Proposição didática das figurinhas da copa: Em busca da inter-relação da aritmética, geometria e álgebra no ensino de multiplicaçãoResumo
Tendo como base a Teoria Histórico-Cultural, este artigo tem como objetivo analisar a organização do ensino de multiplicação de forma a promover a formação de conceitos teóricos, por meio da elaboração de uma Situação Desencadeadora de Aprendizagem (SDA) a fim de inter-relacionar a aritmética, geometria e álgebra. Partindo do entendimento de que a multiplicação envolve diferentes ideias fundamentais – como adição de parcelas iguais, organização retangular, proporcionalidade e raciocínio combinatório – o estudo está centrado na proporcionalidade, pouco explorada nas Situações Desencadeadoras de Aprendizagem (SDAs) já elaboradas. Com base nos pressupostos de Davídov (1988), é apresentada uma SDA elaborada para alunos do 4º ano do Ensino Fundamental, baseada na prática social da troca de figurinhas. A proposta mobiliza as seis ações de estudo para promover a compreensão do conceito de multiplicação como relação entre grandezas, articulando diferentes representações (objetais, gráficas e algébricas). Os resultados indicam que o uso de SDAs, ancoradas em contextos significativos, favorece a generalização e a abstração teórica, contribuindo para um ensino de matemática mais significativo e que proporcione o desenvolvimento das funções psicológicas superiores dos estudantes.
Palavras-chave:
Multiplicação; Proporcionalidade; Teoria Histórico-Cultural; Ensino de matemática; Situação Desencadeadora de Aprendizagem
Abstract
Grounded in Historical-Cultural Theory, this article analyzes the organization of multiplication teaching aimed at fostering the formation of theoretical concepts through the elaboration of a Learning-Triggering Situation (LTS) that interrelates arithmetic, geometry, and algebra. Considering the understanding that multiplication involves different fundamental ideas — such as addition of equal parts, rectangular organization, proportionality, and combinatorial reasoning —, the study focuses on proportionality, which remains underexplored in previously developed Learning Triggering Situations (LTS). Based on Davidov’s (1988) theoretical assumptions, an LTS designed for fourth-grade elementary students is presented, based on the social practice of exchanging stickers. The proposal mobilizes the six study actions to promote the understanding of the concept of multiplication as a relationship between quantities, articulating objective, graphical, and algebraic representations. The results indicate that the use of SDAs, anchored in meaningful contexts, favors generalization and theoretical abstraction, contributing to more meaningful mathematics teaching that provides the development of students' higher psychological functions.
Keywords:
Multiplication; Proportionality; Historical-Cultural Theory; Mathematics Teaching; Learning Triggering Situation
1 Introdução
De acordo com a Teoria Histórico-Cultural, a matemática é uma linguagem elaborada historicamente para mediar a relação do homem com o mundo. Ao apropriar-se dessa linguagem, o sujeito desenvolve a capacidade de pensar, comunicar e transformar a realidade. Assim, ensinar matemática deve ir além da memorização e repetição de procedimentos: trata- se de inserir o aluno em uma prática social historicamente construída.
Dentre os conceitos que devem ser sistematizados e ensinados, temos a multiplicação, que surgiu historicamente diante da necessidade humana de lidar com grandes quantidades e realizar cálculos de forma rápida e eficiente. Portanto ao longo do tempo, o homem passou de simples contagens um a um para estratégias mais complexas, como o agrupamento, que culminaram no desenvolvimento de novas formas de realizar o controle de quantidades, sendo uma delas a multiplicação. Desse modo, torna-se essencial que as crianças compreendam essa operação.
Frente a isso, a investigação aqui proposta se justifica, pois, embora a compreensão do conceito da multiplicação seja essencial aos alunos, ainda hoje, seu ensino tem sido marcado por práticas reducionistas centradas na memorização e repetição de algoritmos. Essa redução privilegia o pensamento empírico, limita a compreensão da essência do conceito e não promove o desenvolvimento do pensamento teórico dos estudantes.
Nesse sentido, torna-se necessário investigar proposições didáticas voltadas ao trabalho educativo com a multiplicação que, de forma sistematizada e intencional, busquem oportunizar as condições para o desenvolvimento do pensamento teórico dos alunos reforçando o compromisso com a formação humana omnilateral. Com enfoque na Teoria Histórico-Cultural e na Atividade Orientadora de Ensino, temos referenciais que nos ajudam a estruturar essa organização, pois colocam os alunos em atividade de estudo e criam oportunidades para a apropriação de conceitos científicos. Assim, optamos pela elaboração de uma Situação Desencadeadora de Aprendizagem (SDA) que inter-relaciona, com base em Davídov (1988), a aritmética, a geometria e a álgebra, uma vez que essa integração expressa “a síntese histórica e as formas pelas quais o homem se apropria do conceito de número” (Rosa, 2012, p. 31).
