Problemas de transportes: comentários sobre a solução inicial de duas etapasARTIGOS
Problemas de transportes: comentários sobre a solução inicial de duas etapas
Getúlio Góes Ferreti
Mestre em Ciências, Professor do Centro Tecnológico da Universidade Federal de Santa Catarina
1. INTRODUÇÃO
Em um comentário desta revista1 foi proposto um novo método para a obtenção da solução inicial dos problemas de transportes. O presente trabalho tem por objetivos, mostrar, através de dois exemplos, que a aplicação de tal método não leva sempre a uma solução ótima, e colaborar, assim, para o melhor posicionamento daquele estudo dentro do algaritmo clássico de solução dos problemas de transportes. Durante o presente estudo. a solução apresentada naquele trabalho será chamada de método das duas etapas. Para melhor localização do problema faz-se, de inicio, uma breve descrição do problema de transportes.
2. PROBLEMAS DE TRANSPORTES
O problema de programação linear, conhecido como "de transportes", pode ser definido como:
Esse problema representa a situação clássica em que se têm m fábricas, cada uma delas com produção, por unidade de tempo, igual a a/ unidades, que devem ser distribuídas a n depósitos, cada um deles demandando bj unidades por unidade de tempo. O mínimo custo unitário de transporte entre uma fábrica i e um depósito j é considerado constante e igual a Cij. Querem-se determinar as quantidades, Xij, que devem ser transportadas da fábrica i ao depósito j, de modo a se incorrer no mínimo custo total de transporte (equação 1), ao mesmo tempo em que fiquem satisfeitas as restrições quanto às produções de cada fábrica (equação 2) e quanto às demandas de cada depósito (equação 3). Em muitos casos reais as restrições (2) e (3) não estão em forma de igualdades, ou seja, não se tem:
São os casos em que a soma das quantidades disponíveis nas fábricas não é igual à soma das quantidades demandadas pelos depósitos. Nessas situações, para adaptar o problema real ao clássico de transportes, dado pelas equações (1) até (3), cria-se ou um depósito fictício ou uma fábrica fictícia, com demanda ou produção que faça com que a equação (4) fique satisfeita, ou, equivalentemente, as restrições (2) e (3) tomem a forma de igualdades. Os custos fictícios são considerados nulos. A equação (4) faz com que o problema sempre tenha solução viável, e, conseqüentemente, tenha solução ótima.
Colocando-se o mesmo problema na forma matricial tem-se:
onde c é um vetor linha, cujas n componentes são os custos unitários de transportes, X é um vetor coluna, cujas m x n componentes são as quantidades que serão transportadas, A é uma matriz de ordem (m + n) x (m x n) e â é um vetor coluna cujas m + n componentes são as produções e as demandas. A matriz A apresenta estrutura simples e característica: seus elementos são todos ou zero ou um e seu posto (rank) é igual a m + n -1. Essa estrutura de matriz A é que permitiu o desenvolvimento de um algoritmo especial para a solução do problema de transportes. No entanto, apesar de ser um algoritmo especial, ele não deixa de ser apenas uma modificação do algoritmo simples, conservando deste último a característica de exigir uma solução inicial básica viável e, iterativamente, por um processo finito, chegar a uma solução ótima.
3. PROCESSOS PARA OBTENÇÃO DE UMA SOLUÇÃO INICIAL BÁSICA VIÁVEL
O primeiro passo para a resolução de um problema "de transportes" é a determinação de uma solução inicial, viável. Muitos métodos são utilizados para isso. Dentre eles comentaremos apenas dois. Quando se utiliza computadores, o método mais usado é o canto noroeste, por não exigir muitas comparações entre números e, por isso mesmo, ser computacionalmente bastante rápido. A solução inicial obtida por esse método está na maioria das vezes, bastante longe da ótima. Essa desvantagem, no entanto, é compensada pela sua simplicidade e rapidez de execução. Já o método de Vogel é mais adequado para execuções manuais, pois baseia-se todo ele na comparação entre números, o que em computador é relativamente demorado.
A solução inicial obtida pelo método de Vogel está na maioria dos casos, bastante próxima da ótima; daí a maior razão de seu uso em execuções manuais.
