O Problema Restrito de Três Corpos e o Sistema Terra-Lua

The Restricted Three-Body Problem and the Earth-Moon System

Resumo

Construímos, através do problema restrito de três corpos, cinco soluções analíticas conhecidas como Pontos de Lagrange. O processo, iniciado através da adimensionalização do problema, tem o objetivo de diminuir os graus de liberdade do sistema astrodinâmico para seis variáveis. Em conjunto à adimensionalização, uma mudança de referencial foi necessária, passando de um referencial inercial para um não-inercial, com o propósito da sintetização de três equações de movimento que descrevem o sistema. Analisando-as através da função U de Jacobi, que avalia a energia potencial efetiva do sistema, projeções de duas e três dimensões foram criadas. Conhecidas como curvas de zero velocidade e regiões de Hill, respectivamente, essas projeções são capazes de descrever as soluções analíticas. Aplicando esses conceitos no sistema Terra-Lua, foi possível estudar os fenômenos físicos que ocorrem em suas imediações, mais especificamente as nuvens de Kordylewski, que se encontram nos pontos L4 e L5 Terra-Lua.

Palavras-chave:
Problema restrito de três corpos; Regiões de Hill; pontos de Lagrange; nuvens de Kordylewski

Abstract

We constructed through the Restricted Three-Body Problem, five analytical solutions known as Lagrange Points. The process began with the non-dimensionalization of the problem, which aims to reduce the degrees of freedom of the astrodynamical system to six variables. In addition to non-dimensionalization, a frame transformation was necessary, shifting from an inertial to a co-rotating reference frame, which yielded the three equations of motion that describe the system. By analyzing these equations using the Jacobi’s U function, which evaluates the system’s effective potential energy, we created two-dimensional and three-dimensional projections. These projections, known as zero-velocity curves and Hill’s regions, respectively, effectively describe the analytical solutions. Applying these concepts to the Earth-Moon system, it was possible to study the physical phenomena occurring in its vicinity, specifically the Kordylewski clouds, located at the Earth-Moon L4 and L5.

Keywords:
Restricted three body problem; Hill’s regions; Lagrange points; Kordylewski clouds

1. Introdução

O problema dos três corpos é um dos problemas mais famosos da mecânica clássica, e mesmo após 300 anos de sua concepção, continua sem solução. Sua premissa é simples, como funciona a dinâmica de três corpos celestes que se atraem mutuamente?

As origens do problema estão profundamente interligadas com a própria história da Física. Embora astrônomos – em especial Kepler, que já havia formulado suas três leis em 1619 – tivessem descrito como sistemas com dois corpos funcionam, a primeira explicação matemática do porquê dessa dinâmica acontecer veio com Newton [¹].

Após aplicar com sucesso seu método de geometria plana para resolver analiticamente o problema de dois corpos, demonstrando que duas massas orbitam seu centro de massa comum em elipses e provando as leis de Kepler, sua atenção se voltou para o próximo passo natural na evolução dinâmica de um sistema com dois corpos, a inclusão de um terceiro corpo [²].

Mesmo determinado a obter o mesmo sucesso, Newton não foi capaz de obter uma solução analítica para o problema, com sua frustração sendo acompanhada por inúmeros físicos e matemáticos desde o final do século XVII. Em 1887, Henri Poincaré argumentou que o problema não tinha uma solução analítica geral, demonstrando que o sistema era não-integrável e caótico [³]. A afirmação de Poincaré contudo foi provada falsa por Sundman, que em 1912 confirmou a existência de uma solução analítica para o problema [⁴].

A descoberta de Sundman, apesar de importante, não fornece um resultado prático. Sua solução teria um número de termos que excede a ordem de 10^8000000, tornando uma solução analítica do problema completo virtualmente inacessível [⁵].

Contudo, apesar de na prática, não ser solucionável, o problema de três corpos continua recebendo atenção devido a necessidade constante da compreensão de sistemas astrodinâmicos.

Tanto a evolução de sistemas planetários como o Sistema Solar, como a propagação de trajetórias de missões espaciais, dependem de uma descrição matemática. A solução criada para esse problema foi implementada através de diversas condições impostas no problema original, dando origem a um caso idealizado, o problema restrito de três corpos (PRTC).

O PRTC consiste em duas condições principais. A primeira delas descreve dois dos corpos, chamados de primário e secundário, que são massivos e obedecem às leis de Kepler, orbitando seu centro de massa comum (também conhecido como baricentro) em trajetórias circulares.

A segunda condição implementada descreve o terceiro corpo constituinte do sistema, chamado de terciário. No PRTC, sua massa é tão pequena que é comparativamente desprezível aos corpos primário e secundário, sendo assim, não os influenciando gravitacionalmente.

Outras condições também são impostas no sistema, como por exemplo, a restrição do movimento de todos os corpos ocorrerem no mesmo plano.

O estudo do PRTC tem sua origem nas descobertas dos matemáticos Leonhard Euler e Joseph-Louis Lagrange, que foram capazes de encontrar os casos em que uma solução analítica seria possível [⁶].

Euler, pioneiro nesse novo método, já analisava de perto o problema de três corpos na década de 60 do século XVIII, culminando em seu famoso trabalho de 1767, onde discute sobre três soluções para o problema em questão.

Suas soluções descrevem três pontos estabelecidos em uma linha que cruza as duas massas primárias do sistema. Nesses três pontos, um terceiro corpo permanece em equilíbrio relativo aos dois corpos mais massivos [⁷].

Em 1772, era a vez de Lagrange encontrar duas soluções complementares às eulerianas, obtidas a partir da análise do movimento equilateral da primeira solução colinear. Tanto as soluções de Euler quanto a de Lagrange são consideradas como soluções para o problema restrito de três corpos [⁸].

Outro avanço importante no estudo do PRTC é a descrição da dinâmica do sistema através da energia potencial efetiva do sistema, desenvolvida por Jacobi, ela combina a influência gravitacional dos corpos primário e secundário na partícula teste com a força centrífuga sofrida pelo mesmo [⁹].

Essa descrição pode ser utilizada para a localização de diversos corpos em nosso Sistema Solar, como os asteroides Troianos coorbitando vários planetas, inclusive a Terra. Partículas menores como aglomerados de poeira ou até mesmo satélites artificiais podem ter sua dinâmica descrita através do PRTC.

Desta forma, o PRTC é um dos pilares da Mecânica Celeste e é uma boa introdução para sistemas com dinâmica não-linear, onde através de métodos básicos de cálculo infinitesimal e modelagem, é capaz de criar uma ferramenta que oferece uma estrutura robusta para a compreensão de interações gravitacionais e uma introdução para sistemas dinâmicos na astrodinâmica moderna [¹⁰, ¹¹].

Para se envolver plenamente com os conteúdos apresentados a seguir, este trabalho pressupõe que o leitor possua conhecimentos básicos de cálculo multivariável e sua aplicação em superfícies. Por se tratar de conceitos vistos comumente no ciclo básico da graduação, o trabalho é voltado para estudantes de Física iniciando a fase avançada do curso, e que tenham interesse no estudo de sistemas dinâmicos e exploração espacial.

Com esse conhecimento prévio, podemos prosseguir com a seção 2 e a análise de um sistema sob o problema de três corpos original e as condições aplicadas para a criação do caso restrito. Além disso, na seção 3, aplicamos seus resultados para localizar as nuvens de Kordylewski no sistema Terra-Lua, vendo brevemente o comportamento de uma partícula teste perturbada nesses locais.

2. O Problema Restrito de Três Corpos

Um dos desafios encontrados nos séculos de estudo deste problema é a necessidade de diminuir os graus de liberdade do problema original a fim de obter então um sistema mais simples de ser analisado.

Inicialmente, este processo é realizado através da idealização de um caso em que os três corpos são organizados de forma que o sistema seja composto por dois corpos massivos, m₁ e m₂, de forma que haja uma diferença considerável de massa entre os dois, e um terceiro corpo m₃ com massa comparativamente desprezível à ambos, de forma a respeitar a definição m₁ > m₂ ≫ m₃.

Outras limitações também são impostas, em especial a necessidade de o sistema ter sua dinâmica descrita somente em duas dimensões, isto é, em um plano, e que as órbitas descritas pelos corpos celestes tenham excentricidade nula, ou seja, circulares.

Com todas essas circunstâncias em mente, podemos começar através da Lei da Gravitação Universal de Newton e o problema de três corpos original, impondo as abstrações ao longo do texto. Temos que

$$\overrightarrow{F}=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\widehat{\overrightarrow{r}},$$

em que $\overrightarrow{F}=m\ddot{\overrightarrow{r}}$ e $\widehat{\overrightarrow{r}}=\frac{\overrightarrow{r}}{r}$.

Sejam então três corpos simetricamente esféricos, com massas homogêneas, interagindo entre si gravitacionalmente como massas puntiformes. Assim como suposto no problema de dois corpos, os três corpos nesse sistema estão suficientemente longe de qualquer outro corpo no Universo, desta forma, toda a interação gravitacional vinda fora desse sistema local pode ser desprezada.