Concernente ao exposto, neste texto, apresentamos uma Situação Desencadeadora de Aprendizagem (SDA) com ênfase na ideia multiplicativa da proporcionalidade elaborada durante o Mestrado em Educação. A escolha por essa abordagem se fundamenta na revisão de literatura de Gil, Silva e Lacanallo-Arrais (2023), a qual evidenciou que, dentre as SDAs elaboradas para o ensino de multiplicação entre 2015 e 2023, a ideia de proporcionalidade foi pouco explorada. Em busca da apropriação do conhecimento teórico, entendemos que a SDA, ao colocar o aluno em atividade de estudo, organiza o processo de aprendizagem de modo a criar a necessidade de apropriação conceitual.
Neste contexto, o objetivo deste artigo é analisar a organização do ensino de multiplicação de forma a promover a formação de conceitos teóricos, por meio da elaboração de uma Situação Desencadeadora de Aprendizagem (SDA) a fim de inter-relacionar a aritmética, geometria e álgebra. Frente a esse objetivo, o problema central dessa pesquisa é: como organizar o ensino de multiplicação a fim de inter-relacionar as significações matemáticas e promover a apropriação do conceito, com foco no desenvolvimento do pensamento teórico dos alunos?
Com o intuito de responder essa pergunta e atingir o objetivo desse artigo, apresentaremos uma proposição didática para alunos do 4º ano do Ensino Fundamental, em consonância com os pressupostos da Teoria Histórico-Cultural, em especial os estudos de Davídov (1982, 1988) e a Atividade Orientadora de Ensino elaborada por Moura (1997).
O artigo está organizado da seguinte forma: na seção inicial, são apresentados os fundamentos teóricos sobre o conceito de multiplicação e suas diversas ideias fundamentais (adição de parcelas iguais, organização retangular, proporcionalidade e combinatória), com ênfase na abordagem da Teoria Histórico-Cultural. Em seguida, apresentaremos a Situação Desencadeadora de Aprendizagem elaborada, com foco na ideia de proporcionalidade e no contexto da troca de figurinhas, apresentando cada uma das seis ações de estudo propostas por Davídov (1988). Por fim, as contribuições dessa proposição didática para o ensino da multiplicação, destacando-se a inter-relação entre aritmética, geometria e álgebra a fim de promover a compreensão teórica desse conceito.
2 Multiplicação
A multiplicação surgiu historicamente como resposta à necessidade humana de controlar grandes quantidades, evoluindo da contagem um a um para estratégias mais eficientes, como o agrupamento. Ifrah (1997) destaca que os pastores controlavam a quantidade do seu rebanho fazendo nós em cordas, juntando pedrinhas, fazendo assim a correspondência um a um (uma pedra ou nó para uma ovelha), porém ao lidarem com grandes rebanhos, precisaram de outras alternativas, o que impulsionou o desenvolvimento de sistemas mais sofisticados.
Caraça (1951) afirma que, multiplicar é adicionar parcelas iguais, em que o multiplicando (parcela que se repete) tem papel passivo e o multiplicador (número de vezes que o multiplicando aparece como parcela) é ativo. Davídov (1988) aprofunda essa ideia ao destacar a multiplicação como relação entre grandezas, com unidades básicas e intermediárias, o que permite compreender o conceito em sua essência.
Além da adição de parcelas iguais, a multiplicação abrange outras ideias fundamentais: proporcionalidade, organização retangular e raciocínio combinatório, cada uma com ações mentais distintas. A proporcionalidade envolve relações entre grandezas (por exemplo comparações de volumes, quantidades, entre outros), a disposição retangular organiza objetos em linhas e colunas, e a combinatória diz respeito à contagem de possibilidades (como combinações de roupas). Essas ideias, de acordo com Moretti e Souza (2015), estão presentes no cotidiano e devem ser trabalhadas na escola para desenvolver o pensamento teórico dos alunos.
Diferentemente do ensino tradicional, que se limita ao pensamento empírico, baseado na repetição e memorização, a proposta da Teoria Histórico-Cultural (THC) valoriza a formação de conceitos por meio da reflexão teórica. Nesse processo, é fundamental a inter-relação entre a aritmética, a geometria e a álgebra, pois o conceito de multiplicação se estrutura na inter-relação dessas significações. Ao levarmos em consideração a multiplicação, podemos identificar a aritmética na base numérica e na operação, a geometria contribui com representações espaciais (como a disposição retangular) e a álgebra permite a generalização e análise das relações entre grandezas. Compreender essa inter-relação favorece o desenvolvimento de generalizações e abstrações teóricas referente ao conceito de multiplicação.
No entanto, para que essas generalizações se concretizem no processo de aprendizagem, é essencial que os alunos estejam em atividade de estudo, para que
[...] as crianças reproduzam não só os conhecimentos e competências correspondentes aos fundamentos das formas de consciência social [...], mas também as capacidades, historicamente emergidas, que estão na base da consciência teórica e do pensamento: reflexão, análise, experiência mental. (Davídov, 1988, p. 158, tradução nossa).
