se pontos internos ao fio condutor ($r<R$), o primeiro ponto de interesse é o centro do fio, isto é, quando $r=0$. No entanto, substituir esse valor na primeira expressão da Eq. (6) resultará em uma indeterminação. Ainda assim, é possível demonstrar aos estudantes como contornar esse problema. Uma possibilidade interessante é aplicar uma expansão em série de Taylor ao numerador da Eq. (6), no caso exponencial. Por outro lado, seguimos utilizando a regra de L’Hôpital:

(9) $$\begin{array}{l}B\left(r\to 0\right)=J_0\frac{{\mu }_0}{2{\beta }_e}\underset{r\to 0}{lim}\left(\frac{1-e^{-{\beta }_e{r}^2}}{r}\right)\\ =J_0\frac{{\mu }_0}{2{\beta }_e}\underset{r\to 0}{lim}\left(\frac{0-\left(-2{\beta }_{e}r\right)e^{-{\beta }_e{r}^2}}{1}\right)=0.\end{array}$$

Uma vez que o primeiro ponto do gráfico foi determinado, é possível avaliar o comportamento da função (que representa o campo magnético) à medida que $r$ aumenta, analisando separadamente as funções no numerador e no denominador da expressão exponencial dada na Eq. (6). Ao focarmos inicialmente na função do numerador, é possível demonstrar, de maneira acessível aos estudantes, que, à medida que $r$ cresce, o termo exponencial tende a zero, o que implica na existência de um valor limite que a função do numerador poderá alcançar. Em relação à função presente no denominador, sua interpretação é mais simples, visto que se trata de um polinômio de grau um. Assim, conforme o $r$ aumenta, a função decresce proporcionalmente a $1/r$. Essa análise está melhor ilustrada na Fig. (5).

Figura 5
Comportamento do numerador da Eq. (6), isto é, $J_0{\mu }_0\left(1-e^{-{\beta }_e{r}^2}\right)/2{\beta }_e$ (a) e do denominador da Eq. (6), isto é, ${\mu }_0/2{\beta }_{e}r$ (b). Foram considerados $J_0{\mu }_0=1T/m$, ${\beta }_e=1m^{-2}$, $R=0.5$ (círculo azul), $R=1.2$ (linha vermelha) e $R=2.5$ (tracejado preto) em unidades apropriadas.

Uma vez que os estudantes tenham compreendido o comportamento descrito, é possível ilustrar o que ocorre com o campo magnético no caso $r<R$. Como é possível observar na Fig.5(a), à medida que a função do numerador atinge seu valor limite, para o caso em que $R=2.5$ (tracejado preto), sua dependência em relação a $r$ praticamente desaparece. Consequentemente, a função do denominador passa a exercer maior influência sobre o comportamento do campo magnético; conforme $r$ aumenta, o campo magnético decresce. Essa mudança de comportamento explica a formação de uma concavidade para baixo na Fig.6(a), para $R=2.5$ (tracejado preto). Contudo, é possível observar que, para valores de $R$ menores, para os quais a função do numerador não alcança o valor limite (como observado na Fig. 5(a), para $R=0.5$ (círculo azul) e $R=1.2$ (linha vermelha)), a função do numerador, e, consequentemente, a função dada pela expressão exponencial da Eq. (6), atinge seu valor máximo para esses valores de $R$ menores, conforme ilustrado na Fig.6(a). Quando $r>R$, a explicação torna-se mais direta: para pontos externos ao fio condutor, o campo magnético passa a obedecer à primeira expressão da Eq. (8) e, a medida que $r$ aumenta, o campo magnético decresce proporcionalmente a $1/r$, como pode ser observado na Fig.6(b).

Figura 6
Comportamento do campo magnético $B$ em função de $r$, quando $r<R$ (a) e $r>R$ (b). Foram considerados ${\beta }_e=1m^{-2}$, $R=0.5$ (círculo azul), $R=1.2$ (linha vermelha) e $R=2.5$ (tracejado preto) em unidades apropriadas.