A representação gráfica deste sistema é observada abaixo na Figura 1.

Figura 1
Configuração de um sistema de três corpos massivos. Os vetores de posição relativa ${\overrightarrow{\rho }}_{12}$, ${\overrightarrow{\rho }}_{13}$ e ${\overrightarrow{\rho }}_{23}$ são mostrados.

Interpretando o sistema através da Figura 1, temos que a interação gravitacional entre os diferentes corpos tem a forma

(1) $$m_1{\ddot{\overrightarrow{r}}}_1={\displaystyle \frac{G{m}_1{m}_2}{{\rho }_{12}^3}}{\overrightarrow{\rho }}_{12}+{\displaystyle \frac{G{m}_1{m}_3}{{\rho }_{13}^3}}{\overrightarrow{\rho }}_{13},$$

(2) $$m_2{\ddot{\overrightarrow{r}}}_2=-{\displaystyle \frac{G{m}_1{m}_2}{{\rho }_{12}^3}}{\overrightarrow{\rho }}_{12}+{\displaystyle \frac{G{m}_2{m}_3}{{\rho }_{23}^3}}{\overrightarrow{\rho }}_{23},$$

(3) $$m_3{\ddot{\overrightarrow{r}}}_3=-{\displaystyle \frac{G{m}_1{m}_3}{{\rho }_{13}^3}}{\overrightarrow{\rho }}_{13}-{\displaystyle \frac{G{m}_2{m}_3}{{\rho }_{23}^3}}{\overrightarrow{\rho }}_{23},$$

onde ${\overrightarrow{\rho }}_{12}={\overrightarrow{r}}_1+{\overrightarrow{r}}_2=(x_1+x_2,y_1+y_2,z+0)$, ${\overrightarrow{\rho }}_{13}={\overrightarrow{r}}_1+{\overrightarrow{r}}_3=(x_1+x_3,y_1+y_3,z+0)$ e ${\overrightarrow{\rho }}_{23}={\overrightarrow{r}}_2+{\overrightarrow{r}}_3=(x_2+x_3,y_2+y_3,z+0)$.

As três equações podem ser somadas, obtendo assim a seguinte forma

(4) $$m_1{\ddot{\overrightarrow{r}}}_1+m_2{\ddot{\overrightarrow{r}}}_2+m_3{\ddot{\overrightarrow{r}}}_3=G\left[\frac{m_1{m}_2}{{\rho }_{12}^3}{\overrightarrow{\rho }}_{12}+\frac{m_1{m}_3}{{\rho }_{13}^3}{\overrightarrow{\rho }}_{13}-\frac{m_1{m}_2}{{\rho }_{12}^3}{\overrightarrow{\rho }}_{12}+\frac{m_2{m}_3}{{\rho }_{23}^3}{\overrightarrow{\rho }}_{23}-\frac{m_1{m}_3}{{\rho }_{13}^3}{\overrightarrow{\rho }}_{13}-\frac{m_2{m}_3}{{\rho }_{23}^3}{\overrightarrow{\rho }}_{23}\right].$$

Acima, o lado direito da equação se torna nulo, deixando a equação como

(5) $$m_1{\ddot{\overrightarrow{r}}}_1+m_2{\ddot{\overrightarrow{r}}}_2+m_3{\ddot{\overrightarrow{r}}}_3=0.$$

De forma a entender mais sobre o sistema, podemos tentar analisar o movimento de seu centro de massa. Isso é possível ao integrar a equação (5), que descreve as acelerações no sistema duas vezes. Temos então que

(6) $${\int }_0^t{m}_1{\ddot{\overrightarrow{r}}}_1+m_2{\ddot{\overrightarrow{r}}}_2+m_3{\ddot{\overrightarrow{r}}}_{3}dt=\int 0\mathit{d}t,$$

(7) $${\int }_0^t{m}_1{\dot{\overrightarrow{r}}}_1+m_2{\dot{\overrightarrow{r}}}_2+m_3{\dot{\overrightarrow{r}}}_{3}dt=\int \overrightarrow{C}\mathit{d}t,$$

(8) $$m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2+m_3{\overrightarrow{r}}_3={\overrightarrow{C}}_{1}t+{\overrightarrow{C}}_2,$$

onde ${\overrightarrow{C}}_1$ e ${\overrightarrow{C}}_2$ são vetores constantes de integração.

A dinâmica de um centro de massa de um sistema de é definido por

(9) $$R=\frac{m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2+m_3{\overrightarrow{r}}_3+\cdots +m_n{\overrightarrow{r}}_n}{m_1+m_2+m_3+\cdots +m_n},$$

que ao relacioná-lo com a equação de movimento sintetizada do sistema, toma a forma

(10) $$RM=m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2+m_3{\overrightarrow{r}}_3,$$

(11) $$RM={\overrightarrow{C}}_{1}t+{\overrightarrow{C}}_2,$$

(12) $$R=\frac{{\overrightarrow{C}}_{1}t}{M}+\frac{{\overrightarrow{C}}_2}{M},$$

onde M = m₁ + m₂ + m₃ é a massa total do sistema.

Notemos que a equação acima tem o formato característico de uma reta cartesiana y = ax + b, desta forma, a análise matemática indica que o centro de massa de sistema tem dois estados. Ou o centro de massa permanece em repouso, ou, caso esteja em movimento, terá sua trajetória descrita em um movimento retilíneo uniforme.

Tomando m₁ > m₂ ≫ m₃, podemos definir a massa do terceiro corpo como comparativamente desprezível, assim como a massa de um satélite em relação a massa da Terra. Caso o centro de massa também se encontre em repouso, temos que

(13) $$\frac{m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2}{m_1+m_2}=0.$$

Tomando ainda a distância entre os corpos primário e secundário como $a=\left|{\overrightarrow{r}}_1\right|+\left|{\overrightarrow{r}}_2\right|=1$ e definindo a distância entre os corpos primário e secundário como uma grandeza adimensional, temos

(14) $$\left|{\overrightarrow{r}}_1\right|=\frac{m_2}{m_1+m_2}a.$$

O parâmetro de massa é definido no termo m₂/(m₁+m₂), obtendo assim

(15) $$\left|{\overrightarrow{r}}_1\right|=\mu a=\mu ,$$

onde podemos relacioná-la com

(16) $$\begin{array}{l}a=\left|{\overrightarrow{r}}_1\right|+\left|{\overrightarrow{r}}_2\right|,\hfill \\ 1=\mu +\left|{\overrightarrow{r}}_2\right|,\hfill \\ \left|{\overrightarrow{r}}_2\right|=1-\mu .\hfill \end{array}$$

Podemos então analisar um sistema de três corpos onde o corpo terciário tem massa comparativamente desprezível. A relação entre os corpos é descrita pela Figura 2.

Figura 2
Sistema de três corpos onde o corpo terciário tem massa comparativamente desprezível. Os vetores de posição ${\overrightarrow{\rho }}_1$ e ${\overrightarrow{\rho }}_1$, da partícula de teste m₃ para as partículas primárias massivas m₁ e m₂, são mostrados. O vetor $\overrightarrow{r}$ denota a separação entre a partícula teste e o baricentro do sistema.

Portanto, podemos definir

(17) $${\overrightarrow{\rho }}_1=\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1=(x-x_1,y-y_1,z-0),$$

(18) $${\overrightarrow{\rho }}_2=\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_2=(x-x_2,y-y_2,z-0).$$

Para analisar a dinâmica da partícula teste m₃, é utilizamos sua equação (3) e dividimos ambos os lados por m₃, obtemos a equação

(19) $$\ddot{\overrightarrow{r}}=-\frac{G{m}_1}{\rho _1^{}{}_{}{}^2}{\widehat{\rho }}_1-\frac{G{m}_2}{\rho _2^{}{}_{}{}^2}{\widehat{\rho }}_2,$$

onde ${\widehat{\rho }}_i=\frac{{\overrightarrow{\rho }}_i}{\left|{\rho }_i\right|}$.

A partir disso, é possível decompor o vetor $\ddot{\overrightarrow{r}}$ em três direções, obtendo a dinâmica da partícula teste neste sistema. Essas três equações são chamadas de equações de movimento e tem a forma [⁶]

(20) $$\begin{array}{l}\ddot{x}=-{\displaystyle \frac{G{m}_1}{\rho _1^{}{}_{}{}^3}}\left(x-x_1\right)-{\displaystyle \frac{G{m}_2}{\rho _2^{}{}_{}{}^3}}\left(x-x_2\right),\\ \ddot{y}=-{\displaystyle \frac{G{m}_1}{\rho _1^{}{}_{}{}^3}}\left(y-y_1\right)-{\displaystyle \frac{G{m}_2}{\rho _2^{}{}_{}{}^3}}\left(y-y_2\right),\\ \ddot{z}=-{\displaystyle \frac{G{m}_1}{\rho _1^{}{}_{}{}^3}}\left(z\right)-{\displaystyle \frac{G{m}_2}{\rho _2^{}{}_{}{}^3}}\left(z\right).\end{array}$$

Essas equações podem ser adimensionalizadas, processo planejado através do teorema dos π’s de Vaschy-Buckingham, como descrito a seguir:

Teorema 2.1 (Teorema de Vaschy-Buckingham) Se uma relação física envolve n variáveis, e estas podem ser expressas em termos de j dimensões fundamentais (como comprimento, massa e tempo), então a relação pode ser escrita como uma função de n − j parâmetros adimensionais.