Frente a isso, Davídov (1988) propõe um conjunto de ações de estudo que orientam o desenvolvimento do pensamento teórico, por meio da resolução consciente de tarefas. Essas ações envolvem:
- transformação de dados de tarefas para expor a relação universal do objeto estudado;
- modelagem da relação diferenciada objetiva, graficamente ou por meio de letras;
- transformação do modelo de relacionamento para estudar suas propriedades em "forma pura";
- construção do sistema de tarefas particulares a resolver por um procedimento geral;
- controle sobre o cumprimento das ações anteriores;
- avaliação da assimilação do procedimento geral como resultado da solução da tarefa de estudo (Davídov, 1988, p. 181, tradução nossa).
Essas ações visam promover a formação de abstrações e generalizações teóricas, superando a simples memorização de procedimentos. Dessa forma, ao mobilizar os alunos em atividade e articular essas ações de estudo à inter-relação entre aritmética, geometria e álgebra, cria-se um caminho para a formação conceitual da multiplicação como um objeto de conhecimento histórico e teórico.
Com o intuito de pensar a organização do ensino de maneira a promover o desenvolvimento do pensamento teórico nos alunos, Moura (1997) elaborou, em 1992, uma base teórico-metodológica denominada Atividade Orientadora de Ensino (AOE). Fundamentada nos pressupostos da Teoria Histórico-Cultural, a AOE auxilia os professores a elaborarem estratégias para seu trabalho de ensino e possibilita aos alunos a apropriação dos conceitos científicos, colocando ambos em atividade. A AOE
[...] orienta um conjunto de ações em sala de aula a partir de objetivos, conteúdos e estratégias de ensino negociado e definido por um projeto pedagógico. Contém elementos que permitem à criança apropriar-se do conhecimento como um problema. E isto significa assumir o ato de aprender como significativo tanto do ponto de vista psicológico, quanto de sua utilidade (Moura, 1997, p. 32).
Entre os elementos constitutivos da AOE, destacam-se as Situações Desencadeadoras de Aprendizagem (SDA), que são fundamentais para viabilizar essa proposta em sala de aula. As SDA auxiliam o professor na sistematização do ensino de conceitos, no caso deste artigo a multiplicação, apresentando-os a partir do que é sua essência e do processo de produção humana que o consolidou enquanto uma síntese histórica. A SDA
[...] deve contemplar a gênese do conceito, ou seja, a sua essência, ela deve explicitar a necessidade que levou a humanidade à construção do referido conceito, como foram aparecendo os problemas e as necessidades humanas em determinada atividade e como os homens foram elaborando as soluções ou sínteses no seu movimento lógico-histórico (Moura et al., 2010, p. 222-223).
A fim de contemplar todos esses aspectos, a SDA pode ser materializada por meio jogos, histórias virtuais do conceito e situações emergentes do cotidiano. Essas três formas de SDA, objetivam mobilizar os sujeitos a interagir “com os outros segundo as suas potencialidades e visam chegar a outro nível de compreensão do conceito em movimento” (Moura et al., 2010, p. 222).
Neste artigo, traremos uma Situação Emergente do Cotidiano, problematizando as figurinhas da copa, com o intuito de trabalhar a ideia de proporcionalidade a fim de promover a generalização teórica da multiplicação e compreender a gênese da multiplicação, isto é, a adição de parcelas iguais, para isso traremos uma possibilidade de desenvolvimento dessa SDA por meio das ações de estudo de Davídov (1988).
3 Proposição para o ensino de multiplicação
Considerando que, para a Teoria Histórico-Cultural, a articulação entre aritmética, geometria e álgebra representa um caminho de desenvolvimento para o ensino da multiplicação apresentaremos uma Situação Desencadeadora de Aprendizagem (SDA), com foco na abordagem de uma das ideias fundamentais da multiplicação: a proporcionalidade. A escolha dessa ideia se deu com base na revisão de literatura realizada por Gil, Silva e Lacanallo-Arrais (2023), a qual evidenciou que, entre as SDAs produzidas entre 2015 e 2023 para o ensino de multiplicação, aquelas voltadas à proporcionalidade são pouco exploradas.
Enquanto professores que ensinam matemática, é essencial refletirmos: como estruturar o ensino da multiplicação de modo a integrar suas diversas ideias e significações matemáticas? A fim de encontrar alternativas didáticas para o ensino desse conceito, é necessário levar em conta os seguintes aspectos destacados por Ferro (2023, p. 75):
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as múltiplas dimensões que constituem a criança;
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a dinâmica entre ensino e aprendizagem;
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os motivos e necessidades da criança dentro de sua atividade principal;
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a organização do tempo e do espaço escolar;
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o uso de objetos manipuláveis;
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a importância das ações compartilhadas;
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as intervenções pedagógicas sistematizadas e intencionais por parte do professor.
