Obtenção da relação de Planck em espaço-tempo com horizonte de eventos

Obtaining the Planck relation in spacetime with an event horizon

Resumo

Neste trabalho, resolvemos e discutimos um dos problemas apresentados no livro didático Gravitation Foundations and Frontiers de Padmanabhan, demonstrando como obter a relação de Planck em um espaço-tempo curvo na vizinhança do horizonte de eventos, de uma maneira mais simples do que em outras referências conhecidas. O objetivo é preencher uma lacuna, do ponto de vista didático, em materiais introdutórios sobre o assunto e facilitar a compreensão de tópicos avançados pelos estudantes.

Palavras-chave:
Mecânica Quântica; Teoria Quântica de Campos; Horizonte de Eventos; Lei de Planck.

Abstract

In this work, we solve and discuss one of the problems presented in Padmanabhan’s Gravitation Foundations and Frontiers textbook, demonstrating how to obtain Planck’s relation in a curved spacetime in the vicinity of the event horizon, in a simpler way than in other known references. This aims to fill a gap, from a didactic point of view, in introductory materials on the subject and facilitate the understanding of advanced topics by students.

Keywords:
Quantum Mechanics; Quantum Field Theory; Event Horizon; Planck’s Law.

1. Introdução

Um dos problemas mais fundamentais da Física contemporânea, sob a perspectiva da gravitação, reside na busca por uma formulação quântica consistente da gravidade. Diversas abordagens têm sido propostas nesse contexto. A teoria de campos em espaços-tempos curvos surge com uma estrutura conceitual que estabelece um elo entre a mecânica quântica e a relatividade geral, permitindo tratar fenômenos em que ambos os princípios são relevantes. Nesse cenário, intensas investigações têm sido conduzidas, especialmente no estudo de buracos negros [¹, ²].

Um aspecto fundamental na abordagem desse problema consiste na escolha de referenciais adequados, denominados referenciais de Rindler [³]. Tais referenciais, usualmente apresentados em cursos de relatividade especial, caracterizam-se por possuírem uma quadriaceleração constante. Situações análogas ocorrem para observadores próximos ao horizonte de um buraco negro, por isso, esses referenciais estabelecem uma ponte conceitual entre a teoria quântica de campos em espaço-tempo plano e sua formulação em espaço-tempo curvo.

A relevância deste trabalho também se manifesta em seu caráter didático-pedagógico. A teoria de campos em espaço-tempo curvo, embora seja um tema central na interface entre a mecânica quântica e a relatividade geral, ainda é abordada de forma limitada nos currículos de graduação e mesmo em muitos programas de pós-graduação em Física. Assim, o presente artigo busca servir como um material de apoio que introduz conceitos fundamentais de maneira acessível e estruturada, facilitando a compreensão de tópicos avançados por estudantes em fase de formação.

Além de seu valor conceitual, o estudo aqui desenvolvido fornece uma ponte entre o formalismo matemático abstrato e sua aplicação física concreta. Ao apresentar a obtenção do espectro da radiação do corpo negro em um contexto de espaço-tempo curvo, o trabalho oferece uma oportunidade única para que estudantes visualizem como ideias estudadas em cursos básicos de teoria quântica de campos e relatividade podem ser integradas em uma estrutura unificada. Essa abordagem contribui para a consolidação do aprendizado, estimulando a capacidade de transpor conhecimentos entre diferentes domínios da Física teórica.

Do ponto de vista educacional, este artigo também se propõe a preencher uma lacuna existente em materiais introdutórios sobre o tema, sobretudo do ponto de vista didático. Textos clássicos, como [¹, ²], embora fundamentais, muitas vezes pressupõem um nível elevado de maturidade teórica e domínio matemático. A metodologia adotada aqui busca equilibrar rigor e clareza expositiva, de modo que o conteúdo possa ser aproveitado tanto em disciplinas optativas de graduação quanto em cursos introdutórios de pós-graduação.

Além disso, espera-se que o presente estudo estimule o interesse de novos pesquisadores pela área, promovendo a formação de uma base sólida para investigações futuras em gravitação quântica e fenômenos associados, como radiação de Hawking e efeito Unruh [⁴, ⁵]. Dessa forma, este trabalho não apenas contribui para o avanço da compreensão conceitual da teoria de campos em espaço-tempo curvo, mas também se configura como um instrumento pedagógico valioso para o ensino e a difusão da Física contemporânea. Com o mesmo espírito, encontramos os papers de Matsas[⁶] que revisita alguns dos principais problemas de gravitação quântica e o trabalho “desvendando a radiação Hawking” que contém ótimas referências históricas, além de discutir o espectro da radiação do buracos negros, mas por um caminho diferente do que fazemos aqui.

Neste trabalho, exploramos uma discussão apresentada anteriormente no livro texto do Padmanabhan [³], demonstrando como obter a relação de Planck para o corpo negro em um espaço-tempo curvo na vizinhança do horizonte de eventos, de maneira mais simplificada que em outras referências da literatura, como em [¹]. Neste tipo de literatura, bem como no presente texto, usa-se o sistema de unidades naturais, em que se toma $c=1$ e $\hslash =1$. Quanto à estrutura, o artigo está organizado da seguinte forma: na Seção (2), apresenta-se uma revisão da teoria de campos quânticos a partir da quantização do campo escalar; na Seção (3), é retomado o formalismo das integrais de caminho; na Seção (4), discute-se a mudança para o vermelho e o espectro térmico e, na Seção (5), apresentamos a conclusão do trabalho.

2. Uma Breve Revisão de Teoria Quântica de Campos (TQC)

De forma didática, podemos compreender o conceito de campo por meio de uma analogia com a mecânica clássica. Nessa analogia, a descrição de uma onda em uma corda pode ser obtida como o caso limite de $N$ osciladores acoplados. Já na teoria de campos, o procedimento é inverso, em vez de descrevermos o campo como uma entidade contínua, tratamo-lo formalmente como um sistema composto por um conjunto de osciladores quânticos. Assim, a Teoria de Campos Quânticos (TQC) procura descrever as partículas como excitações discretas de um determinado campo [⁷, ⁸, ⁹]. Do ponto de vista pedagógico, essa passagem “corda $\to$ muitos osciladores $\to$ campo” é útil em disciplinas de Mecânica Quântica avançada ou de Introdução à TQC porque permite conectar um modelo já conhecido do estudante (oscilador harmônico) com o formalismo mais abstrato de campos.