Desta forma, através de um certo número n de variáveis, que formam j conjuntos independentes é possível obter um número π de quantidades adimensionais [¹²]

(21) $$\pi =n-j.$$

No problema de três corpos suas nove variáveis independentes são, (x,y,z) as coordenadas cartesianas tradicionais, a é a distância entre os corpos primário e secundário, m₁,m₂ são, respectivamente, as massas dos corpos primário e secundário, t é a variável temporal, ω é a velocidade angular e G é a constante gravitacional newtoniana.

As coordenadas de posição e a distância entre os corpos são ambas variáveis pertencentes a dimensão espacial (L), as massas m₁ e m₂ fazem parte da dimensão massiva (M) e o tempo e a velocidade angular na dimensão temporal (T). Por sua vez, G é composta pelas três dimensões anteriores.

Temos então que as nove variáveis independentes do sistema são definidas dimensionalmente da forma

$$\left(x,y,z,a\right)=\left[L\right],\left(m_1,m_2\right)=\left[M\right],\left(t\right)=\left[T\right],\left(\omega \right)=\left[\frac{1}{T}\right],G=\left[\frac{L^3}{M{T}^2}\right],$$

correspondendo a um sistema descrito por j = 3 grandezas dimensionais (L,M,T). Como o número de variáveis independentes é n = 9, podemos determinar o número de variáveis adimensionais do problema apresentado da seguinte maneira:

(22) $$\pi =n-j=9-3=6.$$

Com o número de variáveis possíveis, realizamos então a adimensionalização [¹³], que resulta nas equações de movimento. O processo de adimensionalização completo pode ser encontrado no Apêndice. Seu resultado tem a forma

(23) $$\begin{array}{l}\ddot{\alpha }=\frac{-(1-\mu )(\alpha +\mu \cdot cos(\tau ))}{{\eta }_1^3}\\ -\frac{\mu (\alpha -((1-\mu )\cdot cos(\tau ))}{{\eta }_2^3},\\ \ddot{\beta }=\frac{-(1-\mu )(\beta +\mu \cdot sin(\tau ))}{{\eta }_1^3}\\ -\frac{\mu (\beta -((1-\mu )\cdot sin(\tau ))}{{\eta }_2^3},\\ \ddot{\gamma }=\frac{-(1-\mu )\gamma }{{\eta }_1^3}-\frac{\mu \gamma }{{\eta }_2^3}.\end{array}$$

onde $\ddot{\alpha }$, $\ddot{\beta }$ e $\ddot{\gamma }$ são os equivalentes adimensionais das variáveis $\ddot{x}$, $\ddot{y}$ e $\ddot{z}$ e são definidos por $\alpha =\frac{x}{a}$, $\beta =\frac{y}{a}$ e $\gamma =\frac{z}{a}$. As distâncias adimensionais são definidas como ${\eta }_1=\sqrt{{\left(\alpha +\mu \cos \tau \right)}^2+{\left(\beta +\mu sin\tau \right)}^2+{\gamma }^2}$ e ${\eta }_2=\sqrt{{\left(\alpha -\left(1-\mu \right)\cos \tau \right)}^2+{\left(\beta +\mu sin\tau \right)}^2+{\gamma }^2}$.

É necessário salientar que, por se tratar de um sistema plano, o PRTC não utiliza a terceira equação de movimento descrita por $\ddot{\gamma }$. Entretanto, para fins demonstrativos, incluiremos o cálculo da terceira equação de movimento na próxima seção.

Nela, para obter maior entendimento sobre a dinâmica do sistema, e poder usufruir o método jacobiano de descrição, alteraremos o quadro de referência de um referencial inercial para um não-inercial [¹³, ¹⁴, ¹⁵].

2.1. Equações de movimento em um referencial não-inercial

Fixado com a mesma velocidade de rotação do corpo secundário e com o corpo primário em sua origem, o referencial não-inercial traz uma nova condição imposta no sistema. Agora, os corpos celestes primário e secundário não se encontram somente no mesmo plano, mas também se encontram no mesmo eixo.

Seu resultado é uma grande simplificação do problema, visto que, com as massas primária e secundária fixadas, somente a dinâmica do corpo terciário é necessária para descrever as características do sistema.

Matematicamente, as equações de movimento perdem sua dependência trigonométrica, diminuindo assim a importância do período τ, criando um modelo que independe das condições iniciais temporais dos corpos celestes e por conseguinte, perdendo outro grau de liberdade.

O primeiro passo é reescrever as coordenadas no novo referencial. A mudança de coordenadas tem a forma dada por

$$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=xcos\left(\theta \right)-ysin\left(\theta \right)\\ y^{\prime }=ycos\left(\theta \right)+xsin\left(\theta \right)\end{array}.$$

Sua representação geométrica é observada na Figura 3.

Figura 3
Representação da mudança de referencial inercial A(α,β,γ) para o referencial não-inercial B(X,Y,Z). O sistema é rotacionado por um período τ qualquer.

O vetor direção $\overrightarrow{r}$ toma a seguinte forma ao mudar de um referencial inercial (A) para um não-inercial (B) que rotaciona com período τ

$${\overrightarrow{r}}_A=(\alpha ,\beta ,\gamma )⟶{\overrightarrow{r}}_B=(X,Y,Z).$$

Com as relações observadas, é possível realizar a transformação das coordenadas

$$\{\begin{array}{c}\alpha =Xcos\left(\tau \right)-Ysin\left(\tau \right)\\ \beta =Ycos\left(\tau \right)+Xsin\left(\tau \right)\end{array}.$$

Como o processo de transformação de referencial é moderadamente extenso, primeiro será abordada a transição do lado esquerdo das equações de movimento (23), com o lado direito efetuado em seguida.

A transição de vetores do referencial inercial para um não inercial é realizada através de uma matriz transformação. A matriz transformação utilizada nesse processo é a conhecida matriz dos cossenos diretores (MCD) [¹⁶]

(24) $$\left[AB\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\left(\tau \right)& -sin\left(\tau \right)& 0\\ sin\left(\tau \right)& cos\left(\tau \right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$$

A relação entre os dois vetores em diferentes referenciais é descrita como

(25) $$\begin{array}{l}{\overrightarrow{r}}_A=\left[AB\right]\cdot {\overrightarrow{r}}_B,\\ {\overrightarrow{r}}_B=\left[BA\right]\cdot {\overrightarrow{r}}_A,\end{array}$$

onde A e B são os diferentes referenciais definidos anteriormente.

Desta forma, se tratando da transição dos termos do lado esquerdo das equações de movimento, é necessário diferenciar as componentes de ${\overrightarrow{r}}_A$ duas vezes. Temos então que

$${\overrightarrow{r}}_A=(\alpha ,\beta ,\gamma )⟶{\dot{\overrightarrow{r}}}_A=(\dot{\alpha },\dot{\beta },\dot{\gamma }),$$

que pode ser reescrita como

(26) $${\dot{\overrightarrow{r}}}_A=\frac{d}{dt}\left(\left[AB\right]\cdot {\overrightarrow{r}}_B\right).$$

Pela regra do produto, a equação se torna

(27) $${\dot{\overrightarrow{r}}}_A=\dot{\left[AB\right]}{\overrightarrow{r}}_B+\left[AB\right]{\dot{\overrightarrow{r}}}_B.$$

Para prosseguir, é necessário diferenciar a MCD [AB]

(28) $$\dot{\left[AB\right]}=\left[\begin{array}{ccc}-sin\left(\tau \right)& -cos\left(\tau \right)& 0\\ cos\left(\tau \right)& -sin\left(\tau \right)& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$$

É possível observar que a matriz $\dot{\left[AB\right]}$ pode ser obtida através de [AB] por meio de uma matriz transformação M qualquer como

(29) $$\dot{\left[AB\right]}=M\cdot \left[AB\right]⟶M=\dot{\left[AB\right]}\cdot {\left[AB\right]}^{-1}.$$

Multiplicando então a matriz (28) pela inversa de [AB], é possível obter a matriz M[¹³]

(30) $$M=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$$

Desta forma, podemos reescrever a equação (27) como

(31) $$\begin{array}{l}{\dot{\overrightarrow{r}}}_A=[AB]\cdot M{\overrightarrow{r}}_B+[AB]{\dot{\overrightarrow{r}}}_B,\\ =[AB](M{\overrightarrow{r}}_B+{\dot{\overrightarrow{r}}}_B),\end{array}$$

que substituindo seus devidos parâmetros toma a forma de

(32) $${\dot{\overrightarrow{r}}}_A=\left[AB\right]\left(\begin{array}{c}\dot{X}-Y\\ \dot{Y}+X\\ \dot{Z}\end{array}\right).$$