Compreendido o comportamento do campo magnético tanto para ($r<R$) quanto para ($r>R$), torna-se possível descrever seu comportamento completo, conforme ilustrado na Fig. (7). A Fig. (7) apresenta o comportamento completo do campo magnético em função de $r$ devido a uma distribuição de corrente não uniforme, dada pela função $J\left(r\right)=J_0{e}^{-{\beta }_e{r}^2}$, desde o centro até os pontos externos ao fio condutor de raio $R$. A Fig. 7(a) ilustra esse comportamento para três valores distintos de $R$. Como discutido na seção anterior, fica evidente que o tamanho da área da seção transversal do fio e sua relação com a primeira expressão da Eq. (5) influenciam o comportamento do campo magnético dentro do fio, e consequentemente, em sua superfície. Quanto à Fig. 7(b), este tem como objetivo ilustrar aos estudantes o papel desempenhado pelo parâmetro ${\beta }_e$. É interessante notar que o efeito discutido sobre o numerador da função de $B\left(r\right)$ para $r<R$ parece ter também o efeito de suavizar a curva de $B\left(r\right)$ na fronteira do fio. Assim, se $R$ é grande o suficiente para que o termo $e^{-{\beta }_e{r}^2}$ seja desprezível ainda dentro do fio, a função completa $B\left(r\right)$ vai tender a ter uma derivada contínua em $r=R$. Para $R=2.5$, é possível observar que, quanto maior o valor de ${\beta }_e$, mais rápido ocorre o decaimento de $J\left(r\right)$ e mais rápido é atingido o valor limite do numerador na primeira expressão da Eq. (6). Isso resulta em um valor máximo do campo magnético menor e em pontos mais próximos ao centro do fio condutor, suavizando a conexão da função $B\left(r\right)$ entre as regiões interna e externa ao fio.

Figura 7
(a) Comportamento da intensidade do campo magnético $B$ em função de $r$, para $R=\mathrm{0.5,\; 1.2}e2.5$, com ${\beta }_e=1$. Em (b) com $R=2.5$ foram considerados os casos com ${\beta }_e=1$ (círculo azul), ${\beta }_e=3$ (linha vermelha) e ${\beta }_e=5$ (tracejado preto) em unidades apropriadas.

3.2. Caso Logarítmico

Para o caso logarítmico, considerando pontos internos ao fio condutor ($r<R$), o primeiro ponto de interesse, assim como no caso exponencial, também é o centro do fio, isto é, quando $r=0$. No entanto, substituir esse valor na segunda expressão da Eq. (6) resultará em uma divergência, devido ao termo $\ln \left({\beta }_{l}r\right)$. Como no caso exponencial, também é possível demonstrar aos estudantes como contornar esse problema, utilizando a regra de L’Hôpital.

(10) $$\begin{array}{l}B\left(r\to 0\right)=J_0\frac{{\mu }_0}{2}\underset{r\to 0}{lim}\left(r\ln \left({\beta }_{l}r\right)-\frac{r}{2}\right)\\ =J_0\frac{{\mu }_0}{2}\left(\underset{r\to 0}{lim}\frac{\ln \left({\beta }_{l}r\right)}{1/r}-\underset{=0}{\underbrace{\underset{r\to 0}{lim}\frac{r}{2}}}\right),\\ =-J_0\frac{{\mu }_0}{2}\underset{r\to 0}{lim}\frac{1/r}{1/r^2}=0.\end{array}$$

Uma vez determinado o primeiro ponto do gráfico, é possível analisar o comportamento da função que representa o campo magnético à medida que $r$ aumenta. Ao considerar $r=1$ na segunda expressão da Eq. (6), é simples demonstrar que o valor do campo magnético nesse ponto será $B\left(r=1\right)=-{\mu }_0/4$. Para qualquer valor de $r$ maior que 0 e menor que 1, $\ln \left({\beta }_{l}r\right)$ será negativo, caso ${\beta }_l=1$. Como o valor do campo magnético em $r=1$ já é negativo, isso implica que, para esse intervalo, o campo magnético será ainda mais negativo, resultando em um ponto de mínimo negativo, conforme ilustrado na Fig. 8(a). Quando $r>R$, a explicação segue o mesmo raciocínio do caso exponencial: para pontos externos ao fio condutor, o campo magnético passa a obedecer à segunda expressão da Eq. (8) e, à medida que $r$ aumenta, o campo magnético também decresce proporcionalmente a $1/r$, como pode ser observado na Fig.8(b).