Para relembrar os fundamentos da descrição quântica de campos, considere um estado físico contendo $n$ partículas, cada uma de massa $m$, momento $\mathbf{p}=(p_x,p_y,p_z)$ e energia ${\omega }_p={\left({\mathbf{p}}^2+m^2\right)}^{1/2}$, designado por $n\left(\mathbf{p}\right)$. Um estado mais geral, no qual as partículas apresentam momentos distintos, pode ser especificado relacionando o número de partículas ao respectivo momento: $n_1$ representa o número de partículas com momento $p_1$, $n_2$ o número de partículas com momento $p_2$, e assim por diante. Denotamos por $\mathbf{k}$ o vetor $3n$-dimensional, $\mathbf{k}=(p_1,p_2,\dots )$. Dessa forma, a função $n\left(\mathbf{k}\right)$ fornece o número de partículas com momento $\mathbf{k}$, ou seja, a soma $n_1+n_2+n_3\dots$[¹⁰, ¹¹]. Em uma distribuição contínua de $\mathbf{k}$, a quantidade $n\left(\mathbf{k}\right)d^3\mathbf{k}$ é interpretada como o número de partículas com momento compreendido entre $\mathbf{k}$ e $\mathbf{k}+d\mathbf{k}$. Esse tipo de contagem de modos é exatamente o que depois será necessário quando discutirmos espectros térmicos em referenciais acelerados; por isso, é conveniente apresentá-lo já aqui, na parte de revisão.

Na mecânica quântica, tal estado no espaço de Hilbert pode ser representado pelo símbolo

(1) $$|\psi ⟩=|n_1,n_2,\cdots ⟩,$$

sendo completamente caracterizado pela função $n\left(\mathbf{k}\right)$. A energia $E$ e o momento $\mathbf{P}$ associados a esse estado quântico resultam da soma das contribuições de todas as partículas individuais que o compõem, como é de se esperar de um sistema de muitos corpos:

(2) $$E=\sum _{m}n\left(\mathbf{k}\right){\omega }_k,\mathbf{P}=\sum _{m}n\left(\mathbf{k}\right)\mathbf{k},$$

em que se soma sobre todos os $\mathbf{k}$. Quando o número de partículas associadas a um dado momento $\mathbf{k}$ varia em uma unidade, a energia total do estado se altera em ${\omega }_{\mathbf{k}}$. Considerando um conjunto de osciladores harmônicos independentes descritos pelo hamiltoniano

(3) $$H=\sum _i\frac{1}{2}\left[P^2+{\omega }_k^2{q}_{\mathbf{k}}^2\right],$$

verifica-se que o autoestado geral desse hamiltoniano apresenta o mesmo espectro de energia obtido anteriormente na Eq. (2), evidenciando a correspondência direta entre os modos do campo e os osciladores quânticos. Em termos de uso em sala de aula, esse é um ponto em que se pode propor exercícios comparando o espectro de muitos osciladores com o espectro de um campo livre, preparando o estudante para entender que “quanta de campo” e “partículas” são a mesma coisa no formalismo.

Classicamente, esse conjunto de osciladores pode ser descrito por uma ação da forma

(4) $$S=\sum _i\int \frac{1}{2}\left[{\dot{q}}_{\mathbf{k}}^2-\left(k^2+m^2\right)q_{\mathbf{k}}^2\right]\mathrm{ }dt⟶\int \frac{d^3\mathbf{k}}{{\left(2\pi \right)}^3}\int \mathrm{ }dt\frac{1}{2}\left[{\dot{q}}_{\mathbf{k}}^2-{\omega }_{\mathbf{k}}^2{q}_{\mathbf{k}}^2\right].$$

Na passagem para a segunda expressão, a soma sobre os modos discretos é substituída por uma integral contínua sobre o vetor de momento $\mathbf{k}$, e as variáveis $q_{\mathbf{k}}$ são redefinidas de modo a incorporar eventuais fatores de normalização da medida de integração [¹²]. Surpreendentemente, essa ação na Eq. (4) pode ser obtida a partir da ação invariante de Lorentz para um campo escalar,

(5) $$S=-\frac{1}{2}\int d^{4}x\left[{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi +m^2{\varphi }^2\right].$$

Para tornar explícita essa conexão, realizamos uma transformada de Fourier espacial do campo [⁷]:

(6) $$\varphi (t,\mathbf{x})=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{{\left(2\pi \right)}^2}{Q}_{\mathbf{k}}\left(t\right)e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}.$$

Como $Q_{\mathbf{k}}$ é, em geral, uma função complexa, ele contém dois graus de liberdade independentes, correspondentes às suas partes real e imaginária, para cada modo de momento $\mathbf{k}$. Se escrevemos $Q_{\mathbf{k}}=A_{\mathbf{k}}+i{B}_{\mathbf{k}}$, então, pelo fato de $\varphi$ ser um campo escalar real, as variáveis associadas a $\mathbf{k}$ e $-\mathbf{k}$ não são independentes, satisfazendo as relações $A_{\mathbf{k}}^{\ast }=A_{\mathbf{k}}$ e $B_{\mathbf{k}}^{\ast }=-B_{-\mathbf{k}}$. Evidentemente, apenas metade dos modos representa graus de liberdade independentes. A ação na Eq. (5) revela-se relativisticamente invariante em virtude da relação de dispersão ${\omega }_{\mathbf{k}}={\left({\mathbf{k}}^2+m^2\right)}^{1/2}$, que é intrinsecamente quadrática e compatível com a simetria de Lorentz. Esse é um ponto de articulação importante com cursos de Relatividade Geral ou de Campos em espaço-tempo curvo: mostrar que o mesmo campo escalar que o aluno quantiza em Minkowski pode ser “transportado” para referências não inerciais, o que será justamente o que faremos ao discutir horizontes e o espectro de Planck.

A dinâmica de um campo escalar $\varphi (\mathbf{x},t)$ descrita pela ação Eq. (5) é equivalente à de um conjunto infinito de osciladores harmônicos independentes, cada um rotulado por um vetor de onda $\mathbf{k}$. Assim, a teoria quântica do campo $\varphi$ pode ser construída a partir da quantização individual de cada um desses osciladores harmônicos [¹³, ¹⁴]. O estado fundamental do campo quântico, por sua vez, é obtido como o produto das funções de onda fundamentais de todos os modos oscilatórios:

(7) $$\Psi \left[\varphi \left(\mathbf{x}\right)\right]=\prod _{\mathbf{k}}{\left(\frac{{\omega }_{\mathbf{k}}}{\pi }\right)}^{1/4}\exp \left(-\frac{1}{2}{\omega }_{\mathbf{k}}{\left|q_{\mathbf{k}}\right|}^2\right)=\overline{N}\exp \left[-\frac{1}{2}\int \frac{d^3\mathbf{k}}{{\left(2\pi \right)}^3}{\omega }_{\mathbf{k}}{\left|q_{\mathbf{k}}\right|}^2\right].$$

O argumento do expoente pode ser reescrito de forma mais conveniente no espaço real, em termos do gradiente do campo $\nabla \varphi$. Essa formulação torna-se particularmente simples no caso de um campo escalar sem massa:

(8) $$\int \frac{d^3\mathbf{k}}{{\left(2\pi \right)}^3}{\omega }_{\mathbf{k}}{\left|q_{\mathbf{k}}\right|}^2=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^2}\int d^{3}x\int d^{3}y\left[\frac{{\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi \cdot {\nabla }_{\mathbf{y}}\varphi }{{\left|\mathbf{x}-\mathbf{y}\right|}^2}\right],$$

de modo que, substituindo a Eq. (8) na Eq. (7) e tomando o módulo, obtemos a distribuição de probabilidade correspondente ao estado fundamental:

(9) $$P={\left|\Psi \left[\varphi \left(\mathbf{x}\right)\right]\right|}^2=N\exp \left\{-\frac{1}{2{\pi }^2}\int \int d^3\mathbf{x}{d}^3\mathbf{y}\left[\frac{{\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi \cdot {\nabla }_{\mathbf{y}}\varphi }{{\left|\mathbf{x}-\mathbf{y}\right|}^2}\right]\right\},$$

com $N={\left|\overline{N}\right|}^2$. Esse resultado costuma parecer formal aos estudantes, mas ele é o que permite mais adiante interpretar o vácuo como um estado com flutuações de ponto zero — exatamente o ingrediente que aparecerá de novo quando discutirmos o observador acelerado detectando um espectro térmico.