Realizando o mesmo processo novamente é possível obter o valor de ${\ddot{\overrightarrow{r}}}_A$

(33) $${\ddot{\overrightarrow{r}}}_A=\frac{d}{dt}[\left[AB\right]\left(\begin{array}{c}\dot{X}-Y\\ \dot{Y}+X\\ \dot{Z}\end{array}\right)].$$

Utilizando a equação (31) e utilizando a regra do produto, podemos escrever que

(34) $$\begin{array}{l}{\ddot{\overrightarrow{r}}}_A=\dot{[AB]}M{\overrightarrow{r}}_B+[AB]M{\dot{\overrightarrow{r}}}_B\\ +\dot{[AB]}{\dot{\overrightarrow{r}}}_B+[AB]{\ddot{\overrightarrow{r}}}_B,\end{array}$$

já que a matriz M é uma constante. Dessa maneira, temos que

(35) $${\ddot{\overrightarrow{r}}}_A=\left[AB\right]\left\{MM{\overrightarrow{r}}_B+2M{\dot{\overrightarrow{r}}}_B+{\ddot{\overrightarrow{r}}}_B\right\}.$$

Aplicando então os devidos parâmetros temos que

(36) $${\ddot{\overrightarrow{r}}}_A=\left[AB\right]\left(\begin{array}{c}\ddot{X}-2\dot{Y}-X\\ \ddot{Y}+2\dot{X}-Y\\ \ddot{Z}\end{array}\right),$$

que por sua vez pode ser reescrita como

(37) $$\left(\begin{array}{c}\ddot{\alpha }\\ \ddot{\beta }\\ \ddot{\gamma }\end{array}\right)=\left[AB\right]\left(\begin{array}{c}\ddot{X}-2\dot{Y}-X\\ \ddot{Y}+2\dot{X}-Y\\ \ddot{Z}\end{array}\right).$$

Com $\ddot{\overrightarrow{r}}$ calculado, o lado esquerdo das equações de movimento foram convertidas para o referencial não-inercial.

Agora, resolvendo o lado direito das equações obtemos

(38) $$\begin{array}{l}\ddot{\alpha }=\frac{-(1-\mu )(\alpha +\mu \cdot cos(\tau ))}{{\eta }_1^3}\\ -\frac{\mu (\alpha -((1-\mu )\cdot cos(\tau ))}{{\eta }_2^3},\end{array}$$

(39) $$\begin{array}{l}\ddot{\beta }=\frac{-(1-\mu )(\beta +\mu \cdot sin(\tau ))}{{\eta }_1^3}\\ -\frac{\mu (\beta -((1-\mu )\cdot sin(\tau ))}{{\eta }_2^3},\end{array}$$

(40) $$\ddot{\gamma }={\displaystyle \frac{-\left(1-\mu \right)\gamma }{{\eta }_1^3}}-{\displaystyle \frac{\mu \gamma }{{\eta }_2^3}}.$$

Com a mesma relação utilizada anteriormente, com o acréscimo da componente γ, isto é

$$\{\begin{array}{c}\alpha =Xcos\left(\tau \right)-Ysin\left(\tau \right)\\ \beta =Ycos\left(\tau \right)+Xsin\left(\tau \right)\\ \gamma =Z\end{array},$$

é possível substituí-la nas equações de movimento. Começando por $\ddot{\alpha }$, verificamos que

(41) $$\ddot{\alpha }=cos\left(\tau \right)[{\displaystyle \frac{-\left(1-\mu \right)\left(X+\mu \right)}{{\eta }_1^3}}]+\left(sin\left(\tau \right)\right)[{\displaystyle \frac{\left(1-\mu \right)Y}{{\eta }_1^3}}]-cos\left(\tau \right)[{\displaystyle \frac{\mu \left(X-\left(1-\mu \right)\right)}{{\eta }_2^3}}]+\left(sin\left(\tau \right)\right)[{\displaystyle \frac{\mu X}{{\eta }_2^3}}].$$

Já para a variável $\ddot{\beta }$, temos que

(42) $$\begin{array}{l}\ddot{\beta }=cos\left(\tau \right)[{\displaystyle \frac{-\left(1-\mu \right)Y}{{\eta }_1^3}}]-sin\left(\tau \right)[{\displaystyle \frac{\left(1-\mu \right)\left(X+\mu \right)}{{\eta }_1^3}}]\\ +cos\left(\tau \right)[{\displaystyle \frac{\mu Y}{{\eta }_2^3}}]-sin\left(\tau \right)[{\displaystyle \frac{\mu \left(X-\left(1-\mu \right)\right)}{{\eta }_2^3}}].\end{array}$$

Por fim, para $\ddot{\gamma }$ obtemos

(43) $$\ddot{\gamma }=\frac{-\left(1-\mu \right)Z}{{\eta }_1^3}-\frac{\mu Z}{{\eta }_2^3}.$$

As distâncias η₁ e η₂ também são alteradas e tomam as formas ${\eta }_1=\sqrt{{\left(X+\mu \right)}^2+Y^2+Z^2}$ e ${\eta }_2=\sqrt{{\left(X-\left(1-\mu \right)\right)}^2+Y^2+Z^2}$.

Com cada componente da equação de movimento decomposta, observamos em $\ddot{\alpha }$ e $\ddot{\beta }$ a presença de $(cos\left(\tau \right),\pm sin\left(\tau \right),\pm cos\left(\tau \right),\pm sin\left(\tau \right))$ transformando os termos da equação. Todavia, o mesmo não acontece em $\ddot{\gamma }$, indicando que a transformação de referencial só ocorre nos eixos x e y, o que condiz com a Figura 3.

O próximo passo consiste em descrever essa transformação como realizado previamente, através da multiplicação de uma matriz de rotação qualquer. Ao analisar as equações, notemos que essa matriz atuante em $\ddot{\overrightarrow{r}}$ é dada por

(44) $$\ddot{\overrightarrow{r}}=\left[\begin{array}{ccc}cos\left(\tau \right)& -sin\left(\tau \right)& 0\\ sin\left(\tau \right)& cos\left(\tau \right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}\ddot{\alpha }\\ \ddot{\beta }\\ \ddot{\gamma }\end{array}\right),$$

que é a matriz [AB] descrita anteriormente. Portanto

(45) $$\ddot{\overrightarrow{r}}=\left[AB\right]\left(\begin{array}{c}\ddot{\alpha }\\ \ddot{\beta }\\ \ddot{\gamma }\end{array}\right)$$

é o lado direito das equações de movimento.

Logo, igualando ambos os lados das equações de movimento, obtemos

(46) $$\left[AB\right]\left(\begin{array}{c}\ddot{X}-2\dot{Y}-X\\ \ddot{Y}+2\dot{X}-Y\\ \ddot{Z}\end{array}\right)=\left[AB\right]\left(\begin{array}{c}\ddot{\alpha }\\ \ddot{\beta }\\ \ddot{\gamma }\end{array}\right).$$

Multiplicando os dois lados por ${\left[AB\right]}^{-1}$, obtemos

(47) $$\left(\begin{array}{c}\ddot{X}-2\dot{Y}-X\\ \ddot{Y}+2\dot{X}-Y\\ \ddot{Z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\ddot{\alpha }\\ \ddot{\beta }\\ \ddot{\gamma }\end{array}\right).$$

Por fim, com ambos os lados obtidos, podemos finalizar o tratamento matricial e analisar cada equações de movimento separadamente [¹⁵], obtendo

(48) $$\ddot{X}=-{\displaystyle \frac{\left(1-\mu \right)\left(X+\mu \right)}{{\eta }_1^3}}-{\displaystyle \frac{\mu \left(X-\left(1-\mu \right)\right)}{{\eta }_2^3}}+2\dot{Y}+X,$$

(49) $$\ddot{Y}=-{\displaystyle \frac{\left(1-\mu \right)Y}{{\eta }_1^3}}-{\displaystyle \frac{\mu Y}{{\eta }_2^3}}-2\dot{X}+Y,$$

(50) $$\ddot{Z}=-{\displaystyle \frac{\left(1-\mu \right)Z}{{\eta }_1^3}}-{\displaystyle \frac{\mu Z}{{\eta }_2^3}}.$$

Desta forma, as equações de movimento adimensionalizadas são transformadas para um referencial não-inercial. A dependência explícita do tempo desaparece, e devido a isso, é possível aplicar os conceitos desenvolvido por Jacobi no PRTC.

2.1.1. Energia Potencial e a Constante de Jacobi

Com todo o trabalho realizado analisando as equações de movimento de um sistema como esse, muito das influências indesejadas sobre o problema desaparecem. Para obter algum resultado objetivo dos fenômenos físicos restantes ainda descritos pelas equações, uma nova técnica precisa ser desenvolvida, a análise da energia potencial efetiva do sistema.

