Braquistócrona na esfera

Ferreira, Rafael Xavier Deiga; Salazar, Hector Leny Carrion

doi:10.1590/1806-9126-RBEF-2019-0020

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Artigos Gerais • Rev. Bras. Ensino Fís. 41 (4) • 2019 • https://doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2019-0020 linkcopiar

Braquistócrona na esfera

Brachistochrone on the sphere

Autoria SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

O problema consiste em determinar a trajetória (entre dois pontos dados) de menor tempo de um corpo, que parte do repouso, restrito a se mover numa superfície esférica e sujeito a um campo gravitacional constante. Através da equação de Euler-Lagrange, obtém-se uma expressão para o tempo total de percurso. O problema foi resolvido numericamente usando técnicas de física computacional e foram obtidos valores numéricos para alguns casos particulares usando o software Mathematica, os quais foram comparados com o tempo de queda livre e com o tempo que o corpo levaria caso se deslocasse pela geodésica da esfera (que liga os dois pontos dados). Além disso, foi estudada a dependência do tempo que o corpo leva para chegar ao final da trajetória com a posição na qual ele é solto numa mesma curva de tempo mínimo (análogo ao problema da tautócrona no plano).

Palavras-chave:
Equação de Euler-Lagrange; Braquistócrona; Shooting method

$ϕ_{0}$	$θ_{0}$	$ϕ_{f}$	$θ_{f}$	QL	Mín	Geod
$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{10}$	$\frac{2 π}{5}$	0,334	0,594	0,677
$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{5 π}{12}$	0,348	0,615	0,708
$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{3 π}{10}$	0,154	0,297	0,677
$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{10}$	$\frac{2 π}{5}$	0,282	0,433	0,482
$\frac{π}{5}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{7}$	$\frac{7 π}{18}$	0,178	0,251	0,276
$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{15}$	$\frac{3 π}{10}$	0,236	0,423	0,443
$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	0,416	0,593	0,599
$\frac{π}{13}$	$\frac{π}{2}$	0	$\frac{5 π}{6}$	0,416	0,471	0,473
$\frac{π}{14}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{π}{20}$	$\frac{7 π}{10}$	0,343	0,358	0,359
0	$\frac{π}{6}$	- $\frac{π}{3}$	$\frac{3 π}{5}$	0,485	0,747	0,856
0	$\frac{π}{6}$	- $\frac{π}{4}$	$\frac{11 π}{18}$	0,492	0,714	0,765
0	$\frac{π}{6}$	- $\frac{π}{5}$	$\frac{5 π}{8}$	0,500	0,703	0,733
- $\frac{π}{5}$	$\frac{3 π}{5}$	- $\frac{π}{4}$	$\frac{3 π}{4}$	0,282	0,329	0,331
- $\frac{π}{4}$	$\frac{3 π}{4}$	- $\frac{π}{3}$	$\frac{5 π}{6}$	0,178	0,311	0,319

$ϕ_{0}$	$θ_{0}$	$ϕ_{f}$	$θ_{f}$	QL	Mín	Geod
$\frac{π}{3}$	$7, {5.10}^{- 2}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	0,610	1,396	1,403
$\frac{π}{3}$	$7, {9.10}^{- 4}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	0,611	2,836	2,846
$\frac{π}{3}$	$7, {9.10}^{- 6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	0,611	4,292	4,301
$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$3, 07$	0,610	0,863	0,864
$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$3, 1408$	0,611	0,875	0,875
$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$ & $\frac{π}{4}$	$3, 1415$	0,611	0,875	0,875
$\frac{π}{3}$	$7, {5.10}^{- 2}$	$\frac{π}{4}$	$3, 07$	0,632	1,467	1,469
$\frac{π}{3}$	$7, {9.10}^{- 4}$	$\frac{π}{4}$	$3, 1408$	0,632	2,918	2,921
$\frac{π}{3}$	$7, {9.10}^{- 6}$	$\frac{π}{4}$	$3, 1415$	0,632	4,385	Erro

$θ$ (rad)	Tempo (s)
0,524	0,875
0,733	0,778
0,942	0,710
1,152	0,658
1,361	0,618
1,571	0,586
1,780	0,561
1,990	0,541
2,199	0,526
2,409	0,514
2,618	0,505

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