Tendo esses elementos como referência, destaca-se que a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) propõe o ensino da multiplicação no 2º ano do Ensino Fundamental, e, especificamente no 4º ano, a introdução da ideia de proporcionalidade, como evidenciado na seguinte habilidade:
(EF04MA06) Resolver e elaborar problemas envolvendo diferentes significados da multiplicação (adição de parcelas iguais, organização retangular e proporcionalidade), utilizando estratégias diversas, como cálculo por estimativa, cálculo mental e algoritmos (Brasil, 2018, p. 289).
A Situação Desencadeadora de Aprendizagem elaborada por nós foi direcionada a alunos do 4º ano do Ensino Fundamental. Propomos a SDA como um instrumento didático capaz de organizar o processo de ensino-aprendizagem, promovendo no aluno a necessidade de se apropriar de um conceito matemático.
Optamos por uma situação emergente do cotidiano com foco na proporcionalidade — tanto por ser uma ideia multiplicativa pouco explorada nas SDAs já existentes, como também por possibilitar a mobilização de conhecimentos teóricos. A proposição de uma Situação Emergente do Cotidiano também se justifica pela escassez de propostas que a utilizam. Ao tratarmos da proporcionalidade, entendemos, com Catena (2023, p. 53), que ela representa “[...] uma capacidade mental necessária para os alunos compreenderem os contextos, as aplicações matemáticas e sejam capazes de relacioná-los na resolução de problemas.” Essa ideia envolve relações como comparação, compensação, equivalência e correspondência, permitindo ao aluno estabelecer vínculos entre grandezas e construir significados integrados.
Quando confrontado com situações multiplicativas que mobilizam a proporcionalidade, o estudante elabora estratégias, argumentações e análises para resolver os desafios propostos (Catena, 2023). Nesse sentido, a proporcionalidade, como destacam Toledo e Toledo (1997, p. 137), constitui “[...] um dos temas de maior importância no ensino da Matemática, pois é a partir dela que se formam as noções de razão, proporção, número racional, medida, regra de três, porcentagem, probabilidades, semelhança de figuras, escalas, entre outras”.
Com base nisso, nossa proposta parte de uma situação emergente do cotidiano, relacionada ao universo infantil das figurinhas, temática com a qual os alunos se identificam. Essa escolha visa promover a aprendizagem em nível teórico, ao mesmo tempo em que fundamentamos o ensino da multiplicação em uma ideia multiplicativa essencial — a proporcionalidade — ainda pouco explorada no contexto das SDAs.
A proposta de elaborar uma Situação Desencadeadora de Aprendizagem (SDA) a partir da troca de figurinhas surgiu da observação de como essa prática faz parte do cotidiano dos alunos, especialmente durante eventos como a Copa do Mundo. O álbum de figurinhas, comum entre crianças e jovens, pode ser utilizado como recurso pedagógico para abordar conteúdos de diversas disciplinas, sobretudo a matemática, como operações aritméticas, medidas, gráficos e o sistema monetário.
Dessa forma, a construção da situação emergente do cotidiano demandou um processo longo e cuidadoso. Para propor uma Situação Desencadeadora de Aprendizagem (SDA), é imprescindível estudar os pressupostos teóricos envolvidos, refletir sobre possibilidades didáticas, elaborar e revisar continuamente a proposta, entre outras ações pedagógicas necessárias. Após definirmos o sujeito, o conteúdo e a forma da proposta, aprofundamo-nos no estudo do conceito de proporcionalidade e nos perguntamos: quais situações do cotidiano dos alunos mobilizam essa ideia?
A partir dessa indagação, iniciamos a busca por possibilidades que pudessem fundamentar a SDA. Nesse percurso, o coletivo OPM/UEM teve papel essencial na elaboração da situação emergente do cotidiano, por meio de discussões e trocas de ideias. Destacamos também a contribuição de dois professores de matemática do grupo, que colaboraram ativamente na identificação de situações cotidianas nas quais o conceito de proporcionalidade poderia se manifestar de forma significativa para os alunos.
Inicialmente, exploramos ideias como o uso de receitas, misturas de tintas e pintura de paredes. No entanto, com o aprofundamento das análises, percebemos que essas opções não se adequavam plenamente aos objetivos pretendidos. Após diversos debates, elaboramos a seguinte situação desencadeadora de aprendizagem (Quadro 1), com possibilidade de levantar problemas que colocassem o estudante em movimento investigativo.
A Situação Desencadeadora de Aprendizagem (SDA) proposta busca desenvolver, com os alunos, a ideia multiplicativa de proporcionalidade, partindo de uma troca de figurinhas entre colegas, na qual uma figurinha dourada equivale a seis comuns. Para analisar essa situação, nos baseamos nas seis ações de estudo de Davídov (1988), enfatizando que a atividade permite diferentes caminhos de resolução e favorece a inter-relação entre aritmética, álgebra e geometria.