4. COMENTÁRIOS SOBRE O MÉTODO DAS DUAS ETAPAS
A própria autora reconhece que, no seu estudo, não pesquisou um número estatisticamente significativo de casos. Esclarece também, e com muita propriedade, que não espera validade universal para o método, que, no entanto, dá resultados excelentes para certos casos. Em suma, é um método heurístico como o são todos os demais métodos de obtenção de solução inicial. Convém ressaltar que a heurística utilizada, embora não deixada explícita no artigo, é uma heurística excelente. Começar pela linha (coluna) de maior soma de custos e por isso mesmo candidata a possuir os maiores custos individuais, e aproveitar dessa linha (coluna), progressivamente, as células que apresentarem os menores custos quando comparados com os demais custos das colunas (linhas), certamente é uma boa idéia. O que, no entanto, não se pode esperar, é que se chegue sempre a uma solução ótima, mesmo que seja após a aplicação das duas etapas do método.
4.1 Primeiro exemplo
Trata-se de um exemplo em que se procura maximizar o lucro decorrente da venda de um certo produto elaborado em quatro diferentes fábricas, e vendido a cinco mercados distintos. Como o algoritmo de transportes é aplicado mais para problemas de minimização, transforma-se a maximização em minimização através da equação:
De acordo então com o quadro 1, a seguir, cada unidade produzida na fábrica 2, se vendida no mercado 1 dará um lucro de 300 unidades monetárias, se vendida no mercado 2 dará um lucro de 325 unidades monetárias etc. Seria o caso de um vendedor monopolista e discriminador de preços. O mercado 6 é fictício e foi criado para que a soma das produções seja igual à das demandas, conforme já se comentou anteriormente.
Aplicando o método das duas etapas começa-se pela linha que apresenta maior soma de custos, que é a linha 2, depois passa-se à linha 3 etc. A menor diferença da linha 2 é igual a zero e corresponde à coluna 6. A segunda menor diferença é 25 e aparece nas colunas 1, 2 e 3.
Nesses casos de empate optou-se pela alocação a partir da célula de menor custo.
A solução obtida pela primeira etapa do método é apresentada no quadro 2, onde, por simplicidade de escrita, não aparecem os custos.
O custo total dessa solução é -201.250 (lucro = 201.250), que não é o custo ótimo.
Aplicando a segunda etapa do método, começa-se pela coluna 6, depois passa-se para a 5, e assim por diante. A solução encontrada nessa segunda etapa é a apresentada no quadro 3.
O custo total dessa solução é de -199.375 (lucro = 199.375), que continua não sendo a ótima, já que uma das soluções ótimas é dada no quadro 4.
O custo ótimo é, então, -206.875 (lucro = 206.875).
4.2 Segundo exemplo2
Trata-se do problema, cujos custos unitários, demandas e produção aparecem no quadro 5, abaixo.
A primeira etapa do método produz a solução do quadro 6 a seguir que não é ótima.
O custo dessa solução é de 331
A segunda etapa do método fornece a solução do quadro 7 a seguir.
O custo total dessa solução é de 358.
Como se pode ver, o método das duas etapas também nesse caso não deu soluçlo ótima, já que uma das soluções ótimas pode ser vista no quadro 8, com custo total ótimo de 330.
Poder-se-ia continuar a apresentação de inúmeros exemplos em que o método das duas etapas não leva a uma solução ótima.
5. CONCLUSÃO
O método das duas etapas para a obtenção de uma solução inicial para o problema de transportes nem sempre leva a uma solução que também é ótima. Como todos os outros métodos, é mais adequado para um tipo de problema do que para outros. Em vista disso, a segunda etapa do método é perfeitamente dispensável, uma vez que após a primeira etapa, para saber se ela é ótima deve-se utilizar um dos métodos de obtenção de solução ótima (stepping-stone ou da dualidade, este último também chamado método do Dantzig). Ora, uma vez verificada a não-otimalidade, e não se podendo garantir que a segunda etapa do método chegará a ele, é mais fácil, por envolver menos cálculos, utilizar o método de Dantzig para se chegar ao ótimo, mesmo porque esse método converge sempre.
A primeira etapa do método, no entanto, é sem dúvida de grande utilidade.
BIBLIOGRAFIA
Referências bibliográficas
- Rodrigues, Maria M. E. Mischan. Método dos transportes: desenvolvimento de uma nova solução inicial. Revista de Administração de Empresas, FGV, v. 15, n. 2, p. 40-6, mar/abr. 1975.
- Hadley, G. Linear programming. Reading. 8.Ş ed. Massachussets, Addison-Wesley Publishing, 1974.
- Dantzig, G. B. Linear programming and extensions. Princeton, New York, Princeton University Press, 1963.
- Hillier, SH. & Liebermann, G. J. Introduction to operations research. 6. ed. San Francisco, California, Holden Day, 1970.