Um outro aspecto essencial do estado de vácuo, diretamente relacionado à existência das flutuações quânticas, é o fato de ele possuir uma densidade de energia diferente de zero. Da mecânica quântica elementar, sabemos que o estado fundamental de um oscilador harmônico apresenta uma energia $\left(1/2\right){\omega }_{\mathbf{k}}$. Consequentemente, o estado fundamental de um campo quântico deve ter uma energia total $E_0$ correspondente à soma das energias fundamentais de todos os seus modos oscilatórios:

(10) $$E_0=\frac{1}{2}\int \frac{d^3\mathbf{k}}{{\left(2\pi \right)}^3}{\omega }_{\mathbf{k}}=\frac{1}{2}\int \frac{d^3\mathbf{k}}{{\left(2\pi \right)}^3}\sqrt{{\left|\mathbf{k}\right|}^2+m^2},$$

a qual diverge para valores grandes de $k$.

Na representação de Heisenberg, o hamiltoniano H de um oscilador harmônico pode ser escrito na forma

(11) $$\begin{array}{l}\frac{\text{H}}{\omega }=\frac{1}{2}\left(P^2+Q^2\right)\\ \frac{\text{H}}{\omega }=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(Q-iP\right)\left(Q+iP\right)-\frac{i}{2}[Q,P]\\ \frac{\text{H}}{\omega }=a^{†}a+\frac{1}{2}\\ \frac{\text{H}}{\omega }=n+\frac{1}{2},\end{array}$$

onde redefinimos as variáveis de coordenada e momento como

$$Q=\sqrt{\omega }q;P=p/\sqrt{\omega },$$

e introduzimos os operadores de criação ($a^{†}$) e aniquilação ($a$) por meio das definições

$$a=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(Q+iP\right),a^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(Q-iP\right),$$

as quais satisfazem as relações de comutação usuais

$$[q,p]=i,[a,a^{†}]=1.$$

Esta discussão é particularmente útil para cursos de pós-graduação introdutórios, pois permite motivar regularização/renormalização e, no contexto deste artigo, mostrar ao aluno por que a noção de vácuo depende do observador — ponto central quando se fala em horizontes. A análise padrão mostra que os autoestados do operador $a^{†}a$ podem ser rotulados por números inteiros, o que conduz ao espectro de energia

(12) $$E_n=\omega \left(n+\frac{1}{2}\right).$$

Na formulação de Heisenberg, os operadores evoluem no tempo, e a equação de movimento assume a forma

$$\begin{array}{l}\mathrm{\hspace{1em} }i\frac{da}{dt}=[a,\text{H}]\\ \mathrm{\hspace{1em} }i\frac{da}{dt}=[a,\omega a{a}^{†}]\\ \mathrm{\hspace{1em} }i\frac{da}{dt}=\omega \left([a,a^{†}]a+a^{†}[a,a]\right)\\ \mathrm{\hspace{1em} }i\frac{da}{dt}=\omega a\\ \mathrm{\hspace{1em} }\frac{da}{dt}=-i\omega a\\ \mathrm{\hspace{1em} }\frac{da}{a}=-i\omega dt\\ \text{ln}\left|a\left(t\right)\right|=-i\omega t+c^{\prime }\\ \mathrm{\hspace{1em} }a\left(t\right)=e^{-i\omega t+c^{\prime }}\\ \mathrm{\hspace{1em} }a\left(t\right)=C{e}^{-i\omega t},\end{array}$$

com a condição inicial

$$a\left(0\right)=C.$$

Portanto, obtemos

$$a\left(t\right)=C{e}^{-i\omega t},$$

e, de forma compacta,

(13) $$a\left(t\right)=a{e}^{-i\omega t},a^{†}\left(t\right)=a^{†}{e}^{i\omega t},$$

onde simplificamos a notação com $a\left(0\right)=a$. A coordenada $q$ evolui no tempo de acordo com

$$\begin{array}{l}q\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\omega }}\left[a^{†}\left(t\right)+a\left(t\right)\right]\\ q\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\omega }}\left[a{e}^{-i\omega t}+a^{†}{e}^{i\omega t}\right].\end{array}$$

É convencional denominar o termo $e^{-i\omega t}$ como o modo de frequência positiva (ou de energia positiva), enquanto o termo $e^{i\omega t}$ é chamado de modo de frequência negativa. Na expansão de $q\left(t\right)$, o coeficiente do modo de frequência positiva está associado ao operador de aniquilação, e o do modo de frequência negativa, ao operador de criação. A evolução temporal do operador campo é, portanto, expressa por

(14) $$\varphi (t,\mathbf{x})=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{{\left(2\pi \right)}^{3/2}\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{k}}}}\left[a_{\mathbf{k}}{e}^{ikx}+a_{\mathbf{k}}^{†}{e}^{-ikx}\right],$$

onde $kx=k_{\mu }{x}^{\mu }$. Utilizando as relações de comutação entre os operadores de criação e aniquilação, verifica-se diretamente que as variáveis de campo satisfazem as seguintes relações de comutação canônicas:

(15) $$\begin{array}{c}[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (\mathbf{y},t)]=i\delta \left(\mathbf{x}-\mathbf{y}\right),\\ [\varphi (t,\mathbf{x}),\varphi (\mathbf{y},t)]=[\pi (\mathbf{x},t),\pi (\mathbf{y},t)]=0.\end{array}$$

Esta forma do campo será justamente a que precisaremos quando substituirmos o referencial inercial por um referencial tipo Rindler. Assim, manter essa revisão aqui não é apenas formal: ela prepara o estudante para ver, nas seções seguintes, que a mesma teoria que ele conhece em Minkowski passa a exibir um espectro de energia planckiano na vizinhança de um horizonte de eventos, o que é um ponto de grande valor didático para cursos de Relatividade Geral e de Física de Buracos Negros.

3. Integrais de Caminho e Tempo Euclidiano

Enquanto que na Mecânica Quântica utilizamos a equação de Schrödinger para determinar a evolução do sistema, em teoria de campos, muitas vezes usam-se as integrais de caminho para se estudar a propagação de partículas. Assim, descreveremos a evolução temporal usando um kernel da integral de caminho. A utilização de integrais de caminho costuma ser apresentada apenas de forma introdutória em cursos de Mecânica Quântica II, mas raramente conectada à formulação de campos.