Destacamos que a condição de seis por um, empregada como base de troca na situação emergente, foi atribuída por nós. Isso porque a quantidade escolhida, critério, possibilita diversas relações de proporcionalidade apoiada nos números presentes na tabuada. Caso os alunos queiram alterar esse valor para 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 ou qualquer outro valor desejado, a situação problema continua possível. Ao considerar essas possibilidades numéricas, podemos visualizar uma alteração no campo de variação, pois, além do critério de figurinhas comuns e douradas, os alunos podem pensar em outros atributos para realizarem as trocas.
A questão problematizada considera que Mateus estava com 20 figurinhas comuns repetidas. Com essa quantidade, quantas trocas de figurinhas comuns por figurinhas douradas com Pedro, Mateus poderá fazer? A possível resolução será analisada ao considerar as ações de estudos, as tarefas de estudo e particulares propostas por Davídov (1988). Para isso, sistematizamos as ações que podem ser realizadas no Quadro 2, a fim de auxiliar na compreensão.
Diante da situação emergente do cotidiano, por nós elaborada, demonstramos como a SDA e as ações de estudo podem contribuir para o ensino de multiplicação com objetivo de compreender a essência desse conceito e formar generalizações teóricas que nos ajudem a responder o seguinte problema desencadeador: Mateus estava com 20 figurinhas comuns repetidas. Com essa quantidade, quantas trocas de figurinhas comuns por figurinhas douradas com Pedro, Mateus fará? A escolha por pensar em possíveis soluções ao problema, a ter como base as ações de estudo de Davídov (1988), é um caminho que possibilita a inter-relação entre a aritmética, a geometria e a álgebra.
4 Ações de estudo
4.1 Primeira ação de estudo
A primeira ação de estudo, de acordo com Davídov (1988), busca transformar os dados da tarefa para revelar a essência do conceito de multiplicação por meio da análise da relação entre grandezas. Essa análise ocorre em um movimento objetal-sensorial, permitindo aos alunos identificarem, de forma concreta, os elementos fundamentais do problema. Nessa ação, inicia-se o processo de redução do abstrato ao concreto, conforme defendem Rosa, Garcia e Lunardi (2021), sendo essencial para que os estudantes comecem a compreender o conceito investigado.
Para alcançar esse objetivo, os alunos são instigados a refletir sobre perguntas relacionadas à situação-problema, como a necessidade vivenciada pelos personagens (Pedro e Mateus), a forma como essa necessidade foi apresentada no enunciado e quais grandezas estão envolvidas na troca das figurinhas. Essas questões ajudam a direcionar o olhar dos estudantes para os elementos essenciais do problema, promovendo a compreensão da proporcionalidade envolvida nas trocas realizadas. Assim, a SDA permite que os alunos reconheçam a multiplicação como uma relação entre quantidades, fundamentada em uma troca proporcional.
Com base nas reflexões anteriores, os alunos podem identificar os componentes da relação multiplicativa: a grandeza a ser medida (figurinhas douradas), a unidade de medida (figurinhas comuns) e o total obtido pela troca. O foco está na identificação da unidade intermediária — no caso, o número 6 — que atua como a unidade gênese do conceito de multiplicação. Essa compreensão é essencial para reconhecer a proporcionalidade como base do conceito, permitindo que os alunos avancem para a modelagem dessa relação na próxima ação de estudo.
4.2 Segunda ação de estudo
A segunda ação de estudo consiste em transformar os elementos essenciais identificados na primeira etapa em modelos que representem o conceito de multiplicação, na forma objetal, gráfica e literal. Nesse momento, é necessário, por conseguinte, transformar os elementos essenciais revelados na primeira ação em modelos que possam revelar “o elo internamente essencial no processo de assimilação de conhecimentos teóricos e procedimentos de ação generalizados.” (Davídov, 1988, p. 182, tradução nossa). Esses modelos buscam estabelecer a relação universal do conceito de multiplicação para que seja realizada sua análise posterior.
Para isso, o professor pode conduzir os alunos a refletirem sobre a relação entre as quantidades de figurinhas comuns e douradas, utilizando objetos concretos (as figurinhas em si, como apresentado na figura a seguir) para explorar a ideia de proporcionalidade — por exemplo, seis figurinhas comuns equivalem a uma figurinha dourada.
Com as figurinhas, o aluno pode compreender a proporcionalidade ao representar grupos de seis figurinhas comuns por outro grupo de uma figurinha dourada. Essa modelagem objetal possibilita que os alunos visualizem grupos proporcionais e reconheçam a existência de uma incógnita na situação, aproximando o problema dos conceitos algébricos, além de destacar a importância da aritmética para comparar quantidades de forma eficiente.
Ao trabalhar a proporcionalidade, os alunos percebem que a multiplicação é uma adição repetida de parcelas iguais, o que facilita o cálculo em comparação à contagem individual das figurinhas. Essa compreensão histórica e lógica da multiplicação, como uma forma de controlar grandes quantidades, está fundamentada na ideia de que a operação representa a soma de grupos iguais, conforme explicações de Caraça (1951).