Esse artifício foi descrito por Jacobi em 1842 por meio da função U, uma função escalar que tem as características de uma energia potencial em um referencial não-inercial e que pode ser obtida através da integração das acelerações que descrevem as equações de movimento do sistema [⁹, ¹³, ¹⁵]

(51) $$U=-\frac{1}{2}\left(X^2+Y^2\right)-\frac{1-\mu }{{\eta }_1}-\frac{\mu }{{\eta }_2},$$

onde as distâncias η_i são descritas por ${\eta }_1=\sqrt{{\left(X+\mu \right)}^2+Y^2}$ e ${\eta }_2=\sqrt{{\left(X-\left)1-\mu \right)\right)}^2+Y^2}$.

Somente dependendo da posição, distância e massa entre os corpos primário e secundário, a função U é separada em duas expressões distintas. A primeira parte, descreve a força centrífuga que atua sobre o corpo terciário, resultado da utilização de um sistema referencial não-inercial. A segunda parte, por sua vez, é a energia potencial total do sistema.

A interação entre as duas partes, cria a descrição completa da influência dos corpos primário e secundário sobre o terciário, isto é, a função U de Jacobi representa a energia potencial efetiva no problema restrito de três corpos.

A relação da função U com as equações de movimento pode ser obtida através de sua diferenciação por cada componente

(52) $${\displaystyle \frac{\partial U}{\partial X}}={\displaystyle \frac{\left(1-\mu \right)\left(X+\mu \right)}{{\eta }_1^3}}+{\displaystyle \frac{\mu \left(X-\left(1-\mu \right)\right)}{{\eta }_2^3}}-X,$$

(53) $${\displaystyle \frac{\partial U}{\partial Y}}={\displaystyle \frac{\left(1-\mu \right)Y}{{\eta }_1^3}}-{\displaystyle \frac{\mu Y}{{\eta }_2^3}}-Y,$$

(54) $${\displaystyle \frac{\partial U}{\partial Z}}={\displaystyle \frac{\left(1-\mu \right)Z}{{\eta }_1^3}}+{\displaystyle \frac{\mu Z}{{\eta }_2^3}}.$$

As equações de movimento podem ser reescritas em função de U, de maneira simples, utilizando as Eqs. (48)–(50) e (52)–(54), para obter

(55) $$\ddot{X}-2\dot{Y}=-{\displaystyle \frac{\partial U}{\partial X}},$$

(56) $$\ddot{Y}+2\dot{X}=-{\displaystyle \frac{\partial U}{\partial Y}},$$

(57) $$\ddot{Z}=-{\displaystyle \frac{\partial U}{\partial Z}}.$$

Através da multiplicação por $2\dot{X}$ na equação (55), $2\dot{Y}$ na equação (56) e $2\dot{Z}$ na equação (57) e efetuando uma adição entre elas, temos que

(58) $$2\dot{X}\ddot{X}+2\dot{Y}\ddot{Y}+2\dot{Z}\ddot{Z}=-2\dot{X}{\displaystyle \frac{\partial U}{\partial X}}-2\dot{Y}{\displaystyle \frac{\partial U}{\partial Y}}-2\dot{Z}{\displaystyle \frac{\partial U}{\partial Z}},$$

onde podemos rearranjá-la como

(59) $$\frac{d}{dt}\left({\dot{X}}^2+{\dot{Y}}^2+{\dot{Z}}^2\right)=-2\frac{dU}{dt}.$$

Integrando a equação acima, o resultado obtido é dado por

(60) $$v^2=-2U+C,$$

em que v é a velocidade da massa m₃.

A constante de integração C aparece em todos os sistemas lagrangianos explicitamente independentes do tempo. Na Astrodinâmica, esta constante é conhecida como a Constante (ou integral) de Jacobi. Única no PRTC, ela representa a pseudo-energia do terceiro corpo do sistema [¹⁵].

No caso restrito, as soluções descritas por Euler e Lagrange descrevem cinco posições específicas onde o corpo terciário pode permanecer em equilíbrio com velocidade nula (por se tratar de um referencial não-inercial).

Desta forma, tomando v = 0, a Equação (60) toma a forma de

(61) $$C=2U.$$

A definição de C em função de U é importante na descrição do sistema, podendo definir a relação entre a energia do terceiro corpo e a energia potencial efetiva do sistema, descrevendo então os limites dinâmicos que um terceiro corpo pode realizar no PRTC de acordo com seus próprios níveis de energia. Sua definição matemática pode ser obtida substituindo a função U de Jacobi, Equação (51), tomando a forma de

(62) $$C=-\left(X^2+Y^2\right)-\frac{2\left(1-\mu \right)}{{\eta }_1}-\frac{2\mu }{{\eta }_2},$$

Essa equação é conhecida como a equação dos contornos de velocidade nula do sistema.

Sua representação gráfica pode ser visualizada na Figura 4 para diferentes níveis de energia, representadas pelas diversas constantes de Jacobi.

Figura 4
Curvas de zero velocidade em um sistema com μ = 0.25. Os diferentes níveis de energia definidos por C descrevem os quatro casos energéticos no PRTC. Caso 1: A Partícula Teste só tem energia para orbitar um dos corpos primário ou secundário. Caso 2: A partícula teste tem energia suficiente para realizar uma transferência entre os corpos primário e secundário. Caso 3: A partícula teste tem energia o suficiente para se transferir para fora do sistema. Caso 4: Caso mais exagerado do caso 3, as ZVC ocupam somente a região de L4 e L5.

Sua contraparte em três dimensões, é uma superfície com a forma apresentada na Figura 5. Essas superfícies são chamadas de Regiões de Hill [¹³].

Figura 5
Região de Hill com μ = 0.0909. Os limites energéticos do sistema são descritos por camadas sobrepostas de superfícies definidas por C. As quatro camadas representadas acima tem valor C = (4.0, 3.5, 3.2, 3.0).

A Região de Hill é importante para o entendimento do problema de três corpos restrito, pois, ela é uma representação em três dimensões das relações energéticas no sistema. A melhor forma de analisar o problema de três corpos através dessas regiões é obtida com o corte de tais superfícies, de forma a se obter somente sua parte inferior. Na Figura 6, um exemplo de superfície resultante desse corte é observado.

Figura 6
Corte de uma das camadas inferiores da Região de Hill com μ = 0.0909.

Esse corte específico, conhecido como superfície do potencial efetivo, é uma das principais ferramentas no estudo do PRTC. Sua forma peculiar é produto da interação de dois fenômenos físicos distintos, a energia potencial e a força centrífuga.

Podemos observar a seguir, na Figura 7 e na Figura 8, o efeito de ambas as partes separadamente.

Figura 7
Efeito da energia potencial realizada pelo efeito gravitacional dos corpos primário e secundário. Considerando o corpo terciário como uma esfera livre no sistema, o mesmo se deslocaria ao encontro de um dos poços de potencial do sistema. O parâmetro de massa utilizado é μ = 0.25.

Figura 8
Efeito da força centrífuga criada pela utilização de um referencial não-inercial. Utilizando a analogia anterior, o corpo terciário se deslocaria para as bordas do sistema, até ser eventualmente ejetado.

Contudo, é possível obter alguma configuração de energia do sistema em que o corpo terciário permaneça no sistema? Começamos a responder essa pergunta a partir da Figura 9, onde mostramos a combinação dos dois fenômenos.

Figura 9
Superfície do potencial efetivo obtido ao combinar ambas as grandezas, energia potencial + força centrífuga. O parâmetro de massa utilizado é μ = 0.25.

As imagens anteriores evidenciam as curvas causadas nos poços feitos pelas massas primária e secundária, representando a energia potencial causada pela atração gravitacional entre elas e o terceiro corpo. Já na parte exterior da superfície, as curvas são interpretadas como a força centrífuga que é criada ao utilizar um referencial não-inercial.

Por se tratar de uma superfície em três dimensões, é possível obter os pontos máximos e mínimos em seu domínio. Fisicamente, esses pontos podem ser interpretados como coordenadas no espaço em que a energia potencial gravitacional e a força centrífuga se cancelam.

Os pontos que possuem essas características energéticas, descritos na superfície do potencial efetivo, ou nas curvas de zero velocidade, são conhecidos como os pontos de Lagrange.

2.1.2 Pontos de Lagrange

Descritos pela primeira vez por Leonhard Euler e suas três soluções colineares e expandidos por Lagrange e suas duas soluções do triângulo equilátero, os pontos de Lagrange foram o primeiro grande passo para a solução do problema de três corpos.