Figura 8
Comportamento da intensidade do campo magnético $B$ em função de $r$, quando $r<R$ em (a) e $r>R$ em (b). Foram considerados ${\beta }_l=1m^{-1}$, $R=1.5$ (círculo azul), $R=2.5$ (linha vermelha) e $R=3.5$ (tracejado preto) em unidades apropriadas.

Após compreender o comportamento do campo magnético tanto dentro ($r<R$) quanto fora ($r>R$) do fio condutor, é possível descrever seu comportamento completo, conforme ilustrado na Fig. (9).

Figura 9
(a) Comportamento da intensidade do campo magnético $B$ em função de $r$, para ${\beta }_l=1$, $R=1.5$ (círculo azul), $R=2.5$ (linha vermelha) e $R=3.5$ (tracejado preto). Em (b) foi considerado com o caso $R=2.5$, a vários valores da variável ${\beta }_l$: ${\beta }_l=1$(círculo azul), ${\beta }_l=3$ (linha vermelha) e ${\beta }_l=5$ (tracejado preto). Foram consideradas, em ambos os casos, unidades apropriadas.

A Fig. (9) apresenta o comportamento completo do campo magnético em função de $r$, gerado por uma distribuição de corrente não uniforme, dada pela função $J\left(r\right)=J_0\ln \left({\beta }_{l}r\right)$, desde o centro até os pontos externos ao fio condutor de raio $R$. A Fig.9(a) ilustra esse comportamento para três valores distintos de $R$. É possível identificar o efeito da inversão no sentido da corrente: o campo magnético também se altera quando $r=e^{1/2}/{\beta }_l$. Ou seja, o campo magnético tem orientação no sentido horário em regiões mais próximas ao centro do fio, diminuindo de intensidade e passando a circular no sentido anti-horário em regiões mais distantes, caso $R$ seja maior que o valor de $r$ que ocorre a inversão. Caso contrário, será apenas negativo, ou seja, apenas no sentido horário. De forma análoga ao caso exponencial, fica evidente que o comportamento do campo magnético, tanto no interior quanto na superfície do fio condutor, é influenciado pelo tamanho da área da seção transversal desse fio e pela sua relação com a segunda expressão da Eq. (5).

A Fig.9(b) tem como objetivo evidenciar o papel desempenhado pelo parâmetro ${\beta }_l$, considerando-se o fio condutor com raio $R=2.5$. Ao recordar aos estudantes que $\ln \left({\beta }_{l}r\right)=\ln \left(r\right)+\ln \left({\beta }_l\right)$, observa-se que, para os valores de ${\beta }_l$ considerados, sempre teremos a soma de um valor constante positivo com $\ln \left(r\right)$. Isso implica que para valores de $r$ maiores que 0 e menores que 1, quanto maior for o valor de ${\beta }_l$, maior será o valor alcançado por $J\left(r\right)$ e menos acentuado será o valor mínimo negativo de $B\left(r\right)$, resultando, consequentemente, em um valor mais elevado desse campo magnético.

4. Discussão e Conclusão

Neste trabalho, analisamos o campo magnético produzido por um fio retilíneo longo com densidade de corrente não uniforme, considerando duas funções distintas para densidade de corrente: uma exponencial do tipo gaussiana e uma logarítmica. A partir da lei de Ampère, foram obtidas expressões analíticas para o campo magnético no interior e no exterior do condutor, preservando a simetria cilíndrica do problema e permitindo uma comparação direta entre os diferentes comportamentos introduzidos pela não uniformidade da corrente.