Discutir esta passagem permite ao estudante perceber que o mesmo princípio de superposição de trajetórias permanece válido em teorias relativísticas, constituindo um elo conceitual importante entre o formalismo não relativístico e a TQC. É interessante ressaltar que existe uma conexão entre esta formulação e a idéia de funções de Green, assim alguns conceitos como kernel ou núcleo da transformação são os mesmo, uma boa revisão pode ser encontrada em [¹⁵].

Da teoria quântica, sabemos que a amplitude de probabilidade de a partícula ir do evento ${𝒫}_0$ ao evento $𝒫$ é representada por $K({𝒫}_0;𝒫)$ e é obtida pela soma de todas as amplitudes associadas a todos os caminhos que conectam os eventos ${𝒫}_1$ e ${𝒫}_2$,

(16) $$K({𝒫}_1;{𝒫}_2)\equiv K(t_2,q_2;t_1,q_1)=\sum _{path}\text{exp}\left[i𝒮\left(path\right)\right],$$

onde $𝒮\left(path\right)$ é a ação avaliada para um determinado caminho conectando os pontos finais $𝒫1$ e $𝒫2$[⁸, ⁷]. A soma das amplitudes permite a interferência quântica entre os diferentes caminhos. Dado $K(t_2,q_2;t_1,q_1)$ e a amplitude inicial $\psi (t_1,q_1)$ para a partícula ser encontrada em $q_1$, a função de onda $\psi (t,q)$ é determinada por:

(17) $$\psi (t,q)=\int \mathit{d}{q}_{1}K(t_2,q_2;t_1,q_1)\psi (t_1,q_1).$$

Este ponto é particularmente fértil para abordagens computacionais em disciplinas experimentais ou de simulação: alunos podem aproximar numericamente o kernel, $K(t_2,q_2;t_1,q_1)$, por discretização de trajetórias e comparar com o resultado analítico do oscilador harmônico, construindo uma intuição sobre o peso de fase e interferência em diferentes caminhos.

Obteremos agora uma relação entre a função de onda do estado fundamental do sistema e o kernel da integral de caminho, a qual se mostrará bastante útil. Na abordagem convencional da mecânica quântica, utilizando a representação de Heisenberg, descrevemos o sistema em termos dos operadores de posição e momento $\widehat{q}$ e $\widehat{p}$. Seja $|q,t⟩$ o autoestado do operador $\widehat{q}\left(t\right)$. O kernel que representa a amplitude de probabilidade para a partícula se propagar de $(t_1,q_1)$ para $(t_2,q_2)$ pode ser expresso, em notação mais convencional, como o elemento de matriz

(18) $$K(q_2,t_2;q_1,t_1)=⟨q_2,t_2|q_1,t_1⟩.$$

Essa forma matricial do kernel é também um excelente ponto de contato com a linguagem da Mecânica Quântica matricial e com o operador de evolução temporal, frequentemente discutidos em disciplinas de Fundamentos da Mecânica Quântica. Portanto, o kernel da Eq. (20) pode ser reescrito da seguinte forma:

(19) $$\begin{array}{l}K\left(t_2,q_2\right)=\langle q_2,0\text{|}{e}^{-i\widehat{H}{t}_2}{e}^{i\widehat{H}{t}_1}|0,q_1\rangle \\ K\left(t_2,q_2\right)=\langle q_2,0\text{|}{e}^{-i\widehat{H}\left(t_2-t_1\right)}\text{|}0,q_1\rangle .\end{array}$$

Onde $\widehat{H}$ é o hamiltoniano independente do tempo que descreve o sistema. Esta relação permite representar o kernel em termos dos autoestados de energia do sistema. Identificando $t_1=0$ e $t_2=T$, a Eq. (21) torna-se

(20) $$\begin{array}{l}K(T,q_2;0,q_1)=⟨q_2\mathrm{,0}\left|e^{-i\widehat{H}T}\right|0,q_1⟩\\ K(T,q_2;0,q_1)=\sum _n\sum _m⟨q_2|E_n⟩⟨E_n\left|e^{-i\widehat{H}T}\right|E_m⟩⟨E_m|q_1⟩\\ K(T,q_2;0,q_1)=\sum _n\sum _m⟨q_2|E_n⟩e^{-i{E}_{n}T}⟨E_n|E_m⟩⟨E_m|q_1⟩\\ K(T,q_2;0,q_1)=\sum _n\sum _m⟨q_2|E_n⟩⟨E_m|q_1⟩e^{-i{E}_{n}T}\delta \left(E_n-E_m\right)\\ K(T,q_2;0,q_1)=\sum _n{\psi }_n\left(q_2\right){\psi }_n^{\ast }\left(q_1\right)e^{-i{E}_{n}T},\end{array}$$

onde ${\psi }_n\left(q\right)=⟨q|E_n⟩$ é a n-ésima autofunção da energia do sistema sob consideração. A Eq. (22) permite expressar o kernel em termos das autofunções do hamiltoniano. Para qualquer hamiltoniano com um limite inferior, é conveniente adicionar uma constante ao hamiltoniano de modo que o estado fundamental, correspondente ao termo $n=0$ na expressão acima, tenha energia nula; assume-se que isto é feito. Dessa forma, quando o intervalo temporal $T$ é suficientemente grande, o fator exponencial $e^{-i{E}_{n}T}$ oscila rapidamente para todos os estados excitados, de modo que a principal contribuição para o kernel provém do estado fundamental. Assim, no limite de tempos longos, temos

(21) $$K(T,q_2;0,q_1)\approx {\psi }_0\left(q_2\right){\psi }_0^{\ast }\left(q_1\right)e^{-i{E}_{0}T}.$$

Como escolhemos $E_0=0$, segue que

(22) $$K(T,q_2;0,q_1)\approx {\psi }_0\left(q_2\right){\psi }_0^{\ast }\left(q_1\right).$$

Essa expressão revela uma conexão importante: o comportamento assintótico do kernel está diretamente relacionado à função de onda do estado fundamental. Essa propriedade é particularmente útil na formulação euclidiana da teoria de campos, onde o tempo real é substituído por um tempo imaginário, tornando o fator de fase oscilatório em um fator exponencial decrescente. Tal procedimento, como veremos a seguir, simplifica consideravelmente o tratamento das integrais de caminho e fornece uma interpretação estatística para a amplitude quântica.

Nós continuaremos analiticamente a expressão na Eq. (22) para valores imaginários de $T$ escrevendo $T=i{T}_E$. O subscrito $E$ padroniza euclidiano; o elemento de linha na Relatividade Especial agora muda

$$-d{T}^2+d{\mathbf{\text{X}}}^2\to d{T}_E^2+d{\mathbf{\text{X}}}^2,$$

convertendo o espaço Riemanniano em espaço Euclidiano. Essa transformação é conhecida como rotação de Wick, e constitui um dos passos conceituais mais importantes na formulação euclidiana da teoria quântica de campos. A substituição $T\to i{T}_E$ tem o efeito de transformar as oscilações quânticas em fatores exponenciais de decaimento, o que torna as integrais de caminho matematicamente mais bem comportadas.