Nesta seção, através da análise do potencial feita por Jacobi, observamos os cinco pontos por meio dos pontos máximos e mínimos da função U

$$U=-\frac{1}{2}\left(X^2+Y^2\right)-\frac{1-\mu }{{\eta }_1}-\frac{\mu }{{\eta }_2},$$

em que η₁ e η₂ são descritos como

(63) $${\eta }_1=\sqrt{{\left(X+\mu \right)}^2+Y^2}\text{e}{\eta }_2=\sqrt{{\left(X-\left(1-\mu \right)\right)}^2+Y^2}.$$

Começamos pelas soluções colineares, onde Euler propõe que os três corpos se situem no mesmo eixo. Desta forma, fazendo Y = 0, temos que

$$U=-\frac{X^2}{2}-\frac{1-\mu }{\left|X+\mu \right|}-\frac{\mu }{\left|X-\left(1-\mu \right)\right|}.$$

Diferenciando parcialmente em X, temos

(64) $$\frac{\partial U}{\partial X}=X-\frac{\left(1-\mu \right)}{{\left|X+\mu \right|}^2}-\frac{\mu }{{\left|X-\left(1-\mu \right)\right|}^2}=0.$$

Quando observamos a superfície do potencial efetivo, é possível observar três pontos críticos no eixo X, todos pontos de sela.

Portanto, após realizar a diferenciação, é possível utilizar a localização dos pontos críticos em relação as massas primária e secundária como um guia.

Os três casos são descritos a seguir

• Caso 1: Quando o ponto crítico se localiza entre a massa m₁ e a massa m₂ (L1);

• Caso 2: Quando o ponto crítico se localiza depois da massa m₂ (L2);

• Caso 3: Quando o ponto crítico se localiza antes da massa m₁ (L3).

Em cada um desses casos, $\frac{\partial U}{\partial X}$ é descrito de maneira diferente. Podemos observar essas mudanças ao reescrever (64) como X − A − B = 0, onde $A=\pm \frac{\left(1-\mu \right)}{{\left|X+\mu \right|}^2}$ e $B=\pm \frac{\mu }{{\left|X-\left(1-\mu \right)\right|}^2}$, em que o sinal de cada termo varia de acordo com cada caso de localização do ponto crítico como listado anteriormente. Os casos A = 0 e B = 0 determinam as posições dos corpos primário e secundário no eixo X, respectivamente. Podemos ver essa configuração na Figura 10.

Figura 10
Condições de cada caso de localização dos pontos de equilíbrio colineares.

Utilizando A = 0 e B = 0 como fronteiras, podemos determinar a posição do corpo terciário de acordo com sua localização em relação aos corpos primário e secundário. Nos três casos apresentados acima, a descrição do potencial do sistema se altera de acordo com a mudança de sinal de A e B

• caso 1 descreve L1, onde X = A − B,

• caso 2 descreve L2, onde X = A + B,

• caso 3 descreve L3, onde X = −A −B.

Desta forma, ao aplicar as condições na expressão completa, equação (64), obtemos as seguintes interpretações

(65) $$L1:X={\displaystyle \frac{\left(1-\mu \right)}{{\left|X+\mu \right|}^2}}-{\displaystyle \frac{\mu }{{\left|X-\left(1-\mu \right)\right|}^2}},$$

(66) $$L2:X={\displaystyle \frac{\left(1-\mu \right)}{{\left|X+\mu \right|}^2}}+{\displaystyle \frac{\mu }{{\left|X-\left(1-\mu \right)\right|}^2}},$$

(67) $$L3:X={\displaystyle \frac{\left(\mu -1\right)}{{\left|X+\mu \right|}^2}}-{\displaystyle \frac{\mu }{{\left|X-\left(1-\mu \right)\right|}^2}},$$

que determinam as coordenadas no espaço dos três primeiros pontos de equilíbrio do PRTC. Resta definir os dois pontos L4 e L5 encontrados por Lagrange. Por não estarem localizados somente no eixo X, o potencial efetivo utilizado para descrevê-los necessita da componente Y, aumentando um pouco sua complexidade.

Partimos novamente da função U

$$U=-\frac{1}{2}\left(X^2+Y^2\right)-\frac{1-\mu }{{\eta }_1}-\frac{\mu }{{\eta }_2},$$

em que η₁ e η₂ são descritos agora por

(68) $${\eta }_1^2=\left|{\left(X+\mu \right)}^2+Y^2\right|\text{e}{\eta }_2^2=\left|{\left(X-\left(1-\mu \right)\right)}^2+Y^2\right|.$$

Tratando de um caso não-colinear, é mais proveitoso descrever o sistema através das distâncias η₁ e η₂ ao invés do X utilizado anteriormente e sua contraparte Y no outro eixo. Essa transformação é descrita através da relação algébrica [¹³]

(69) $$X^2+Y^2=\left(1-\mu \right){\eta }_1^2+\mu {\eta }_2^2-\mu \left(1-\mu \right).$$

Portanto, o potencial efetivo toma a forma de

(70) $$U=-\frac{1-\mu }{{\eta }_1}-\frac{\mu }{{\eta }_2}-\frac{1}{2}\left(1-\mu \right){\eta }_1^2-\frac{1}{2}\mu {\eta }_2^2.$$

O próximo passo é realizado ao empregar a regra da cadeia na equação acima

(71) $${\displaystyle \frac{\partial U}{\partial X}}={\displaystyle \frac{\partial U}{\partial {\eta }_1}}{\displaystyle \frac{\partial {\eta }_1}{\partial X}}+{\displaystyle \frac{\partial U}{\partial {\eta }_2}}{\displaystyle \frac{\partial {\eta }_2}{\partial X}},$$

(72) $${\displaystyle \frac{\partial U}{\partial Y}}={\displaystyle \frac{\partial U}{\partial {\eta }_1}}{\displaystyle \frac{\partial {\eta }_1}{\partial Y}}+{\displaystyle \frac{\partial U}{\partial {\eta }_2}}{\displaystyle \frac{\partial {\eta }_2}{\partial Y}}.$$

Substituindo os componentes, obtemos as equações

(73) $${\displaystyle \frac{\partial U}{\partial {\eta }_1}}{\displaystyle \frac{X+\mu }{{\eta }_1}}+{\displaystyle \frac{\partial U}{\partial {\eta }_2}}{\displaystyle \frac{X-\left(1-\mu \right)}{{\eta }_2}}=0,$$

(74) $${\displaystyle \frac{\partial U}{\partial {\eta }_1}}{\displaystyle \frac{Y}{{\eta }_1}}+{\displaystyle \frac{\partial U}{\partial {\eta }_2}}{\displaystyle \frac{Y}{{\eta }_2}}=0,$$

em que caso Y ≠ 0, a relação

(75) $$\frac{\partial U}{\partial {\eta }_1}=\frac{\partial U}{\partial {\eta }_2}=0$$

é verdadeira.

Como os pontos L4 e L5 diferem dos pontos colineares que só se encontram no eixo X, tanto L4 como L5 respeitam essa condição de Y. Desta forma, é possível resolver o sistema através desse conceito, onde a equação (70) é diferenciada por η₁ e η₂, criando o sistema de equações

(76) $${\displaystyle \frac{\partial U}{\partial {\eta }_1}}={\displaystyle \frac{1-\mu }{{\eta }_1^2}}-\left(1-\mu \right){\eta }_1=0{\eta }_1={\displaystyle \frac{1}{{\eta }_1^2}},$$

(77) $${\displaystyle \frac{\partial U}{\partial {\eta }_2}}={\displaystyle \frac{\mu }{{\eta }_2^2}}-\mu {\eta }_2=0{\eta }_2={\displaystyle \frac{1}{{\eta }_2^2}}.$$

Ambos resultados indicam que existem dois pontos críticos em η₁ = η₂ = 1. Sua localização pode ser encontrada através de uma simples análise geométrica.

Ao efetuar a adimensionalização dos parâmetros do sistema, a distância entre os corpos primário e secundário é determinada como 1. Como ambos, η₁ e η₂, precisam também ter uma magnitude igual a 1, a forma do triângulo equilátero descrita por Lagrange é observada.

Por se tratar de um triângulo equilátero, a localização de seus vértices é facilmente obtidas através da altura $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$. Desta forma

(78) $$L4:X=-\mu +{\displaystyle \frac{1}{2}}eY={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a,$$

(79) $$L5:X=-\mu +{\displaystyle \frac{1}{2}}eY=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a,$$

onde a é a distância entre os corpos primário e secundário.

Com os 5 pontos de equilíbrio definidos, as soluções analíticas do PRTC são encontradas. Através de diversas técnicas matemáticas podemos então descrever esse sistema extremamente complexo em 5 simples equações.

Na Figura 11 mostramos os pontos de Lagrange em um sistema com parâmetro de massa μ = 0.25, onde é possível observar os três pontos colineares localizados nos pontos de sela da superfície de potencial. Por sua vez, os dois pontos triangulares estão localizados nos máximos globais.

Figura 11
Localização dos Pontos de Lagrange na superfície do potencial efetivo de um sistema com parâmetro de massa μ = 0.25.

Na próxima seção, analisamos o efeito desses pontos de equilíbrio no âmbito do sistema Terra-Lua.