O próximo passo é construir um modelo geral que sirva para qualquer situação particular, em busca da compreensão da essência da multiplicação, por meio de “um modelo geral, válido para qualquer situação particular abarcada pela relação universal do modelo de estudo” (Rosa; Antunes, 2021, p. 193). Para chegar a esse modelo geral, pode-se questionar aos alunos: como podemos resolver o problema se não soubéssemos a quantidade de figurinhas douradas e comuns utilizadas para realizar a troca?
Diante dessa pergunta, os alunos podem representar graficamente as comparações realizadas com o objeto e no quadro, em direção a um modelo geral para a solução do problema. A representação do modelo universal gráfico do conceito de multiplicação, estabelecido pela significação geométrica, de acordo com Gorbov, Mikulina e Savieliev (2009), é realizada por meio de um esquema de setas e segmentos, o que permite revelar a representação bidimensional, um dos nexos da geometria.
No modelo gráfico (Figura 2), uma seta representa a unidade intermediária (figurinhas comuns), outra indica a quantidade de vezes que essa unidade se repete (figurinhas douradas), e a última seta fecha o triângulo, simbolizando o total de figurinhas comuns trocadas, assim como apresentado na figura a seguir.
Por fim, a modelagem literal expressa o conceito de multiplicação por meio de símbolos algébricos, como a x b = n, que representam a relação entre as quantidades envolvidas. Essa abstração máxima simboliza o movimento do concreto ao abstrato, essencial para a formação do pensamento matemático. Com essa base, a próxima ação de estudo visa promover o retorno do abstrato ao concreto, aplicando as generalizações aprendidas em situações práticas e concretas.
4.3 Terceira ação de estudo
A terceira ação de estudo tem como objetivo transformar o modelo universal da multiplicação em uma forma pura para que os alunos desenvolvam um procedimento geral que os ajude a formar o conceito essencial da multiplicação, conforme Davídov (1988). Utilizando o modelo universal a x b = n, os alunos entendem que, mesmo alterando a quantidade de figurinhas, a operação permanece a mesma para calcular o total de trocas. Essa ação permite variar a unidade intermediária (a), o número de vezes que a unidade é repetida (b) e o resultado total (n), o que possibilita resolver diferentes problemas particulares com base no mesmo conceito universal.
Nesta etapa, o modelo universal pode ser modificado para expressar relações inversas, como n/b = a ou n/a = b, promovendo a compreensão das propriedades gerais da multiplicação e da divisão. Desse modo, quando levamos em consideração o problema desencadeador proposto, se modificarmos o modelo universal Vc.Fd = Ftc por Ftc/Fd = Vc, ao dividir o total de figurinhas comuns pelo total de figurinhas douradas, é possível descobrir o valor da figurinha comum ou, ao mudar para Ftc/Vc = Fd, a divisão do total de figurinhas comuns pelo valor da figurinha comum resultará no total de figurinhas douradas. Essa modificação do modelo permite o estudo do modelo literal, com o intuito de compreender a relação estabelecida entre as letras. Diante dos modelos literais, é possível realizar a representação na reta numérica assim como demonstrado na Figura 3.
Pela reta numérica, os alunos poderão efetuar as operações utilizando a quantidade do problema desencadeador proposto, Fd – 7; Vc – 6; Ftc – 42. Desse modo, é possível constatar a relação dos modelos, ao realizar a operação inversa da multiplicação (divisão).
Assim, essa terceira ação reforça a construção do conceito de multiplicação ao promover a generalização, a inversão das operações e a visualização numérica, integrando o conhecimento aritmético, algébrico e geométrico.
4.4 Quarta ação de estudo
Nesta ação, é realizada a construção de um sistema de tarefas particulares que podem ser resolvidas utilizando o modelo universal da multiplicação desenvolvido nas ações anteriores. Esse processo possibilita aos alunos concretizarem a tarefa inicial e utilizar o procedimento geral aprendido para resolver diferentes problemas.
Pode-se, portanto, retornar à pergunta da Situação Desencadeadora de Aprendizagem: quantas trocas Mateus poderá fazer com Pedro, considerando as quantidades de figurinhas comuns e douradas e a proporção de troca? Por meio da representação algébrica, os alunos calculam que Mateus poderá trocar dezoito figurinhas comuns por três figurinhas douradas, sobrando duas figurinhas comuns, e que restarão quatro figurinhas douradas de Pedro. Essa resolução permite a compreensão da multiplicação e da divisão como operações relacionadas.
Além disso, entender a relação de proporcionalidade de 6 para 1, auxiliará na comparação e na contagem das quantidades, mesmo se os valores mudarem, as quantidades aumentam na mesma proporção. Portanto, nessa ação, os alunos podem compreender a relação universal-particular-singular do problema proposto, Ftc = Fd x Vc, a significação algébrica como modelo geral; Ftc = 6Vc, uma significação algébrica particular; Ftc = 7 x 6 = 42 uma significação aritmética singular.