O kernel Euclidiano obtido da Eq. (22) tem a forma

(23) $$K(T_E,q_2;0,q_1)=\sum _n{\psi }_n\left(q_2\right){\psi }_n^{\ast }\left(q_1\right)e^{-E_n{T}_E}.$$

Este resultado é de grande valor didático: ele evidencia a homologia matemática entre a evolução quântica no tempo imaginário e a descrição estatística em equilíbrio térmico. Em sala de aula, isso permite introduzir o conceito de “temperatura do vácuo” e motivar, de forma acessível, fenômenos como o de Unruh e a radiação de Hawking.

A expressão (25) é formalmente idêntica à função de partição de um sistema estatístico clássico em equilíbrio térmico, com a correspondência $T_E\leftrightarrow \beta =1/k_{B}T$. Assim, o formalismo euclidiano permite interpretar o vácuo quântico como um estado térmico em “tempo imaginário”, unificando de modo elegante aspectos da Mecânica Quântica e da Física Estatística.

Suponha que agora definimos $q_1=q$, $q_2=0$ na expressão acima e tomamos o limite $T_E\to \infty$. Para limite de tempo assintótico, a exponencial suprimirá todos os termos da soma, exceto aquele com $E_n=0$, que é o estado fundamental para o qual a função de onda é real. Obtemos portanto o resultado

(24) $$\underset{T_E\to \infty }{lim}K(T_E,q_2;0,q_1)\approx {\psi }_0\left(q_2\right){\psi }_0^{\ast }\left(q_1\right).$$

Conseqüentemente, a função de onda do estado fundamental pode ser obtida continuando analiticamente o kernel no tempo imaginário e tomando um limite adequado. Este resultado vale para qualquer sistema fechado com hamiltoniano limitado inferiormente. Para ações quadráticas nas variáveis dinâmicas (como no caso do oscilador harmônico) podemos progredir ainda mais. Neste caso, podemos expressar o kernel completamente em termos da trajetória clássica como

(25) $$K(T_E,q_2;0,q_1)=N(0,T)\text{exp}\left[\frac{i}{\hslash }{\mathbf{S}}_c(T,q_2;0,q_1)\right],$$

onde ${\mathbf{S}}_c$ é ação calculada para uma trajetória clássica e $N(0,T)$ é um fator de normalização que pode ser expresso em termos de ${\mathbf{S}}_c$.

Vemos que a dependência q do kernel ocorre apenas através da ação clássica ${\mathbf{S}}_c$. (O resultado acima é exato para sistemas com ações quadráticas com coeficientes pares dependentes do tempo, mas iremos utilizá-lo apenas para sistemas independentes do tempo). Agora usamos esse fato para expressar o kernel na Eq. (26) em termos da ação clássica para um sistema com Lagrangiano quadrático. Se continuarmos analiticamente a ação para valores imaginários de tempo, então a função de onda do estado fundamental de tal sistema pode ser expressa em termos da ação euclidiana avaliada em uma trajetória clássica.

Explicitamente, combinando Eq. (26) e Eq. (27), nós temos o resultado

(26) $${\psi }_0\left(q\right)\propto \text{exp}\left[-{𝒮}_c\left(T_E=\infty \mathrm{,0};T_E=0,q\right)\right]\propto \text{exp}\left[-{𝒮}_c(\infty \mathrm{,0};0,q)\right].$$

Esse ponto oferece uma oportunidade de atividade investigativa em cursos de pós-graduação ou disciplinas optativas de tópicos especiais, onde o estudante pode calcular numericamente a ação euclidiana de trajetórias simples e verificar como a função de onda do estado fundamental emerge da minimização dessa ação.

Este resultado mostra que, se encontrarmos a solução euclidiana clássica que descreve uma trajetória que começa em q em $T_E=0$ e vai para $q=0$ em tempos muito tardios, então a função de onda do estado fundamental do sistema quântico pode ser expressa em termos da ação euclidiana clássica para esta trajetória. Como o estado fundamental de uma teoria quântica de campos livre é obtido pelo produto dos estados fundamentais dos osciladores, o resultado acima também se aplica à teoria de campos. Agora temos

(27) $${\mathrm{\Psi }}_0\left(\varphi \left(\text{x}\right)\right)\propto \text{exp}\left[-{𝒮}_c\left(T_E=\infty \mathrm{,0};T_E=0,\varphi \left(\mathbf{\text{x}}\right)\right)\right].$$

No contexto pedagógico, esta passagem é particularmente útil para conectar o caso unidimensional tratado em sala de aula com o formalismo completo de campos. Ao mostrar que cada modo do campo se comporta como um oscilador harmônico, o professor pode transpor a intuição adquirida na Mecânica Quântica para o estudo de fenômenos de radiação térmica associados a horizontes. Muitas vezes, é conveniente usar a fórmula para os osciladores individuais e obter o resultado final integrando todos os osciladores no argumento da exponencial.

A continuação analítica para valores imaginários de tempo tem estreitas ligações matemáticas com a descrição de sistemas num banho térmico. Para ver isso, considere o valor médio de algum observável $𝒪\left(q\right)$ de um sistema quântico. Se o sistema estiver em um autoestado de energia descrito pela função de onda ${\psi }_n\left(q\right)$, então o valor esperado de $𝒪\left(q\right)$ pode ser obtido integrando $𝒪\left(q\right){\left|{\psi }_n\left(q\right)\right|}^2$ sobre $q$. Se o sistema está em um banho térmico com temperatura ${\beta }^{-1}$, descrito por um ensemble canônico, então o valor médio deve ser calculado calculando a média de todos os autoestados de energia, bem como um peso $\text{exp}\left(-\beta E_n\right)$. Neste caso, o valor médio pode ser expresso como

(28) $$\begin{array}{l}⟨𝒪⟩=\frac{1}{Z}\sum _n\int \mathit{d}q{\psi }_n\left(q\right)𝒪{\psi }_n^{\ast }\left(q^{\prime }\right)e^{-\beta E_n}\\ ⟨𝒪⟩\equiv \frac{1}{Z}\int \mathit{d}q\rho (q,q^{\prime })𝒪\left(q\right),\end{array}$$

onde $Z$ é a função de partição e definimos uma matriz de densidade $\rho (q,q^{\prime })$ por

(29) $$\rho (q,q^{\prime })=\sum _n{\psi }_n\left(q\right){\psi }_n^{\ast }\left(q^{\prime }\right)e^{-\beta E_n},$$

em termos dos quais podemos reescrever a Eq. (30) como

(30) $$⟨𝒪⟩=\frac{\text{Tr}\left(\rho 𝒪\right)}{\text{Tr}\left(\rho \right)},$$

onde a operação traço envolve a configuração $q=q^{\prime }$ e integrando sobre $q$. Este resultado padrão mostra como $\rho (q,q^{\prime })$ contém informações sobre as médias térmica e quântica. Comparando a Eq. (31) com a Eq. (22) descobrimos que a matriz de densidade pode ser obtida imediatamente do kernel euclidiano por:

(31) $$\rho (q,q^{\prime })=K_E(\beta ,q;0,q^{\prime }),$$

com o tempo euclidiano atuando como temperatura inversa. Após algumas manipulações algébricas (ver apêndice B), a matriz densidade térmica do sistema pode ser escrita como

(32) $$\rho (q,q^{\prime })=N\text{exp}\{-\frac{m\omega }{4}[{(q-q^{\prime })}^2\coth \left(\frac{\omega \beta }{2}\right)+{(q+q^{\prime })}^2\tanh \left(\frac{\omega \beta }{2}\right)]\},$$

onde $N$ é uma constante de normalização a ser determinada.