3. Nuvens de Kordylewski

Observado pela primeira vez em 1906, 588 Achilles tornou-se o primeiro exemplo do que conhecemos hoje como Troianos [¹⁷]. A descoberta de milhares de asteroides pertencentes a essa categoria ao longo do último século trouxe a dúvida da existência de outros corpos celestes nos diversos pontos de Lagrange no Sistema Solar.

Descritos como os fósseis do Sistema Solar, acredita-se que os asteroides troianos tenham se formado durante os estágios iniciais da evolução de nosso sistema, remanescentes do disco de gás e poeira que cercaram o Sol bilhões de anos atrás [¹⁸].

Atualmente, observamos esse tipo de agrupamento espalhado por quase toda nossa vizinhança. O Sistema Solar conta com Troianos em vários de seus constituintes: o já citado Júpiter, Saturno [¹⁹], Urano [²⁰], Netuno [²¹], Marte [²²] e a Terra.

Curiosamente as luas Tétis e Dione, de Saturno, também possuem troianos coorbitando o gigante gasoso. Tétis conta com Telesto em seu L4 e Calipso em seu L5, já Dione tem Helene em seu L4 e Polideuces em seu L5 [²³].

Pelo número inferior de satélites aprisionados em outros sistemas se comparado ao sistema Sol-Júpiter, a observação desses asteroides em outros sistemas acaba sendo comparativamente mais difícil, com descobertas bem mais recentes. Por exemplo, os dois Troianos terrestres foram descobertos em 2010 e 2020 [²⁴].

Entretanto, aglomeração de matéria nesses pontos de equilíbrio não se resume somente aos asteroides. Em 1961, o astrônomo polonês Kazimierz Kordylewski publicou suas observações de nuvens nos pontos de equilíbrio L4 e L5 do sistema Terra-Lua [²⁵].

Conhecida hoje por nuvens de Kordylewski (KDC, do inglês Kordylewski Dust Cloud em sua homenagem), esse aprisionamento é um dos fenômenos mais elusivos do Sistema Solar, com diversas observações sem sucesso e com confirmação definitiva somente na década passada [²⁶], tornando um personagem recente das redondezas terrestres, assim como os Troianos discutidos anteriormente.

Dois problemas iniciais surgem ao analisar a KDC, o principal deles é o próprio sistema Terra-Lua. Nosso sistema, quando comparado com o Sistema Solar como um todo, tem apenas uma fração da massa total. Desta forma, qualquer corpo que esteja sob o domínio Terra-Lua está mais suscetível a perturbações se comparado a um par mais robusto, como o sistema Sol-Júpiter [²⁷].

Por essa discrepância existir, é natural que também exista uma diferença na estabilidade dos pontos de equilíbrio em ambos os sistemas. No PRTC o parâmetro de massa μ dos corpos primário e secundário do sistema deve responder aos valores μ ⩾ 0,9614791 ou μ ⩽ 0,0385209 para que os pontos L4 e L5 sejam estáveis, [¹⁵].

Ambos os sistemas contam com razões bem abaixo desse limite. Sol-Júpiter tem seu parâmetro de massa como μ = 9,533 × 10⁻⁴. Já para o sistema Terra-Lua temos que

(80) $$\begin{array}{l}{\mu }_{T-L}=\frac{m_{Lua}}{m_{Terra}+m_{Lua}}\\ =\frac{0,07346\times {10}^{24}kg}{5,972\times {10}^{24}kg+0,07346\times {10}^{24}kg}\\ =0,01215unid.demassa,\end{array}$$

consequência da Lua ter cerca de 1% da massa terrestre. Desta maneira, podemos então aplicar o PRTC nessa situação sem preocupação com a estabilidade do próprio sistema Terra-Lua.

Apesar disso, além da influência gravitacional natural do próprio sistema, as nuvens de Kordylewski também tem uma peculiaridade por não se tratar de corpos massivos como asteroides, mas sim de grãos de poeira. Essa característica por si só necessita de um sistema mais complexo de descrição, visto que, sua dinâmica depende da consideração dos efeitos não gravitacionais, como a radiação solar e sua influência no momento angular do aglomerado [²⁸].

Contudo, por somente incluir interações gravitacionais dentro de um sistema, ao utilizar o caso restrito do problema de três corpos, essas características adicionais são ignoradas.

Ignorar tais aspectos tem suas vantagens e desvantagens. Levar em consideração somente a dinâmica intrassistêmica faz com que o problema seja bem mais simples de ser resolvido. Seu ônus é a perda de fidelidade comparado a sistemas mais complexos.

Com a escolha da utilização do sistema simplificado, a computação através do PRTC ainda é robusta o suficiente para descrever corretamente a dinâmica de tal fenômeno.

Através dela, podemos obter a localização dos pontos de Lagrange L4 e L5, onde estão situadas as nuvens. Com o parâmetro de massa do sistema obtido, é possível descrever as coordenadas dos pontos em unidades de distância (ud)

(81) $$L4:X=-\mu +\frac{1}{2}=-\mathrm{0,01215}+\frac{1}{2}=\mathrm{0,48785}ud,$$

(82) $$L5:X=-\mu +\frac{1}{2}=-\mathrm{0,01215}+\frac{1}{2}=\mathrm{0,48785}ud.$$

Tomando a distância entre a Terra e a Lua como 1 unidade de distância, podemos então, como descrito anteriormente, determinar as coordenadas no eixo Y

(83) $$L4:Y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\left(1\right)=0.8660254ud,$$

(84) $$L5:Y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\left(1\right)=-0.8660254ud.$$

Com as coordenadas obtidas, é possível então sobrepor os resultados sobre os contornos de zero velocidade, como mostra a Figura 12. É notável a diferença, tanto nas zonas de trânsito proibidas quanto na energia descrita pela constante de Jacobi, entre o sistema Terra-Lua, visto na Figura 12 e o sistema com parâmetro μ = 0.25 da Figura 4.

Figura 12
Pontos de Lagrange do sistema Terra-Lua (μ = 0.01215) sobre as curvas de zero velocidade em diversos níveis de energia.

Também é possível analisar os dados através das superfícies de potencial efetivo, evidenciados na Figura 13.

Figura 13
Pontos de Lagrange do sistema Terra-Lua (μ = 0.01215). Notemos a diferença da contribuição Lunar para a força centrífuga em comparação ao sistema visualizado na Figura 11.

Somente a utilização do PRTC em um sistema que se enquadre na faixa de estabilidade ditada pelo parâmetro de massa é, apesar de suas abstrações, uma boa ferramenta descritiva da localização dos pontos de equilíbrio de um sistema astrodinâmico.

Entretanto, ainda é possível obter algumas das descrições dinâmicas mais complexas através de perturbações simples. Como já elaborado, as partículas de poeira que constituem as KDC estão sujeitas a interação da radiação solar. Sua inclusão normalmente é feita através da utilização do Problema Bicircular Aumentado (PBCA), caso específico do Problema Bicircular (PBC), que por si só é um caso específico do problema de quatro corpos utilizado para descrever o sistema Terra-Lua que analisamos, porém, incluindo o efeito do Sol [²⁸].

A utilização do PRTC ainda é útil para a localização dos pontos de Lagrange e por conseguinte a própria localização do aglomerado de matéria. Contudo, o ônus é a perda da dinâmica individual de cada partícula que compõe as KDCs.

Uma das formas de ainda obter algum tipo de informação sobre a dinâmica individual, é a aplicação de uma pequena perturbação em uma partícula teste. Em sistemas mais complexos, podemos observar uma grande diferença na trajetória de partículas de acordo com seus parâmetros de tamanho, massa, a presença e ausência de carga elétrica ou simplesmente a incidência de radiação solar.

Em nossa simulação, a partícula teste se encontra no ponto L4 do sistema Terra-Lua e tem massa e raio nulo. Sua única perturbação é uma pequena distância arbitrária do ponto de equilíbrio. As distâncias escolhidas têm os valores de 0.0075 ud e 0.01 ud.

Se pensarmos na superfície de potencial efetivo como um objeto físico de tamanho adequado, podemos utilizar algum objeto esférico como uma bola de gude para representar a partícula. Ao colocá-la em algum dos cinco pontos de Lagrange, a bolinha ficaria em equilíbrio. Ao deslocá-la, a tendência natural é de que a bola de gude role para alguma direção.

O mesmo acontece com a partícula teste, quanto mais longe do ponto de L4, mais caótico é sua dinâmica. A seguir, as Figuras 14 e 15 mostram alguns exemplos deste complexo movimento.

Figura 14
Trajetória de uma partícula teste perturbada no sistema Terra-Lua. A perturbação é realizada através do deslocamento de 0.0075 ud a partir do ponto de equilíbrio L4.

Figura 15
Perturbação de 0.01 ud na partícula teste no sistema Terra-Lua. Notemos a trajetória caótica resultante devido a uma perturbação maior sobre o corpo terciário.