Nesta etapa, também é possível explorar outras ideias multiplicativas, como a organização das figurinhas em arranjos retangulares e a adição de parcelas iguais, aprofundando o entendimento da multiplicação como adição repetida. Assim, a multiplicação se conecta a diferentes conceitos matemáticos, ampliando a compreensão dos alunos sobre as relações entre quantidades.
Diante da resolução do problema desencadeador proposto, ao compreender o modelo universal de multiplicação, a resolução do problema proposto pela Situação Desencadeadora de Aprendizagem pode ser finalizada com a escrita de uma carta, produção de um vídeo ou um áudio direcionado a Pedro e Mateus, com a explicação de como os alunos procedem para as trocas de figurinhas, independentemente do valor escolhido por eles. A escrita da carta ou a produção do vídeo ou do áudio têm o objetivo de sintetizar o movimento realizado na solução do problema, ao evidenciar o modelo universal de multiplicação, que permite a resolução de diferentes situações.
4.5 Quinta ação de estudo
A quinta ação consiste no controle da realização das ações anteriores, que permitirá assegurar a realização correta das ações pelos alunos. Sua “principal função é garantir [...] que o aluno resolva com sucesso a diversidade de determinadas tarefas concretas particulares” (Davídov, 1988, p. 216, tradução nossa).
Por meio dessa avaliação, os alunos refletem sobre suas próprias ações e o processo de estudo, identificando possíveis necessidades de reorganização ou ajustes em seu entendimento e prática. Assim, compreendem que o domínio do modelo universal da multiplicação lhes permite resolver diferentes situações.
4.6 Sexta ação de estudo
A quinta ação está diretamente relacionada à sexta, que consiste na avaliação da apropriação do procedimento universal para resolver a tarefa de estudo. A avaliação pode ser vista durante a realização das demais ações com o intuito de obter e empregar “o número como meio especial de comparação das grandezas” (Davídov, 1988, p. 186, tradução nossa), que determina a ocorrência ou não da apropriação do procedimento universal de solução da tarefa de estudo e suas modificações.
Por meio dessa avaliação, é possível identificar se os alunos realmente se apropriaram do modelo universal do conceito de multiplicação, observando se todas as ações foram realizadas adequadamente e se a relação universal foi compreendida. Instrumentos como a carta ou outras formas de expressão usadas para responder ao problema são essenciais para verificar a compreensão dos estudantes e confirmar a apropriação do conceito trabalhado.
4.7 Ações de estudo e a proposição da figurinha
Diante das ações apresentadas, concluímos a solução do problema desencadeador das figurinhas da copa. A resolução proposta possibilita que as diferentes significações se relacionem no ensino do conceito multiplicativo. Ao problematizar a troca de figurinhas comuns por douradas, foi necessário explorar a ideia de proporcionalidade, inter-relacionando com as significações aritméticas, algébricas e geométricas.
Nesse movimento, ao efetuar as trocas entre as figurinhas comuns e douradas, evidencia-se a ideia de proporcionalidade e o modelo universal da multiplicação, tanto na aritmética quanto na álgebra. Seguindo as ações de estudo propostas por Davídov (1988), a representação gráfica revela a significação geométrica por meio de uma representação bidimensional expressa nas setas e retas. Por sua vez, a relação entre as grandezas e o modelo universal da multiplicação, expressa com letras, demonstra o caráter algébrico do conceito.
Em contraste com a lógica tradicional, que caracteriza o processo formativo dos conceitos por meio da “descrição do processo formativo dos conceitos por ‘simples abstração e generalizações’ dos dados perceptíveis, e a interpretação do conceito como um ‘produto abstrato da percepção, generalizado e formulado com a ajuda da linguagem’” (Davídov, 1982, p. 262, tradução nossa), o problema desencadeador apresentado fundamenta-se nos estudos de Davídov (1982, 1988). Assim, ele possibilita aos alunos, por meio de uma Situação Desencadeadora de Aprendizagem (SDA), o desenvolvimento do pensamento teórico.
A situação emergente do cotidiano buscou evidenciar a relação entre universal, particular e singular, em que se observa, em sua constituição, “a realidade do universal como forma específica, juntamente com a forma do particular e do singular, se revela precisamente na inter-relação dos fenômenos particulares e singulares” (Davídov, 1988, p. 146, tradução nossa). Nesse movimento entre universal, particular e singular, a SDA destacou a essência do conceito de multiplicação por meio do seu modelo universal.
A SDA foi elaborada para os alunos do 4º ano do Ensino Fundamental (sujeitos) voltada ao ensino da multiplicação (conteúdo), com base em uma situação emergente do cotidiano (forma). Ao definirmos e priorizarmos sujeito, conteúdo e forma, defendemos que, ao planejar o trabalho educativo, essa tríade seja levada em consideração na organização do ensino. Ao considerá-la, o professor, no momento de planejar suas ações, pode potencializar a aprendizagem e o desenvolvimento dos alunos. Por conseguinte, destacamos que a Situação Desencadeadora de Aprendizagem apresentada somente possibilitará a aprendizagem e o desenvolvimento teórico dos estudantes se for realizada por meio de um processo sistematizado que permita a formação de abstrações e generalizações teóricas, aliado ao desenvolvimento das funções psicológicas superiores.