A correspondência entre kernel euclidiano e matriz densidade é um resultado que pode ser explorado em aulas de Física Estatística Avançada ou Mecânica Quântica II, oferecendo uma leitura unificada de sistemas quânticos e térmicos e preparando o terreno para o entendimento da natureza térmica do vácuo em espaço-tempos com horizonte.

4. Mudança Exponencial (redshift) para o Vermelho e Espectro Térmico

Um dos principais resultados da QFT em espaço-tempo curvo é o surgimento de características termodinâmicas em espaços-tempos que possuem horizontes de eventos [¹⁶, ¹⁷]. Esse comportamento está intimamente relacionado à mudança para o vermelho sofrida pelos modos de onda ao se propagarem nesses espaços-tempos [¹⁸, ¹⁹].

Esta seção é particularmente interessante do ponto de vista didático porque permite ao aluno perceber como uma transformação puramente cinemática, o redshift exponencial, conduz naturalmente a um espectro de energia térmico. Assim, ela constitui um elo entre três pilares da física moderna: relatividade, teoria quântica de campos e termodinâmica. Em cursos de Relatividade Especial, o início desta seção pode ser explorado como uma extensão do efeito Doppler; em cursos avançados, serve como porta de entrada para a compreensão do efeito Unruh e da radiação de Hawking.

Considere um referencial S e um observador que se move com velocidade v ao longo do eixo $x$ nesse referencial. Se sua trajetória for

(33) $$X=vt,$$

o relógio que ele transporta marcará o tempo próprio

(34) $$\tau =\frac{T}{\gamma }.$$

Combinando esses resultados, podemos escrever a trajetória em forma parametrizada como

(35) $$t\left(\tau \right)=\gamma \tau ,X\left(\tau \right)=\gamma v\tau .$$

Suponha agora que uma onda plana monocromática

(36) $$\varphi (x,T)=\text{exp}\left[-i\Omega \left(T-X\right)\right],$$

exista em todos os pontos do referencial inercial. Para qualquer $x$, ela oscila com o tempo como $e^{-i\Omega T}$, de modo que $\Omega$ é a frequência medida no referencial S. O observador em movimento, por sua vez, medirá como $\varphi$ varia em relação ao seu tempo próprio. Isso é facilmente obtido substituindo:

(37) $$\begin{array}{l}\varphi (X\left(\tau \right),T\left(\tau \right))=\text{exp}\left[-i\Omega \left(\gamma \tau -\gamma v\tau \right)\right]\\ \varphi (X\left(\tau \right),T\left(\tau \right))=\text{exp}\left[-i\gamma \Omega \tau \left(1-v\right)\right],\end{array}$$

o que fornece

(38) $$\begin{array}{l}\varphi \left(\tau \right)=\text{exp}\left[-i\Omega \tau \left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\right)\left(1-v\right)\right]\\ \varphi \left(\tau \right)=\text{exp}\left[-i\Omega \left(\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\right)\tau \right].\end{array}$$

Claramente, um observador em repouso vê a onda variando no tempo com uma frequência

(39) $${\Omega }^{\prime }=\Omega \sqrt{\frac{1-v}{1+v}}.$$

Uma onda monocromática, portanto, parece ser uma onda monocromática com uma frequência Doppler deslocada um resultado padrão da Relatividade Especial, aqui obtido de uma forma ligeiramente distinta.

Neste ponto, é interessante propor em sala de aula a comparação entre a dedução do efeito Doppler usual e esta formulação baseada em trajetórias paramétricas, o que reforça a compreensão geométrica do movimento relativístico. Essa comparação serve como ponte conceitual para a próxima parte, onde o movimento é acelerado e os efeitos térmicos emergem naturalmente.

Usaremos o mesmo procedimento para um observador que se move ao longo do eixo $X$ em uma trajetória acelerada dada por

(40) $$X\left(\tau \right)=\frac{1}{\kappa }\cosh \left(\kappa \tau \right),T\left(\tau \right)=\frac{1}{\kappa }\sinh \left(\kappa \tau \right),$$

onde $\kappa$ representa a aceleração própria constante do observador. Para mais detalhes veja o apêndice A.

O observador acelerado verá a onda monocromática como

(41) $$\begin{array}{l}\varphi (X,T)=\text{exp}\left[-i\Omega \left(T-X\right)\right]\\ \varphi \left(\tau \right)=\text{exp}\left[-i\Omega \left(\frac{1}{\kappa }\sinh \left(\kappa \tau \right)-\frac{1}{\kappa }\cosh \left(\kappa \tau \right)\right)\right]\\ \varphi \left(\tau \right)=\text{exp}\left[i\frac{\Omega }{\kappa }\left(\frac{e^{\kappa \tau }+e^{-\kappa \tau }}{2}-\frac{e^{\kappa \tau }-e^{-\kappa \tau }}{2}\right)\right]\\ \varphi \left(\tau \right)=\text{exp}\left[i\frac{\Omega }{\kappa }\text{exp}\left(-\kappa \tau \right)\right]\\ \varphi \left(\tau \right)=\text{exp}\left[i\theta \left(\tau \right)\right],\end{array}$$

onde

(42) $$\theta \left(\tau \right)=\frac{\Omega \text{exp}\left(-\kappa \tau \right)}{\kappa }.$$

Diferentemente do caso de velocidade uniforme, agora verificamos que a fase $\theta \left(\tau \right)$ da onda decresce exponencialmente com o tempo próprio.

Neste ponto, vale destacar para o estudante que essa simples modificação de movimento uniforme para acelerado é suficiente para introduzir o conceito de horizonte e, com ele, a ideia de que a noção de partícula depende do observador. Esse é o passo conceitual essencial que aproxima o tratamento puramente relativístico da interpretação termodinâmica da radiação.

Definindo a frequência instantânea por

(43) $$\omega \left(\tau \right)=-\frac{d\theta }{d\tau },$$

obtemos que o observador acelerado percebe a onda com uma frequência que sofre um deslocamento exponencial para o vermelho (“redshift”):

(44) $$\begin{array}{l}\omega \left(\tau \right)=-\frac{d}{d\tau }\left[\frac{\Omega \text{exp}\left(-\kappa \tau \right)}{\kappa }\right]\\ \omega \left(\tau \right)=\Omega e^{-\kappa \tau }.\end{array}$$

O espectro de energia dessa onda na Eq. (43) é dado por $𝒫\left(\nu \right)={\left|f\left(\nu \right)\right|}^2$, onde $f\left(\nu \right)$ é a transformada de Fourier de $\varphi \left(\tau \right)$ com respeito a $\tau$:

(45) $$\begin{array}{l}\varphi \left(\tau \right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{d\nu }{2\pi }f\left(\nu \right)e^{-i\nu \tau },\\ f\left(\nu \right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\mathit{d}\tau \varphi \left(\tau \right)e^{i\nu \tau }.\end{array}$$

Devido ao desvio para o vermelho exponencial, este espectro de potência não se anula para $\nu <0$. Avaliando a transformada de Fourier (ver apêndice C), obtém-se

(46) $$\nu {\left|f\left(-\nu \right)\right|}^2=\frac{\beta }{e^{\beta \nu }-1},$$

onde

$$\beta =\frac{2\pi }{\kappa }.$$

Neste ponto, é instrutivo sugerir que o leitor relacione este resultado à função de distribuição de Planck estudada em cursos de Física Moderna ou Termodinâmica, observando que aqui o espectro térmico surge puramente de efeitos geométricos. Essa conexão pedagógica é poderosa, pois mostra que a relação de Planck não é exclusiva da radiação de corpo negro, mas um fenômeno universal associado à presença de horizontes.