4. Considerações Finais

Neste artigo, mostramos como explicar o movimento retilíneo de três corpos que se atraem mutuamente através do problema restrito dos três corpos, caso particular do conhecido problema dos três corpos. As suas soluções levam ao estabelecimento dos pontos de Lagrange, que são posições no espaço onde as forças gravitacionais de dois corpos massivos, como a Terra e o Sol ou a Terra e a Lua, se equilibram de modo que um objeto menor (como um satélite ou asteroide) possa permanecer em uma posição estável em relação a eles. Verificamos que esses pontos surgem da combinação das forças gravitacionais dos dois corpos principais e da força centrífuga causada pelo movimento orbital. Um objeto posicionado em um dos pontos de Lagrange orbita junto com os corpos principais, mantendo uma posição relativa fixa. No processo de construção da teoria encontramos cinco pontos de Lagrange no sistema de dois corpos, denominados L1, L2, L3, L4 e L5, a saber

1. L1 – localizado entre os dois corpos principais do sistema, temos como exemplo o telescópio solar SOHO [²⁹] está no L1 do sistema Sol-Terra,

2. L2 – localizado no lado oposto ao corpo menor, alinhado com os dois corpos, como, por exemplo o telescópio James Webb, que está no L2 do sistema Terra-Sol [³⁰],

3. L3 – que se encontra do lado oposto ao corpo menor, mas na órbita do corpo maior, e que é pouco útil na prática devido à distância em que se encontra,

4. L4 e L5 – que formam um triângulo equilátero com os dois corpos principais e são estáveis pois os objetos tendem a ficar presos ali; como exemplo temos os asteroides Troianos de Júpiter, que se encontram em L4 e L5 do sistema Sol-Júpiter [³¹].

Nós buscamos obter de forma relativamente simples um modelo matemático do Sistema Terra-Lua, a fim de possibilitar a descrição da natureza dos pontos de equilíbrio que se encontram no mesmo. Por sua aplicabilidade, o PRTC é uma das principais ferramentas para este tipo de tarefa, capaz de descrever sucintamente a dinâmica de um sistema planetário, desde que seus pré-requisitos sejam respeitados.

É extremamente importante reconhecer que o PRTC é uma ferramenta de base para sistemas mais complexos. As abstrações realizadas neste trabalho, por exemplo, são bons indicadores das limitações que o PRTC possui, visto que não aborda perturbações de corpos adicionais, corpos não perfeitamente esféricos, efeitos relativísticos e órbitas não-circulares.

Entretanto, o PRTC é muito importante para a descrição e estudo dos astros em sistemas de múltiplos corpos, e apesar de suas limitações, ainda é capaz de obter cinco soluções extremamente úteis não só para fins teóricos, como mostramos no breve estudo das KDC neste artigo, mas também para a astronáutica moderna, onde indica locais seguros no espaço para satélites, telescópios espaciais e afins.

Além de sua importância para a manutenção de objetos artificiais, esta ferramenta ainda é bastante robusta e fidedigna aos casos encontrados na natureza. Utilizando-se dos cinco resultados analíticos e aplicando-os no nosso Sistema Solar, foi possível observar e catalogar milhares de asteroides aos longos dos séculos, em especial os Troianos jovianos, que enumeram mais de quatorze mil nos pontos L4 e L5 do sistema Sol-Júpiter.

Em conclusão, este artigo apresenta por meio de análises matemáticas e a utilização de recursos computacionais, uma maneira simples de se determinar os pontos de equilíbrio de um sistema astrodinâmico com três corpos. Em nosso sistema local Terra-Lua, ao utilizar as regiões de Hill e seus subprodutos, obtemos rapidamente a localização e dinâmica de um dos fenômenos que ocorrem em nossa vizinhança, dando outra perspectiva não só ao nosso sistema e seus fenômenos, mas também na matemática presente no próprio problema de três corpos.

Agradecimentos

O presente trabalho foi realizado com apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa e Inovação do Espírito Santo (Fapes) – T.O. 365/2022, da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq).

Material Suplementar

O seguinte material suplementar está disponível online:

Apêndice:

Adimensionalização das Equações de Movimento.

Disponibilidade de Dados

Todo o conjunto de dados que dá suporte aos resultados deste estudo foi disponibilizado em um Repositório de Dados:

• Nome do Repositório: Figshare

• URL: https://doi.org/10.6084/m9.figshare.30715841.v1

• Data do Depósito: 25/11/2025

References

• ^[1] R.R. Bate, D.D. Mueller e J.E. White, Fundamentals of Astrodynamics (Courier Dover Publications, Mineola, 2020).
• ^[2] S. Chandrasekhar, Newton’s Principia for the common reader (Oxford University Press, Oxford, 2003).
• ^[3] J.B. Green, Poincaré and the three body problem (American Mathematical Society, Providence, 1997).
• ^[4] K.F. Sundman, Acta mathematica 36, 105 (1913).
• ^[5] D. Belorizky, Journal des Observateurs 16, 189 (1933).
• ^[6] S.W. McCuskey, Introduction to Celestial Mechanics (Addison-Wesley Publishing Company, Reading, 1963).
• ^[7] L. Euler, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 11, 144 (1767).
• ^[8] J.L. Lagrange, Prix de l’académie royale des Sciences de Paris 9, 292 (1772).
• ^[9] C.G.J. Jacobi e C.W. Borchardt, Vorlesungen über Dynamik: nebst fünf hinterlassenen Abhandlungen desselben (G. Reimer, Berlin, 1866).
• ^[10] L.J.B. Quaresma e M.E. Rodrigues, Revista Brasileira de Ensino de Física 41, e20170401 (2019).
• ^[11] G.S. Macedo e A.J.R. Junior, Revista Brasileira de Ensino de Física, 40, e4311 (2018).
• ^[12] Y. Çengel e J. Cimbala, Fluid mechanics fundamentals and applications (McGraw Hill, Columbus, 2013).
• ^[13] W.S. Koon, M.W Lo, J.E. Marsden e S.D. Ross, Dynamical systems, the three-body problem and space mission design (Marsden Books, California, 2022).
• ^[14] E. Belbruno, Capture dynamics and chaotic motions in celestial mechanics: With applications to the construction of low energy transfers (Princeton University Press, Princeton, 2004).
• ^[15] A. Tewari, Foundations of Space Dynamics (Wiley, Hoboken, 2020).
• ^[16] H. Goldstein, C. Poole e J. Safko, Classical Mechanics (Pearson, Londres, 2002).
• ^[17] M. Connors, Journal for the History of Astronomy 55, 76 (2024).
• ^[18] LUCY, disponível em: https://www.nasa.gov/johnson/HWHAP/lucy
  » https://www.nasa.gov/johnson/HWHAP/lucy
• ^[19] M.T Hui, P.A. Wiegert, R. Weryk, M. Micheli, D.J. Tholen, S.Deen, A.J. Walker e R. Wainscoat, The Astrophysical Journal Letters 975, 9 (2024).
• ^[20] L. Zhou, L.Y. Zhou, R. Dvorak e J. Li, Astronomy & Astrophysics 633, A153 (2020).
• ^[21] WHERE IS WEBB?, disponível em: https://webb.nasa.gov/content/webbLaunch/whereIsWebb.html
  » https://webb.nasa.gov/content/webbLaunch/whereIsWebb.html
• ^[22] H Scholl, F. Marzari e P. Tricarico, Icarus 175, 397 (2005).
• ^[23] A. Izidoro, O.C. Winter e M. Tsuchida, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 405, 2132 (2010).
• ^[24] M.T. Hui, P.A. Wiegert, D.J. Tholen e D. Föhring, The Astrophysical Journal Letters 922, L25 (2021).
• ^[25] K. Kordylewski, Acta Astronomica 11, 165 (1961).
• ^[26] J.S. Balogh, A. Barta e G. Horváth, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 480, 5550 (2018).
• ^[27] T. Salnikova, S. Stepanov e A. Shuvalova, Acta Astronautica 150, 85 (2018).
• ^[28] J. Gimeno, A. Jorba, M. Jorba-Cusco e B. Nicolás, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 136, 23 (2024).
• ^[29] J.S. Parker e R.L Anderson, Low Energy Lunar Trajectory Design (John Wiley & Sons, Hoboken, 2014).
• ^[30] J.P. Gardner, J.C. Mather, M. Camplin, R. Doyon, M.A. Greenhouse, H.B. Hammel, J.B. Hutchings. P. Jakobsen, S.J. Lilly, K.S. Long et al., Space Science Reviews 123, 485 (2006).
• ^[31] T. Grav, A.K. Mainzer, J. Bauer, J. Masiero, T. Spahr, R.S McMillan, R. Walker, R. Cutri, E. Wright, P.R.M. Eisenhardt et al., The Astrophysical Journal 742, 40 (2011).

Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreirahttps://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  12 Jan 2026
• Data do Fascículo
  2025

Histórico

• Recebido
  10 Jun 2025
• Revisado
  29 Set 2025
• Aceito
  10 Nov 2025