Nesse sentido, a fim de proporcionar a compreensão da multiplicação, o problema desencadeador evidenciou a gênese do conceito por intermédio do modelo universal, articulando aritmética, geometria e álgebra. Ensinar multiplicação nessa perspectiva integrada é coerente com a proposta de Davídov (1988), que defende um ensino da matemática que não se limite ao pensamento empírico, buscando generalizações teóricas e uma formação humanizadora fundamentada na apropriação do conhecimento científico.
Os resultados deste estudo demonstram a necessidade do movimento dialético entre concreto e abstrato, articulado à relação singular-universal-particular. Nesse processo, a essência da multiplicação foi revelada no modelo universal a partir da situação das figurinhas da Copa, permitindo aos alunos alcançarem generalizações teóricas. As ações de estudo propostas por Davídov (1988), quando mobilizadas na resolução da tarefa de estudo, mostraram-se um caminho potente para a compreensão da multiplicação. A relação universal do conceito pôde ser revelada, modelada, transformada e resolvida nas quatro primeiras ações, sendo controlada e avaliada nas quinta e sexta ações. Portanto, defendemos que o ensino da multiplicação e da matemática como um todo não deve fragmentar suas significações, mas, sim, promover a integração entre elas.
A proposição das figurinhas é uma possibilidade de proporcionar a apropriação do conceito de forma progressiva e articulada às ações de estudo propostas por Davídov (1988), permitindo que os alunos elaborem generalizações e compreendam a proporcionalidade como uma ideia multiplicativa fundamental. Em síntese, a SDA elaborada se mostra um caminho em potencial para promover a apropriação desse conceito, a formação do pensamento teórico dos estudantes e de suas funções psicológicas superiores.
Por fim, salientamos que a Situação Desencadeadora de Aprendizagem apresentada possibilitará a aprendizagem e o desenvolvimento teórico dos alunos quando aliada a um processo de ensino sistematizado e intencional de forma orientada pelo professor, como indica Galdino (2016) com processos analíticos que transcendam as experiências sensoriais e empíricas.
5 Considerações finais
O estudo apresenta contribuições tanto para a atividade pedagógica quanto para a produção acadêmica sobre o ensino de matemática. No campo pedagógico, a proposição de uma Situação Desencadeadora de Aprendizagem voltada à ideia de proporcionalidade fornece ao professor um instrumento metodológico, que possibilita organizar o ensino endereçado a uma compreensão da multiplicação em sua essência. Além disso, ao integrar a aritmética, a geometria e a álgebra, a proposta amplia as possibilidades de representação e análise do conceito, proporcionando o desenvolvimento do pensamento teórico dos alunos.
Do ponto de vista acadêmico, o estudo contribui ao evidenciar a escassez de pesquisas e práticas sobre a multiplicação a partir da proporcionalidade na perspectiva da THC, ao mesmo tempo em que oferece uma proposição para trabalhar essa ideia de multiplicação, a fim de compreender a sua essência (adição de parcelas iguais). Dessa forma, esta pesquisa amplia o debate sobre a formação de conceitos matemáticos e reforça a importância de elaborar propostas didáticas que considerem ações de ensino significativas como ponto de partida para a sistematização do trabalho escolar.
Ensinar multiplicação vai muito além de adicionar parcelas iguais: envolve compreender e explorar suas diversas ideias fundamentais — como a proporcionalidade — e promover o desenvolvimento teórico que, para Davídov (1982), parte da inter-relação entre a aritmética, a geometria e a álgebra. Frente a isso, este artigo evidenciou que o ensino da multiplicação deve ser estruturado de forma a favorecer o desenvolvimento do pensamento teórico nos alunos, superando práticas que visam somente à repetição e memorização, pautadas no empírico.
A Situação Desencadeadora de Aprendizagem (SDA) apresentada, centrada na troca de figurinhas, demonstrou-se uma estratégia potente para colocar os alunos em atividade e possibilitar a apropriação do conceito de multiplicação em sua essência. Ao aproximar o conteúdo matemático do cotidiano, a SDA contribuiu para que os estudantes compreendessem a multiplicação como uma relação entre grandezas, consolidando seu modelo universal.
Concluímos, portanto, que pensar em práticas pedagógicas fundamentadas na Teoria Histórico-Cultural é essencial para transformar o ensino da matemática em uma atividade intencional, reflexiva e promotora do pensamento teórico. A multiplicação, quando ensinada com base em situações significativas e organizadas didaticamente, pode constituir-se como uma via potente para a formação de sujeitos capazes de pensar teoricamente e atuar criticamente na realidade.
Referências
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Editor-chefe responsável:
Prof. Dr. Roger Miarka
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Editor associado responsável:
Profa. Dra. Celi Espasandin Lopes
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