De fato, a forma funcional da Eq. (48) é idêntica à da distribuição de Planck para a energia média de um modo harmônico em equilíbrio térmico, dada por

(47) $$\overline{E}\left(\nu \right)=\frac{h\nu }{e^{h\nu /k_{B}T}-1}.$$

Identificando o parâmetro $\beta$ da Eq.45 como $\beta =1/k_{B}T$ e associando a frequência $\nu$ à energia $E=h\nu$, obtemos

(48) $$\nu {\left|f\left(-\nu \right)\right|}^2=\frac{1}{h}\overline{E}\left(\nu \right)=\frac{\nu }{e^{h\nu /k_{B}T}-1}.$$

Essa correspondência mostra que o espectro térmico percebido pelo observador acelerado é formalmente equivalente ao espectro de radiação de corpo negro, mas surge aqui unicamente a partir da estrutura geométrica do espaço-tempo e da presença de um horizonte de eventos. Assim, o resultado da Eq. (48) pode ser visto como uma generalização natural da relação de Planck para referenciais não inerciais.

O espectro de energia ${\left|f\left(\nu \right)\right|}^2$ é independente de $\Omega$; ondas planas monocromáticas de qualquer frequência (medidas pelos observadores inerciais em $X=\mathrm{constante}$) parecerão possuir um espectro de energia planckiano em termos da frequência $\nu$ (negativa) definida com respeito ao tempo próprio do observador.

Um observador que detecte essa radiação exponencialmente desviada para o vermelho em tempos tardios $\left(T\to \infty \right)$, proveniente de uma região próxima ao horizonte $\mathscr{H}$, atribuirá a essa radiação um espectro de energia planckiano dado pela Eq. (48). Este resultado está na base da associação entre temperatura e horizontes de evento [²⁰, ⁴, ⁵].

Do ponto de vista pedagógico, esta seção pode ser explorada como um fechamento conceitual deste artigo, permitindo ao estudante compreender que a temperatura de Hawking ou a temperatura de Unruh não decorrem de processos dissipativos, mas de transformações coordenadas. Essa perspectiva integra a relatividade, a teoria quântica e a termodinâmica em um mesmo quadro, reforçando a natureza interdisciplinar da física moderna.

Ainda sobre aspectos pedagógicos ou conceituais que gostaríamos de esclarecer, não se deve confundir a radiação emitida por buracos negros, a qual detalhamos no texto, com a radiação emitidas pelas partículas e gases orbitando o buraco negro. A primeira radiação se deve a efeito quântico e gravitacional, como discutimos, e possui frequência muito baixa, o que dificulta sua detecção, a não ser em buracos negros produzidos artificialmente em laboratórios, os buracos negros análogos. Já a segunda radiação, é aquela vista frequentemente nas imagens de buracos negros. Esta radiação são emitidas por gases e partículas a altas temperaturas que orbitam o buraco negro, como cosequência de efeitos astrofísicos.

5. Conclusão

Neste trabalho, apresentamos uma análise sistemática dos fundamentos da Teoria Quântica de Campos (TQC), com ênfase em sua formulação canônica, na representação por integrais de caminho e na interpretação térmica de fenômenos associados a espaços-tempos com horizontes de evento. A estrutura lógica desenvolvida ao longo das seções permitiu estabelecer uma conexão contínua entre a quantização de campos livres, a formulação euclidiana e as manifestações termodinâmicas da física de horizontes.

Do ponto de vista didático, o percurso adotado oferece uma visão integrada da TQC, acessível a estudantes que já dominam a mecânica quântica e a relatividade especial. A estratégia de apresentar o formalismo em etapas progressivas do oscilador harmônico ao campo livre, e deste à formulação funcional e térmica permite introduzir temas avançados a partir de modelos familiares. Essa abordagem pode ser incorporada em disciplinas de Física Teórica, Física Moderna ou mesmo em cursos introdutórios de Relatividade, como exemplo de unificação conceitual entre áreas tradicionalmente ensinadas de forma isolada.

Na Seção (2), revisamos os princípios básicos da TQC a partir da quantização canônica de um campo escalar livre. A partir da decomposição do campo em modos de Fourier e da introdução dos operadores de criação e aniquilação, derivamos as relações de comutação fundamentais e o espectro de energia discreto $E_n=\omega \left(n+\frac{1}{2}\right)$. Essa formulação revela a interpretação das excitações dos modos do campo como partículas, caracterizando a correspondência direta entre a estrutura do espaço de Fock e os autovalores do operador $a^{†}a$.

Esse trecho pode ser explorado pedagogicamente em disciplinas de Mecânica Quântica Avançada como uma extensão natural do oscilador harmônico, permitindo que o estudante perceba o campo quântico como um conjunto de osciladores independentes. Tal leitura contribui para consolidar a compreensão do conceito de quantização por modos normais e prepara o aluno para temas mais sofisticados, como quantização em espaços curvos.

Na Seção (3), introduzimos a formulação das integrais de caminho e a continuação analítica para o tempo euclidiano. Essa transição, obtida pela substituição $T\to i{T}_E$, converte o espaço-tempo de assinatura de Minkowski em um espaço euclidiano, o que permite interpretar o propagador quântico (ou kernel) como uma função de partição estatística. Mostrou-se que, no limite de tempo euclidiano infinito, o kernel se relaciona diretamente com a função de onda do estado fundamental, de modo que

(49) $${\psi }_0\left(q\right)\propto \text{exp}\left[-{𝒮}_c(\infty \mathrm{,0};0,q)\right],$$

onde ${𝒮}_c$ é a ação clássica euclidiana. Esse resultado estabelece um elo profundo entre a mecânica quântica e a mecânica estatística, sugerindo que a evolução temporal imaginária desempenha papel análogo ao inverso da temperatura em sistemas térmicos.

A partir dessa correspondência, derivou-se a matriz densidade térmica do sistema, obtendo-se uma relação direta entre o propagador euclidiano e as médias térmicas dos observáveis. Em particular, a expressão

(50) $$\rho (q,q^{\prime })=K_E(\beta ,q;0,q^{\prime }),$$

mostra que o tempo euclidiano $\beta$ atua como temperatura inversa, consolidando o paralelismo formal entre a teoria quântica em tempo imaginário e a estatística de sistemas em equilíbrio térmico. Essa equivalência é de especial importância na formulação funcional da TQC e no estudo de campos em regimes de temperatura finita.