Os resultados mostram que, embora o campo magnético externo ao fio apresente o comportamento universal proporcional a $1/r$, o campo no interior do condutor depende fortemente da forma funcional da densidade de corrente e dos parâmetros associados a cada distribuição. No caso exponencial, o parâmetro ${\beta }_e$ controla a taxa de decaimento da corrente e influencia diretamente a posição e o valor máximo do campo magnético. Já no caso logarítmico, ${\beta }_l$ conduz a um comportamento qualitativo distinto do campo magnético no interior do fio, em que atua com um fator de deslocamento da função logarítmica, controlando a intensidade da densidade de corrente e, consequentemente, a amplitude do campo magnético.

Do ponto de vista didático, o problema proposto amplia os modelos usualmente explorados em cursos introdutórios de Eletromagnetismo, mantendo, entretanto, uma abordagem analiticamente tratável. A separação entre as regiões interna e externa ao condutor, o uso explícito de limites e a interpretação gráfica dos resultados contribuem para o desenvolvimento da compreensão conceitual e do raciocínio matemático dos estudantes.

Embora as distribuições de corrente analisadas não representem, em geral, sistemas físicos reais, sua escolha se justifica pelo potencial pedagógico, ao permitir a exploração de funções matemáticas relevantes em diferentes contextos da Física. Dessa forma, o presente estudo pode ser utilizado como material complementar em disciplinas básicas de Eletromagnetismo, contribuindo para uma abordagem mais ampla e conceitualmente mais rica da lei de Ampère.

Disponibilidade de Dados

Todo o conjunto de dados que dá suporte aos resultados deste estudo foi publicado no próprio artigo.

Referências

• ^[1] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentals of Physics (Wiley, New York, 2014), 10 ed.
• ^[2] P.A. Tipler e G. Mosca, Física: para Cientistas e Engenheiros (LTC, Rio de Janeiro, 2009), v. 2, 6 ed.
• ^[3] D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Pearson, New York, 2013), 4 ed.
• ^[4] E. Hernández, E. Campos, P. Barniol e G. Zavala, Physical Review Physics Education Research 19, 013102 (2023).
• ^[5] M. Cattani e A. Vannucci, Rev. Bras. Ensino Fís. 36, 2311 (2014).
• ^[6] E. Lüdke e C.A. Gomes, Rev. Bras. Ensino Fís. 33, 1503 (2011).
• ^[7] S.M. Stigler, The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty Before 1900 (The Belknap Press of Harvard University, Cambridge/London, 1986).
• ^[8] S. Stahl, Mathematics Magazine 79, 96 (2006).
• ^[9] C.E. Rasmussen e C.K.I. Williams, Gaussian Processes for Machine Learning (The MIT Press, Cambridge, 2005).
• ^[10] Y. Jiao, D. Li, X. Lu, J.Z. Yang e C. Yuan, Engineering Applications of Artificial Intelligence 135, 108770 (2024).
• ^[11] D. García-Martín, M. Larocca e M. Cerezo, Nature Physics 21, 1153 (2025).
• ^[12] C. Keeler, F. Larsen e P. Lisbão, Physical Review D 90, 043011 (2014).
• ^[13] J.C. Lessa e S.L.A. de Queiroz, Physical Review E 74, 021114 (2006).
• ^[14] F. Camia e Y. Feng, Journal of High Energy Physics 2024, 103 (2024).
• ^[15] X.I.A. Yang, R. Baidya, P. Johnson1, I. Marusic e C. Meneveau, Physical Review Fluids 2, 064602 (2017).
• ^[16] J.D. Jackson, Eletrodinâmica Clássica (Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1983), 2 ed.
• ^[17] C.A.R. Yednak e R. Teixeira de Souza, Rev. Bras. Ensino Fís. 46, e20240251 (2024).

Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  14 Ago 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  19 Maio 2026
• Revisado
  23 Jun 2026
• Aceito
  07 Jul 2026