Esse resultado é especialmente útil em contextos pedagógicos, pois permite demonstrar em sala de aula que a transição para o tempo imaginário não é apenas uma técnica matemática, mas um procedimento que conecta, de maneira conceitualmente elegante, duas áreas do currículo de física: a mecânica quântica e a termodinâmica. Assim, a análise pode ser utilizada para motivar a introdução de métodos estatísticos no estudo de sistemas quânticos e para discutir a interpretação de temperatura efetiva em contextos relativísticos.

Na Seção (4), abordamos o fenômeno do desvio exponencial para o vermelho (redshift) e o surgimento de um espectro térmico para observadores não inerciais. A partir da análise de uma onda plana no referencial de Minkowski e da trajetória de um observador uniformemente acelerado, demonstramos que o campo, quando expresso em função do tempo próprio do observador, apresenta uma fase cuja frequência decai exponencialmente:

(51) $$\omega \left(\tau \right)=\Omega e^{-\kappa \tau }.$$

A transformada de Fourier desta solução revelou um espectro de energia de natureza planckiana,

(52) $$\nu {\left|f\left(-\nu \right)\right|}^2=\frac{\beta }{e^{\beta \nu }-1},$$

indicando que o observador acelerado percebe o vácuo de Minkowski como um banho térmico. A identificação de $\beta =2\pi /\kappa$ levou à definição da temperatura de Unruh [⁵],

(53) $$T_U=\frac{\kappa }{2\pi },$$

revelando que a aceleração uniforme gera efeitos equivalentes à presença de uma radiação térmica.

Esse resultado fornece uma excelente oportunidade didática para retomar o estudo da distribuição de Planck sob uma nova perspectiva. Em cursos de Física Moderna ou Termodinâmica, pode-se mostrar que a mesma expressão obtida para a radiação de corpo negro surge naturalmente no contexto da TQC em espaço-tempo curvo, sem a necessidade de um emissor material. Dessa forma, o efeito Unruh funciona como um exemplo de universalidade da relação de Planck e reforça o caráter geométrico dos fenômenos térmicos.

O conjunto dos resultados discutidos unifica elegantemente conceitos de diferentes áreas da física teórica. Ele estabelece uma ponte entre a TQC em espaço-tempo curvo e a termodinâmica de horizontes, mostrando que o surgimento de temperaturas efetivas é consequência direta da relatividade do conceito de partícula em espaços-tempos não inerciais. O efeito Unruh surge, assim, como o análogo em espaço-tempo plano da radiação de Hawking associada a buracos negros [⁵], em que a aceleração superficial $\kappa$ do horizonte desempenha o mesmo papel físico do parâmetro de aceleração do observador.

Em síntese, a sequência lógica apresentada, desde a quantização de campos livres, passando pela formulação funcional em tempo euclidiano, até a emergência de efeitos térmicos em referenciais acelerados, ilustra a unidade conceitual da física moderna. Essa unidade manifesta-se na equivalência entre o formalismo quântico e o estatístico, na dependência da noção de vácuo do observador e na interpretação geométrica de fenômenos térmicos.

Do ponto de vista pedagógico, o percurso proposto oferece uma exposição que pode ser explorada tanto em disciplinas de graduação quanto de pós-graduação. Ele permite abordar de forma progressiva temas de fronteira como o efeito Unruh e a termodinâmica de buracos negros sem exigir formalismo excessivo, mas mantendo rigor conceitual. Assim, o texto contribui para a formação de estudantes e docentes, oferecendo um caminho natural para integrar, em um mesmo eixo didático, os fundamentos da TQC, da Relatividade e da Termodinâmica.

As técnicas e formulações apresentadas neste trabalho podem ser aplicadas de maneira análoga à análise de horizontes de eventos em outros tipos de buracos negros, incluindo aqueles associados a campos adicionais, como o campo de Kalb–Ramond. Nesse contexto, o formalismo desenvolvido aqui fornece uma base conceitual útil para investigar modificações térmicas e quânticas decorrentes da presença de graus de liberdade extras no espaço-tempo, ampliando o alcance da abordagem para modelos mais gerais de gravitação quântica.

O mais relevante deste texto, do ponto de vista de sala de aula, é complementar a discussão de radiação de corpo negro, para além dos textos de Física Moderna, destacando que na proximidade horizontes de eventos ainda há radiação com o espectro do corpo negro para os estudantes de cursos de graduação. Para estudantes de pós-graduação, o presente material é interessante por servir de instrumento para a realização de cálculos necessários para se estudar aspectos da termodinâmica em buracos negros, utilizando ferramentas mais simples da teoria de campos, mecânica quântica e relatividade, complementando a discussão sobre buracos negros.

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Apêndice A

Apêndice A

Apêndice B

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Apêndice C

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Referências

• ^[1] N.D. Birrel e P.C. Davies, Quantum Field Theory in Curved Space (Cambridge University Press, Cambridge, 1982).
• ^[2] R.M. Wald, Quantum field theory in curved space-time (The University of Chicago Press, Chicago, 1994).
• ^[3] T. Padmanabhan, Gravitation: Foundations and Frontiers (Cambridge University Press, Cambridge, 1982).
• ^[4] S.W. Hawking, Phys. Rev. D 14, 870 (1976).
• ^[5] W.G. Unruh, Phys. Rev. D 13, 191 (1976).
• ^[6] G.E. Matsas, Revista Brasileira de Ensino de Física 27, 137 (2005).
• ^[7] L.H. Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge University Press, Cambridge, 1996).
• ^[8] M.E. Peskin, D. V. Schroeder, An Introduction to quantum field theor (Addison-Wesley, Reading, 1995).
• ^[9] S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Cambridge University Press, Cambridge, 1995).
• ^[10] R.M. Wald, em: 14TH International Conference on General Relativity and Gravitation (GR14) (Cambridge, 1995).
• ^[11] S.M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Cambridge University Press, Cambridge, 2019).
• ^[12] M. Srednicki, Quantum field theory (Cambridge University Press, Cambridge, 2007).
• ^[13] J.J. Sakurai e J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, Quantum physics, quantum information and quantum computation (Cambridge University Press, Cambridge 2020).
• ^[14] P. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics (Clarendon Press, Oxford, 1930).
• ^[15] GB Arfken, HJ Weber, FE Harris,Mathematical methods for physicists: a comprehensive guide, Academic press (2011).
• ^[16] K. Lochan, T. Padmanabhan, Phys. Rev. D 91, 044002 (2015).
• ^[17] S. Kolekar e T. Padmanabhan, Phys. Rev. D 89, 064055 (2014).
• ^[18] S. Fulling e G. Matsas, Scholarpedia 9, 31789 (2014).
• ^[19] A.G.S. Landulfo, S.A. Fulling e G.E.A. Matsas, Phys. Rev. D 100, 045020 (2019).
• ^[20] S.W. Hawking, Commun. Math. Phys. 43, 199 (1975).

Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  30 Mar 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  15 Nov 2025
• Revisado
  20 Jan 2026
• Aceito
  05 Fev 2026